Tài liệu các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

Tailieumontoan.com 
 
 Sưu tầm 
 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG 
 HSG HÌNH HỌC TỐN LỚP 8 
Thanh Hĩa, ngày 10 tháng 8 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 1 
CHUYÊN ĐỀ 1 - CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT 
A.Kiến thức: 
1. Định lí Ta-lét: 
* Định lí Talét 
ABC
MN // BC
∆ 


 ⇔ 
AM AN = 
AB AC
* Hệ quả: MN // BC ⇒ 
AM AN MN = 
AB AC BC
= 
B. Bài tập áp dụng: 
1. Bài 1: 
Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E, đường thẳng qua B song song với AD 
cắt AC ở G 
a) chứng minh: EG // CD 
b) Giả sử AB // CD, chứng minh rằng AB2 = CD. EG 
Giải 
Gọi O là giao điểm của AC và BD 
a) Vì AE // BC ⇒ 
OE OA = 
OB OC
 (1) 
 BG // AC ⇒ 
OB OG = 
OD OA
 (2) 
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: 
OE OG = 
OD OC
 ⇒ EG // CD 
b) Khi AB // CD thì EG // AB // CD, BG // AD nên 
2AB OA OD CD AB CD = = AB CD. EG
EG OG OB AB EG AB
= ⇒ = ⇒ = 
Bài 2: 
Cho ABC vuông tại A, Vẽ ra phía ngoài tam giác đó các tam giác ABD vuông cân ở B, ACF vuông cân ở C. 
Gọi H là giao điểm của AB và CD, K là giao điểm của AC và BF. Chứng minh rằng: 
a) AH = AK 
b) AH2 = BH. CK 
Giải 
Đặt AB = c, AC = b. 
BD // AC (cùng vuông góc với AB) 
NM
CB
A
O
GE
D C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
nên 
AH AC b AH b AH b
HB BD c HB c HB + AH b + c
= = ⇒ = ⇒ = 
Hay 
AH b AH b b.cAH
AB b + c c b + c b + c
= ⇒ = ⇒ = (1) 
AB // CF (cùng vuông góc với AC) nên 
AK AB c AK c AK c
KC CF b KC b KC + AK b + c
= = ⇒ = ⇒ = 
Hay 
AK b AK c b.cAK
AC b + c b b + c b + c
= ⇒ = ⇒ = (2) 
Từ (1) và (2) suy ra: AH = AK 
b) Từ 
AH AC b
HB BD c
= = và 
AK AB c
KC CF b
= = suy ra 
AH KC AH KC
HB AK HB AH
= ⇒ = (Vì AH = AK) 
⇒ AH2 = BH . KC 
3. Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a đi qua A lần lượt cắt BD, BC, DC theo thứ tự tại E, K, G. 
Chứng minh rằng: 
a) AE2 = EK. EG 
b) 
1 1 1
AE AK AG
= + 
c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí nhưng vẫn qua A thì tích BK. 
DG có giá trị không đổi 
Giải 
a) Vì ABCD là hình bình hành và K ∈ BC nên 
AD // BK, theo hệ quả của định lí Ta-lét ta có: 
2EK EB AE EK AE = = AE EK.EG
AE ED EG AE EG
⇒ = ⇒ = 
b) Ta có: 
AE DE = 
AK DB
 ; 
AE BE = 
AG BD
 nên 
AE AE BE DE BD 1 1 = 1 AE 1
AK AG BD DB BD AK AG
 + + = = ⇒ + = 
 
 ⇒ 
1 1 1
AE AK AG
= + (đpcm) 
c) Ta có: 
BK AB BK a = = 
KC CG KC CG
⇒ (1); 
KC CG KC CG = = 
AD DG b DG
⇒ (2) 
Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: 
BK a = BK. DG = ab
b DG
⇒ không đổi (Vì a = AB; b = AD là độ dài hai 
cạnh của hình bình hành ABCD không đổi) 
4. Bài 4: 
H
FK
D
CB
A
G
b
a
E
K
D C
BA
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
 Cho tứ giác ABCD, các điểm E, F, G, H theo thứ tự chia trong các cạnh AB, BC, 
CD, DA theo tỉ số 1:2. Chứng minh rằng: 
a) EG = FH 
b) EG vuông góc với FH 
Giải 
Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của CF, DG 
Ta có CM = 
1
2
 CF = 
1
3
BC ⇒
BM 1 = 
BC 3
⇒ 
BE BM 1 = = 
BA BC 3
⇒EM // AC ⇒ 
EM BM 2 2 = EM = AC
AC BE 3 3
= ⇒ (1) 
T­¬ng tù, ta cã: NF // BD ⇒ 
NF CF 2 2 = NF = BD
BD CB 3 3
= ⇒ (2) 
mµ AC = BD (3) 
Tõ (1), (2), (3) suy ra : EM = NF (a) 
T­¬ng tù nh­ trªn ta cã: MG // BD, NH // AC vµ MG = NH = 
1
3
AC (b) 
MỈt kh¸c EM // AC; MG // BD Vµ AC ⊥ BD ⇒EM ⊥ MG ⇒ 0EMG = 90 (4) 
T­¬ng tù, ta cã: 0FNH = 90 (5) 
Tõ (4) vµ (5) suy ra 0EMG = FNH = 90 (c) 
Tõ (a), (b), (c) suy ra ∆EMG = ∆FNH (c.g.c) ⇒ EG = FH 
b) Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ FH lµ O; cđa EM vµ FH lµ P; cđa EM vµ FN lµ Q th× 
0PQF = 90 ⇒ 0QPF + QFP = 90 mµ QPF = OPE (®èi ®Ønh), OEP = QFP (∆EMG = ∆FNH) 
Suy ra 0EOP = PQF = 90 ⇒ EO ⊥ OP ⇒ EG ⊥ FH 
5. Bµi 5: 
Cho h×nh thang ABCD cã ®¸y nhá CD. Tõ D vÏ ®­êng th¼ng song song víi BC, c¾t AC t¹i M vµ AB t¹i K, Tõ C 
vÏ ®­êng th¼ng song song víi AD, c¾t AB t¹i F, qua F ta l¹i vÏ ®­êng th¼ng song song víi AC, c¾t BC t¹i P. 
Chøng minh r»ng 
a) MP // AB 
b) Ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy 
Gi¶i 
a) EP // AC ⇒ 
CP AF = 
PB FB
 (1) 
Q
P
O
N M
H F
G
E
D
C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
 AK // CD ⇒ 
CM DC = 
AM AK
 (2) 
 c¸c tø gi¸c AFCD, DCBK la c¸c h×nh b×nh hµnh nªn 
AF = DC, FB = AK (3) 
KÕt hỵp (1), (2) vµ (3) ta cã 
CP CM
PB AM
= ⇒ MP // AB (§Þnh lÝ Ta-lÐt 
®¶o) (4) 
b) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa BD vµ CF, ta cã: 
CP CM
PB AM
= = 
DC DC
AK FB
= 
Mµ 
DC DI
FB IB
= (Do FB // DC) ⇒ 
CP DI
PB IB
= ⇒ IP // DC // AB (5) 
Tõ (4) vµ (5) suy ra : qua P cã hai ®­êng th¼ng IP, PM cïng song song víi AB // DC nªn theo tiªn ®Ị ¥clÝt th× ba 
®iĨm P, I, M th¼ng hang hay MP ®i qua giao ®iĨm cđa CF vµ DB hay ba ®­êng th¼ng MP, CF, DB ®ång quy 
6. Bµi 6: 
Cho ∆ABC cã BC < BA. Qua C kỴ ®­êng th¼ng vu«ng go¸c víi tia ph©n gi¸c BE cđa ABC ; ®­êng th¼ng nµy c¾t 
BE t¹i F vµ c¾t trung tuyÕn BD t¹i G. Chøng minh r»ng ®o¹n th¼ng EG bÞ ®o¹n th¼ng DF chia lµm hai phÇn b»ng 
nhau 
Gi¶i 
Gäi K lµ giao ®iĨm cđa CF vµ AB; M lµ giao ®iĨm cđa DF vµ BC 
∆KBC cã BF võa lµ ph©n gi¸c võa lµ ®­êng cao nªn ∆KBC c©n t¹i B 
⇒ BK = BC vµ FC = FK 
MỈt kh¸c D lµ trung ®iĨm AC nªn DF lµ ®­êng trung b×nh cđa ∆AKC 
⇒ DF // AK hay DM // AB 
Suy ra M lµ trung ®iĨm cđa BC 
DF = 
1
2
AK (DF lµ ®­êng trung b×nh cđa ∆AKC), ta cã 
BG BK = 
GD DF
( do DF // BK) ⇒ 
BG BK 2BK = 
GD DF AK
= (1) 
Mỉt kh¸c 
CE DC - DE DC AD1 1
DE DE DE DE
= = − = − (V× AD = DC) ⇒ 
CE AE - DE DC AD1 1
DE DE DE DE
= = − = − 
Hay 
CE AE - DE AE AB1 2 2
DE DE DE DF
= − = − = − (v× 
AE
DE
= 
AB
DF
: Do DF // AB) 
Suy ra 
CE AK + BK 2(AK + BK)2 2
DE DE AK
= − = − (Do DF = 
1
2
AK) ⇒
CE 2(AK + BK) 2BK2
DE AK AK
= − = (2) 
Tõ (1) vµ (2) suy ra 
BG
GD
 = 
CE
DE
 ⇒ EG // BC 
I P
FK
M
D C
BA
M
G
K
F
D E C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
Gäi giao ®iĨm cđa EG vµ DF lµ O ta cã 
OG OE FO = = 
MC MB FM
 
 
 
 ⇒ OG = OE 
Bµi tËp vỊ nhµ 
Bµi 1: 
 Cho tø gi¸c ABCD, AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §­êng th¼ng qua O vµ song song víi BC c¾t AB ë E; ®­êng th¼ng 
song song víi CD qua O c¾t AD t¹i F 
a) Chøng minh FE // BD 
b) Tõ O kỴ c¸c ®­êng th¼ng song song víi AB, AD c¾t BD, CD t¹i G vµ H. 
Chøng minh: CG. DH = BG. CH 
Bµi 2: 
Cho h×nh b×nh hµnh ABCD, ®iĨm M thuéc c¹nh BC, ®iĨm N thuéc tia ®èi cđa tia BC sao cho BN = CM; c¸c ®­êng 
th¼ng DN, DM c¾t AB theo thø tù t¹i E, F. 
Chøng minh: 
a) AE2 = EB. FE 
b) EB =
2AN
DF
 
 
 
. EF 
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
CHUYÊN ĐỀ 2 – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN 
GIÁC 
A. Kiến thức: 
1. Định lí Ta-lét: 
* Định lí Talét 
ABC
MN // BC
∆ 


 ⇔ 
AM AN = 
AB AC
* Hệ quả: MN // BC ⇒ 
AM AN MN = 
AB AC BC
= 
2. Tính chất đường phân giác: 
∆ABC ,AD là phân giác góc A ⇒ 
BD AB = 
CD AC
AD’là phân giác góc ngoài tại A: 
BD' AB = 
CD' AC
B. Bài tập vận dụng 
1. Bài 1: 
Cho ∆ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD 
a) Tính độ dài BD, CD 
b) Tia phân giác BI của góc B cắt AD ở I; tính tỉ số: 
AI
ID
Giải 
a) AD là phân giác của BAC nên BD AB c
CD AC b
= = 
⇒ 
BD c BD c acBD = 
CD + BD b + c a b + c b + c
= ⇒ = ⇒ 
Do đó CD = a - 
ac
b + c
 = 
ab
b + c
b) BI là phân giác của ABC nên AI AB ac b + cc : 
ID BD b + c a
= = = 
2. Bài 2: 
Cho ∆ABC, có B < 600 phân giác AD 
a) Chứng minh AD < AB 
b) Gọi AM là phân giác của ∆ADC. Chứng minh rằng BC > 4 DM 
D' CB
A
D CB
A
a
c
b
I
D CB
A
M D BC
A
NM
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
Giải 
a)Ta có 
AADB = C + 
2
 > 
 A + C
2
 = 

0
0180 - B 60
2
= 
⇒ ADB > B ⇒ AD < AB 
 b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d 
Trong ∆ADC, AM là phân giác ta có 
DM AD = 
CM AC
⇒ 
DM AD DM AD = = 
CM + DM AD + AC CD AD + AC
⇒ 
⇒ DM = 
CD.AD CD. d
AD + AC b + d
= ; CD = 
ab
b + c
( Vận dụng bài 1) ⇒ DM = 
abd
(b + c)(b + d)
Để c/m BC > 4 DM ta c/m a > 
4abd
(b + c)(b + d)
 hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) 
Thật vậy : do c > d ⇒ (b + d)(b + c) > (b + d)2 ≥ 4bd . Bất đẳng thức (1) được c/m 
3.Bài 3: 
Cho ∆ABC, trung tuyến AM, các tia phân giác của các góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự ở D và 
E 
a) Chứng minh DE // BC 
b) Cho BC = a, AM = m. Tính độ dài DE 
c) Tìm tập hợp các giao diểm I của AM và DE nếu ∆ABC có BC cố định, AM 
= m không đổi 
d) ∆ABC có điều kiện gì thì DE là đường trung bình của nó 
Giải 
a) MD là phân giác của AMB nên DA MB
DB MA
= (1) 
 ME là phân giác của AMC nên EA MC
EC MA
= (2) 
Từ (1), (2) và giả thiết MB = MC ta suy ra 
DA EA
DB EC
= ⇒ DE // BC 
b) DE // BC ⇒ 
DE AD AI
BC AB AM
= = . Đặt DE = x ⇒
xm - x 2a.m2 x = 
a m a + 2m
= ⇒ 
ED
M
I
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
c) Ta có: MI = 
1
2
 DE = 
a.m
a + 2m
 không đổi ⇒ I luôn cách M một đoạn không đổi nên tập hợp các điểm 
I là đường tròn tâm M, bán kính MI = 
a.m
a + 2m
 (Trừ giao điểm của nó với BC 
d) DE là đường trung bình của ∆ABC⇔ DA = DB ⇔ MA = MB ⇔ ∆ABC vuông ở A 
4. Bài 4: 
Cho ∆ABC ( AB < AC) các phân giác BD, CE 
a) Đường thẳng qua D và song song với BC cắt AB ở K, chứng minh E 
nằm giữa B và K 
b) Chứng minh: CD > DE > BE 
Giải 
a) BD là phân giác nên 
AD AB AC AE AD AE = < = 
DC BC BC EB DC EB
⇒ < (1) 
Mặt khác KD // BC nên 
AD AK
DC KB
= (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
AK AE AK + KB AE + EB
KB EB KB EB
< ⇒ < ⇒ 
AB AB KB > EB
KB EB
< ⇒ 
⇒ E nằm giữa K và B 
b) Gọi M là giao điểm của DE và CB. Ta có CBD = KDB (so le trong)⇒ KBD = KDB 
 mà E nằm giữa K và B nên KDB > EDB ⇒ KBD > EDB ⇒ EBD > EDB ⇒ EB < DE 
Ta lại có CBD + ECB = EDB + DEC ⇒ DEC > ECB ⇒ DEC > DCE (Vì DCE = ECB ) 
Suy ra: CD > ED ⇒ CD > ED > BE 
5. Bài 5: Cho ∆ABC . Ba đường phân giác AD, BE, CF. Chứng minh 
a. 
DB EC FA. . 1
DC EA FB
= . 
b. 
1 1 1 1 1 1
AD BE CF BC CA AB
+ + > + + . 
Giải 
a)AD là đường phân giác của BAC nên ta có: DB AB = 
DC AC
 (1) 
E
D
M
K
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
Tương tự: với các phân giác BE, CF ta có: 
EC BC = 
EA BA
 (2) ; 
FA CA = 
FB CB
 (3) 
Từ (1); (2); (3) suy ra: 
DB EC FA AB BC CA. . = . .
DC EA FB AC BA CB
= 1 
b) §Ỉt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da. 
Qua C kỴ ®­êng th¼ng song song víi AD , c¾t tia BA ë H. 
Theo §L TalÐt ta cã: 
AD BA
CH BH
= ⇒ 
BA.CH c.CH cAD .CH
BH BA + AH b + c
= = = 
Do CH < AC + AH = 2b nªn: 
2
a
bcd
b c
<
+
1 1 1 1 1 1 1 1
2 2 2a a
b c
d bc b c d b c
+    ⇒ > = + ⇔ > +   
   
Chøng minh t­¬ng tù ta cã : 
1 1 1 1
2bd a c
 > + 
 
 Vµ 
1 1 1 1
2cd a b
 > + 
 
 Nªn: 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2a b cd d d b c a c a b
      + + > + + + + +            
1 1 1 1 1 1 1.2
2a b cd d d a b c
 ⇔ + + > + + 
 
1 1 1 1 1 1
a b cd d d a b c
⇔ + + > + + ( ®pcm ) 
Bµi tËp vỊ nhµ 
Cho ∆ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), các phân giác BD, CE 
a) Tính độ dài CD, BE rồi suy ra CD > BE 
b) Vẽ hình bình hành BEKD. Chứng minh: CE > EK 
c) Chứng minh CE > BD 
H
F
E
D
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
CHUYÊN ĐỀ 3 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
A. Kiến thức: 
* Tam giác đồng dạng: 
a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c) 
∆ABC A’B’C’ ⇔ 
AB AC BC = = 
A'B' A'C' B'C'
b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c) 
∆ABC A’B’C’ ⇔ 
AB AC = 
A'B' A'C'
 ;  A = A' 
c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) 
∆ABC A’B’C’ ⇔  A = A' ;  B = B' 
AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: 
A'H'
AH
 = k (Tỉ số đồng dạng); A'B'C'
ABC
S
S
 = K
2 
B. Bài tập áp dụng 
Bài 1: 
Cho ∆ABC có  B = 2 C , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC 
b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao 
nhiêu? 
Giải 
Cách 1: 
Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC 
∆ACD ∆ABC (g.g) ⇒ 
AC AD
AB AC
= 
2AC AB. AD =AB.(AB + BD)⇒ = = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm 
Cách 2: 
Vẽ tia phân giác BE của ABC ⇒ ∆ABE ∆ACB 
2AB AE BE AE + BE AC = AC = AB(AB + CB) 
AC AB CB AB + CB AB + CB
= = = ⇒ = 8(8 + 10) = 144 
 ⇒ AC = 12 cm 
E
D
C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) 
Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2 
+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac ⇔ 2a + 1 = ac ⇔ a(c – 2) = 1 
⇒ a = 1; b = 2; c = 3(loại) 
+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 
- Với a = 1 thì c = 8 (loại) 
- Với a = 2 thì c = 6 (loại) 
- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5 
Vậy a = 4; b = 5; c = 6 
Bài 2: 
Cho ∆ABC cân tại A, đường phân giác BD; tính BD 
biết BC = 5 cm; AC = 20 cm 
Giải 
Ta có 
CD BC 1 = 
AD AC 4
= ⇒ CD = 4 cm và BC = 5 cm 
Bài toán trở về bài 1 
Bài 3: 
Cho ∆ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao 
cho 
2OBCE = 
BD
. Chứng minh rằng 
a) ∆DBO ∆OCE 
b) ∆DOE DBO ∆OCE 
c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED 
d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB 
Giải 
a) Từ 
2OBCE = 
BD
 ⇒ 
CE OB = 
OB BD
 và  B = C (gt) ⇒ ∆DBO ∆OCE 
b) Từ câu a suy ra   23O = E (1) 
 Vì B, O ,C thẳng hàng nên  03O + DOE EOC 180+ = (2) 
trong tam giác EOC thì   02E + C EOC 180+ = (3) 
Từ (1), (2), (3) suy ra  DOE B C= = 
∆
D
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
∆DOE và ∆DBO có 
DO OE = 
DB OC
 (Do ∆DBO ∆OCE) 
và 
DO OE = 
DB OB
 (Do OC = OB) và  DOE B C= = 
nên ∆DOE ∆DBO ∆OCE 
c) Từ câu b suy ra  1 2D = D ⇒ DO là phân giác của các góc BDE 
Củng từ câu b suy ra  1 2E = E EO là phân giác của các góc CED 
c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên 
OH không đổi ⇒OI không đổi khi D di động trên AB 
Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) 
Cho ∆ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho DME = B 
a) Chứng minh tích BD. CE không đổi 
b)Chứng minh DM là tia phân giác của BDE 
c) Tính chu vi của ∆AED nếu ∆ABC là tam giác đều 
Giải 
a) Ta có  DMC = DME + CME = B + BDM , mà DME = B (gt) 
nên CME = BDM , kết hợp với  B = C (∆ABC cân tại A) 
suy ra ∆BDM ∆CME (g.g) 
⇒ 2
BD BM = BD. CE = BM. CM = a
CM CE
⇒ không đổi 
b) ∆BDM ∆CME ⇒ 
DM BD DM BD = = 
ME CM ME BM
⇒ 
(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMD hay DM là tia 
phân giác của BDE 
c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC 
kẻ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB thì MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM 
⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH 
Chu vi ∆AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) 
∆ABC là tam giác đều nên suy ra ∆CME củng là tam giác đều CH = 
MC
2 2
a
= 
⇒ AH = 1,5a ⇒ PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a 
21
3
2
1 H
I
O
E
D
CB
A
K
H
I
M
E
D
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
Bài 5: 
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường 
thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F 
a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC 
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K 
là trung điểm của FE 
Giải 
a) DE // AM ⇒ 
DE BD BD = DE = .AM
AM BM BM
⇒ (1) 
 DF // AM ⇒ 
DF CD CD CD = DF = .AM = .AM 
AM CM CM BM
⇒ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
DE + DF = 
BD CD .AM + .AM
BM BM
 = 
BD CD BC + .AM = .AM = 2AM
BM BM BM
 
 
 
 không đổi 
b) AK // BC suy ra ∆FKA ∆AMC (g.g) ⇒ 
FK KA = 
AM CM
 (3) 
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = 
ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = (2) 
(Vì CM = BM) 
Từ (1) và (2) suy ra 
FK EK
AM AM
= ⇒FK = EK hay K là trung điểm của FE 
Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004) 
Cho hình thoi ABCD cạnh a có  0A = 60 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia BA, DA 
tại M, N 
a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi 
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo của góc BKD 
Giải 
a) BC // AN ⇒ 
MB CM = 
BA CN
(1) 
 CD// AM ⇒
CM AD = 
CN DN
 (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
2MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN
⇒ 
K
F
E
D M
CB
A
1
1 K
M
ND
C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
b) ∆MBD và∆BDN có MBD = BDN = 1200 
MB MB CM AD BD = = 
BD BA CN DN DN
= = (Do ABCD là hình thoi có  0A = 60 nên AB = BC = CD = DA) ⇒ ∆
MBD ∆BDN 
Suy ra  1 1M = B . ∆MBD và∆BKD có BDM = BDK và  1 1M = B nên 0BKD = MBD = 120 
Bài 7: 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE 
vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. 
Chứng minh rằng 
a) IM. IN = ID2 
b) 
KM DM = 
KN DN
c) AB. AE + AD. AF = AC2 
Giải 
a) Từ AD // CM ⇒ 
IM CI = 
ID AI
 (1) 
Từ CD // AN ⇒ 
CI ID 
AI IN
= (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
IM
ID
= 
ID
IN
 hay ID2 = IM. IN 
b) Ta có 
DM CM DM CM DM CM = = = 
MN MB MN + DM MB + CM DN CB
⇒ ⇒ (3) 
Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
⇒ 
IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM = = = = 
IM IK IM IK IM IK KN IK
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
KM IM CM CM = 
KN ID AD CB
= = 
(4) 
Từ (3) và (4) suy ra 
KM DM = 
KN DN
c) Ta có ∆AGB ∆AEC ⇒
AE AC = AB.AE = AC.AG
AG AB
⇒ 
 ⇒AB. AE = AG(AG + CG) (5) 
∆CGB ∆AFC ⇒
AF CG CG = 
AC CB AD
= (vì CB = AD) 
⇒AF . AD = AC. CG ⇒ AF . AD = (AG + CG) .CG (6) 
I
K
F
G
E
M
D
C
BA N
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG 
⇔ AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 
Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2 
Bài tập về nhà 
Bài 1 
Cho Hình bình hành ABCD, một đường thẳng cắt AB, AD, AC lần lượt tại E, F, G 
Chứng minh: 
AB AD AC + = 
AE AF AG
HD: Kẻ DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) 
Bài 2: 
Qua đỉnh C của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD ở E, G, F 
 chứng minh: 
a) DE2 = 
FE
EG
. BE2 
b) CE2 = FE. GE 
(Gợi ý: Xét các tam giác DFE và BCE, DEC và BEG) 
Bài 3 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt nhau tại một điểm. 
Chứng minh rằng 
a) 
BH CM AD. . 1
HC MA BD
= 
b) BH = AC 
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
CHUYÊN ĐỀ 4 – CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
A. Kiến thức: 
* Tam giác đồng dạng: 
a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c) 
∆ABC A’B’C’ ⇔ 
AB AC BC = = 
A'B' A'C' B'C'
b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c) 
∆ABC A’B’C’ ⇔ 
AB AC = 
A'B' A'C'
 ;  A = A' 
c. Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g) 
∆ABC A’B’C’ ⇔  A = A' ;  B = B' 
AH; A’H’là hai đường cao tương ứng thì: 
A'H'
AH
 = k (Tỉ số đồng dạng); A'B'C'
ABC
S
S
 = K
2 
B. Bài tập áp dụng 
Bài 1: 
Cho ∆ABC có  B = 2 C , AB = 8 cm, BC = 10 cm. 
a)Tính AC 
b)Nếu ba cạnh của tam giác trên là ba số tự nhiên liên tiếp thì mỗi cạnh là bao 
nhiêu? 
Giải 
Cách 1: 
Trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao cho:BD = BC 
∆ACD ∆ABC (g.g) ⇒ 
AC AD
AB AC
= 
2AC AB. AD =AB.(AB + BD)⇒ = = AB(AB + BC) 
= 8(10 + 8) = 144 ⇒ AC = 12 cm 
Cách 2: 
Vẽ tia phân giác BE của ABC ⇒ ∆ABE ∆ACB 
2AB AE BE AE + BE AC = AC = AB(AB + CB) 
AC AB CB AB + CB AB + CB
= = = ⇒ = 8(8 + 10) = 144 
E
D
C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
 ⇒ AC = 12 cm 
b) Gọi AC = b, AB = a, BC = c thì từ câu a ta có b2 = a(a + c) (1) 
Vì b > anên có thể b = a + 1 hoặc b = a + 2 
+ Nếu b = a + 1 thì (a + 1)2 = a2 + ac ⇔ 2a + 1 = ac ⇔ a(c – 2) = 1 
⇒ a = 1; b = 2; c = 3(loại) 
+ Nếu b = a + 2 thì a(c – 4) = 4 
- Với a = 1 thì c = 8 (loại) 
- Với a = 2 thì c = 6 (loại) 
- với a = 4 thì c = 6 ; b = 5 
Vậy a = 4; b = 5; c = 6 
Bài 2: 
Cho ∆ABC cân tại A, đường phân giác BD; tính BD 
biết BC = 5 cm; AC = 20 cm 
Giải 
Ta có 
CD BC 1 = 
AD AC 4
= ⇒ CD = 4 cm và BC = 5 cm 
Bài toán trở về bài 1 
Bài 3: 
Cho ∆ABC cân tại A và O là trung điểm của BC. Một điểm O di động trên AB, lấy điểm E trên AC sao 
cho 
2OBCE = 
BD
. Chứng minh rằng 
a) ∆DBO ∆OCE 
b) ∆DOE DBO ∆OCE 
c) DO, EO lần lượt là phân giác của các góc BDE, CED 
d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi khi D di động trên AB 
Giải 
a) Từ 
2OBCE = 
BD
 ⇒ 
CE OB = 
OB BD
 và  B = C (gt) ⇒ ∆DBO ∆OCE 
b) Từ câu a suy ra   23O = E (1) 
 Vì B, O ,C thẳng hàng nên  03O + DOE EOC 180+ = (2) 
trong tam giác EOC thì   02E + C EOC 180+ = (3) 
∆
D
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
Từ (1), (2), (3) suy ra  DOE B C= = 
∆DOE và ∆DBO có 
DO OE = 
DB OC
 (Do ∆DBO ∆OCE) 
và 
DO OE = 
DB OB
 (Do OC = OB) và  DOE B C= = 
nên ∆DOE ∆DBO ∆OCE 
c) Từ câu b suy ra  1 2D = D ⇒ DO là phân giác của các góc BDE 
Củng từ câu b suy ra  1 2E = E EO là phân giác của các góc CED 
c) Gọi OH, OI là khoảng cách từ O đến DE, CE thì OH = OI, mà O cố định nên 
OH không đổi ⇒OI không đổi khi D di động trên AB 
Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) 
Cho ∆ABC cân tại A, có BC = 2a, M là trung điểm BC, lấy D, E thuộc AB, AC sao cho DME = B 
a) Chứng minh tích BD. CE không đổi 
b)Chứng minh DM là tia phân giác của BDE 
c) Tính chu vi của ∆AED nếu ∆ABC là tam giác đều 
Giải 
a) Ta có  DMC = DME + CME = B + BDM , mà DME = B (gt) 
nên CME = BDM , kết hợp với  B = C (∆ABC cân tại A) 
suy ra ∆BDM ∆CME (g.g) 
⇒ 2
BD BM = BD. CE = BM. CM = a
CM CE
⇒ không đổi 
b) ∆BDM ∆CME ⇒ 
DM BD DM BD = = 
ME CM ME BM
⇒ 
(do BM = CM)⇒ ∆DME ∆DBM (c.g.c) ⇒ MDE = BMD hay DM là tia 
phân giác của BDE 
c) chứng minh tương tự ta có EM là tia phân giác của DEC 
kẻ MH ⊥CE ,MI ⊥DE, MK ⊥DB thì MH = MI = MK ⇒ ∆DKM = ∆DIM 
⇒DK =DI ⇒ ∆EIM = ∆EHM ⇒EI = EH 
Chu vi ∆AED là PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK) 
∆ABC là tam giác đều nên suy ra ∆CME củng là tam giác đều CH = 
MC
2 2
a
= 
21
3
2
1 H
I
O
E
D
CB
A
K
H
I
M
E
D
CB
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 19 
⇒ AH = 1,5a ⇒ PAED = 2 AH = 2. 1,5 a = 3a 
Bài 5: 
Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường 
thẳng song song với AM, cắt AB, AC tại E và F 
a) chứng minh DE + DF không đổi khi D di động trên BC 
b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE tại K. Chứng minh rằng K 
là trung điểm của FE 
Giải 
a) DE // AM ⇒ 
DE BD BD = DE = .AM
AM BM BM
⇒ (1) 
 DF // AM ⇒ 
DF CD CD CD = DF = .AM = .AM 
AM CM CM BM
⇒ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
DE + DF = 
BD CD .AM + .AM
BM BM
 = 
BD CD BC + .AM = .AM = 2AM
BM BM BM
 
 
 
 không đổi 
b) AK // BC suy ra ∆FKA ∆AMC (g.g) ⇒ 
FK KA = 
AM CM
 (3) 
EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = = = 
ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM
⇒ ⇒ ⇒ = ⇒ = (2) 
(Vì CM = BM) 
Từ (1) và (2) suy ra 
FK EK
AM AM
= ⇒FK = EK hay K là trung điểm của FE 
Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004) 
Cho hình thoi ABCD cạnh a có  0A = 60 , một đường thẳng bất kỳ qua C cắt tia đối của các tia BA, DA 
tại M, N 
a) Chứng minh rằng tích BM. DN có giá trị không đổi 
b) Gọi K là giao điểm của BN và DM. Tính số đo của góc BKD 
Giải 
a) BC // AN ⇒ 
MB CM = 
BA CN
(1) 
 CD// AM ⇒
CM AD = 
CN DN
 (2) 
K
F
E
D M
CB
A
1
1 K
M
ND
C
B
A
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 20 
Từ (1) và (2) suy ra 2
MB AD = MB.DN = BA.AD = a.a = a
BA DN
⇒ 
b) ∆MBD và∆BDN có MBD = BDN = 1200 
MB MB CM AD BD = = 
BD BA CN DN DN
= = (Do ABCD là hình thoi có  0A = 60 nên AB = BC = CD = DA) ⇒ ∆
MBD ∆BDN 
Suy ra  1 1M = B . ∆MBD và∆BKD có BDM = BDK và  1 1M = B nên 0BKD = MBD = 120 
Bài 7: 
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC lần lượt tại I, M, N. Vẽ CE 
vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc với AC. Gọi K là điểm đối xứng với D qua I. 
Chứng minh rằng 
a) IM. IN = ID2 
b) 
KM DM = 
KN DN
c) AB. AE + AD. AF = AC2 
Giải 
a) Từ AD // CM ⇒ 
IM CI = 
ID AI
 (1) 
Từ CD // AN ⇒ 
CI ID 
AI IN
= (2) 
Từ (1) và (2) suy ra 
IM
ID
= 
ID
IN
 hay ID2 = IM. IN 
b) Ta có 
DM CM DM CM DM CM = = = 
MN MB MN + DM MB + CM DN CB
⇒ ⇒ (3) 
Từ ID = IK và ID2 = IM. IN suy ra IK2 = IM. IN 
⇒ 
IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM = = = = 
IM IK IM IK IM IK KN IK
⇒ ⇒ ⇒ ⇒
KM IM CM CM = 
KN ID AD CB
= = 
(4) 
Từ (3) và (4) suy ra 
KM DM = 
KN DN
c) Ta có ∆AGB ∆AEC ⇒
AE AC = AB.AE = AC.AG
AG AB
⇒ 
 ⇒AB. AE = AG(AG + CG) (5) 
∆CGB ∆AFC ⇒
AF CG CG = 
AC CB AD
= (vì CB = AD) 
I
K
F
G
E
M
D
C
BA N
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 21 
⇒AF . AD = AC. CG ⇒ AF . AD = (AG + CG) .CG (6) 
Cộng (5) và (6) vế theo vế ta có: 
AB. AE + AF. AD = (AG + CG) .AG + (AG + CG) .CG 
⇔ AB. AE + AF. AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 
Vậy: AB. AE + AD. AF = AC2 
Bài tập về nhà 
Bài 1 
Cho Hình bình hành ABCD, một đường thẳng cắt AB, AD, AC lần lượt tại E, F, G 
Chứng minh: 
AB AD AC + = 
AE AF AG
HD: Kẻ DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) 
Bài 2: 
Qua đỉnh C của hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD ở E, G, F 
 chứng minh: 
a) DE2 = 
FE
EG
. BE2 
b) CE2 = FE. GE 
(Gợi ý: Xét các tam giác DFE và BCE, DEC và BEG) 
Bài 3 
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt nhau tại một điểm. 
Chứng minh rằng 
a) 
BH CM AD. . 1
HC MA BD
= 
b) BH = AC 
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 22 
CHUYÊN ĐỀ 5 – BỔ ĐỀ HÌNH THANG VÀ CHÙM ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY 
A. Kiến thức: 
1) Bổ đề hình thang: 
“Trong hình thang có hai đáy không bằng nhau, đường thẳng đi qua giao điểm của các đường chéo và đi 
qua giao điểm của các đường thẳng chứa hai cạnh bên thì đi qua trung điểm của hai đáy” 
Chứng minh: 
Gọi giao điểm của AB, CD là H, của AC, BD là G, trung điểm của AD, BC là E và F 
Nối EG, FG, ta có: ∆ADG ∆CBG (g.g) , nên : 
AD AG 2AE AG AE AG
CB CG 2CF CG CF CG
= ⇒ = ⇒ = (1) 
Ta lại có : EAG FCG= (SL trong ) (2) 
Từ (1) và (2) suy ra : ∆AEG ∆CFG (c.g.c) 
Do đó: AGE CGF= ⇒ E , G , H thẳng hàng (3) 
Tương tự, ta có: ∆AEH ∆BFH AHE BHF⇒ = 
 ⇒ H , E , F thẳng hàng (4) 
Tõừ (3) và (4) suy ra : H , E , G , F thẳng hàng 
2) Chùm đường thẳng đồng quy: 
Nếu các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song thì 
chúng định ra trên hai đường thẳng song song ấy các đoạn thẳng 
tương ứng tỉ lệ 
 Nếu m // n, ba đường thẳng a, b, c đồng quy ở O chúng cắt m tại 
A, B, C và cắt n tại A’, B’, C’ thì 
AB BC AC = 
A'B' B'C' A'C'
= hoặc 
AB A'B' AB A'B' = ; 
BC B'C' AC A'C'
= 
* Đảo lại: 
+ Nếu ba đường thẳng trong đó có hai đường thẳng cắt nhau, định 
ra trên hai đường thẳng song song các cặp đoạn thẳng tương ứng 
tỉ lệ thì ba đường thẳng đó đồng quy 
+ Nếu hai đường thẳng bị cắt bởi ba đường thẳng đồng quy tạo thành các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ 
thì chúng song song với nhau 
////
//
H
G
E
F
D
CB
A
cba
O
n
m
A' B' C'
CBA
Liên hệ tài liệu word tốn zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TỐN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 23 
B. Aùp dụng: 
1) Bài 1: 
Cho tứ giác ABCD có M là trung điểm CD, N là trung điểm CB. Biết AM, AN cắt BD thành ba đoạn 
bằng nhau. Chứng minh rằng ABCD là hình bình hành 
Giải 
Gọi E, F là giao điểm của AM, AN với BD; G, H là giao điểm của 
MN với AD, BD 
MN // BC (MN là đường trung bình của ∆BCD) 
⇒ Tứ giác HBFM là hình thang có hai cạnh bên đòng quy tại A, N 
là trung điểm của đáy BF nên theo bổ đề hình thang thì N là trung 
điểm của đáy MH 
⇒MN = NH (1) 
Tương tự : trong hình thang CDEN thì M là trung điểm của GN ⇒ GM = MN (2) 
Từ (1) và (2) suy ra GM = MN = NH 
Ta có ∆BNH = ∆CNM (c.g.c) ⇒ BHN = CMN ⇒ BH // CM hay AB // CD (a) 
Tương tự: ∆GDM = ∆NCM (c.g.c) ⇒ DGM = CNM ⇒ GD // CN hay AD // CB (b) 
Từ (a) và (b) suy ra tứ giác ABCD có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hàn