Giáo trình Chuyên đề phương trình bậc 2 và ứng dụng hệ thức vi-ét THCS

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
CHUYÊN ĐỀ 
 PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 
VÀ ỨNG DỤNG HỆ THỨC VI-ÉT 
Thanh Hóa, tháng 9 năm 2019 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
1 
CHUYÊN ĐỀ PHƢƠNG TRÌNH BẬC 2 
VÀ ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI-ÉT 
LỜI NÓI ĐẦU 
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán 
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em chuyên đề phương trình bậc 
hai và hệ thức vi-et. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để viết chuyên đề về này nhằm đáp 
ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới về hệ phương trình thường được 
ra trong các kì thi gần đây. Chuyên đề gồm 2 phần: 
 Chủ đề 1: Phương trình bậc hai 
 Chủ đề 2: Ứng dụng của hệ thức Vi-et 
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng chuyên đề này để giúp con em mình 
học tập. Hy vọng chuyên đề về phương trình bậc 2 và ứng dụng của hệ thức vi et này có thể giúp 
ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. 
 Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, 
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! 
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
2 
Mục Lục 
 Trang 
Lời nói đầu 1 
Chủ đề 1. Phƣơng trình bậc hai một ẩn 4 
1. Kiến thức cần nhớ 4 
2. Bài tập vận dụng 5 
Dạng 1. Giải phương trình bậc hai một ẩn 5 
Dạng 2. Tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm 6 
Dạng 3. Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của phương trình bậc hai 7 
Dạng 4. Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm chung 10 
Dạng 5. Chứng minh trong một hệ c{c phương trình bậc 2 có một phương trình 
có nghiệm. 
13 
Dạng 6. Ứng dụng của phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức 
và tìm GTNN và GTLN 
Chủ đề 2. Khai thác các ứng dụng của định lý Vi-ét 17 
A. Kiến thức cần nhớ 17 
B. Các ứng dụng của định lý vi-et 17 
Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 bằng cách tính nhẩm nghiệm 17 
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức giữa các nghiệm của phương trình 18 
Dạng 3. Tìm hia số khi biết tổng và tích 22 
Dạng 4. Phân tích tam thức tam thức bậc hai thành nhân tử 24 
Dạng 5. Tìm tham số để phương trình bậc hai có một nghiệm x = x1. Tìm nghiệm 
thứ hai 
25 
Dạng 6. X{c định tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn một hệ điều 
kiện cho trước 
26 
Dạng 7. Lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm của nó hoặc hai nghiệm 
của nó liên quan đến hai nghiệm của một phương trình đã cho 
30 
Dạng 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai, không 
phụ thuộc vào tham số. 
32 
Dạng 9. Chứng minh hệ thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai, 
hoặc hai nghiệm của phương trình bậc 2. 
34 
Dạng 10. Xét dấu các nghiệm của phương trình bậc hai, so sách các nghiệm của 
phương trình bậc hai với một số cho trước. 
37 
Dạng 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình 41 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
3 
tương đương 
Dạng 12. Ứng dụng của hệ thức vi-et các bài toán số học 44 
Dạng 13. Ứng dụng của hệ thức vi-et giải phương trình, hệ phương trình 46 
Dạng 14. Ứng dụng hệ thức vi-ét chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm 
GTLN và GTNN 
51 
Dạng 15. Vận dụng định lý vi-et vào các bài toán hàm số 54 
Dạng 16. Ứng dụng địng lý Vi-ét trong các bài toán hình học 57 
Bài tập rèn luyện tổng hợp 60 
Hƣớng dẫn giải 68 
Bài tập không lời giải 98 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
4 
CHỦ ĐỀ 1. PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN 
A/ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NHỚ 
1/ Định nghĩa: 
Phương trình bậc 2 một ẩn l| phương trình có dạng: 2 0 ax bx c trong đó x l| ẩn, a, b, c 
l| c{c hệ số cho trước v| a ≠ 0. 
2/ Giải phƣơng trình bậc 2. 
2.1 Phương trình bậc 2 khuyết: 
- Với c = 0 phương trình có dạng: 
 2
0
0 0
x
ax bx x ax c c
x
a
 (a ≠ 0). 
- Với b = 0 phương trình có dạng: 
 2 20 * 
c
ax c x
a 
Điều kiện để phương trình có nghiệm l|: 
0
0
0
cc
aca
 (a v| c tr{i dấu) 
Với điều kiện trên ta có: * 
c
x
a 
2.2 Giải phương trình bậc hai một ẩn đầy đủ bằng công thức nghiệm. 
Phương trình bậc 2 một ẩn: 2 0 0 1 ax bx c a 
Xét biệt số: 2 4b ac 
+) Nếu 0 phương trình (1) vô nghiệm. 
+) Nếu 0 phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2
2
b
x x
a
+) Nếu 0 phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt 1 2; .
2 2
b b
x x
a a
Trường hợp: 2 'b b ta có: 2' 'b ac . Khi đó: 
+) Nếu ' 0 phương trình (1) vô nghiệm. 
+) Nếu ' 0 phương trình (1) có nghiệm kép: 1 2
'b
x x
a
+) Nếu 0 phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt 1 2
' ' ' '
; .
b b
x x
a a
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
5 
2.3 Trường hợp đặc biệt có thể nhẩm nhanh nghiệm: 
Phương trình bậc 2 một ẩn: 2 0 0 ax bx c a 
- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 
1 21; . 
c
x x
a 
- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có nghiệm 
1 21; . 
c
x x
a
B/ BÀI TẬP VẬN DỤNG 
1. Giải phƣơng trình bậc hai một ẩn 
Thí dụ 1. Giải phương trình: 2 2( 3) 4 0mx m x m (m là tham số) (1) 
a) Giải phương trình với m = 1. 
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 
c) Tìm m để tập nghiệm của phương trình có một phần tử. 
Hƣớng dẫn giải 
a) Với m = 1 ta có: 2 4 3 0 x x 
Ta có: 2' 2 1. 3 4 3 7 
Do đó: 1 2
2 7 2 7
2 7 ; 2 7
1 1
 x x
Khi m = 1 thì phương trình có nghiệm l|:
1 22 7 ; 2 7 x x 
b) Điều kiện để phương trình có hai nghiệm ph}n biệt l|: 
2
00 0 9
0
' 0 2 9 0 23 4 0
ma m
m
mm m m 
Vậy điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm ph}n biệt l|:
9
0
2
 m 
c) Để phương trình (1) chỉ có một phần tử thì hoặc (1) có nghiệp kép hoặc l| phương trình 
bậc nhất. 
Với m = 0 phương trình có dạng: 
2
6 4 0
3
 x x 
Với m ≠ 0 thì (1) l| phương trình bậc 2, có nghiệm kép khi: 
2 2
' 0 3 4 0 2 9 0
9
 m m m m m (thỏa mãn m ≠ 0) 
Vậy khi m = 0 hoặc 
2
9
 m thì tập nghiệm của phương trình (1) có một phần tử. 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
6 
2. Tìm điều kiện để phƣơng trình bậc hai có nghiệm 
 Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai l| ≥ 0 m| ta lại có: = b2 – 4ac nên 
khi ac 0. Do đó với nhiều trường hợp phức tạp ta chỉ cần xét ac < 0 để chứng 
minh phương trình đó luôn có nghiệm. 
Thí dụ 2. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b: 
 21 2 1 0 1 a x a b x b
(Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) 
Hƣớng dẫn giải 
- Với a = -1 phương trình (1) trở th|nh: 
 2 1 1 0 2 1 1 b x b b x b
+) Nếu b ≠ 1 thì phương trình (1) có nghiệm: x = 0,5. 
+) Nếu b = 1 thì phương trình có vô số nghiệm. 
- Với a ≠ -1 thì phương trình (1) l| phương trình bậc 2 có: 
2
2 2
2 2
2 2
2
2
' 1 1
2 1
1
3 1
1
4 4
3 1
1 0
4 2
a b a b
a ab b ab a b
a ab b a b
a b a b a b
a b a b
Do đó với a ≠ -1 phương trình (1) cũng luôn có nghiệm 
Vậy phương trình (1) có nghiệm với mọi a, b. 
Thí dụ 3. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi m: 
 2 2 23 5 1 4 5 0 1 x m m x m m
(Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) 
Hƣớng dẫn giải 
Ta có: 22 24 5 4 4 1 2 1 0 ac m m m m m 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
7 
Do đó phương trình luôn có nghiệm. 
Nhận xét: 
- Nếu ac ≤ 0 v| a ≠ 0 thì ≥ 0 chúng ta cũng có thể kết luận được phương trình 
2 0 ax bx c có nghiệm nghiệm. 
- Nếu chỉ mỗi ac ≤ 0 chúng ta chưa thể kết luận được phương trình có nghiệm, chẳng hạn 
với phương trình 2 1 0 m x mx có ac = - m2 ≤ 0 nhưng với m = 0 thì phương trình đó có 
dạng 0x = 1 (vô nghiệm). 
2. Nghiệm nguyên, nghiệm hữu tỷ của phƣơng trình bậc hai 
Thí dụ 4. Cho phương trình 2 2 4 0x mx m . Tìm m nguyên để phương trình có hai 
nghiệm nguyên. 
(Trích đề thi HSG tỉnh Quảng Bình năm học 2012-2013) 
Hƣớng dẫn giải 
Ta có: 2 2' 4 4 m m m m
Để phương trình có nghiệm nguyên thì ' phải l| số chính phương. 
Do đó: 
2 2
2 2
2 2
4
4 4 16 4
2 1 4 15
2 1 2 2 1 2 15
m m k k Z
m m k
m k
m k m k
Do k2 luôn lớn hơn 0 nên không ảnh hưởng tới gi{ trị cần tìm của m ta giả sử k ≥ 0, khi đó 
ta có: (2m – 1 + 2k) ≥ (2m – 1 – 2k). 
Vì thế ta có c{c trường hợp sau: 
2 1 2 1 4
)
2 1 2 15 4
2 1 2 3 1
)
2 1 2 5 2
2 1 2 5 0
)
2 1 2 3 2
2 1 2 15 3
)
2 1 2 1 4
m k m
m k k
m k m
m k k
m k m
m k k
m k m
m k k
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
8 
Thử lại c{c gi{ trị m = -3, m = 0, m = 1, m = 4 v|o phương trình ta thấy đều thỏa mãi điều 
kiện b|i to{n. 
Vậy khi m = -3, m = 0, m = 1, m = 4 phương trình có nghiệm nguyên. 
Cách khác: ta có thể vận dụng lý vi-ét như sau: 
 Gọi 1 2 1 2, ( )x x x x l| hai nghiệm nguyên của phương trình. 
Ta có: 
1 2 1 22 ; 4x x m x x m . 
Suy ra 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 8 2( ) 4 1 15 (2 1)(2 1) 15x x x x x x x x x x . 
TH1: 1 1
2 2
2 1 1 0
4
2 1 15 8
x x
m
x x
TH2: 1 1
2 2
2 1 5 2
0
2 1 3 2
x x
m
x x
TH3: 1 1
2 2
2 1 15 7
3
2 1 1 1
x x
m
x x
TH4: 1 1
2 2
2 1 3 1
1
2 1 5 3
x x
m
x x
Thử lại m = 0, m = 1, m = -3,m = 4 thỏa mãn điều kiện b|i to{n. 
Thí dụ 5. Tìm c{c số nguyên n để phương trình sau có c{c nghiệm v| số nguyên: 
 2 4 2 0 1 x n x n 
(Nâng cao phát triển Vũ Hữu Bình – tập 2) 
Hƣớng dẫn giải 
Ta có: 
2 2 24 4.2 16 8 8 16 n n n n n n
Để phương trình có nghiệm nguyên thì 
phải l| số chính phương. Do đó: 
2 2
2 2
16
16
16
n k k Z
n k
n k n k
Ta thấy (n + k) – (n – k) = 2k nên (n + k) và (n – k) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ. Do tích l| 
16 nên l| cùng chẵn. Mặt kh{c (n + k) ≥ (n – k) do đó: 
n + k 8 4 2 
n – k -2 -4 -8 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
9 
n 3 0 -3 
Thử lại c{ gi{ trị n = - 3, 0, 3 ta thấy đều thỏa mãi điều kiện phương trình có nghiệm 
nguyên. 
Vậy n = - 3, 0, 3 l| c{c gi{ trị cần tìm. 
Thí dụ 5. Cho phương trình a(a + 3)x2 - 2x - (a + 1)(a + 2) = 0 (a l| tham số, nguyên). 
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ. 
b) X{c định a để phương trình có c{c nghiệm đều nguyên. 
 (Trích đề Chuyên Phú Yên năm 2011-2012) 
Hƣớng dẫn giải 
 a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm hữu tỷ: 
- Với a(a+3) = 0 hay a = 0 hoặc a = -3: 
Phương trình trở thành: -2x -2 = 0 có nghiệm là x = -1 
- Với a(a+3) 0 hay a 0 và a -3 thì phương trình cho l| phương trình bậc hai. 
2
2 2 2
2
2
( 3) x 2 ( 1)( 2) 0
3 2 1 3 0
3 1 1 2 1 0
1 3 1 2 0
a a x a a
a a x x a a
a a x x x
x a a x
Nên phương trình cho có 2 nghiệm: 
1
2
1
( 1)( 2) 2
1
( 3) ( 3)
x
a a
x
a a a a
Vì a nguyên nên suy ra phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ. 
--------------------------- 
Cách khác: Nếu thí sinh tính 2 2' ( 3 1) 0,a a a  
 Vì a nguyên nên 2' 3 1a a là số nguyên 
 Vậy phương trình cho luôn có nghiệm hữu tỷ. 
b) X{c định a để các nghiệm của phương trình đều là nghiệm nguyên: 
- Nếu a = 0 hoặc a = -3: phương trình có 1 nghiệm nguyên x = -1. 
- Nếu a 0, a -3 phương trình đã cho l| phương trình bậc 2, ta có: 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
10 
2
2 2 2
( 3) x 2 ( 1)( 2) 0
3 2 1 3 0
a a x a a
a a x x a a
2
2
3 1 1 2 1 0
1 3 1 2 0
a a x x x
x a a x
Nên phương trình cho có 2 nghiệm: 
1
2
1
( 1)( 2) 2
1
( 3) ( 3)
x
a a
x
a a a a
Phương trình có nghiệm x1 = -1 nguyên nên để phương trình có c{c nghiệm đều nguyên 
thì x2 cũng phải là nghiệm nguyên. 
Nghĩa l|: 2 phải chia hết cho ( 3)a a . 
Khi đó ta có c{c khả năng xảy ra : 
2
2
2
2
3 2 0( 3) 2
( 3) 1 3 1 0
( 3) 2 3 2 0
( 3) 1 3 1 0
a aa a
a a a a
a a a a
a a a a
Vì a nguyên nên chỉ có phương trình 2 3 2 0a a có hai nghiệm nguyên 
 a = -1 hoặc a = -2 . 
Vậy: 3; 2; 1;0a thì phương trình cho có c{c nghiệm đều nguyên. 
3. Tìm giá trị của tham số để hai phƣơng trình có nghiệm chung 
Bài toán. Hai phương trình bậc hai 21 1 1 0 * a x b x c và 
2
2 2 2 0 ** a x b x c 
với 
1 2 1 2 1 2, , , , ,ca a b b c l| c{c tham số, x{c định gi{ trị của tham số để 2 phương trình có nghiệm 
chung. 
Phƣơng pháp giải. 
Bƣớc 1. Giả sử x0 l| nghiệm cung của hai phương trình khi đó: 
2
1 0 1 0 1
2
2 2 2
0 1
0 2
a x b x c
a x b x c 
Từ hệ phương trình ta x{c định được gi{ trị của tham số. 
Bƣớc 2. Thay gi{ trị của tham số v|o phương trình (*) v| (**) tính ra nghiệm chung v| kết 
luận. 
Thí dụ 5. Tìm gi{ trị của m để hai phương trình sau có nghiệm chung 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
11 
2
2
4 5 0 1
2 1 0 2
x m x m
x m x m
Hƣớng dẫn giải 
Giả sử x0 l| nghiệm chung của hai phương trình (1) v| (2), khi đó: 
2
0 0
2
0 0
4 5 0 1
2 1 0 2
x m x m
x m x m 
Trừ theo vế (1) v| (2) ta được: 
0 02 4 0 2 x x
Thay x0 = 2 v|o hệ ta được: m = 1. 
Thay m = 1 v|o phương trình (1) v| (2) ta được phương trình: 
 2 6 7 0 x x
và 2 4 3 0 x x
hai phương trình trên có nghiệm chung l| 2. 
Vậy m = 1 l| gi{ trị cần tìm. 
Thí dụ 5. Cho hai phương trình: 
2
2
1 0 3
0 4
x mx
x x m 
Tìm gi{ trị của m để: 
a) Hai phương trình có nghiệm chung. 
b) Hai phương trình tương đương.
Hƣớng dẫn giải 
a) Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình (3) v| (4), khi đó: 
2
0 0
2
0 0
1 0 3
0 4
x mx
x x m 
Trừ theo vế (3) v| (4) ta được: 
 00 0 0
1
1 0 1 1 0
1
x
mx x m x m
m 
Thay x0 = 1 v|o hệ ta được: m = -2. 
Thử lại: 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
12 
- Thay m = 1 v|o phương trình (3) v| (4) ta đều được phương trình: 2 1 0 x x
vô 
nghiệm nên loại. 
- Thay m = -2 v|o phương trình (1) v| (2) ta được phương trình: 
 2 2 1 0 x x
và 2 2 0 x x
hai phương trình trên có nghiệm chung l| x = 1. 
Vậy m = -2 l| gi{ trị cần tìm. 
b) Hai phương trình tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. 
Trƣờng hợp 1: Hai phương trình đã cho đều vô nghiệm: 
2
3
4
4 0 1
2.
41 4 0
m
m
m 
Trƣờng hợp 2: Hai phương trình có nghiệm chung, theo c}u a nếu m = -2 thì (3) v| (4) đều 
có nghiệm chung l| 1 nhưng phương trình (3) chỉ có 1 nghiệm l| x = 1 còn phương trình 
(4) có nghiệm là x = 1 và x = - 2, nên chúng không cùng tập nghiệm, nên chúng không 
tương đương. 
Vậy phương trình (3) v| (4) tương đương khi: 
1
2
4
 m 
Thí dụ 5. Tìm gi{ trị của m để phương trình sau có 4 nghiệm ph}n biệt: 
 4 2 22 0 5 x mx x m m
Hƣớng dẫn giải 
Phương trình (5) tương đương: 
2
2 2
2
1 0 6
1 0
0 7
x x m
x x m x x m
x x m 
Để phương trình (5) có 4 nghiệm ph}n biệt thì phương trình (6) v| (7) đều phải có 2 
nghiệm ph}n biệt v| c{c nghiệm của 2 phương trình n|y không được trùng nhau. 
Điều kiện để phương trình (6) v| (7) có 2 nghiệm ph}n biệt l|: 
5
6
4 3 0 3
.
4 1 0 4
m
m
m 
Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình (6) v| (7), khi đó: 
2
0 0
0 02
0 0
1 0 1 3
2 1 0 .
2 40
x x m
x x m
x x m 
Vậy phương trình có 4 nghiệm ph}n biệt thì 
3
.
4
 x 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
13 
3. Chứng minh trong một hệ các phƣơng trình bậc hai có ít nhất một phƣơng trình có 
nghiệm. 
Phƣơng pháp: Để chứng minh có ít nhất một phương trình bậc hai trong hệ phương trình 
bậc hai có nghiệm ta chứng minh tổng c{c biệt thức delta lớn hơn hoặc bằng 0. 
Thí dụ 5. Cho a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 6. Chứng minh rằng ít nhất một 
phương trình sau có nghiệm: 
2
2
2
1 0 1 ;
1 0 2 ;
1 0 3 .
x ax
x bx
x cx
Hƣớng dẫn giải 
Ba phương trình lần lượt có: 
2 2 2
1 2 34, 4, 4 a b c 
Do đó: 2 2 21 2 3 12 a b c 
Theo bất đẳng thức AM-GM thì: 
2 2 2
1 2 3
2 2 2
12
4 4 4 24
2 2 2 2 2 2 24
4 24
4 24
4.6 24
0
a b c
a b c
a b c
a b c
a b c
 Do đó: 1 2 3 0. tổng 3 biệt số delta của 3 phương trình bằng lớn hơn 0 nên có ít 
nhất một biệt số delta lớn hơn bằng 0. 
Vậy trong 3 phương trình có một phương trình có nghiệm. 
Thí dụ 5. Cho hai phương trình và với l| c{c số 
thực. Chứng minh nếu thì ít nhất một trong hai phương trình đã cho có 
nghiệm. 
(Chuyên Tây Ninh năm 2019-2020) 
2
6 2 0x ax b 2 4 3 0x bx a ,a b
3 2 2a b 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
14 
Hƣớng dẫn giải 
Ta có: 
Do nên 
Suy ra có ít nhất một trong hai giá trị không âm hay ít nhất một trong hai phương 
trình đã cho có nghiệm. 
3. Ứng dụng của phƣơng trình bậc hai trong việc chứng minh bất đẳng thức và tìm giá 
trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất. 
Phƣơng pháp: Để một phương trình bậc 2 có nghiệm thì ta cần có biệt thức 0 , vận 
dụng linh hoạt điều n|y chúng ta có thể tìm được miền gi{ trị của một biểu thức. 
Thí dụ 5. Tìm gi{ trị nhỏ nhất của y = x2 + 3x – 1.
Hƣớng dẫn giải 
Ta có x2 + 3x – 1 – y = 0. (1) 
Để phương trình (1) có nghiệm thì: 2
13
3 4 1 13 4 0
4
 y y y 
Dấu “=” xảy ra khi = 0 hay 
3
.
2
 x 
Vậy Min y = 
13
4
khi
3
.
2
 x 
Thí dụ 5. Tìm gi{ trị lớn nhất v| nhỏ nhất của biểu thức: 
2
2
1
1
x
P
x x
Hƣớng dẫn giải 
Ta có 
2
2 1 31 0,
2 4
x x x do đó P luôn x{c định với mọi x. 
Ta có: 
2
2
2
1
1 1 0
1
x
P P x Px P
x x
Với P = 1 thì x = 0. 
Với P ≠ 1, ta có: = P2 – 4(P – 1)2 = -3P2 + 8P – 4. 
 ≥ 0 ⇔ 
2
0 1
3
 P hoặc P ≤ 2 (2) 
2 2
1 2
9 2 , 4 3a b b a 
2 2
1 2
3 1 2 1 3 2 2a b a b 
3 2 2a b 
1 2
0 
1 2
, 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
15 
Dấu bằng ở (1) xảy ra khi x = -1. 
Dấu bằng ở (2) xảy ra khi x = -1. 
Vậy MinP = 
2
3
 khi x = - 1, MaxP = 2 khi x = 1. 
Thí dụ 5. Tìm gi{ trị lớn nhất v| gi{ trị nhỏ nhất của biểu thức 
3 1
xy
P
y
 với x, y l| c{c 
số thực thỏa mãn: x2y2 + 2y + 1 = 0. 
Hƣớng dẫn giải 
Ta có: 
2 2
2 2 12 1 0 .
2
x y
x y y y 
 2 22 22 2
2 2
3 2 0 1
3 13 1 1
xy xy
P Px y xy P
x yx y
Trƣờng hợp 1: P = 0 thì xy = 0. 
Trƣờng hợp 2: P ≠ 0 ta có (1) l| phương trình bậc hai với ẩn l| xy, do đó để phương trình 
có nghiệm thì: 2
1 1
4 12 0 .
3 3
 P P = 4 – 12P2 ≥ 0 ⇔ - 
√ 
 ≤ P ≤ 
√ 
. 
Vậy MaxP = 
1
3
 thì 
3 2
, .
2 3
 x y 
MinP = 
1
3
 thì 
1 2
, .
33
 x y 
Thí dụ 5. Tìm số thực x, y, z thỏa mãn: 
x + y + z = 1 (1) và x2 + 2y2 + 3z2 = 4 (2) 
sao cho x đạt gi{ trị lớn nhất. 
Hƣớng dẫn giải 
Từ (1) suy ra z = 1 – x – y, thay v|o biến đổi ta được 
5y2 + 6(x – 1)y + 4x2 - 6x – 1 = 0. (3) 
Để phương trình (3) có nghiệm thì: 
 = 9(x – 1)2 – 20x2 + 30x + 5 = -11x2 + 12x + 14 ≥ 0 
6 190 6 190
11 11
 x 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
16 
 Vì x đặt gi{ trị lớn nhất nên 
6 190 15 3 190 10 2 190
; .
11 55 55
 x y z
CHỦ ĐỀ 2. KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT 
A/ KIẾN THỨC VÀ KỸ NĂNG CẦN NHỚ 
1.Định lý thuận: 
Nếu phương trình 2 0ax bx c 0a có hai 1 2,x x thì: 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
17 
1 2
1 2.
b
S x x
a
c
P x x
a
2.Định lý đảo: 
Nếu có hai số 1 2,x x thỏa mãn 
1 2
1 2
x x S
x x P
 thì chúng l| nghiệm của pt: 2 0 t St P 
( Điều kiện để tồn tại hai số 1 2,x x là 
2 4 0S P ) 
Chú ý: Tước khi {p dụng hệ thức Vi-ét cần tìm điều kiện để pt có hai nghiệm 
 '
0
0 0
a 
B/ CÁC ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ VI-ÉT: 
I.GIẢI PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI BẰNG CÁCH TÍNH NHẨM NGHIỆM: 
1) Phƣơng pháp: 
Từ định lý Vi-ét ta có: Nếu phương thình bậc hai 
2
0ax bx c có: 
+) 0a b c thì phương trình có nghiệm l| 
1 21,
c
x x
a
+) 0a b c thì phương trình có nghiệm l| 
1 21,
c
x x
a
2) Ví dụ minh họa. 
Thí dụ 5. Giải c{c phương trình sau: 
2
2
2
2
)1,5 1,6 0,1 0
) 2 3 2 3 2 3 0
) 3 1 3 1 0
) 1 2 3 4 0( 1)
a x x
b x x
c x x
d m x m x m m
( Bài 31-SGK Toán 9,tập 2) 
Hƣớng dẫn giải 
Nhận xét: Đa số HS khi gặp yêu cầu giải phương trình thường tính ngay hoặc ' mà 
không để ý đến c{c trương hợp đặc biệt 0a b c hoặc 0a b c . Thậm chí có em khi 
gặp phương trình có c{c hệ số l| số vô tỷ như pt b), c) hoặc pt có chứa tham số như pt d) 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
18 
thì tỏ ra {i ngại. Rõ r|ng nếu ta để ý sẽ thấy c{c pt trong VD trên đều có dạng đặc biệt có 
thể nhẩm nghiệm ngay m| không phải tính hoặc ' 
)a Vì pt đã cho có 1,5 ( 1,6) 0,1 0a b c nên pt có hai nghiệm l| : 
 1 2
0,1 1
1,
1,5 15
x x . 
)b Vì pt đã cho có 2 3 2 3 2 3 0a b c nên pt có hai nghiệm l|: 
2
1 2 2
2
2 3(2 3)
1, 7 4 3
2 3 2 3
x x
)c Vì pt đã cho có 3 1 3 1 0a b c nên pt có hai nghiệm l|: 
 1 2
( 1) 1 3
1,
33 3
x x
)d Vì 1m nên pt đã cho l| pt bậc hai, có 1 2 3 4 0a b c m m m nên pt có 
hai nghiệm l|: 
1 2
4
1,
1
m
x x
m
. 
Trong trường hợp giải pt đơn giản ta cũng có thể nhẩm nghiệm dựa v|o định lý Vi-ét: 
Thí dụ 5. Giải phương trình: 
2) 7 10 0a x x 2) 8 15 0b x x 
Hƣớng dẫn giải 
 )a Vì 2 5 7;2.5 10 nên 1 22, 5x x l| nghiệm của pt đã cho. 
 )b Vì 3 5 8; 3 . 5 15 nên 1 23, 5x x l| nghiệm của pt đã cho. 
Như vậy trước khi HS giải pt, gi{o viên cần tạo cho HS thói quen nhẩm nghiệm trước khi 
tính theo công thức nghiệm. 
II.TÍNH GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC GIỮA CÁC NGHIỆM CỦA PHƢƠNG TRÌNH 
BẬC HAI 
1) Phƣơng pháp: Nếu phương trình 2 0( 0)ax bx c a có hai nghiệm 1 2,x x thì ta có 
thể biểu thị c{c biểu thức đối xứng giữa c{c nghiệm theo 1 2S x x và 1 2.P x x 
Ví dụ: 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
19 
22 2 2
1 2 1 2 1 2
22 2
1 2 1 2 1 2
33 3 3
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
2 2 2
1 2 1 2
2 1 1 2
2 2 2
1 2
2 2 2 2 2
1 2 1 2
2 2
( ) 4 4
3 3
2 2 2
1 1
2
1 1 2
x x x x x x S P
x x x x x x S P
x x x x x x x x S SP
x x x x x x S P P
x x S
x x x x P
x x x x S P
x x x x P
x x S P
x x x x P
x
2
1 2 1 2 1 2
1 2
2
1 2 1 2
21 1 2
x x x x x
x x S
x x x x P S
Chú ý: Khi tính gi{ trị của một biểu thức giữa c{c nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho 
trong biểu thức đó xuất hiện tổng v| tích c{c nghiệm rồi {p dụng định lý Vi-ét để giải. 
2) Ví dụ minh họa: 
Thí dụ 5. Cho 1 2,x x l| hai nghiệm của phương trình: 
2 1 0x x 
a) Hãy tính 2 21 2x x 
b) Chứng minh 2 2 4 41 2 1 2Q x x x x chia hết cho 5 
(Trích bài trong báo Toán học & Tuổi thơ) 
Hƣớng dẫn giải 
Phương trình đã cho có hai nghiệm ph}n biệt vì 1 0ac 
Theo định lý Vi-ét ta có 1 2 1 21, 1x x x x 
a) 
22 2 2
1 2 1 2 1 22 1 2.( 1) 3x x x x x x 
b) 
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 22 3 3 2.( 1) 10 5Q x x x x x x Q 
Chú ý : Ta có thể chứng minh biểu thức 2008 2008 2010 20101 2 1 2M x x x x cũng chia hết cho 5. 
Thí dụ 5. Cho phương trình: 2 1 0x ax a có hia nghiệm l| 1 2,x x . Không giải 
phương trình hãy tính gi{ trị biểu thức: 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
20 
2 2
1 1 2 2
2 2
1 2 1 2
2 2x x x x
M
x x x x
Hƣớng dẫn giải 
Trước hết ta kiểm tra xem phương trình đã cho có nghiệm hay không. 
 Ta có: 
22( ) 4 1 2 0a a a phương trình đã cho có hai nghiệm 1 2,x x . 
{p dụng định lý Vi-et ta có: 1 2 1 2; 1x x a x x a 
22 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 5 2 5 1 2 5 5
1 1
x x x x x x x x a a a a
M
x x x x x x x x a a a a
Thí dụ 5. Gọi 1, 2x x l| c{c nghiệm của phương trình: 
2 6 1 0x x . Ký hiệu 1 2
n n
nS x x 
với n l| số nguyên dương. 
a) Tính 1 2 3, ,S S S . 
b) Tìm một hệ thức giữa 1 2, ,n n nS S S . 
(Bài 281, sách Nâng cao, phát triển toán 9, tập 2) 
Hƣớng dẫn giải 
 Phương trình: 2 6 1 0x x có 
2
6 4 32 0 nên phương trình có hai nghiệm 
ph}n biệt 1 2,x x . 
Theo Vi-ét ta có: 1 2 1 26; . 1x x x x 
a) Ta có: 
1 1 2
22 2 2
2 1 2 1 2 1 2
33 3 3
3 1 2 1 2 1 2 1 2
6
2 6 2.1 34
3 6 3.1.6 198
S x x
S x x x x x x
S x x x x x x x x
b) Ta có: 2 2 1 12 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 16n n n n n nn n nS x x x x x x x x x x S S . 
Chú ý: Ta còn chứng minh được trường hợp tổng qu{t: phương trình bậc hai 
2 0( 0)ax bx c a có hai nghiệm 1 2,x x với 1 2
n n
nS x x thì 1 2, ,n n nS S S liên hệ với nhau 
bởi hệ thức: 2 1. . . 0n n na S b S c S . 
Vận dụng hệ thức trên cho ta lời giải thú vị của nhiều b|i to{n . 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
21 
Thí dụ 5. Cho ,a b l| nghiệm của phương trình 230 4 2010x x . tính gi{ trị của biểu 
thức: 
 2010 2010 2009 2009
2008 2008
30 4a b a b
M
a b
Hƣớng dẫn giải 
Ta thấy phương trình đã cho có 0 nên phương trình có hai nghiêm ph}n biệt 
1 2;
n n
nx a x b S a b . 
{p dụng hệ thức ở chú ý trên ta có 2 1. . . 0n n nA S B S C S 
Ta có: 
2008 2008
2009 2009
1
2010 2010
2
2 1
2 1
30 4 2010 0
30 4 2010
2010
2010
n
n
n
n n n
n n n
n
n
S a b
S a b
S a b
S S S
S S S
S
M
S
Thí dụ 5. Tính gi{ trị của c{c biểu thức: 
6 6
2 3 2 2 3 2A 
6 6
1 1
2 3 2 2 3 2
B 
Hƣớng dẫn giải 
 Đặt 1 22 3 2, 2 3 2x x thì 1 2 1 24; 14x x x x do đó 1 2,x x l| hai nghiệm của 
phương trình 2 4 14 0x x . Khi đó hệ thức ở chú ý trên có dạng: 2 14 14n n nS S S .Ta 
tính được: 
1 2 3
4
5
6
6
6
4, 44, 4.44 14.4 232
4.232 14.44 1544
4.1544 14.232 9424
4.9424 14.1544 59312
59312 3707
14 16.47059 47059
S S S
S
S
A S
S
B
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
22 
III.TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ TÍCH 
1) Phƣơng pháp: {p dụng định lý Vi-ét đảo: Nếu hai số ,u v có 
.
u v S
u v P
 thì ,u v là 
nghiệm của phương trình: 2 0x Sx P . 
Điều kiện để tồn tại hai số ,u v là 2 4S P . 
Chú ý: C{c hệ phương trình 
2 2 2 2 3 3
; ;
.
u v a u v a u v a
u v b u v b u v b
 đều có thể đưa về hệ 
.
u v S
u v P
2) Ví dụ minh họa: 
Thí dụ 5. Tính c{c kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích v| chu vi của nó 
theo thứ tự l| 22a và 6a . 
(Bài 39-SGK Toán 9 Tập 2, trang 129) 
Hƣớng dẫn giải 
Gọi c{c kích thước của hình chữ nhật l| ,x y , 0x y . Theo bài ra ta có: 
2
3
. 2
x y a
x y a
Suy ra ,x y l| hai nghiệm của phương trình: 2 23 2 0t at a 
Ta có 
2 2 23 4.2a a a 1 2; 2t a t a . 
Vậy c{c kích thước của hình chữ nhật l| , 2a a . 
Thí dụ 5. Tìm hai số ,u v trong c{c trường hợp sau: 
2 2
) 4; . 19
) 10; . 24
) 85; 18
a u v u v
b u v u v
c u v uv
Hƣớng dẫn giải 
)a Ta có ,u v l| hai nghiệm của phương trình: 
2 4 19 0x x . Ta có ' 2( 2) 19 15 0 phương trình vô nghiệm . 
Vậy không tìm được hai số ,u v . 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
23 
)b Ta có : 
2 2 2 2
4 4 100 4.24 196u v u v uv u v u v uv 
14u v hoặc 14u v . 
Trường hợp 1: 
14
,
. 24
u v
u v
u v
 l| hai nghiệm của phương trình: 2 14 24 0t t . 
Ta có ' 2( 7) 24 25 0 phương trình có hai nghiệm ph}n biệt 
1 212; 2 12, 2t t u v vì 10u v . 
Trường hợp 2: 
14
,
. 24
u v
u v
u v
 l| hai nghiệm của phương trình: 2 14 24 0t t . 
Ta có ' 49 24 25 0 phương trình có hai nghiệm ph}n biệt 
1 212; 2t t 2, 12u v vì 10u v . 
Vậy 
12
2
u
v
 hoặc 
2
12
u
v
Chú ý : Ta có thể giảI c{ch kh{c như sau; 
Ta có 
10 ( ) 10
,
24 .( ) 24
u v u v
u v
uv u v
 l| hai nghiệm của phương trình: 2 10 24 0t t . 
Ta có ' 2( 5) ( 24) 49 0 phương trình có hai nghiệm ph}n biệt 1 22, 12t t 
2
12
u
v
 hoặc 
12
2
u
v
Vậy 
12
2
u
v
 hoặc 
2
12
u
v
)c Ta có 
2 2 2 2 85 36 121 11u v u v uv u v hoặc 11u v . 
Giải tiếp ta được 
9
2
u
v
 hoặc 
2
9
u
v
 hoặc 
9
2
u
v
 hoặc 
2
9
u
v
. 
Thí dụ 5. Tìm c{c số ,p q của phương trình 2 0x px q sao cho c{c nghiệm 1 2,x x của 
nó thỏa mãn điều kiện 
1 2
3 3
1 2
5
35
x x
x x
. 
Hƣớng dẫn giải 
Theo định lý Vi-ét ta có 
1 2
1 2.
x x p
x x q
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
24 
Suy ra 
2 2 2
1 2 1 2 1 2
23 3 2 2
1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 2
1 2 1 2
4 4 25
5 35
7
x x x x x x p q
x x x x x x x x x x x x
x x x x p q
Ta có hệ: 
2
2
4 25
7
p q
p q
Giải hệ trên ta được 
1
6
p
q
 và 
1
6
p
q
 đều thỏa mãn điều kiện 2 4 0p q 
Vậy ; 1; 6p q hoặc 1; 6 
IV. PHÂN TÍCH TAM THỨC BÂC HAI THÀNH NHÂN TỬ 
1) Phƣơng pháp: Giả sử phương trình 2 0 * 0ax bx c a có 0 . 
Khi đó theo Vi-ét ta có: 
1 2 1 2; .
b c
x x x x
a a
 . 
Do đó: 
 2 2 2 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2
b c
ax bx c a x x a x x x x x x a x x x x x x x a x x x x
a a
Vậy nếu phương trình bậc hai 2 0ax bx c có hai nghiệm 1 2,x x thì ta có: 
 2 1 2ax bx c a x x x x 
Thí dụ 5. Ph}n tích th|nh nh}n tử: 
2
2
)2 5 3
)3 8 2
a x x
b x x
Hƣớng dẫn giải 
a) Phương trình đã cho có hai nghiệm 
1 2
3
1,
2
x x .Do đó ta có: 
 2
3
2 5 3 2 1 1 2 3
2
x x x x x x
. 
b)Phương trình đã cho có hai nghiệm l| 1 2
4 10 4 10
;
3 3
x x
 . Do đó ta có: 
2 4 10 4 103 8 2 3
3 3
x x x x
 ứng dụng n|y hs r}t hay sử dung để ph}n tích c{c mẫu th|nh nh}n tử trong c{c b|i tập 
rút gọn 
 Website:tailieumontoan.com 
Trịnh Bình sưu tầm và tổng hợp TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
25 
V.TÌM ĐIỀU KIỆN CỦA THAM SỐ ĐỂ PHƢƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ MỘT 
NGHIỆM 1 x x CHO TRƢỚC. TÌM NGHIỆM THỨ HAI. 
1) Phƣơng pháp: 
 Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm 1x x cho trước ta co thể l|m như sau: 
Cách 1: 
 - Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm 
 '0 0 (*) 
- Thay 1x x v|o phương trình đã cho tìm gi{ trị của tham số 
- Đối chiếu gi{ trị vừa tìm được với điều kiện (*) để kết luận 
Cách 2: - Thay 1x x v|o phương trình đã cho tìm được gi{ trị của tham số. 
- Thay gi{ trị tìm được của tham số v|o phương trình v| giảI phương trình 
 Nếu sau khi thay gi{ trị của tham số v|o phương trình đã cho m| có 0 thì kết 
luận không có gi{ trị n|o của tham số để phương trình có nghiệm 1x cho trước 
 Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể l|m như sau; 
Cách 1: Thay gi{ trị của tham số tìm được v|o phương trình rồi giải phương trình 
Cách 2: Thay gi{ trị của tham số tìm được v|o công thức tổng 2 nghiệm để tìm nghiệm thứ 
hai. 
Cách 3: Thay gi{ trị của tham số tìm được v|o công thức tích hai nghiệm để tìm nghiệm 
thứ hai. 
Thí dụ 5. Với gi{ trị n|o của k thì: 
a) Phương trình 22 10 0x kx có một nghiệm 2x . Tìm nghiệm kia 
b) Phương trình 25 2 2