Tài liệu các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 9

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG 
HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 9 
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
1 
TUYỂN TẬP CÁC CHUYÊN ĐỀ 
 BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 9 
LỜI NÓI ĐẦU 
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán 
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em các chuyên đề số học bồi 
dưỡng học sinh giỏi lớp 9. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm các chuyên đề về này 
nhằm đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi 
lớp 9 . 
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con 
em mình học tập. Hy vọng các chuyên đề số học lớp 9 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 9 
phát huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. 
 Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi 
những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! 
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! 
 Website:tailieumontoan.com 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
2 
Mục Lục 
 Trang 
Lời nói đầu 
Chủ đề 1. Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan 
Chủ đề 2. Tính giá trị biểu thức, chứng minh đẳng thức 
Chủ đề 3. Các dạng toán số học 
Chủ đề 4. Các dạng toán về phương trình 
Chủ đề 5. Các dạng toán về hệ phương trình 
Chủ đề 6. Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị 
Chủ đề 7. Đa thức 
Chủ đề 8. Hàm số 
Chủ đề 9. Hình Học 
Chủ đề 10. Tổ hợp 
Chủ đề 11. Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình 
Website: tailieumontoan.com 
1 
CÁC DẠNG BÀI TẬP THI HSG TOÁN 9 
QUA CÁC ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 
Dạng 1: Rút gọn biểu thức và bài toán liên quan 
A. Bài toán 
Bài 1: Rút gọn biểu thức 1:
2 2 4 4
+ 
= + − − − + 
a a aB
a a a a a
 với 0>a ; 4≠a 
Bài 2: Cho biểu thức 
1
x y y y x x
M
xy
− − +
=
+
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. 
2) Tính giá trị của M, biết rằng ( )21 3x = − và 3 8y = − 
Bài 3: Cho biểu thức: 2 2 2
16 4 4
C
a a a
= − −
− − +
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C. 
2) Tìm giá trị của biểu thức C khi 9 4 5a = − 
Bài 4: Cho biểu thức: 1:
2 2 4 4
a a aM
a a a a a
+ 
= + − − − + 
 ( )0; 4a a> ≠ 
1) Rút gọn biểu thức M. 
2) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0. 
Bài 5: Cho biểu thức 
2 2 1
1
a a a aA
a a a
+ +
= − +
− +
 với 0>a . 
1) Rút gọn A. 
2) Tìm giá trị của a để A = 2. 
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Bài 6: Rút gọn biểu thức: 1 2 1
1
xA
xx x x x
= − +
−+ −
Bài 7: Cho biểu thức 2 4 2 1 1 2: 3
18 2 1
x x x xA
xx x x x
 + + + +  
= + + +    −− − +  
1) Rút gọn A. 
2) Tìm giá trị của x để A > 1. 
Bài 8: Rút gọn biểu thức: 10 2 3 1
3 4 4 1
x x xA
x x x x
− +
= − +
+ − + −
 ( )x 0; x 1≥ ≠ 
Bài 9: Cho biểu thức: 3 2 2 2: 1
2 3 5 6 2
x x x xA
x x x x x x
 + + + − 
= + + −    − − − + − −  
1) Rút gọn biểu thức A. 
2) Tìm x để 12.P A
x
= − đạt giá trị lớn nhất. 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
2 
Bài 10: Cho biểu thức: 3 16 7 1 3
2 3 3 1
x x x xP
x x x x
+ − + −
= − −
+ − + −
 Với 0x > 
1) Rút gọn biểu thức P 
2) Tính giá trị của biểu thức khi 2 2 3x = + 
Bài 11: 
1) Tính giá trị của biểu thức 3 326 15 3 26 15 3A = + − − . 
2) Rút gọn biểu thức 2 2 2 7 3 2 1 1. :
3 113 2 3 2 2 2
a a a aP
aa a a a
     − + − + − +
= + −          −+ − − − − −     
. 
Bài 12: Cho A = 
2
332
x12
)x1()x1(.x11
−−



 −++−−
1) Rút gọn A 
2) Tìm x biết A ≥ 
2
1
Bài 13: Tính giá trị biểu thức: 3( ) 3( )( 1)M x y x y xy= − + − + , biết: 
3 3 3 33 2 2 3 2 2 , 17 12 2 17 12 2x y= + − − = + − − 
Bài 14: Cho biểu thức 1 1 1:
1 2 1
A
x x x x x
 = + − − − + 
1) Rút gọn A . 
2) Tìm x để 3
2
A = . 
Bài 15: 
1) Rút gọn biểu thức ( )
2 2 12
1 1
xx x x xP
x x x x
−− +
= − +
+ + −
 với 0x > , 1x ≠ . 
2) Cho 3 2x + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) ( )100 502 27 4 4 2016A x x x x= − + − + . 
Bài 16: 
1) Rút gọn biểu thức: 2 1 2 1
2 1 2 1
x x x xP
x x x x
+ − + − −
=
+ − − − −
, với 2x ≥ . 
2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2
1 7x
x
+ = . Tính giá trị các biểu thức 
5
5
1A x
x
= + ; 7 7
1B x
x
= + . 
Bài 17: Rút gọn biểu thức 3 2 4 4
3 2
x x xP
x x
− + + +
=
+ +
. Tìm x sao cho 2017
2018
P = . 
Bài 18: Tính 1 11 2
2 11 18 5 11
A += +
+ −
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
3 
Bài 19: Cho biểu thức 2 1 1:
1 1 1 2
x x xA
x x x x x x
 + −
= + +  − + + − 
 với 0x > ; 1x ≠ 
1) Rút gọn A 
2) Chứng minh 2
3
A < . 
Bài 20: Cho
2 2 2 2018
1 1 1 1
...
2 3 4 2
A . So sánh A với 2017
2018
 . 
Bài 21: Cho biểu thức 1 11 : 1
1 1 1 1
xy x xy xx xP
xy xy xy xy
   + ++ +
= + + − −   
+ − − +   
 với ; 0≥x y và 
1.≠xy 
1) Rút gọn P . 
2) Tính giá trị của biểu thức P khi 3 34 2 6 4 2 6x = − + + và 2 6= +y x . 
Bài 22: 
1) Rút gọn biểu thức 
2 3
3 3 3 1
3 3 27 3
xA
xx x x
   
= + ⋅ + +   
+ + −   
, với 3; 0x x≠ ≠ . 
2) Tính tổng 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11 1 ... 1
1 2 2 3 2018 2019
B = + + + + + + + + + . 
Bài 23: Rút gọn biểu thức: ( )
3 3
3 3
2 2 2
2 2 2 22 2
a b a a bP a
a ab b b aba b
  + +
= − ⋅ −    + + +−   
 với 0a ≥ ; 
0b > ; 2a b≠ . 
Bài 24: Cho biểu thức: 
2 3 5 13 48
6 2
A
+ − +
=
+
. Chứng minh A là một số nguyên. 
Bài 25: Rút gọn biểu thức: 3 5 2 6 11 6 2
2 6 2 5 7 2 10
A − + − −=
− + + −
. 
Bài 26: Cho biểu thức 
1 3 2
1 1 1
A
x x x x x
= − +
+ + − +
 với 0x ≥ . 
1) Rút gọn A . 
2) Tìm giá trị lớn nhất của A . 
Bài 27: Không dùng máy tính cầm tay, hãy rút gọn biểu thức 
= + + + − +4 10 2 5 4 10 2 5B 
Bài 28: Rút gọn biểu thức 1 2 5:
2 2 1 2
x x x x xP
x x x x x x
   − − + −
= − −   
− − + − −   
 với 0x > ; 4x ≠ 
Bài 29: 
1) Trục căn thức ở mẫu của biểu thức sau 3 3
2
4 2 2+ +
. 
2) Tìm điều kiện để biểu thức 3 2 1 2
2 1 3 2
x x xA
x x x x
− − −
= − +
− − − +
 có nghĩa và rút gọn A . 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
4 
Bài 30: Rút gọn biểu thức: 2 16 6 2 3 2
2 3 1 3
x x xP
x x x x
+ + −
= + + −
+ − − +
. 
Bài 31: Cho biểu thức 
( ) ( )
22 2
2
2
x 3 12x
B x 2 8x
x
− +
= + + − . Rút gọn biểu thức B và tìm các giá 
trị nguyên của x để B có giá trị nguyên 
Bài 32: Cho biểu thức x x x 5 2xP
x 1x 1 x 1
−
= + +
−+ −
a) Tìm điều kiện của x để P xác định và rút gọn P. 
b) Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 7. 
Bài 33: Cho biểu thức 
xy x xy xx 1 x 1P 1 : 1
xy 1 1 xy xy 1 xy 1
   + ++ += + + − −      + − − +   
. 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Cho 1 1 8
x y
+ = . Tìm giá trị lớn nhất của P. 
Bài 34: Cho biểu thức 3 2 2A 1 :
1 2 3 5 6
x x x x
x x x x x
   
      
   
+ + += − + +
+ − − − +
 a) Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi 7 4 3x = − . 
 c) Tìm m để có giá trị của x thoả mãn ( ) ( )A 1 1 2x m x+ = + − 
Bài 35: Cho biểu thức: 2 2
2 ( 1)( 2 )
x xP
x x x x x x x
+
= + +
− + − +
a) Rút gọn P . 
b) Tính P khi 3 2 2x = + . 
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. 
Bài 36: Cho biểu thức: 
4 4 4 4
2 3 2 3
x x x x x x x xA
x x x x x x
− − + + − −
= −
− + + −
 với 0, 1, 4x x x≥ ≠ ≠ . 
 a) Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
(2 3) 7 4 3
2 1
x + −=
−
. 
Bài 37: Rút gọn biểu thức A = 3 5 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
+ −
+
+ + − −
Bài 38: Cho các số dương: a; b và x =
1
2
2 +b
ab
. Xét biểu thức P = 
bxaxa
xaxa
3
1
+
−++
−++
a) Chứng minh P xác định. Rút gọn P. 
b) Khi a và b thay đổi, hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P. 
Bài 39: Cho biểu thức: 4 4
2 14 28 16
x x x xA
x x x x
− − +
=
− + −
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
5 
a) Tìm x để A có nghĩa, từ đó rút gọn biểu thức A . 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức A nhận giá trị nguyên. 
Bài 40: Cho biểu thức 
2 2
. , ( 0; 0, )
x y x y x y y
x y x y
x y x yx y y x x y y x
 − +
+ − > > ≠   + −+ − 
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tính giá trị của A biết rằng x,y là nghiệm của phương trình t2 – 4t + 1 = 0. 
Bài 41: Cho biểu thức M = 
( ) ( )2 2 - 3 3 2 - 3 - 2
2 3
a a a b b a b a a
a ab
+ +
+
a) Tìm điều kiện của a và b để M xác định và rút gọn M. 
b) Tính giá trị của M khi a = 1 3 2+ , b = 11 810
3
+ 
Bài 42: Cho biểu thức: 
x y x y x y 2xyP : 1
1 xy1 xy 1 xy
 + −  + +
= + +     −− +   
. 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tính giá trị của P với 
2x
2 3
=
+
. 
Bài 43: a)Rút gọn biểu thức 
( )2 3 3
2
1 1 . (1 ) (1 )
2 1
x x x
A
x
− − + + −
=
− −
với 1 1x− ≤ ≤ . 
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và 3 2 2 36 0a a b ab b− + − = . 
Tính giá trị của biểu thức 
4 4
4 4
4
4
a bB
b a
−=
−
. 
Bài 44: Cho biểu thức xy x xy xx 1 x 1A 1 : 1
xy 1 1 xy xy 1 xy 1
   + ++ += + + − −      + − − +   
. 
 1. Rút gọn biểu thức A. 
 2. Cho 1 1 6
x y
+ = . Tìm giá trị lớn nhất của A. 
Bài 45: Cho biểu thức: 
1 1 14
1 1
P a a a a
a a a
  
=      
+ −− + −
− +
. 
a) Rút gọn P. 
b) Tính giá trị của P tại ( )( )2 3 3 1 2 3a = + − − . 
Bài 46: Cho biểu thức: 
2 1 1:
21 1 1
x x xP
x x x x x
 + −
= + + 
− + + − 
 . Với x ≥ 0, x ≠ 1. 
a) Rút gọn biểu thức P. 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
6 
b) Tìm x để 
2
7
P = . 
c) So sánh: P2 và 2P. 
Bài 47:Rút gọn biểu thức: 2 x 9 2 x 1 x 3P
x 5 x 6 x 3 2 x
− + += + +
− + − −
 với x 0;x 4;x 9≥ ≠ ≠ . 
Bài 48:Rút gọn biểu thức: 
3
2 1 2 2 1A :
1 1 1
x x x x
x x x x
 − − −
= +  − − + + 
Bài 49:Rút gọn biểu thức 13 30 2 9 4 2B 
Bài 50:Rút gọn biểu thức: A = 5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −
Bài 51: Cho 
2 2
1 1
x x x xA
x x x x
− +
= −
+ + − +
a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A 
b) Đặt B = A + x – 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B 
Bài 52:Cho biểu thức 4 2 5 1 12
4 1 22 3 2
x x x xP x x
xx x x
 − − −  
= − + + +   −+ −   
 với 0x > và 1
4
x ≠ . 
 Rút gọn biểu thức P và tìm x để 3
2
P ≤ . 
Bài 53: Rút gọn biểu thức A x 4 x 4 x 4 x 4= + − + − − với x ≥ 4. 
Bài 54: Cho P = 
23
22
−−
+−−
xxx
xxxx + 
23
22
+−
−−+
xxx
xxxx 
1. Rút gọn P. Với giá trị nào của x thì P > 1 
2. Tìm x nguyên biết P đạt giá trị nguyên lớn nhất 
Bài 55: Cho biểu thức A = 





+
+−






−
−
+
−
−
2
2)2(:
4
8
2
4 2
x
xx
x
xx
x
x 
Với x không âm,khác 4. 
a,Rút gọn A 
b,Chứng minh rằng A < 1 với mọi x không âm,khác 4 
c,Tìm x để A là số nguyên 
Bài 56: Cho biểu thức: 26 19 2 3
2 3 1 3
x x x x xP
x x x x
+ − −
= − +
+ − − +
a) Rút gọn P. 
b) Tìm x để P đạt giá trị nhỏ nhất. 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
7 
Bài 57: Cho biểu thức: 3 16 7 1 7 2
2 3 3 1 1
x x x x xA
x x x x x
   + − + +
= − − : −   
+ − + − −   
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tìm x để 6.A = − 
Bài 58: Cho biểu thức 2 4 2 1 3 5 2 10:
18 2 6 5
x x x x x xM
xx x x x x
   + + + + − +
= + +      −− − + +   
Rút gọn M và tìm x để M>1 
Bài 59: Cho biểu thức:
4 4 4 4
2 3 2 3
x x x x x x x xA
x x x x x x
− − + + − −
= −
− + + −
 với 
0, 1, 4x x x≥ ≠ ≠ . 
 a) Rút gọn biểu thức A. 
 b) Tính giá trị của biểu thức A khi 
(2 3) 7 4 3
2 1
x + −=
−
. 
Bài 60: Cho biểu thức: 
 ).
1
2
1
3)(1(11
+
+
−
−
−+
+
+
−
−
−
=
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aap 
a) Rút gọn biểu thức P 
b) Chứng minh rằng với mọi giái trị của a (thỏa điều kiện thích hợp) ta đều có P>6. 
Bài 61: a) Cho )
65
2
3
2
2
3(:)
1
1(
+−
+
+
−
+
+
−
+
+
−=
xx
x
x
x
x
x
x
xM 
1. Rút gọn M 
2. Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức M nhận giá trị là số nguyên 
Bài 62: Rút gọn biểu thức: 
( ) ( )2 3 5 2 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
A
+ −
= +
+ + − −
. 
Bài 63: Cho biểu thức: 
2 3 5 13 48
6 2
A
+ − +
=
+
. Chứng minh A là một số nguyên. 
Bài 64: Rút gọn biểu thức: 3 5 2 6 11 6 2
2 6 2 5 7 2 10
A − + − −=
− + + −
. 
Bài 65: Tính 1 2 2 3
32 3 3 3
A = − −
− −
. 
Bài 66: Cho 2 2 21 1 1
2.3 3.4 2020.2021
    = − − ⋅⋅⋅ −    
    
S . Tính S (kết quả để dưới dạng phân số tối 
giản). 
Bài 67: Cho hàm số 3 2010f (x) (x 12x 31)= + − 
 Tính f (a) tại 3 3a 16 8 5 16 8 5= − + + 
Bài 68: Tính giá trị biểu thức ( )( )A 4 15 10 6 4 15= + − − 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
8 
Bài 69: Cho biểu thức: P = 2 16 6 2 3 2
2 3 1 3
m m m
m m m m
+ + −
+ + −
+ − − +
 a) Rút gọn P. 
 b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 
Bài 70: Cho biểu thức 
2
2 1 1 2 2
1
x x x x xP
x x x x x x x x
− + + −
= + +
− + + −
, với 0, 1.x x> ≠ Rút gọn 
P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên. 
Bài 71: Cho biểu thức 1 1 2 1 2:
11 1
x x x x x xP
xx x x x
 + − + − 
= − +    −− +   
 với 10, 1,
4
x x x> ≠ ≠
Tính giá trị của P tại ( )4 3 5 3 510x = + + − 
Bài 72. Rút gọn biểu thức: 
( ) ( )2 3 5 2 3 5
2 2 3 5 2 2 3 5
A
+ −
= +
+ + − −
. 
Bài 73: Rút gọn biểu thức: 2 1 2 1
2 1 2 1
x x x xP
x x x x
+ − + − −
=
+ − − − −
, với 2x ≥ . 
Bài 74: Rút gon biểu thức : A = 





+++
−
+






+
−
1
2
1
1:
1
21
aaaa
a
aa
a
, với a ≥ 0 
Bài 75: Rút gọn biểu thức: A = 5 3 3 5
2 3 5 2 3 5
+ −
+
+ + − −
Bài 76: Cho hai biểu thức: 
2 3
2 2
xA
x
+
=
−
 và 
1 2 2 6
2 1 2
x x x xB
x x x x
+ − + −
= + +
+ − + −
 với 
0 1x≤ ≠ 
a) Tính giá trị của A với 6 2 5x = + 
b) Rút gọn B 
c) Đặt P = B:A. Tìm các giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên 
Bài 77: Cho biểu thức M= a a b b a b
a b a b b a
−
− −
− + −
 với a, b > 0 và a≠ b 
 Rút gọi M và tính giá trị biểu thức M biết ( ) ( )1 1 2 1a b ab− − + = 
Bài 78: Cho biểu thức: 
2 1 1:
21 1 1
x x xP
x x x x x
 + −
= + + 
− + + − 
 . 
Với x ≥ 0, x ≠ 1. 
a) Rút gọn biểu thức P. 
b) Tìm x để 
2
7
P = . 
c) So sánh: P2 và 2P. 
Bài 79: Cho biểu thức 
21 1 1a a a a a a aM
a a a a a a
 với a > 0, a ≠ 1. 
Với những giá trị nào của a thì biểu thức 
6N
M
= nhận giá trị nguyên? 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
9 
Bài 80: Rút gọn biểu thức a 2018 a 2018 a 1P .
a 1a 2 a 1 2 a
 + − +
= −  −+ + 
Bài 81: Cho biểu thức x x x x xP
x x x x x x
+ − +
= + −
− +
22 3 1 với ,x x> ≠0 1. Rút gọn và tìm giá trị nhỏ 
nhất của biểu thức P . 
Bài 82: Rút gọn biểu thức: 
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 11 1 1 ... 1
1 2 2 3 3 4 2017 2018
X = + + + + + + + + + + + + . 
Bài 83: Rút gọn biểu thức: 3 2 21 :
1 2 3 5 6
x x x xA
x x x x x
   + + +
= − − +      + − − − +   
Bài 84: Cho các biểu thức: 3 1 3:
1 1 1 1
x x xP
x x x x x x x
  +
= − +  + − + + − + 
 ( với 0x ≥ ) 
Rút gọn biểu thức P. Tìm các giá trị của x để 
1
5
P ≥ . 
Bài 85: Cho biểu thức 
2
4( 1) 4( 1) 1
. 1
14( 1)
x x x x
A
xx x
− − + + −  = − − − −
, trong đó 1, 2.x x> ≠ 
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức A là số nguyên. 
Bài 86: Rút gọn biểu thức: ( )( )13 4 3 7 4 3 8 20 2 43 24 3B = − + − + + . 
Bài 87: Rút gọn biểu thức 
3x 9x 3 x 1 x 2P .
x x 2 x 2 x 1
+ − + −
= − −
+ − + −
 Tìm x để P 3.= 
Bài 88: Cho biểu thức 2 4 2 1 3 5 2 10:
18 2 6 5
x x x x x xM
xx x x x x
   + + + + − +
= + +      −− − + +   
Rút gọn M và tìm x để M>1 
Bài 89: Cho biểu thức : 2 3 2 : 2
5 6 2 3 1
x x x xA
x x x x x
   + + +
= − − −      − + − − +   
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tìm các giá trị của x để 1 5
2A
≤ − 
Bài 90: Cho biểu thức: 2 2
2 ( 1)( 2 )
x xP
x x x x x x x
+
= + +
− + − +
a) Rút gọn P . 
b) Tính P khi 3 2 2x = + . 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
10 
c) Tìm giá trị nguyên của x để P nhận giá trị nguyên. 
Bài 91: Cho biểu thức P = 1 8 3 1 1 1:
103 1 3 1 1 1
x x x
xx x x x
a) Rút gọn P 
b) Tính giá trị của P khi x = 44
223
223
223
223
+
−
−
−
+ 
Bài 92: Rút gọn biểu thức: A= 2 10 30 2 2 6 2:
2 10 2 2 3 1
+ − −
− −
Bài 93: Cho biểu thức: 
21 1 1a a a a a a aM
a a a a a a
+ − − + −
= + +
− −
 với a > 0, a ≠ 1. 
a) Chứng minh rằng 4.M > 
b) Với những giá trị nào của a thì biểu thức 
6N
M
= nhận giá trị nguyên? 
Bài 94: Rút gọn biểu thức A = 2 9 3 2 1
5 6 2 3
x x x
x x x x
− + +
− −
− + − −
B. Lời giải 
Bài 1: Rút gọn biểu thức 1:
2 2 4 4
+ 
= + − − − + 
a a aB
a a a a a
 với 0>a ; 4≠a 
Lời giải 
1:
2 2 4 4
+ 
= + − − − + 
a a aB
a a a a a
( )22
.
2 2 1
aa a
a a a a
− 
= + − − + 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2
. . 2
2 1 2 1
a a a aa aB a a
a a a a
− + −+
= = = −
− + − +
Bài 2: Cho biểu thức 
1
x y y y x x
M
xy
− − +
=
+
1) Tìm điều kiện xác định và rút gọn M. 
2) Tính giá trị của M, biết rằng ( )21 3x = − và 3 8y = − 
Lời giải 
1) ĐKXĐ: 0x ≥ ; 0y ≥ 
( ) ( )
1
xy x y x y
M
xy
− + −
=
+
( )( )1
1
xy x y
xy
+ −
=
+
x y= − 
2) Với ( )21 3x = − và ( )23 8 3 2 2 2 1y = − = − = − 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
11 
( ) ( )2 21 3 2 1 3 1 2 1 3 2M = − − − = − − + = − 
Bài 3: Cho biểu thức: 2 2 2
16 4 4
C
a a a
= − −
− − +
1) Tìm điều kiện của a để biểu thức C có nghĩa và rút gọn C. 
2) Tìm giá trị của biểu thức C khi 9 4 5a = − 
Lời giải 
1) ĐKXĐ: 0a ≥ ; 16a ≠ 
2 2 2
16 4 4
C
a a a
= − −
− − + ( )( )
2 2
4 44 4
a
a aa a
= − −
− +− +
( ) ( )
( )( )
2 4 2 4
4 4
a a a
C
a a
− + − −
=
− + ( )( )
2 8 2 8
4 4
a a a
a a
− − − +
=
− + ( )( )
4
4 4
a a
a a
−
=
− +
( )( )
( 4)
4 4
a aC
a a
−
=
− + 4
a
a
=
+
2) Với ( )29 4 5 4 4 5 5 2 5a = + = + + = + 
( )
( )
2
2
2 5 2 5 2 5 7 4 5
312 5 4 6 52 5 4
C
+ + + +
= = = =
+ + ++ +
Bài 4: Cho biểu thức: 1:
2 2 4 4
a a aM
a a a a a
+ 
= + − − − + 
 ( )0; 4a a> ≠ 
1) Rút gọn biểu thức M. 
2) Tìm tất cả các giá trị của a để M ≤ 0. 
Lời giải 
1) 1:
2 2 4 4
a a aM
a a a a a
+ 
= + − − − + 
( )22
.
2 2 1
aa a
a a a a
− 
= + − − + 
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
2 1 2
. . 2
2 1 2 1
a a a aa aM a a
a a a a
− + −+
= = = −
− + − +
2) ( )0 2 2 0M a a a≤ ⇔ − ⇔ − ≤ (vì 0a > ) 
2 4a a⇔ ≤ ⇔ ≤ 
Vì 0; 4a a> ≠ nên 0 0 4M a< ⇔ < < 
Bài 5: Cho biểu thức 
2 2 1
1
a a a aA
a a a
+ +
= − +
− +
 với 0>a . 
1) Rút gọn A. 
2) Tìm giá trị của a để A = 2. 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
12 
3) Tìm giá trị nhỏ nhất của A. 
Lời giải 
1) 
( ) ( )2 1 2 12 1 1
1 1
a a a a aa a a aA
a a a a a a
+ ++ +
= − + = − +
− + − +
( )( ) ( )
1 1
2 1 1 2 1 1
1
a a a a
A a a a a a a
a a
+ − +
= − + + = + − − + = −
− +
2) 2 2 2 0A a a a a= ⇔ − = ⇔ − − = 
Đặt y a= ( )0y > , ta có phương trình: 2 2 0y y− − = 
Giải phương trình ta được: 1y = − (loại); 2y = (nhận) 
2 2 4y a a= ⇔ = ⇔ = (nhận) 
Vậy 4a = thì 2A = 
3) 
21 1 1 1 1
4 4 2 4 4
A a a a a a − = − = − + − = − − ≥ 
 
 với mọi 0>a 
Dấu “=” khi 
1 10
2 4
a a− = ⇔ = (nhận) 
Vậy 
1
4
MinA = − khi 1
4
a = 
Bài 6: Rút gọn biểu thức: 1 2 1
1
xA
xx x x x
= − +
−+ −
Lời giải 
ĐKXĐ: 0x > ; 1x ≠ 
( ) ( )( ) ( )
1 2 1 1 2 1
1 1 1 1 1
x xA
xx x x x x x x x x x
= − + = − +
−+ − + − + −
( )( ) ( )( )
( )
( )( )
2 11 2 1 2 2 2
11 1 1 1 1 1
x xx x x x xA
xx x x x x x x x x
− −− − + + − + −
= = = =
+− + − + − +
Bài 7: Cho biểu thức 2 4 2 1 1 2: 3
18 2 1
x x x xA
xx x x x
 + + + +  
= + + +    −− − +  
1) Rút gọn A. 
2) Tìm giá trị của x để A > 1. 
Lời giải 
1) ĐKXĐ: 0x ≥ ; 1x ≠ ; 3x ≠ ; 4x ≠ 
( )( )
( )
( )( )
( )( ) ( )
( )( )
2
1 3 2 1 1 2 22 4 :
2 2 4 1 1 2 1
x x x x xx xA
x x x x x x x
 + − + + + + −+ + = + − + + + − − +  
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
13 
( )( )
( )( )
( )( ) ( )( )
1 1 21 1 3( 2) 3 3 3 9: :
2 1 2 1 2 1 2 1
x x xx x x x xA
x x x x x x x x
− + + − + − − + − −
= + =  − − − + − − − + 
( )( )
( )( )
( ) ( )
2 13 1
3 32 1 3 1
x xx xA
xx x x
− +− +
= ⋅ =
−− − −
2) 1 1 1 3( 1) 4 21 1 1 0 0 0
3( 1) 3( 1) 3( 1) 3( 1)
x x x x xA
x x x x
+ + + − − −
> ⇔ > ⇔ − > ⇔ > ⇔ >
− − − −
1 2 1 4x x⇔ < < ⇔ < < 
Vậy 1 4x 
Bài 8: Rút gọn biểu thức: 10 2 3 1
3 4 4 1
x x xA
x x x x
− +
= − +
+ − + −
 ( )x 0; x 1≥ ≠ 
Lời giải 
( )( )
( )( ) ( )( )
( )( )
10 2 3 1 1 410 2 3 1
4 14 1 4 1
x x x x xx x xA
x xx x x x
− − − − + +− +
= − − =
+ −+ − + −
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( )
1 7 310 2 5 3 5 4 3 10 7 7 3
44 1 4 1 4 1
x xx x x x x x x xA
xx x x x x x
− −− + − − − − − + − −
= = = =
++ − + − + −
Bài 9: Cho biểu thức: 3 2 2 2: 1
2 3 5 6 2
x x x xA
x x x x x x
 + + + − 
= + + −    − − − + − −  
1) Rút gọn biểu thức A. 
2) Tìm x để 12.P A
x
= − đạt giá trị lớn nhất. 
Lời giải 
1) ĐKXĐ: 0x > ; 4x ≠ ; 9x ≠ 
( )( ) ( )( )
3 2 2 2: 1
2 3 2 3 1 2
x x x xA
x x x x x x
   + + + −   = − + −
   − − − − + −   
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
( )( )1 29 4 2 2 2 3:
2 3 1 2 2 3
x xx x x x x x xA
xx x x x x x
+ −− − − + + − − + + −
= = ⋅
− − + − − −
1xA
x
+
= 
2) 1 1 1 2 12. 2 2xP A
x x xx x
+
= − = ⋅ − = + − 
2
2 1 13 1 3 1 3P
xx x
   
= − − + = − − ≤   
   
 với mọi 0x > 
Dấu “=” khi 
1 11 0 1 1x
x x
− = ⇔ = ⇔ = (nhận) 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
14 
Vậy 3MaxP = khi 1x = 
Bài 10: Cho biểu thức: 3 16 7 1 3
2 3 3 1
x x x xP
x x x x
+ − + −
= − −
+ − + −
 Với 0x > 
1) Rút gọn biểu thức P 
2) Tính giá trị của biểu thức khi 2 2 3x = + 
Lời giải 
1) 
( )( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )
3 4 7 1 93 4 7 1 3 4 3=
3 13 1 3 1 3 1
x x x xx x x x x xP
x xx x x x x x
+ − − − − −+ − + − + +
= − − =
+ −+ − + − + −
( )( )
( )( )
1 3 1=
13 1
x x xP
xx x
+ + +
=
−+ −
2) Với ( )22 2 3 2 2 2 1 2 1x = + = + + = + , ta có: 
( )
( )
2
2
2 1 1 2 1 1 2 2 1 2
2 1 1 22 1 1
P
+ + + + +
= = = = +
+ −+ −
Bài 11: 
1) Tính giá trị của biểu thức 3 326 15 3 26 15 3A = + − − . 
2) Rút gọn biểu thức 2 2 2 7 3 2 1 1. :
3 113 2 3 2 2 2
a a a aP
aa a a a
     − + − + − +
= + −          −+ − − − − −     
. 
Lời giải 
1) Ta có 3 326 15 3 26 15 3A = + − − 
2 2 3 2 2 33 38 3.2 3 3.2.( 3) ( 3) 8 3.2 3 3.2.( 3) ( 3)A = + + + − − + − 
3 33 3(2 3) (2 3) (2 3) (2 3) 2 3A = + − − = + − − = 
2) Điều kiện: 2 11a< ≠ 
Đặt 22 (0 3) 2x a x a x= − < ≠ ⇒ = + . 
( ) ( ) ( )
( )
2
2 2 2
2 2 3 39 3 1 1 2 4. : . :
3 3 9 3 3 9 3
x x xx x x xP
x x x x x x x x
+ + + + + + = + − =  + − − − −  
( ) ( )2 3 2.
3 2 4 2 2
x x x x aP
x x
+ − −
= = − = −
− +
Bài 12: Cho 
2 3 3
2
1 1 . (1 ) (1 )
2 1
x x x
A
x
 − − + + −
 =
− −
1) Rút gọn A 
2) Tìm x biết 1
2
A ≥ . 
Lời giải 
1) ĐKXĐ: 1 1x− ≤ ≤ 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
15 
( ) ( ) ( )
2
2
2
1 1
. 1 1 2 1
2
2 1
x x
x x x
A
x
− − +  + + − − −  =
− −
( )1 1 . 1 1 2 0 1
2 2 1 0
x x x x x khi x
A
x khi x
− − + + + −  ≤ ≤= = 
− − ≤ ≤
2) 1
2
A ≥ 
Khi 0 1x≤ ≤ thì 1 12
2 2 2
x x≥ ⇔ ≥ 
Khi 1 0x− ≤ ≤ thì 1 12
2 2 2
x x− ≥ ⇔ ≤ − 
Vậy 
1 11
2 2 2
A x≥ ⇔ − ≤ ≤ − hoặc 1 1
2 2
x≤ ≤ 
Bài 13: Tính giá trị biểu thức: 3( ) 3( )( 1)M x y x y xy= − + − + , biết: 
3 3 3 33 2 2 3 2 2 , 17 12 2 17 12 2x y= + − − = + − − 
Lời giải 
Ta có: ( )33 3 33 2 2 3 2 2x = + − − 
 ( ) ( ) ( )3 333 2 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 2 . 3 2 2 3 2 2= + − + − + − + − − 
 4 2 3x= − 
3 3 4 2x x⇒ + = 
Tương tự: 3 3 24 2y y+ = 
3 3 3( ) 20 2x y x y⇒ − + − = − 
3( ) 3( )( 1) 20 2M x y x y xy⇒ = − + − + = − 
Bài 14: Cho biểu thức 1 1 1:
1 2 1
A
x x x x x
 = + − − − + 
1) Rút gọn A . 
2) Tìm x để 3
2
A = . 
Lời giải 
1) ĐKXĐ: 0x > ; 1x ≠ 
( ) ( )
21 1 1 1 1: 1
1 2 1 11
A x
x x x x x xx x
    = + = + ⋅ − − − − + − −   
( ) ( )
( ) ( )2 1 11 11
1
x xx xA x
x xx x
+ −+ −
= ⋅ − = =
−
2) 3 1 3 2 3 2 0
2 2
xA x x
x
−
= ⇔ = ⇔ − − = 
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
16 
Đặt t x= ( )0t ≥ , ta có phương trình: 22 3 2 0t t− − = 
Giải phương trình ta được: 1
1
2
t = − (loại); 2 2t = (nhận) 
2 2 4t x x= ⇔ = ⇔ = (nhận) 
Vậy 4x = thì 3
2
A = 
Bài 15: 
1) Rút gọn biểu thức ( )
2 2 12
1 1
xx x x xP
x x x x
−− +
= − +
+ + −
 với 0x > , 1x ≠ . 
2) Cho 3 2x + = . Tính giá trị của biểu thức ( ) ( )100 502 27 4 4 2016A x x x x= − + − + . 
Lời giải 
1) 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1 2 1 2 1 1
1 1
x x x x x x x x
P
x x x x
− + + + − +
= − +
+ + −
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1P x x x x x x= − − + + + = − + 
2) ( )2 2 23 2 2 3 4 4 3 4 1x x x x x x+ = ⇔ − = ⇔ − + = ⇔ − = − 
( ) ( )100 507 1 1 2016 2024A⇒ = − + − + = 
Bài 16: 
1) Rút gọn biểu thức: 2 1 2 1
2 1 2 1
x x x xP
x x x x
+ − + − −
=
+ − − − −
, với 2x ≥ . 
2) Cho x là số thực dương thỏa mãn điều kiện 2 2
1 7x
x
+ = . Tính giá trị các biểu thức 
5
5
1A x
x
= + ; 7 7
1B x
x
= + . 
Lời giải 
1) 1 2 1 1 1 2 1 1
2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1
2
x x x xP
x x x x
2 2
2 2
2. 1 1 1 1
2 1 1 2 1 1
x x
P
x x
 2. 1 1 1 1 2.2 1 2. 1
22 1 1 2 1 1
x x xP x
x x
2) 
2
2 2
2 2
1 1 1 17 2 2 7 9 3x x x x
x x x x
   + = ⇔ + + − = ⇔ + = ⇒ + =   
   
 (do 0x ) 
Ta có: 3 23 2
1 1 11 3.6 18x x x
x x x
  + = + − + = =  
  
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
17 
2
4 2
4 2
1 1 2 47x x
x x
 + = + − = 
 
4 5 3 5
4 3 5 5
1 1 1 1 1 18x x x x x
x x x x x
  ⇒ + + = + + + = + +  
  
5 5
5 5
1 118 141 123x x
x x
⇔ + + = ⇔ + = 
3 4 7 7
3 4 7 7
1 1 1 1 1 3x x x x x
x x x x x
  + + = + + + = + +  
  
7 7
7 7
1 13 846 843x x
x x
⇒ + + = ⇔ + = 
Bài 17: Rút gọn biểu thức 3 2 4 4
3 2
x x xP
x x
− + + +
=
+ +
. Tìm x sao cho 2017
2018
P = . 
Lời giải 
( ) ( )
( ) ( )
2
3 2 2 3 2 23 2 4 4
3 2 3 2 1 2
x x x xx x xP
x x x x x x
− + + − + +− + + +
= = =
+ + + + + +
( ) ( )
( )
( ) ( )
2
12 1 1
21 2 1 2
xx x xP
xx x x x
++ + +
= = =
++ + + +
( ) ( ) 22017 1 2017 2018 1 2017 2 2016 20162018 20182
xP x x x x
x
+
= ⇔ = ⇔ + = + ⇔ = ⇔ =
+
Bài 18: Tính 1 11 2
2 11 18 5 11
A += +
+ −
Lời giải 
( ) ( ) ( )1 11 2 11 2 18 5 111 11 2 9 11 5 11 2
4 11 49 72 11 18 5 11
A
+ − ++ − + +
= + = + = =
−+ −
Bài 19: Cho biểu thức 2 1 1:
1 1 1 2
x x xA
x x x x x x
 + −
= + +  − + + − 
 với 0x > ; 1x ≠ 
1) Rút gọn A 
2) Chứng minh 2
3
A < . 
Lời giải 
1) ( ) ( )
2 1 2
1 1 11 1
x x xA
x x x xx x x
 + = + − ⋅
+ + − − − + + 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 1 1 2 2 1 2
1 11 1 1 1
x x x x x x x x xA
x xx x x x x x
+ + − − + + − +
= ⋅ = ⋅
− −− + + − + +
( )
( ) ( )
2
1 2 2
1 11 1
x x xA
x x xx x x
−
= ⋅ =
− + +− + +
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
18 
2) Ta có: 
( )
( ) ( )
( )
( )
6 2 1 2 2 12 2 2 2 4 2
3 31 3 1 3 1 3 1
x x x x xx x xA
x x x x x x x x
− + + − − +− + −
− = − = = =
+ + + + + + + +
( )
( )
2
2 12
3 3 1
x
A
x x
− −
− =
+ +
Vì ( )22 1 0x− − ≤ và ( )
21 33 1 3 0
4 4
x x x
  + + = + + >  
   
 với 0x > ; 1x ≠ 
( )
( )
2
2 12 0
3 3 1
x
A
x x
− −
⇒ − = <
+ +
 2
3
A⇒ < 
Bài 20: Cho
2 2 2 2018
1 1 1 1
...
2 3 4 2
A . So sánh A với 2017
2018
 . 
Lời giải 
Ta có: 
2 2 2 2018
1 1 1 1 1 1 1 1
... ...
1.2 2.3 3.4 2017.20182 3 4 2
A 
Mà 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1... 1 ...
1.2 2.3 3.4 2017.2018 2 2 3 3 4 2017 2018
 1 20171
2018 2018
Vậy 
2017
2018
A 
Bài 21: Cho biểu thức 1 11 : 1
1 1 1 1
xy x xy xx xP
xy xy xy xy
   + ++ +
= + + − −   
+ − − +   
 với ; 0≥x y và 
1.≠xy 
1) Rút gọn P . 
2) Tính giá trị của biểu thức P khi 3 34 2 6 4 2 6x = − + + và 2 6= +y x . 
Lời giải 
1) 1 11 : 1
1 1 1 1
xy x xy xx xP
xy xy xy xy
   + ++ +
= + + − −   
+ − − +   
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 1 1: 1
1 1 1
x xy xy x xy xy xy x xP
xy xy xy
+ − + + + + −  + +
= − − 
− − + 
1 1 1: 1
1 1 1
x x y xy xy xy x y x xy xy x xP
xy xy xy
 − + − + + + + + − + +
= − − 
− − + 
( ) ( ) ( ) ( )1 1 1 12 2 :
1 1
xy xy x xy x xyxP
xy xy
− − + + − + −+
=
− −
( )2 1 1 1:
1 1
x xy xy xy x y x x y x xyP
xy xy
+ − − − − − − + − +
=
− −
Liên hệ tài liệu word môn toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
19 
( )
( )
( )
( ) ( )
2 1 2 11 1 1
1 12 2 2 1
x xxy xyP
xy xyxy x y xyxy x
+ +− −
= ⋅ = ⋅ =
− − − −− − − +
2) 3 34 2 6 4 2 6x = − + + 
( )33 3 34 2 6 4 2 6x⇔ = − + + 
( )( ) ( )3 3 334 2 6 4 2 6 3 4 2 6 4 2 6 4 2 6 4 2 6x⇔ = − + + + − + − + + 
( )3 3 338 3 8 4 2 6 4 2 6x⇔ = + − − + + 
3 8 6x x⇔ = − 
3 6 8x x⇔ + = 
( )2 6 8x x⇔ + = 
8xy⇔ = 
1 2
48
P⇒ = = 
Bài 22: 
1) Rút gọn biểu thức 
2 3
3 3 3 1
3 3 27 3
xA
xx x x
   
= + ⋅ + +   
+ + −   
, với 3; 0x x≠ ≠ . 
2) Tính tổng 2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 11 1 ... 1
1 2 2 3 2018 2019
B = + + + + + + + + + . 
Lời giải 
1) 
( ) ( )
2
2 2
3 3 3 3
3 3 33 3 3
x xA
x x