Giáo trình Bộ đề thi học sinh giỏi Toán THCS Quận, Huyện, Thành phố Hà Nội

Tailieumontoan.com 
 
 Trịnh Bình sưu tầm tổng hợp 
BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
 QUẬN, HUYỆN, THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
Thanh Hóa, ngày 4 tháng 4 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 1 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI 
HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
LỜI NÓI ĐẦU 
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh luyện thi học sinh giỏi 
môn toán lớp 9, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em bộ đề thi học sinh giỏi 
toán lớp 9 thành phố Hà Nội qua các năm có hướng dẫn một số đề. Đây là bộ đề thi mang tính chất 
thực tiễn cao, giúp các thầy cô và các em học sinh luyện thi học sinh giỏi lớp 9 có một tài liệu bám 
sát đề thi để đạt được thành tích cao, mang lại vinh dự cho bản thân, gia đình và nhà trường. Bộ đề 
gồm nhiều Câu toán hay được các thầy cô trên cả nước sưu tầm và sáng tác, ôn luyện qua sẽ giúp 
các em phát triển tư duy môn toán từ đó thêm yêu thích và học giỏi môn học này, tạo được nền 
tảng để có những kiến thức nền tốt đáp ứng cho việc tiếp nhận kiến thức ở các lớp, cấp học trên 
được nhẹ nhàng và hiệu quả hơn. 
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng có thể dùng tuyển tập đề toán này để 
giúp con em mình học tập. Hy vọng Tuyển tập đề thi học sinh giỏi lớp 9 thành phố Hà Nội này sẽ 
có thể giúp ích nhiều cho học sinh phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. 
Bộ đề này được viết theo hình thức Bộ đề ôn thi, gồm: đề thi và hướng dẫn giải đề ngay 
dưới đề thi đó dựa trên các đề thi chính thức đã từng được sử dụng trong các kì thi học sinh giỏi 
toán lớp 9 của thành phố Hà Nội. 
 Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian, trí tuệ song không thể tránh khỏi những hạn chế, 
sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! 
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ bộ đề này! 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
MỤC LỤC 
Phần 1: Đề thi các quận thành phố Hà Nội 
Đề số Đề thi Trang 
1. Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vòng 1) 
2. Đề thi huyện Trương Mỹ năm 2019-2020 (vòng 2) 
3. Đề thi huyện Thường Tín năm 2019-2020 
4. Đề thi huyện Ba Vì năm 2019-2020 
5. Đề thi huyện Cầu Giấy năm 2019-2020 
6. Đề thi huyện Thanh Xuân năm 2019-2020 
7. Đề thi huyện Đan Phượng năm 2018-2019 
8. Đề thi huyện Ba Vì năm 2017-2018 
9. Đề thi huyện Ba Đình năm 2017-2018 
10. Đề thi huyện Ba Đình năm 2016-2017 
11. Đề thi huyện Bắc Từ Liêm năm 2018-2019 
12. Đề thi huyện Đan Phượng năm 2018-2019 
Phần 2: Đề thi thành phố Hà Nội 
Đề số Đề thi Trang 
13. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2019- 2020 
14. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2018- 2019 
15. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2017- 2018 
16. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2016- 2017 
17. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2015- 2016 
18. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2014- 2015 
19. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2013- 2014 
20. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2012- 2013 
21. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2011- 2012 
22. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2010- 2011 
23. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2009- 2010 
24. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2008- 2009 
25. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2007- 2008 
26. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2006- 2005 
27. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2004- 2005 
28. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2003- 2004 
29. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2002- 2003 
30. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2001- 2002 
31. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 2000- 2001 
32. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1999- 2000 
33. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1998- 1999 
34. Đề thi HSG thành phố Hà Nội năm 1997- 1998 
Phần 2: Hướng dẫn giải 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
Phần 1: Đề thi học sinh giỏi các quận, huyện 
PHÒNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ 
Đề số 1 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1: (1,25 điểm). Tìm số ,a b trong sơ đồ sau: 
 b 
 a 9 
 6 8 14 
 9 7 13 19 
12 10 8 22 20 
Câu 2: (5,0 điểm) Cho biểu thức 1 1
42 2
xA
xx x
= + −
−− +
1) Tìm x để 1A < . 
2) Biết ( )1 19 8 3 19 8 3 12A = ⋅ + + − − , hãy tính giá trị của ( )
3 : 2
2
xB A
x
+
=
−
. 
3) Tìm giá trị của x nguyên để biểu thức 3:
2
xP A
x
−
=
−
 nhận giá trị nguyên? 
4) Tìm x để ( ). 2 5 4 16 9A x x x x x− + = + + + + − 
Câu 3: (3,25 điểm). 
1) Tìm m để phương trình: 2 1
1
x x
x m x
+ +
=
− −
 vô nghiệm. 
2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ( )2 1y x x= + − với 0 1x≤ ≤ . 
3) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1 1 1 1
6 6x y xy
+ + = 
Câu 4: (3,5 điểm) 
1) Cho 2 1x − = , hãy tính giá trị của 5 4 3 23 4 6 2022D x x x x x= − − − + + . 
2) Tìm ,a b để ( ) 3 23 9P x x ax bx= + + + chia hết cho ( ) 2 9Q x x= − . 
3) Cho , ,a b c là ba số thực bất kỳ. Chứng minh đẳng thức: 
22 2 2
3 3
a b c a b c+ + + + ≥  
 
Câu 5: (2,0 điểm) Cho ABC∆ nhọn. Các đường cao , ,AD BE CF của ABC∆ cắt nhau tại H. 
1) Chứng minh rằng ABC∆ đồng dạng với AEF∆ . 
2) Gỉa sử 45oBAC = , hãy tính diện tích tứ giác BCEF , biết diện tích ABC∆ là 260cm 
3) Chứng minh rằng: 
2 2 2
2 2 2
DC AC BC AB
BD BC AB AC
+ −
=
+ −
. 
4) Chứng minh rằng: H cách đều ba cạnh của DEF∆ . 
5) Chứng minh rằng: 3AH BH CH
BC AC AB
+ + ≥ 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
PHÒNG GD&ĐT TRƯƠNG MỸ 
Đề số 2 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN (Vòng 2) 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Câu 1 (3,0 điểm) 
1. Chứng minh rằng: ( )2019 20202019 2021 2020+  . 
2. Tìm các số tự nhiên n để 24n + và 65n − là số chính phương. 
Câu 2 (4,0 điểm) Cho 
1
x y xyH
x y xy y x xy x y x xy y
= − −
+ − − + + + + − −
 . 
Tìm ,x y nguyên để 20H = . 
Câu 3 (3,0 điểm) 
1. Cho các số , , , , ,a b c x y z dương thỏa mãn: 1
yx z
a b c
+ + = và 0a b c
x y z
+ + = . 
Tính giá trị của biểu thức 2019x y zM
a b c
= + + + . 
2. Giải phương trình: ( )22 16 6 4 8x x x x+ − = + . 
Câu 4 (4,0 điểm) 
1. Tìm ,a b để ( ) ( )4 3 22 4 2f x x x x x a b= + − + − + + viết thành bình phương của một đa 
thức. 
2. Cho ,a b là các số dương thỏa mãn ( )( )1 1 4,5a b+ + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
4 41 1Q a b= + + + . 
3. Cho , ,a b c dương sao cho 1a b c
b c a
+ + = . Chứng minh: 1b c a
a b c
+ + ≤ . 
Câu 5 (7,0 điểm) 
1. Cho tam giác ABC vuông tại A ( )AB AC< , đường cao AH ( H thuộc BC ). Kẻ ,HD HE 
lần lượt vuông góc với ,AB AC ( D thuộc AB , E thuộc AC ). Đường thẳng qua A vuông 
góc với DE cắt BC tại I . 
a) Chứng minh: I là trung điểm của BC . 
b) Kẻ đường thẳng vuông góc với AI tại A cắt đường thẳng BC tại K . Chứng minh AB 
là tia phân giác của góc KAH . 
c) Chứng minh: 2. .AD BD AE EC AI+ ≤ . 
2. Cho tam giác ABC , kẻ các đường phân giác trong , ,AD BE CF của tam giác ABC . 
a) Chứng minh 2. .AB BD BD DC AD− = . 
b) Chứng minh: 
1 1 1 1 1 1
AB AC BC AD BE CF
+ + < + + . 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
PHÒNG GD&ĐT THƯỜNG TÍN 
Đề số 3 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Bài 1. Cho biểu thức: 1 1 2 1 2:
11 1
x x x x x xP
xx x x x
 + − + − 
= − +    −− +   
. 
 a) Rút gọn P . 
 b) Chứng minh: 1P > . 
Bài 2. Giải phương trình: 
4 1 3 6 1 8 1x x x x− − + + − − + = . 
Bài 3. 
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2 3 2 36 3 10 2x y x y+ − = − . 
2) Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn điều kiện: 2x y z+ + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2x y zP
y z z x x y
= + +
+ + +
. 
Bài 4: 
1. Cho hai đường tròn ( );O R và đường tròn ( ); / 2O R′ tiếp xúc ngoài nhau tại A . 
Trên đường tròn ( )O lấy điểm B sao cho AB R= và điểm M trên cung lớn 
AB . Tia MA cắt đường tròn ( )O′ tại điểm thứ 2 là N . Qua N kẻ đường thẳng 
song song với AB .cắt đường thẳng MB tại Q và cắt đường tròn ( )O′ ở P . 
a) Chứng minh tam giác OAM đồng dạng tam giác O AN′ . 
b) Tính NQ theo R . 
 c) Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác ABQN đạt giá trị lớn nhất tính giá 
trị lớn nhất theo R . 
2. Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó. Các tia AO , BO , 
CO cắt các cạnh BC , , CA AB theo thứ tự tại , , M N P . Chứng minh rằng: 
2OA OB OC
AM BN CP
+ + = . 
Bài 5: Cho hai số dương x,y thỏa mãn điều kiện 3 3x y x y+ = − . 
Chứng minh rằng 2 2 1x y+ ≤ . 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
PHÒNG GD&ĐT BA VÌ 
Đề số 4 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Câu 1: 1) Cho biểu thức 
2
2 3 2 2
3 11
5 6 8 12 2
8 3:
4 3
xP
x x x x
x x
x x
 +
= + − − + + − − + 
a) Rút gọn P 
b) Tìm các giá trị của x để 0; 1P P= = 
c) Tìm các giá trị của x để 0P > 
2) Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 3 26 9 2A n n n= − + − là một số nguyên 
tố. 
Câu 2: 1) Giải các phương trình: 2 22 2 6 8 1 3x x x x− + + − − − = + 
2) Cho ba số , ,a b c thỏa mãn 1 1 1 1
a b c a b c
+ + =
+ +
Tính giá trị của biểu thức ( )( )( )27 27 41 41 2019 2019Q a b b c c a= + + + 
Câu 3: 1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n cho trước, không tồn tại số nguyên 
dương x sao cho ( ) ( )1 2x x n n+ = + 
2) Cho ba số dương , ,a b c thỏa mãn 1abc = . 
Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1
2 3 2 3 2 3 2
A
a b b c c a
= + + ≤
+ + + + + +
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A , đường cao AH , lấy điểm E bất kì trên AB , kẻ 
HF vuông góc với HE ( F thuộc AC ). 
a) Chứng minh . .HE BC EF AB= 
b) Cho 6 , 8AB cm AC cm= = , diện tích tam giác HEF bằng 26cm . Tính các cạnh của 
tam giác HEF . 
c) Khi điểm E chạy trên AB thì trung điểm I của EF chạy trên đường nào? 
Câu 5: Cho ABC∆ nhọn. Phân giác của A và C cắt nhau ở O . Trên tia AB lấy điểm E sao 
cho 2 .AO AE AC= . Trên tia BC lấy F sao cho 2 .CO CF AC= . Chứng minh , ,E O F thẳng 
hàng. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
PHÒNG GD&ĐT CẦU GIẤY 
Đề số 4 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Câu 1: (5 điểm) 
1. Cho biểu thức P = 2
11
x x x x x x
xx x
 + − +
− 
−− 
.
1
2 1
x
x x
−
+ − 2 1
x
x
+
−
. 
a) Tìm điều kiện của x để biểu thức P có nghĩa và rút gọn P . 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P . 
2. Cho 3 số dương , ,x y z thỏa mãn: 3 3 3x y z+ + 2 2 2( ) ( ) ( )x y y z z x= − + − + − . 
a) Tính x y z+ + biết 9xy yz zx+ + = . 
b) Chứng minh rằng nếu ;z x≥ z y≥ thì z x y> + . 
Câu 2: (5 điểm) 
1. Giải phương trình: 29 33 28x x+ + 5 4 3x+ − 5 3 4x= + 212 19 21x x+ + − 
2. Tìm các số nguyên ( ; )x y với 0;x ≥ 0y ≥ thỏa mãn: 
3 23 4 4 10 12 0x y xy x y+ + + + − = . 
Câu 3: (3 điểm) 
1. Cho 3 số thực không âm , ,a b c thỏa mãn: 2 2 2 1a b c+ + = . Tìm giá trị lớn nhất của 
biểu thức 
2011 1954T a b c ab bc ac= + + − − − 
2. Tìm số nguyên dương x để 3 24 14 9 6x x x+ + − là số chính phương. 
Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác đều ABC cạnh a , hai điểm ,M N lần lượt di động trên 
hai đoạn ,AB AC sao cho 1.AM AN
MB NC
+ = Đặt ;AM x= .AN y= 
a. Biết 1
5
AM
AB
= , tính diện tích tam giác AMN theo a . 
b. Chứng minh rằng MN a x y= − − . 
c. Gọi D là trọng tâm tam giác ,ABC K là trung điểm .AB Vẽ ,DI MN⊥ chứng minh 
rằng: .DI DK= 
Câu 5: (1 điểm) Cho một bảng ô vuông 2019 2020,× mỗi ô vuông con có thể tô một 
trong hai màu xanh hoặc đỏ. Biết rằng ban đầu tất cả các ô đều được tô màu xanh. Cho 
phéo mỗi lần ta chọn một hang hoặc một cột và thay đổi màu của tất cả các ô thuộc hàng 
hoặc cột đó. Hỏi sau một số hữu hạn lần đổi màu ta có thể thu được một bảng gồm đúng 
2000 ô vuông màu đỏ hay không? 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
PHÒNG GD&ĐT THANH XUÂN 
Đề số 5 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Bài I (5,0 điểm) 
 Cho biểu thức 3 2 9 3 9: 1
92 3 6
x x x xA
xx x x x
   − + − −
= + − −      −− + + −   
a) Rút gọn A 
b) Tìm giá trị của A khi 
( )3 10 6 3 3 1
6 2 5 5
x
+ −
=
+ −
Bài II (5,0 điểm) 
1) Chứng minh rằng, nếu p và 28 1p + là hai số nguyên tố lẻ thì 28 2 1p p+ + là số 
nguyên tố. 
2) Tìm tất cả các số nguyên ( );x y sao cho: ( ) ( )2 25 7 2x xy y x y+ + = + 
Bài III (4,0 điểm) 
1) Giải phương trình: 2 4 5 2 2 3x x x+ + = + 
2) Cho , ,x y z là các số thực dương và các số thực , ,a b c . 
Chứng minh ( ) ( )
2 2 2
2a b c x y z a b c
x y z
 
+ + + + ≥ + + 
 
3) Cho , ,x y z là các số thực dương thỏa mãn 1xyz = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu 
thức: 1 1 1
1 2 1 2 1 2
P
x y z
= + +
+ + +
Bài IV (4,0 điểm) 
Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh là a . Trên ,CB CD lần lượt lấy các điểm 
,M N sao cho chu vi tam giác CMN có chu vi là 2a . Gọi giao điểm của đường thẳng BD 
với các đường thẳng ,AM AN lần lượt là ,E F . Giao điểm của MF và NE là H 
1) Tính số đo MAN 
2) Chứng minh EFAH ⊥ 
3) Gọi diện tích tam giác ,AEF AMN lần lượt là 1 2,S S . Tính 1
2
S
S
Bài V (1,0 điểm) 
Trong mặt phẳng cho 2020 điểm, khoảng cách giữa hai điểm bất kì đôi một khác 
nhau. Nối mỗi điểm trong số 2020 điểm này với điểm ở gần nhất tương ứng. Chứng minh 
rằng với cách nối đó không thể nhận được một đường gấp khúc khép kín. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
PHÒNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG 
Đề số 6 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 -2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Câu 1. (2,0 điểm) Tính: 
a. ( )3. 12 27 5 75= − + −A 
b. ( )2 82 45 1 5
5 1
= + − −
+
B . 
Câu 2. (2,0 điểm) Giải các phương trình sau: 
a. 1 2 4 8 9 18 0
2
− − − + − =x x x 
b. 2 4 4 2 1− + = −x x x 
Câu 3. (2,0 điểm) 
Cho hai biểu thức 
2
=
−
xA
x
 và 2 9
93
+
= −
−−
x x xB
xx
 với 0, 4, 9.> ≠ ≠x x x 
a. Tính giá trị của biểu thức A khi 100;=x 
b. Rút gọn biểu thức ;B 
c. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức :=M A B có giá trị nguyên. 
Câu 4. (4,0 điểm) 
Cho tam giác ABC vuông tại ( )<A AB AC , đường cao .AH Gọi D và E lần lượt 
là chân đường vuông góc kẻ từ H xuống , .AB AC 
a. Cho 4 , 9= =BH cm CH cm . Tính , ;AH DE 
b. Chứng minh . .=AD AB AE AC ; 
c. Đường phân giác của BAH cắt BC tại .K Gọi I là trung điểm của AK . 
Chứng minh tam giác AKC cân và CI vuông góc với ;AK 
d. Dựng IM vuông góc với BC tại .M Chứng minh 2 2 2
1 1 1 .
4
= +
AH AK CI
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
PHÒNG GD&ĐT BA ĐÌNH 
Đề số 7 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2017 -2018 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Bài 1 (4 điểm): 
Rút gọn các biểu thức sau: 
329 12 5 2 16 8 5A = + − + 
2 2 2 2 4 2 2
22 2 2 2
:a a b a a b a a bB
ba a b a a b
 + − − − −
= −  − − + − 
 (với 0; 0;a b a b≠ ≠ > ) 
Bài 2: (4 điểm) 
a) Giải phương trình: 3 3x x x− = + 
b) Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: a + b + c = 3 
Chứng minh rằng: 
2 2 2
2018
20031 1 1
a b c
b c a
+ + >
+ + + 
Bài 3 (4 điểm): 
Từ điểm A ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (O), 
(B, C là các tiếp điểm). Trên đoạn OB lấy điểm N sao cho BN=2ON. Đường trung trực của 
đoạn thẳng CN cắt OA tại M, tính tỉ số AM
AO
. 
Bài 4: (4 điểm) 
Cho ∆ ABC vuông tại A. Các tứ giác MNPQ và ADEF là các hình vuông sao cho: M 
thuộc cạnh AB; N,P thuộc cạnh BC; Q thuộc cạnh AC; D,E,F tương ứng thuộc cạnh AB, 
BC, CA. So sánh diện tích 2 hình vuông MNPQ và ADEF. 
Bài 5 (4 điểm) 
1. Tìm tất cả các số nguyên x để 19x + ; 2 10x + ; 3 13x + ; 4 37x + đều là số 
nguyên. 
2. Trong một buổi gặp mặt có 294 người tham gia, những người tham gia, những 
người quen nhau bắt tay nhau. Biết nếu A bắt tay B thì một trong hai người A và B 
bắt tay không quá 6 lần. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu cái bắt tay. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
PHÒNG GD&ĐT BA ĐÌNH 
Đề số 8 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2016 -2017 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Bài 1. ( 5 điểm) Cho biểu thức x x 1 x x 1 1A 4 . 2
x 1 1 x x x
 − +
= + − −  − + − 
a) Rút gọn A. 
b) Tính giá trị biểu thức A khi ( )( )x 2 3 2 3 3 5 3 5= + − − + − − 
Bài 2.( 5 điểm): 
 a) Giải phương trình: 2 3 4 2 1x x x− + = − . 
 b) Tìm số nguyên x sao cho 3 23 5 7 6x x x− + − chia hết cho 2 2x + . 
Bài 3. ( 4 điểm) 
 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB , M là điểm bất kì thuộc nửa đường 
tròn, ,M A B≠ . Gọi H là hình chiếu của M trên AB . E và F lần lượt là hình chiếu của 
H trên ,MA MB . 
a. Chứng minh . . .HA HB EA EM FB FM= + ; 
b. Tìm vị trí của điểm M để . .EA EH FB FH+ đạt giá trị lớn nhất. 
Bài 4: ( 3 điểm): 
Cho nửa đường trong ( )O đường kính AB . Gọi ,Ax By là các tia vuông góc với AB
( ,Ax By và nửa đường tròn cũng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB ). Qua điểm M thuốc nửa 
đường tròn ( M khác A và B ) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn nó cắt tia By tại C ; tia 
BM cắt tia Ax tại D. Chứng minh rằng AC vuông góc với OD . 
Bài 5.( 4 điểm) 
1) Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a 2b 3c 8.+ + = 
Tìm giá trị nhỏ nhất của 6 3 8M .
a b c
= + + 
2) Tìm số thực x để biểu thức 3 31 x 1 x+ + − là số nguyên. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
PHÒNG GD&ĐT BẮC TỪ LIÊM 
Đề số 9 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2018 -2019 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Câu 1: (4,0 điểm) 
1. Cho biểu thức: 
( )3
1 1 1 2 1 1. . :
2
x y
A
x y x y xy x y xy xyx y
  − 
= + + +    + +  +  
a) Rút gọn biểu thức A . 
b) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 3 5+ ; y = 3 5− 
2. Cho 2 biểu thức: ;a b b c c a c a bP Q
c a b a b b c c a
− − −
= + + = + +
− − −
 với , , 0a b c ≠ 
thỏa mãn: a b c≠ ≠ và 3 3 3 3a b c abc+ + = . Chứng minh rằng: . 9P Q = 
Câu 2: (4,0 điểm) Giải các phương trình sau: 
a) 5 5 6
1 1
x xx x
x x
− −  + =  + +   
b) ( ) ( )2 24 1 1 2 1 2 1x x x x− + = + + − 
Câu 3: (4,0 điểm) 
a) Tìm các số nguyên ,x y thỏa mãn: 2 2 7 12 0y xy x+ − − = 
b) Tìm số tự nhiên n để: 2012 2002 1A n n= + + là số nguyên tố. 
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có cạnh AC AB> , đường cao AH ( H
thuộc BC ). Trên tia HC lấy điểm D sao cho HD HA= . Đường vuông góc với BC tại D cắt 
AC tại E . 
a) Chứng minh: ADC BEC∆ ∆∽ . Cho AB m= , tính BE theo m . 
b) Gọi M là trung điểm của BE. Chứng minh rằng: BHM BEC∆ ∆∽ . Tính góc 
 AHM . 
c) Tia AM cắt BC tại G.Chứng minh rằng: GB HD
BC AH HC
=
+
Câu 5: (2,0 điểm) Cho , ,x y z là các số dương thỏa mãn: 1 1 1 6
x y y z z x
+ + =
+ + +
. 
Chứng minh rằng 1 1 1 3
3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
. 
.HẾT. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
PHÒNG GD&ĐT ĐAN PHƯỢNG 
Đề số 10 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2018 -2019 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Bài 1 (5,0 điểm). 
1. Cho biểu thức: 26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x xP
x x x x
+ − −
= − +
+ − − +
. 
a) Rút gọn P; 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P. 
2. Cho 3 32 3 2 3a = − + + . Chứng minh rằng: 
( )32
64 3
3
a
a
−
−
 là số nguyên 
Bài 2 (4,0 điểm). 
1. Giải phương trình : ( )2 4 2 1 1 .x x x x− − = − − 
2. Nhà toán học De Morgan (1806 – 1871) khi được hỏi tuổi đã trả lời: Tôi x tuổi 
vào năm 2x . Hỏi năm 2x đó ông bao nhiêu tuổi. 
3. Tìm số tự nhiên A biết rằng trong ba mệnh đề sau có hai mệnh đề đúng và một 
mệnh đề sai: 
a) 51A+ là số chính phương. 
b) Chữ số tận cùng bên phải của A là số 1. 
c) 38A− là số chính phương. 
Bài 3 (4,0 điểm). 
a) Tìm x và y biết 2 32 4 3 5 0x x y+ − + = và 2 2 22 0x y xy y+ + = . 
b) Tìm các cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn 2 22 3 4 0x y xy x x+ − − + = . 
Bài 4 (6,0 điểm) 
1. Cho tam giác nhọn ABC. Các đường cao AH, BI, CK 
a) Chứng minh rằng tam giác AKI đồng dạng với tam giác ACB; 
b) Biết AKI BKH CHIS S S= = . Chứng minh rằng: ABC là tam giác đều. 
2. Cho tam giác ABC là tam giác nhọn nội tiếp đường tròn (O; R) và đường cao AH 
bằng 2R . Gọi M và N thứ tự là hình chiếu của H trên AB, AC. Chứng minh 
rằng ba điểm M, N, O thẳng hàng. 
Bài 5 (1,0 điểm). Với ba số dương , ,x y z thỏa mãn 1x y z+ + = , chứng minh:
2 2 21 1 1 6x y z
x yz y zx z xy
− − −
+ + ≥
+ + +
. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
PHÒNG GD&ĐT THANH OAI 
Đề số 11 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2013 -2014 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Câu 1. (6,0 điểm) 
a) Cho 
3 2 21 :
1 2 3 5 6
x x x xM
x x x x x
   + + +
= − + +      + − − − +   
1. Rút gọn M . 
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên. 
b) Tính giá trị của biểu thức P . 
200653 20112013 ++= xxP với 6 2 2. 3 2 2 3 18 8 2 3.x = + − + + − − 
Câu 2. (4,0 điểm) Giải phương trình: 
a) ( )( )( )( )3 4 5 6 24x x x x+ + + + = 
b) 2 22 1 2 1x x x x− − = − − 
Câu 3. (4,0 điểm) 
a) Cho hai số dương ,x y thoả mãn 1x y+ = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 22 2
1 1M x y
y x
  = + +  
  
b) Cho , ,x y z là các số dương thoả mãn 1 1 1 6
x y y z z x
+ + =
+ + +
. 
Chứng minh rằng: 1 1 1 3
3 3 2 3 2 3 2 3 3 2x y z x y z x y z
+ + ≤
+ + + + + +
. 
Câu 4. (5,0 điểm) Cho đường tròn ( );O R và hai đường kính AB và CD sao cho tiếp tuyến 
tại A của đường tròn ( );O R cắt các đường thẳng BC và BD tại hai điểm tương ứng là E 
và F . Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AE và AF . 
1. Chứng minh rằng trực tâm H của tam giác BPQ là trung điểm của đoạn thẳng OA . 
2. Gọi α là số đo của góc BFE . Hai đường kính AB và CD thoả mãn điều kiện gì thì 
biểu thức 6 6sin cosP α α= + đạt giá trị nhỏ nhất? tìm giá trị nhỏ nhất đó. 
3. Chứng minh các hệ thức sau: 3. .CE DF EF CD= và 
3
3
BE CE
BF DF
= . 
Câu 5. (1,0 điểm) Tìm *n∈ sao cho: 4 3 1n n+ + là số chính phương. 
..HẾT. 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
PHÒNG GD&ĐT MỸ ĐỨC 
Đề số 12 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN 
NĂM HỌC 2019 - 2020 
MÔN: TOÁN 
Thời gian làm bài: 150 phút 
------------------------------- 
Bài I (5,0 điểm). Cho biểu thức 1 1:
21 1 1
2 xP
x x x x
x x
x
  −
= + +  − + − 
+
+
 với 0; 1x x≥ ≠ 
a) Rút gọn P 
b) Tìm các giá trị của x để 2
7
P = 
c) So sánh 2P và 2P 
Bài II (4,0 điểm). 
1) Giải các phương trình: 2 24 20 25 6 9 7x x x x+ + + + + = 
2) Tìm các cặp số nguyên ( );x y thỏa mãn: ( )2 4 3 22019 6 11 6x y y y y− = − + − 
Bài III (4,0 điểm). 
1) Cho các số , ,x y z thỏa mãn 0x y z
y z z x x y
+ + =
− − −
 với ; ;x y y z z x≠ ≠ ≠ 
Tính giá trị biểu thức: 
( ) ( ) ( )2 2 2
x y zA
y z z x x y
= + +
− − −
2) Cho ba số dương , ,x y z thỏa mãn 6x y z+ + = . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
2 2 2
2 3 2 3 2 3
x y zA
x y z y z x z x y
= + +
+ + + + + +
Bài IV (6,0 điểm). 
 Cho ABC∆ có ba góc nhọn,  60oA = . Các đường cao , ,AD BE CF cắt nhau tại H . 
Gọi K là trung điểm của AH 
a) Chứng minh: 
AE AB
AF AC
= và 1
2
EF BC= . 
b) Chứng minh: 120oEKF = và tính AH , biết 12BC = cm. 
c) Chứng minh: 1HD HE HF
AD BE CF
+ + = . 
d) Chứng minh: 
2 2 2
. . .
4
AB AC BCAD DH BE EH CF FH + ++ + ≤ . 
Bài V (1,0 điểm) 
Tìm tất cả các bộ số nguyên dương ( ); ;x y z thỏa mãn 2019
2019
x y
y z
+
+
 là số hữu tỉ, đồng 
thời 2 2 2x y z+ + là số nguyên tố. 
---Hết--- 
 ĐỀ CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
PHẦN 2: ĐỀ THÀNH PHỐ HÀ NỘI 
Bài 1 (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình: ( ) ( )2 24 2 2 5 2 2 4 5.x x x x x x+ + + = + + + 
b) Cho bốn số thực dương a, b, c, d thỏa mãn 3 3 3 3 5 5 5 53 , 3a b c d b c d a+ + = + + = và 
7 7 7 73c d a b+ + = . Chứng minh rằng a = b = c = d. 
Bài 2 (5,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 3 11n n+ + không chia hết cho 49. 
b) Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương (x, y, p) với p là số nguyên tố thỏa mãn 
( )2 2 2 6 2 .x p y x p+ = + 
Câu 3 (3,0 điểm) 
a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn ( )2 2 25 .x y x y− ≤ + . Chứng minh rằng: 
1 2.
2
x
y
≤ ≤ 
b) Cho ba số thực dương x, y, z thay đổi thỏa mãn ( ) ( )2 2 2 25 14 .x y z x y z+ + ≥ + + 
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2 .
2
x zP
x z
+
=
+
Câu 4. (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, AB < BC, ngoại tiếp đường tròn tâm I. 
Hình chiếu vuông góc của điểm I trên cạnh AB, AC theo thức tự là M, N và hình chiếu 
vuông góc của điểm B trên cạnh AC là Q. Gọi D là điểm đối xứng của điểm A qua Q, P là 
tâm đường tròn nội tiếp tam giác BCD và R là giao điểm của hai đường thẳng MN, BQ. 
Chứng minh rằng: 
a) Các tam giác BMR và BIP đồng dạng. 
b) Đường thẳng PR song song với đường thẳng AC 
c) Đường thẳng MN đi qua trung điểm của đoạn thẳng AP. 
Câu 5 (1,0 điểm). Có 15 hộp rỗng. Mỗi bước, người ta chọn một số hộp rồi bỏ vào mỗi hộp 
một số viên bi sao cho số viên bi bỏ vào mỗi hộp là một lũy thừa của 2 và trong mỗi bước 
không có hai hộp nào có số bi được bỏ vào giống nhau. Tìm số nguyên dương k nhỏ nhất 
sao cho sau khi thực hiện k bước, tất cả các hộp đều có số bi giống nhau 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH HÀ NỘI 
Đề số 13 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2019 – 2020 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
Câu 1: (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 3 2 1 1− = − −x x . 
b) Cho 
2 2 21 1 ... 1
2.3 3.4 2020.2021
    = − − −    
    
S là một tích của 2019 thừa số. Tính S 
(kết quả để dưới dạng phân số tối giản). 
Câu 2: (5,0 điểm) 
a) Biết ;a b là các số nguyên dương thỏa mãn 2 2− +a ab b chia hết cho 9, chứng 
minh rằng cả a và b đều chia hết cho 3. 
b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho 9 11+n là tích của k ( ), 2∈ ≥ k k số tự 
nhiên liên tiếp. 
Câu 3: (3,0 điểm) 
a) Cho ; ;x y z là các số thực dương nhỏ hơn 4 . Chứng minh rằng trong các số 
1 1 ,
4
+
−x y
1 1 ,
4
+
−y z
1 1
4
+
−z x
 luôn tồn tại ít nhất một số lớn hơn hoặc bằng 1. 
b) Với các số thực dương , ,a b c thay đổi thỏa mãn điều kiện 2 2 2 2 1+ + + =a b c abc
, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức = + + −P ab bc ca abc . 
Câu 3: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( )<AB AC . Đường tròn ( )I nội tiếp tam 
giác ABC tiếp xúc với các cạnh , ,BC CA AB lần lượt tại , ,D E F . Gọi S là giao điểm của 
AI và DE . 
a) Chứng minh rằng tam giác IAB đồng dạng với tam giác EAS . 
b) Gọi K là trung điểm của AB và O là trung điểm của .BC Chứng minh rằng ba 
điểm , ,K O S thẳng hàng. 
c) Gọi M là giao điểm của KI và .AC Đường thẳng chứa đường cao AH của 
tam giác ABC cắt đường thẳng DE tại N . Chứng minh rằng =AM AN . 
Câu 4: (1,0 điểm) Xét bảng ô vuông cỡ 10 10× gồm 100 hình vuông có cạnh 1 đơn vị. 
Người ta điền vào mỗi ô vuông của bảng một số nguyên tùy ý sao cho hiệu hai số được 
điền ở hai ô chung cạnh bất kỳ đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 1. Chứng minh 
rằng tồn tại một số nguyên xuất hiện trong bảng ít nhất 6 lần. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH HÀ NỘI 
Đề số 14 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH 
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2018 – 2019 
MÔN THI: TOÁN 
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề 
ĐỀ THI CHÍNH THỨC 
Liên hệ word Zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
Câu 1: (5,0 điểm) 
a) Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a + b + c = 2018 và 1 1 1 2017 .
2018
+ + =
+ + +b c c a a b
Tính giá trị của biểu thức: .= + +
+ + +
a b cP
b c c a a b
b) Tìm tất các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn phương trình: 
2 2
7 .
13
−
=
+ +
x y
x xy y
Câu 2: (5,0 điểm) 
a) Giải phương trình: 26 2 1 3 6 3.+ + = +x x x x 
b) Giải hệ phương trình: 
3 3 22 3 4
2 2 2.
 + + = − +

+ = +
x x y y y
x y
Câu 3: (3,0 điểm) 
a) Chứng minh rằng không tồn tại các số dương m, n, p với p nguyên tố thỏa mãn: 
2019 2019 2018+ =m n p
 b) Cho x, y, z thỏa mãn x + y + z = 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
3 3 3 .16 16 16
= + +
+ + +
x y zP
y z x
Câu 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AB < AC < BC, nội tiếp đường tròn (O). 
Gọi H là hình chiếu của A trên BC, M là trung điểm của AC và P lầ điểm thay đổ trên 
đoạn thẳng MH (P khác M và P khác H). 
a) Chứng minh rằng .∠ = ∠BAO HAC 
b) Khi 90∠ = oAPB chứng minh ba điểm B, O, P thẳng hàng. 
c) Đường tròn ngoại tiếp AMP và đường tròn ngoại tiếp tam giác BHP cắt nhau tại Q 
(Q khác P). Chứng minh rằng đường thẳng PQ luôn đi qua một điểm cố định khi P 
thay đổi. 
Câu 3: (3,0 điểm) Cho đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn (O). Chia 2n đỉnh này thành 
n cặp điểm, mỗi cặp điểm này tạo thành một đoạn thằng (hai đoạn thẳng bất kỳ trong số 
n đoạn thẳng được tạo ra không có đầu mút chung). 
a) Khi n = 4, hãy chỉ ra một cách chia sao cho trong bốn đoạn thẳng được tạo ra 
không có hai đoạn thẳng nào có độ dài bằng nhau. 
b) Khi n = 10, chứng minh rằng trong mười đoạn thẳng được tạo ra luôn tồn tại 
hai đoạn thẳng có độ dài bằng nhau. 
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TỈNH HÀ NỘI 
Đề số 15 
(Đề thi có một trang) 
KÌ THI