Tổng hợp 9 Chuyên đề đại số bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

Tailieumontoan.com 
 
 Vũ Hữu Bình 
9 CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN THCS 
TÀI LIỆU SƯU TẦM 
 Website:tailieumontoan.com 1 
Chuyên đề 1 
BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT BIỂU THỨC ĐẠI SỐ 
TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ 
Các bài toán trong chuyên đề này bao gồm các nội dung: 
• Các phép tính về đa thức. Phân tích đa thức thành nhân tử. 
• Rút gọn phân thức đại số. Các phép tính về phân thức. Giá trị của phân thức. 
• Các phép tính về căn bậc hai, căn bậc ba. 
Trong các biến đổi đồng nhất biểu thức đại số, các hằng đẳng thức có một vai trò quan 
trọng. Ngoài các hằng đẳng đáng nhớ trong Sách giáo khoa, cần biết thêm các hằng đẳng 
thức sau: 
1) Bình phương của một đa thức: 
( )2 2 2 2a b c a b c 2 b 2 c 2bca a+ + = + + + + + 
2) Lập phương của một tổng ba số, tổng các lập phương của ba số: 
( ) ( )( )( )
( )( )
3 3 3 3
3 3 3 2 2 2
a b c a b c 3 a b b c c a
a b c 3abc a b c a b c ab bc ca
+ + = + + + + + +
+ + − = + + + + − − −
3) Lũy thừa bậc bốn, bậc năm của một nhị thức: 
( )
( )
4 4 3 2 2 3 4
5 5 4 3 2 2 3 4 5
a b a 4a b 6a b 4ab b
a b a 5a b 10a b 10a b 5ab b
+ = + + + +
+ = + + + + +
4) Với số nguyên dương n, ta có: 
( )( )n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1a b a b a a b a b ... ab b− − − − −− = − + + + + + 
5) Với só lẻ n, ta có: 
( )( )n n n 1 n 2 n 3 2 n 2 n 1a b a b a a b a b ... ab b− − − − −+ = + − + − − + 
Bài toán thực tế 
TỈ LỆ KHI PHA TRỘN 
Tú được giao một nhiệm vụ như sau: Pha một lượng dung dịch có nồng độ 5% muối với 
một lượng dung dịch có nồng độ 30% muối để được hỗn hợp có nồng độ 20% muối. 
Tú cần pha hai dung dịch trên với tỉ lệ nào? Bạn hãy giúp Túc giải quyết bài toán. 
Giải: 
Gọi lượng dung dịch có nồng độ muối 5% và 30% theo thứ tự là x và y (gam) (x, y > 0) 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
Ta có: ( )5 30 20x y x y
100 100 100
+ = +
( ) ( ) ( ) x 10 25x 30y 20 x y 30 20 y 20 5 x
y 15 3
⇔ + = + ⇔ − = − ⇔ = = 
Tỉ lệ khối lượng các dung dịch có nồng độ a% và b% cần pha với nhau là 2
3
Trong thực hành, ta thường viết theo sơ đồ sau: 
Tổng quát, tỉ lệ khối lượng các dung dịch có nồng độ a% và b% cần pha với nhau để được 
hỗn hợp có nồng độ c% là ( )c b c a, c b
c a
−
≠ ≠
−
I. ĐA THỨC 
Ví dụ 1. Cho x y a b+ = + (1) 
3 3 3 3x y a b+ = + (2) 
Chứng minh rằng 2 2 2 2x y a b+ = + 
Giải: 
Từ (1) suy ra ( ) ( )2 2 2 2 2 2x y a b x y 2xy a b 2ab+ = + ⇒ + + = + + (3) 
Ta có hằng đẳng thức 
( ) ( )
( ) ( )
3 3 3
3 3 3
x y x y 3xy x y
a b a b 3ab a b
+ = + + +
+ = + + +
Kết hợp (1) với (2) suy ra 3xy = 3ab hay xy = ab (4) 
Từ (3) và (4) suy ra 2 2 2 2x y a b+ = + 
Ví dụ 2. Phân tích thành nhân tử: 
a) 4 2x 4x 16+ + 
b) ( ) ( )3 3 3 3a b c a b c+ + − + + 
Giải 
a) ( ) ( ) ( )( )2 24 2 4 2 2 2 2 2x 4x 16 x 8x 16 4x x 4 2x x 4 2x x 4 2x+ + = + + − = + − = + + + − 
b) Cách 1. 
Áp dụng nhiều lần công thức ( ) ( )3 3 3x y x y 3xy x y+ = + + + ta có: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )( )
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )( )( )
33 3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
2
a b c a b c a b c a b c
a b c 3c a b a b c a b c
a b 3ab a b c 3c a b a b c a b c
3 a b ab ac bc c
3 a b a b c c b c 3 a b b c c a
+ + − + + = + + − − −  
= + + + + + + − − −
= + + + + + + + + − − −
= + + + +
= + + + + = + + +  
Cách 2. Phương pháp xét giá trị riêng 
Đặt ( ) ( )3 3 3 3A a b c a b c= + + − + + 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
Với a b 0+ = thì 3 3a b 0+ = nên 3 3A c c 0= − = , suy ra A chứa nhân tử a + b. Do vai trò 
bình đẳng của a, b, c nên A chứa nhân tử ( )( )( )a b b c c a+ + + 
Do mọi hạng tử của A đều có bậc 3 nên ( )( )( )A k a b b c c a= + + + với k là hằng số. 
Ta có với mọi a, b, c: ( ) ( ) ( )( )( )3 3 3 3a b c a b c k a b b c c a+ + − + + = + + + (1) 
Thay a = b = 1 và c = 0 vào (1) được 32 2 k.2.1.1 k 3− = ⇒ = 
Vậy ( )( )( )A 3 a b b c c a= + + + 
Ví dụ 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử bằng phương pháp xét giá trị riêng: 
( ) ( ) ( )5 5 5A a b b c c a= − + − + − 
Giải 
Thay a bởi b thì A = 0 nên A chứa nhân tử a – b 
Do A không đổi khi hoán vị vòng quanh a b c a→ → → nên A chứa nhân tử 
( )( )( )a b b c c a− − − và có dạng 
( )( )( )A B a b b c c a= − − − (1) 
Do mọi hạng tử của A đều có bậc 5 nên mọi hạng tử của B đều có bậc 2, do đó B có dạng: 
( ) ( )2 2 2B m a b c n ab bc ca= + + + + + (2) 
Từ (1) và (2) ta có với mọi a, b, c : 
( ) ( ) ( ) ( )( )( ) ( ) ( )5 5 5 2 2 2a b b c c a a b b c c a m a b c n ab bc ca (3) − + − + − = − − − + + + + +  
Thay a 0; b 1; c 2= = = vào (3) được ( )( ) ( )1 1 32 1 1 .2. 2m n− − + = − − − hay 15 2m n= +
 (4) 
Thay a 1; b 0; c 1= − = = vào (3) được ( )( ) ( )1 1 32 1 1 .2. 2m n− − + = − − − hay 15 2m n= −
 (5) 
Từ (4) và (5) suy ra 
5m 2n 15 m 5
2m n 15 n 5
+ = = 
⇔ − = = − 
Thay m 5, n 5= = − vào (3) được ( )( )( )( )2 2 2A 5 a b b c c a a b c ab bc ca= − − − + + − − − 
II. PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 
Ví dụ 4. Rút gọn phân thức 
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2a bc b ac c abA
a b a c b a b c c a c b
− − −
= + +
+ + + + + +
Giải. 
Xét 
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( )( )
2 2 a a c c a ba bc a ac ac bc a c
a b a c a b a c a b a c a b a c
+ − +− + − −
= = = −
+ + + + + + + +
Tương tự, 
( )( ) ( )( )
2 2b ac b c c ab c b,
b a b c b a b c c a c b c a c b
− −
= − = −
+ + + + + + + +
Do đó 
a c b c c b a b b cA 1 1 0
a b a c b a b c c a c b a b b c
+ +
= − + − + − = − = − =
+ + + + + + + +
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
Ví dụ 5. Chứng minh rằng tổng các bình phương của ba số hữu tỉ 1 1 1, ,
x y x y−
là bình 
phương của một số hữu tỉ. 
Giải 
Cách 1. 
( ) ( )
( )( )
( )
22 2 2 22 2
2 2 2 2 2 2 22 2
x y x y x y1 1 1 x y 1A
x y x yx y x y x y x y
+ − ++
= + + = + =
− − −
Ta sẽ chứng minh tử là bình phương của một số hữu tỉ. 
Đặt tử bằng B ta có: ( ) ( )2 2 2 2B x y x y 2xy x y = − − + +  
( ) ( ) ( )
24 2 22 2x y 2xy x y x y x y xy = − + − + = − +
 
Vậy ( )
( )
22x y xy
A
xy x y
 − +
 =
−  
Cách 2. Trước hết ta chứng minh bổ đề: Nếu a + b + c = 0 thì 
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1
a b ca b c
 + + = + + 
 
Thật vậy, ta có 
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 2 2 2
a b c ab ac bca b c
 + + = + + + + + 
 
( )
2 2 2 2 2 2
2 c b a1 1 1 1 1 1
abca b c a b c
+ +
= + + + = + + 
Trở lại bài toán, ta viết A dưới dạng 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1A
x y xx y y y x
= + + = + +
− − −
Áp dụng bổ đề trên với a x,b y,c y x= = − = − thì a + b + c = 0 nên 
2 2
1 1 1 1 1 1A
x y y x x y x y
   
= + + = − −   − − −   
Ví dụ 6. Cho các số a, b, c khác 0 và khác nhau đôi một thỏa mãn 1 1 1a b c k
b c a
+ = + = + = . 
Chứng minh rằng k = 1 hoặc k 1= − 
Giải. 
Từ 1a k
b
+ = suy ra 1 bk 1a k
b b
−
= − = 
Từ 1b k
c
+ = suy ra 1c
k b
=
−
Kết hợp với 1c k
a
+ = được 1 b k
k b bk 1
+ =
− −
( )( )2bk 1 bk b k k b bk 1⇒ − + − = − − 
2 3 2 2 2bk 1 bk b bk k b k bk⇒ − + − = − − + 
( )2 2 21 bk b k bk 1 b⇒ − + − = − − 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
( )( )2 2k 1 bk 1 b 0⇒ − − − = 
Nếu 2bk 1 b 0− − = thì 
2b 1 1k b
b b
+
= = + 
Kết hợp với 1k b
c
= + suy ra b = c, trái với giả thiết b c≠ 
Vậy 2k 1 0− = , tức là k 1= ± 
Lưu ý 
k = 1 khi, chẳng hạn, 1a 2, b 1, c
2
= = − = 
k 1= − khi, chẳng hạn, 1a 2, b 1, c
2
= − = = − 
Ví dụ 7. Có bao nhiêu số nguyên dương n 1000≤ sao phân số 2
n 4
n 7
+
+
là phân số tối giản? 
Giải 
2
n 4
n 7
+
+
tối giản 
2n 7
n 4
+
⇔
+
tối giản 
2n 16 23
n 4
− +
⇔
+
 tối giản 23
n 4
⇔
+
 tối giản. 
Trước hết ta tìm xem có bao nhiêu giá trị của n ( )1 n 1000≤ ≤ để phân số 23
n 4+
không tối 
giản. 
23
n 4+
không tối giản { }n 4 23; 46; 69; ...; 989⇔ + ∈ , tập hợp gồm 989 23 1 43
23
−
+ = (số) 
Vậy có 1000 – 43 = 957 (số) làm cho 2
n 4
n 7
+
+
 là phân số tối giản. 
Ví dụ 8. Tính giá trị của biểu thức: 
4 4 4 4
4 4 4 4
1 1 1 11 3 5 ... 15
4 4 4 4A .
1 1 1 12 4 6 ... 16
4 4 4 4
     + + + +     
     =
     + + + +     
     
Giải 
Nhân biểu thức trong mỗi dấu ngoặc với 4 ta được 
( )( )( ) ( )
( )( )( ) ( )
4 4 4 4
4 4 4 4
4.1 1 4.3 1 4.5 1 ... 4.15 1
A .
4.2 1 4.4 1 4.6 1 ... 4.16 1
+ + + +
=
+ + + +
Ta có 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )2 2 2 24 2 2 2 2 24n 1 2n 1 2n 2n 1 2n 2n 1 2n n 1 n n n 1   + = + − = + − + + = − + + +    
Nên 
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
0 1 1 2 2 3 3 4 14 15 15 16 0 1 1A . ...... .
54516 171 2 2 3 3 4 4 5 15 16 16 17
+ + + + + + +
= = =
++ + + + + +
III. CĂN THỨC 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
Ví dụ 9. Rút gọn biểu thức với a > 0: ( )( )2 2 2A a 1 2 a 1 a a 1 1 .= + + + − + − 
Giải 
Đặt ( )( )2 2 22 a 1 a a 1 1 B+ − + − = thì 
( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 2 2B 2 a 1 a 1 a 1 a a 1 2a 2 a 1 a 1 a 1 a 1 a 1 . = + − + + + = + + − + + + + = + − +  
Do a > 0 nên 2B a 1 a 1.= + − + 
Vậy ( )2 2A a 1 a 1 a 1 a 1.= + + + − + = + 
Ví dụ 10. Tìm các số hữu tỉ a và b sao cho 1 3+ là nghiệm của phương trình 
3 2x ax bx 1 0.+ + + = 
Giải 
Thay 1 3+ vào phương trình, ta được: ( ) ( ) ( )3 21 3 a 1 3 b 1 3 1 0.+ + + + + + = 
Rút gọn ta được ( ) ( ) ( )2a b 6 3 4a b 11 0. 1+ + + + + = 
Vì (1) phải đúng với mọi a và b nên 
2a b 6 0 a 2,5
4a b 11 0 b 1.
 + + = = −
⇔ + + = = −
Ví dụ 11. Cho ( ) ( )2 2a a 3b 9 1− = 
 ( ) ( )2 2b b 3a 13. 2− = 
Tìm giá trị của biểu thức 2 2a b .+ 
Giải 
Từ (1) suy ra ( )2 4 2 2 4a a 6a b 9b 81.− + = 
Từ (2) suy ra ( )2 4 2 2 4b b 6a b 9b 169.− + = 
Cộng theo vế hai đẳng thức trên ta được 
( )36 4 2 2 4 6 2 2 2 2 33a 3a b 3a b b 250 a b 250 a b 250 5 2.+ + + = ⇒ + = ⇒ + = = 
Ví dụ 12. a) Lập một phương trình bậc ba với hệ số nguyên, có nghiệm là 
3 31 2 1 2.+ + − 
 b) Đặt 3 3m 1 2 1 2.= + + − Tính giá trị của biểu thức ( )1003m 3m 1 .+ − 
Giải 
 Gọi 3 3m 1 2 1 2.= + + − 
Đặt 3 1 2 a+ = và 3 1 2 b+ = thì ( )3 3a b 2 1+ = 
 ( )( ) ( )3ab 1 2 1 2 1. 2= + − = − 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
Từ hằng đẳng thức ( ) ( )3 3 3a b a b 3ab a b+ = + + + ta có 3m 2 3m= − nên 3m 3m 2 0.+ − = 
Phương trình lập được là 3x 3x 2 0.+ − = 
b) Từ câu a suy ra 3m 3m 2 0+ − = nên 3m 3m 1 1.+ − = 
Do đó ( )1003m 3m 1 1.+ − = 
BÀI TẬP 
Đa thức 
1. Chứng minh hằng đẳng thức ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2a c b d ab cd ad bc .− − = − − − 
2. Cho a + b +c = 0 và 2 2 2a b c 14.+ + = Tính 4 4 4a b c .+ + 
3. Tính tổng các chữ số của n2, biết n = 
50 chu so
n 99....9=

4. Phân tích thành nhân tử: 
( ) ( ) ( )
( ) ( )
8 3 2 2 3 2 2 3 2 2
5 75 5 7 7
a) x x 1; b) a b c b c a c a b ;
c) x y x y ; d) a b a b .
+ + − + − + −
+ − − + − −
6. Phân tích thành nhân tử phương pháp xét giá trị riêng: 
( )5 5 5 5a b c a b c .+ + − − − 
7. Cho (ad + bc)(ac + bd) = cd và a + b = 1. Chứng minh rằng a = 0, hoặc b = 0 hoặc c = d 
8. Cho 2 2 2x yz a; y xz b;z xy c.− = − = − = . Chứng minh rằng 
( )( )ax by cz a b c x y z .+ + = + + + + 
9. Tìm bốn số không âm sao cho mỗi số bằng bình phương của tổng ba số còn lại. 
Phân thức đại số 
10. Chứng minh đẳng thức: 
( )( ) ( )( ) ( )( )
b c c a a b 2 2 2 .
a b a c b c b a c a c b a b b c c a
− − −
+ + = + +
− − − − − − − − −
11. Cho các số a, b, c khác 0 thỏa mãn a + b + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: 
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1A .
a b c b c a c a b
= + +
+ − + − + −
12. Cho ax + by = c; bx + xz = a; cz + ax = b và a + b + c ≠ 0. Tính giá trị biểu thức: 
1 1 1 .
x 1 y 1 z 1
+ +
+ + +
13. Cho abc = 1 và 
2 2 2
2 2 2 2
a b c b c a .
a bb c a c
+ + = + + 
Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại một số bằng bình phương của một trong hai số 
còn lại. 
14. Tính giá trị của biểu thức: 
a) 1 1 1 1A 1 1 1 ... 1 ;
1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 ... 100
     = − − − −     + + + + + + + + +     
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
b) 2 3 99 1 2 98 1 2 99 2 3 98B ... ... ... ... ;
3 4 100 2 3 99 2 3 100 3 4 99
     = + + + + + + − + + + + + +     
     
c) 2 2 2 2
4 4 4 4C 1 1 1 ... 1 ;
3 5 7 99
     = − − − −     
     
d) 
3 2 3 3 3 3 3 3
2 2 3 3 3 3 3 3
3 1 5 2 7 3 41 20D ... .
2 1 3 2 4 3 21 20
+ + + +
= + + + +
− − − −
Căn thức 
15. Cho m ≥ 0. Tính x và y theo m, biết rằng: x y m x y m.+ − = + − 
16. Cho dãy số 1 2 na ,a ,..., a thỏa mãn n1 n 1
n
a 1
a 2 1,a
a 1+
−
= − =
+
với n = 1, 2, 3Tính 100.a 
17. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Rút gọn biểu thức 
( )( ) ( )( ) ( )( )2 2 2 2 2 2
2 2 2
b 1 c 1 c 1 a 1 a 1 b 1
A a b c .
a 1 b 1 c 1
+ + + + + +
= + +
+ + +
18. Cho 3m 2 3= + . Lập phưng trình bậc 6 với hệ số nguyên, nhận m làm một nghiệm. 
Chuyên đề 2 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 
TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ. 
 Chuyên đề này đi sâu vào hai loại phương trình gần gũi với chúng ta là phương 
trình bậc nhất và phương trình bậc hai, bao gồm: 
 Phưng trình bậc nhất một ẩn, trong đó có các phương trình đưa được về phương 
trình bậc nhất một ẩn như phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, phương trình chứa ẩn trong 
dấu giá trị tuyệt đối. 
 Phương trình bậc hai một ẩn, điều kiện để phương trình có nghiệm, hệ thức Vi-ét. 
 Quan hệ giữa đường thẳng và parabol thể hiện quan hệ giữa hàm số bậc nhất và 
hàm số bậc hai. 
Bài toán cổ 
BÔNG SEN TRÊN HỒ 
Bài toán của Bát –xca-ra (Bhaskara), nhà toán học Ấn Độ (1114 – khoảng 1178) 
 Cành sen nhỏ mọc trong hồ nước 
 Bông sen tròn nửa thước nhô lên. 
 Bổng đâu gió thổi sang bên 
 Bông hoa dạt xuống nằm trên mặt hồ 
 Cành cành cũ được vừa hai thước 
 (Cứ sát theo mặt nước mà đo). 
 Nhờ ai thạo tính giúp cho 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
 Hồ sâu mấy thước, lí do thế nào? 
Giải (h.1) 
Gọi độ sâu của hồ là BC = x (thước), phần cây sen nhỏ lên mặt hồ là AB = 0, 5 thước. 
 Khi bông sen dạt xuống đến vị trí D, ta có CD = AC = x + 0,5 (thước). 
 Ta giác CBD vuông tại B nên BC2 + BD2 = CD2. 
 Do đó x2 + 22 = (x + 0,5)2. 
 Giải phương trình trên, ta được x = 3,75. 
 Hồ nước sâu 3,75 thước. 
I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN 
Cần chú ý đến các dạng phương trình đưa được về phương trình bậc nhất một 
ẩn. 
1. Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức 
Ở dạng này, giá trị tìm được của ẩn phải thỏa mãn điều kiện cho mẫu thức khác 
0 (điều kiện của phương trình). 
Ví dụ 13. Giải phương trình (a, b là tham số): 
( )
( )
2
2
a x 1ax 1 b . 1
x 1 x 1 x 1
+−
+ =
− + −
Giải 
Điều kiện xác định (ĐKXĐ) của phương trình là x 1.≠ ± 
Với điều kiện đó thì ( ) ( )( ) ( ) ( )21 ax 1 x 1 b x 1 a x 1⇔ − + + − = + 
 ( ) ( )a b 1 x a b 1. 2⇔ + − = + + 
Nếu a + b ≠ 1 thì a b 1x
a b 1
+ +
=
+ −
. Giá trị này là nghiệm nếu 
a b 1 1
a b 1 a b 0.
a b 1 1
a b 1
+ + ≠ + − ⇔ + ≠ + + ≠ −
 + −
Nếu 1+ =a b thì trở thành 0 2=x , vô nghiệm. 
Kết luận: 
Với 1+ ≠a b và 0+ ≠a b , phương trình có nghiệm 1
1
+ +
=
+ −
a bx
a b
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
Còn lại vô nghiệm. 
2. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối 
Ở dạng này, ta thường khử dấu giá trị tuyệt đối theo định nghĩa 
0
0
≥
= − <
A A
A
A A
Ví dụ 14: Một học sinh giải phương trình 1 3 5+ + = −x x (1) như sau: 
31 3 5 4 6
(1) 1 3 5 2
1 3 5 2 4 2
+ = − − = − = −  ⇔ + = − − ⇔ ⇔ ⇔  + = + − =  = −
x x x x
x x
x x x x
Cách giải trên có đúng không? 
Giải: 
Giá trị 3
2
= −x không thỏa mãn (1) nên loại. 
Cách giải đúng như sau: 
Cách 1. Với điều kiện 3 5 0− − ≥x (2) thì 
1 3 5
1 3 5
1 3 5
+ = − −
+ = − − ⇔  + = +
x x
x x
x x
Giải như trên, loại 3
2
= −x vì trái với (2), chọn 2= −x vì thỏa mãn (2). 
Cách 2. Xét 1≥ −x thì 3(1) 1 3 5
2
⇔ + + = − ⇔ = −x x x , không thỏa mãn 1≥ −x . 
Xét 1< −x thì (1) 1 3 5 2⇔ − − + = − ⇔ = −x x x , thỏa mãn 1< −x . 
Kết luận: 2= −x 
Lưu ý: 
( ) ( )
( ) ( )
( ) 0
= ±
= ⇔  ≥
f x g x
f x g x
g x
Ví dụ 15. Tìm giá trị của tham số a để phương trình 2 1− = +x a x (1) có nghiệm duy nhất. 
Giải 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
( )2
2 1
(1)
( )2
2 1
 ≥ − = +⇔  ≤

 − = +
ax
I
x a x
ax
II
a x x
1
( ) , 1 2
2
2
1
13( ) , 2
3 2
2
= +
⇔ + ≥ ⇔ ≥ −
≥
− = −⇔ ≤ ⇔ ≥ −
 ≤

x a
aI a aax
ax a aII a
ax
Để (1) có nghiệm duy nhất thì 
11
23
2
− + = ⇔ = −
 ≥ −
aa
a
a
II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
Cần chú ý đến các kiến thức sau: 
1) Điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm là 0∆ ≥ . 
2) Hệ thức Vi –ét: Nếu phương trình ( )2 0 0+ + = ≠ax bx c a có các nghiệm 1x và 2x thì 
1 2+ = −
bx x
a
 và 1 2 =
cx x
a
. 
3) Cho phương trình 2 0+ + =ax bx c có 0≠a . 
- Nếu 0+ + =a b c thì phương trình có hai nghiệm 1 1=x và 2 =
cx
a
. 
- Nếu 0− + =a b c thì phương trình có hai nghiệm 1 1= −x và 2 = −
cx
a
. 
Ví dụ 16. Cho phương trình 2 22( 1) ( 2 ) 0− + + + =x m x m m . 
Tìm giá trị của m để các nghiệm 1 2,x x của phương trình thỏa mãn 
3 3
1 2 8− =x x . 
Giải 
Phương trình đã cho có nghiệm với mọi m vì 
2 2' ( 1) ( 2 ) 1 0∆ = + − + = >m m m . 
Theo hệ thức Vi-ét, 21 2 1 22 2, 2+ = + = +x x m x x m m . 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
Ta có 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 (2 2) 4( 2 ) 4− = + − = + − + =x x x x x x m m m nên 1 2 2− =x x . 
Ta lại có 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) (2 2) ( 2 ) 3 6 4 0+ + = + − = + − + = + + >x x x x x x x x m m m m m 
Do đó 3 3 21 2 2(3 6 4)− = + +x x m m 
Giải phương trình 22(3 6 4) 8+ + =m m được 2 2 0 ( 2) 0 0+ = ⇔ + = ⇔ =m m m m m hoặc 2= −m 
Đáp số: { }0; 2∈ −m 
Ví dụ 17. Cho phương trình 2 1 0+ + =x mx . Tìm giá trị của m để các nghiệm 1 2,x x của 
phương trình thỏa mãn 4 41 2 2+ =x x . 
Giải 
Điều kiện để phương trình 2 1 0+ + =x mx có nghiệm là 2 20 4 0 4∆ ≥ ⇔ − ≥ ⇔ ≥m m 
Theo hệ thức Vi – ét: 1 2+ = −x x m và 1 2 1=x x . 
Ta có 2 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2 ( ) 2+ = + − = − −x x x x x x m nên 
4 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 ( 2) 2 4 2+ = + − = − − = − +x x x x x x m m m 
Giải phương trình 4 4 4 2 2 21 2 2 4 2 2 ( 4) 0+ = ⇔ − + = ⇔ − =x x m m m m 
Loại 2 0=m vì trái với (1), ta được 2 4 2= ⇔ = ±m m 
Đáp số: 2= ±m 
Ví dụ 18. Cho các phương trình 
2 5 0+ − =x mx (1) 
Và 25 1 0− − =x mx (2) 
a) Chứng minh rằng các phương trình trên có nghiệm. 
b) Gọi 1x là nghiệm dương của (1), 2x là nghiệm dương của (2). Chứng minh rằng 
1 2 2+ ≥x x . 
Giải 
a) Các phương trình (1) và (2) đều có 0<ac nên đều có hai nghiệm trái dấu. 
b) Do 1x là nghiệm của (1) nên 
2
1 1 2
1 1
1 55 0 1 . 0+ − = ⇒ + − =x mx m
x x
2
1 1 1
1 1 15 1 0
 
⇒ − − = ⇒ 
 
m
x x x
là nghiệm dương của (2) 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
2 1 2
1
1 1.⇒ = ⇒ =x x x
x
Do 1 2,x x dương nên 1 2 1 22 2+ ≥ =x x x x 
Ví dụ 19. Cho các phương trình 
2 0+ + =x x a (1) 
Và 2 4 0+ + =x x b (2) 
Tìm giá trị của a và b sao cho các nghiệm 1 2,x x của phương trình (1) và các nghiệm 
3 4,x x của phương trình (2) thỏa mãn: 
34 2
3 2 1
= =
xx x
x x x
Giải 
Điều kiện để (1) và (2) có nghiệm là 
11 4 0
4
4 0 4
− ≥ ≤ ∆ − ≥  ≤
a a
ABC
b b
Đặt 34 2
3 2 1
= = =
xx x k
x x x
 thì 2 32 1 3 2 1 4 3 1, ,= = = = =x kx x kx k x x kx k x . 
Theo hệ thức Vi – ét: 
1 2 1 1 11 1 (1 ) 1+ = − ⇒ + = − ⇒ + = −x x x kx x k (3) 
2 3 2
3 4 1 1 14 4 (1 ) 4+ = − ⇒ + = − ⇒ + = −x x k x k x k x k (4) 
Từ (3) và (4) suy ra 2 4=k nên 2= ±k . 
- Xét 2=k , thay vào (3) được 1 2 3 4
1 2 4 8, , , .
3 3 3 3
= − = − = − = −x x x x 
Suy ra 1 2 3 4
2 32,
9 9
= = = =a x x b x x , thỏa mãn 1
4
≤a và 4≤b . 
Đáp số: 2 32,
9 9
= =a b hoặc 2, 32= − = −a b . 
III. QUAN HỆ GIỮA PARABOL VÀ ĐƯỜNG THẲNG 
Cho parabol 2 ( 0)= ≠y ax a và đường thẳng = +y mx n . Hoành độ giao điểm của 
parabol và đường thẳng là nghiệm của phương trình 2 = +ax mx n hay 2 0− − =ax mx n .
 (1) 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
Nếu phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì đường thẳng cắt parabol. 
Nếu phương trình (1) có nghiệm kép thì đường thẳng tiếp xúc với parabol. 
Nếu phương trình (1) vô nghiệm thì đường thẳng không giao với parabol. 
Ví dụ 20. Cho parabol 2=y x . Gọi A và B là hai điểm thuộc parabol có hoành độ theo 
thứ tự là a và b . Gọi C là điểm thuộc parabol có hoành độ bằng +a b . Chứng minh 
rằng OC song song với AB. 
Giải. (h.2) 
Kẻ AE, BF, CK vuông góc với Ox, kẻ AH vuông góc với BF. 
Ta có 2 2 2( ; ), ( ; ), ( , ( ) )+ +A a a B b b C a b a b . 
Đường thẳng AB có hệ số góc là 
2 2−
= = = +
−
BH b am b a
AH b a
. 
Đường thẳng OC có hệ số góc là 
2( )+
= = = +
+
CK a bn a b
OK a b
Do =m n nên / /AB OC . 
Ví dụ 21. Cho parabol 
2
4
= −
xy và đường thẳng d có phương trình 4= +y x . Tìm tọa 
độ các điểm A và B sao cho A thuộc parabol, B thuộc đường thẳng d và độ dài AB nhỏ 
nhất. 
Giải. (h.3) 
Gọi 'd là đường thẳng có phương trình = +y x k thì '/ /d d . 
Điều kiện để 'd tiếp xúc parabol là phương trình
2
4
− = +
x x k , tức là 2 4 4 0+ + =x x k (1) 
có nghiệm kép. 
' 0 4 4 0 1.∆ = ⇔ − = ⇔ =k k 
Đường thẳng 'd song song với d và tiếp xúc với parabol có phương trình 1= +y x . 
Tiếp điểm của 'd và parabol là ( 2; 1)− −A . 
Ta lập phương trình đường thẳng 1d đi qua A và vuông góc với d. 
Gọi phương trình của 1d là = +y mx n . 
Do 1 ⊥d d nên .1 1= −m , do đó 1= −m . 
Do đường thẳng = − +y x n đi qua ( 2; 1)− −A nên 1 ( 2) 3.− = − − + ⇒ = −n n 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
Đường thẳng 1d có phương trình 3= − −y x 
Giải phương tình 4 3+ = − −x x được 3,5= −x ; khi đó 4 3,5 4 0,5= + = − + =y x 
Tọa độ giao điểm B của d và 1d là ( 3,5;0,5)− 
Điểm ( 2; 1)− −A thuộc parabol, điểm ( 3,5;0,5)−B thuộc đường thẳng d và độ dài AB 
nhỏ nhất. 
BÀI TẬP 
Phương trình bậc nhất một ẩn 
19. Giải các phương trình sau: 
a) 3;− − − − − −+ + =x b c x c a x a b
a b c
b) 1 1 12 ;− − −  + + = + + 
 
x a x b x c
bc ac ab a b c
c) 2− −+ =
− −
x a x b
x b x a
20. Giải các phương trình sau: 
a) 1 2 3 4 4;+ + + + + + + =x x x x 
b) 3 1 1 3 5 12− + − + + + + + + =x x x x x 
21. Tìm giá trị của a để phương trình sau có nghiệm duy nhất: 
2 4 1− − − =x a x 
Phương trình bậc hai một ẩn 
22. Cho phương trình: ( ) ( )( )2x 2 m 1 x m 1 m 3 0− + + − + = . 
a) Chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm 1 2x , x phân biệt. 
b) Tìm giá trị của m để 1 22 x x 3− < < < . 
23. Cho các phương trình: ( )2x ax b 0 1+ + = và ( )2 2x a x ab 0 2+ − = 
Tìm giá trị của a và b để phương trình ( )1 có các nghiệm 1x và 2x , phương trình 
( )2 có các nghiệm 1x 1− và 2x 1− . 
24. Cho phương trình 2x ax 1 0+ − = có các nghiệm 1x và 2x , phương trình 
2x bx 1 0+ + = 
có các nghiệm 1x và 3x . Chứng minh rằng ( )( )1 2 1 3x x x x ab− − = . 
25. Cho phương trình ( ) ( )2m 1 x m 1 x 2 0− + + + = với m 1≠ . 
Tìm giá trị của m để hai nghiệm 1 2x , x của phương trình thỏa mãn 
2 2
1 2x x 3− = . 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
26. Cho phương trình ( )2x m 1 x 2 0+ + + = . 
Tìm giá trị của m để hai nghiệm 1 2x , x của phương trình thỏa mãn 
2 2
1 2x x+ nhỏ nhất. 
27. Cho phương trình ( ) ( )2 2x 2m 1 x m 2 0− + − + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 1 2
1 2
x xA
x x
+
= ( 1 2x , x là các nghiệm của 
phương trình). 
28. Cho bốn phương trình với a, b, c khác nhau đôi một: 
( )
( ) ( )
2 2
2 2
x ax 1 0 (1) x bx c 0 2
x cx b 0 3 x x a 0 4
+ + = + + =
+ + = + + =
Biết các phương trình ( )1 và ( )2 có nghiệm chung là m , các phương trình ( )3 và ( )4 
có nghiệm chung là n . 
a) Tính m và n . 
b) Tính tổng a b c+ + . 
Quan hệ giữa parabol và đường thẳng 
29. Cho parabol 2y x= và đường thẳng d có phương trình y mx 3= + . 
a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol tại hai điểm A, B phân biệt. 
b) Tìm giá trị của m để độ dài AB nhỏ nhất. 
30. Cho parabol 
2xy
2
= và đường thẳng d có phương trình y mx 2= + . 
a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol tại hai điểm A, B phân biệt. 
b) Tìm giá trị của m để tam giác OAB có diện tích bằng 2 5 . 
31. Cho parabol 
2xy
2
= và đường thẳng d có phương trình y x 4= + . 
a) Chứng minh rằng đường thẳng d luôn cắt parabol tại hai điểm A, B phân biệt. 
b) Tìm tọa độ điểm C thuộc cung AB của parabol sao cho tam giác ABC có diện 
tích lớn nhất. 
32. Cho parabol 2y x= và đường thẳng d có phương trình y x n= + . 
a) Tìm giá trị của n để đường thẳng d luôn cắt parabol tại hai điểm A, B phân biệt. 
b) Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng với mọi giá trị của n thỏa mãn 
điều kiện của câu a thì điểm I chuyển động trên một đường thẳng cố định. 
33. Cho parabol 2y x= . Gọi M và N là các điểm thuộc parabol có hoành độ theo thứ tự 
là 1− và 1. Gọi A và C là các điểm thuộc parabol có hoành độ theo thứ tự là 2− và 
1
3
− . Vẽ các dây AB và CD của parabol đi qua điểm ( )I 0;1 . Gọi giao điểm của AC và 
BD với MN theo thứ tự là P và Q . 
a) Tìm tọa độ các điểm B và D . 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
b) Tìm tọa độ các điểm P và Q . 
c) Chứng minh rằng IP IQ= . 
Chuyên đề 3 
HỆ PHƯƠNG TRÌNH 
TỔNG QUAN VỀ CHUYÊN ĐỀ. 
Nội dung về hệ phương trình trong chuyên đề này bao gồm: 
- Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 
- Hệ phương trình bậc cao hai ẩn. 
- Hệ phương trình ba ẩn, bốn ẩn. 
Các phương pháp thường dung để giải các hệ phương trình trên là: 
- Phương pháp thế. 
- Phương pháp cộng. 
- Phương pháp đặt ẩn phụ. 
- Phương pháp dùng bất đẳng thức. 
Đại số và Số học 
CÁCH GIẢI ĐẠI SỐ GIÚP TÌM RA CÁCH GIẢI SỐ HỌC 
Bài toán 
Anh Việt đi từ A và đã đến B gặp bạn đúng giờ hẹn. Anh nói với bạn rằng: 
- Nếu tôi đi với vận tốc ít hơn vận tốc đã đi 6 km / h thì sẽ đến B sau giờ hẹn 2 giờ, 
còn nếu tôi đi với vận tốc nhiều hơn vận tốc đã đi 10 km / h thì sẽ đến B trước giờ hẹn 2 
giờ. 
Bạn hãy tính thời gian anh Việt đã đi quãng đường AB. 
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình 
 Gọi vận tốc anh Việt đã đi quãng đường AB là ( )v km / h , thời gian đã đi quãng 
đường AB là t (giờ). 
 Trong trường hợp thứ nhất, vận tốc là ( )v 6 km / h− , thời gian là t 2+ (giờ). 
 Ta có phương trình: ( )( )v 6 t 2 vt− + = . 
Trong trường hợp thứ hai, vận tốc là ( )v 10 km / h+ , thời gian là t 2− (giờ). 
 Ta có phương trình: ( )( )v 10 t 2 vt+ − = . 
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
 Giải hệ phương trình: 
( )( )
( )( )
v 6 t 2 vt vt 2v 6t 12 vt
vt 2v 10t 20 vtv 10 t 2 vt
− + = + − − = ⇔  − + − =+ − = 
2v 6t 12 4t 32 v 30
2v 10t 20 v 3t 6 t 8
− = = =  
⇔ ⇔ ⇔  − + = − = =  
. 
 Thời gian anh Việt đi quãng đường AB là 8 giờ. 
Tìm cách giải số học cho bài toán. 
 Để tìm ra cách giải bài toán trên bằng phương pháp số học, ta thực hiện các biến đổi 
đại số khác với cách giải trên đôi chút. 
Cách giải đại số Cách giải số học 
Gọi vận tốc anh Việt đã đi đoạn AB là 
( )v km / h , thời gian anh Việt đã đi đoạn AB là 
t (giờ). 
Gọi vận tốc và thời gian đi trong trường hợp 
thứ nhất là 1v và 1t . 
Gọi vận tốc và thời gian đi trong trường hợp 
thứ hai là 2v và 2t . 
Giả sử có xe 1 và xe 2 cùng đi từ A với 
thời gian anh Việt đã đi đoạn AB. 
Ta có: 1 1 2 2 1 2vt v t v t , v v 6, v v 10= = − = − = . 
1 2t t 2, t t 2− = − = . 
( )1 1 1 1 1v t vt v t 2 vt v t 2v vt= ⇒ + = ⇒ + = . (1) 
( )2 2 2 2 2v t vt v t 2 vt v t 2v vt= ⇒ − = ⇒ − = . (2) 
Xe 1 đi chậm hơn anh Việt ( )6 km / h . 
Xe 1 đi nhanh hơn anh Việt ( )10 km / h . 
Khi anh Việt đi đoạn AB thì: 
xe 1 đi đoạn AC (chưa đến B), xe 2 đi 
đoạn AD (đi quá B). 
Xe 1 đi tiếp đoạn CB gần 2 giờ, xe 2 đi 
đoạn BD trong 2 giờ. 
Ta có: ( ) ( )2 1 2 1v v v v v v 10 6 16− = − + − = + = 
nên ( )2 12 v v 2.16 32− = = (3) 
Do vận tốc xe 2 lớn hơn vận tốc xe 1 là: 
 ( )10 6 16 km / h+ = 
nên đoạn BD dài hơn đoạn CB là: 
( )16.2 32 km= . 
A DC B
Liên hệ file word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 19 
Từ (1) suy ra: ( )1 12v v v t 6t= − = . (4) 
Từ (2) suy ra: ( )2 22v v v t 10t= − = . (5) 
Giả sử cũng với thời gian anh Việt đi 
đoạn AB, có xe 3 đi đoạn CB, xe 4 đi 
đoạn BD thì: 
vận tốc xe 3 bằng ( )6 km / h , 
vận tốc xe 4 bằng ( )10 km / h . 
Từ (4) và (5) suy ra: 
 2 1 2 12v 2v 10 6t 2v 2v 4t− = − ⇒ − = . (6) 
Vận tốc xe 4 (đi BD) lớn hơn vận tốc xe 
3 (đi BC) là: 
( )10 6 4 km / h− = . 
Từ (3) và (6) suy ra: 
324t 32 t 8
4
= ⇒ = = . 
Vậy thời gian xe 3 đi CB (cũng là thời 
gian xe 4 đi BD, cũng là thời gian anh 
Việt đi AB) là: 
32 4 8= = (giờ). 
 Thời gian anh Việt đã đi đoạn AB là 8 giờ. 
Để tìm ra cách giải số học, cần tạo ra các đại lượng tương ứng với các biểu thức đại 
số và sử dụng phương pháp giải thiết tạm: 
 - Tạo ra xe 1 và xe 2 có vận tốc tương ứng với trường hợp 1 và trường hợp 2, nhưng 
đi với thời gian bằng thời gian t mà anh Việt đi đoạn AB. 
 - Có sự tương ứng 
( )1 2 1 2 2 1AB vt, AC v t, AD v t, CB 2v , BD 2v , BD CB 2 v v= = = = = − = − 
 - Tạo r axe 3 đi đoạn CB, xe 4 đi đoạn BD cũng với thời gian t nói trên. Từ đó, tính 
thời gian t bằng cách lấy hiệu quãng đường BD và CB mà xe 4 và xe 3 đã đi (là 32 km ) 
chia cho hiệu vận tốc của hai xe đó (là 10 6 4 km / h− = ). 
 - Trong biến đổi đại số cần giảm bớt các biến đổi trung gian và giữ lại những biểu 
thức liên quan đến các số liệu trong đề bài để tạo ra sự tương ứng với các giải số học. 
I. HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI