Tài liệu các Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 7

Tailieumontoan.com 
 
 Trịnh Bình 
 CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG 
HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 7 
Thanh Hóa, ngày 04 tháng 8 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 1 
TUYỂN TẬP 15 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 7 
LỜI NÓI ĐẦU 
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán 
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em 15 chuyên đề bồi dưỡng học 
sinh giỏi toán lớp 7. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm 15 chuyên đề về này nhằm 
đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 7 . 
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con 
em mình học tập. Hy vọng 15 chuyên đề lớp 7 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 7 phát 
huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. 
 Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi 
những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! 
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
Mục Lục 
 Trang 
Lời nói đầu 
Chủ đề 1. Thực hiện phép tính 1 
Chủ đề 2. Các bài toán về lũy thừa số tự nhiên 50 
Chủ đề 3. Tìm ẩn chưa biết 69 
Chủ đề 4. Các dạng toán và phương pháp chứng minh chia hết 133 
Chủ đề 5. Số nguyên tố, hợp số 179 
Chủ đề 6. Các bài toán về số chính phương 207 
Chủ đề 7. Các dạng toán về phân số 226 
Chủ đề 8. Chứng minh bất đẳng thức và tìm GTLN, GTNN 248 
Chủ đề 9. Tỷ lệ thức và dãy tỉ số bằng nhau 272 
Chủ đề 10. Các bài toán về trị tuyệt đối 318 
Chủ đề 11. Các bài toán về đa thức 352 
Chủ đề 12. Đồng dư thức 380 
Chủ đề 13. Nguyên lý Dirichlet 407 
Chủ đề 14. Các chuyên đề hình học nâng cao 434 
Chủ đề 15. Các bài toán nâng cao hình học từ đề học sinh giỏi 513 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 1 
CHUYÊN ĐỀ 1: THỰC HIỆN PHÉP TÍNH 
A. LÝ THUYẾT CẦN NHỚ: 
1) Một số tính chất của lũy thừa: 
• Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số 
( )m n m na .a a m,n+= ∈ 
m n m na : a a (m,n ;m n)−= ∈ ≥ 
( )
m m
m
a a b 0
b b
  = ≠ 
 
• Lũy thừa của một lũy thừa: ( ) ( )nm m.na a m,n= ∈ 
• Lũy thừa của một tích: ( ) ( )n n na.b a .b n= ∈ 
• Lũy thừa tầng: ( ) ( )
nn mma a m,n= ∈ 
2) Một số công thức đặt thừa số chung 
• ( ). . . ... . . ...a b a c a d a k a b c d k+ + + + = + + + + 
• 
1 2 1 2
1 1 1... ...
n n
a a a a
x x x x x x
 
+ + + = + + + 
 
DẠNG 1: LŨY THỪA, PHỐI HỢP CÁC PHÉP TÍNH 
Bài 1: Thực hiện phép tính: 
a, 
11 11
9 5
3 .11 3 .21
3 .2
A += . b,
4 475.5 175.5
20.25.125 625.75
B +=
−
 c, 
( )216
13 11 9
3.4.2
;
11.2 .4 16
C =
−
Hướng dẫn giải 
a, Ta có: 
11 11
9 5
3 .11 3 .21
3 .2
A += = ( )
11
9 5
3 11 21
3 .2
+
11
9
3 .32
3 .32
=
23 9
1
= = . 
b, Ta có: 
4 4 2 4 2 4 6 6 6
2 2 3 4 2 2 6 6 6
75.5 175.5 3.5 .5 5 .7.5 3.5 7.5 5 .10 10
20.25.125 625.75 2 .5.5 .5 5 .3.5 2 .5 3.5 5
B + + += = = = =
− − −
c, Ta có: 
( )
( )
216 2 36 2 36 2 36
13 11 9 35 36 35 35
3.4.2 3 .2 3 .2 3 .2 2
11.2 .4 16 11.2 2 2 11 2 2 .9
C = = = = =
− − − 
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
a,
15 9 20 9
9 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 .27
A −=
−
 b,
 ( )
10 3 5 2
3 9 3
5 .7 25 .49
125.7 5 .14
B −=
+
 c, 
 216
13 11 9 18
3.4.2
11.2 .4 4 .2
C 
Hướng dẫn giải 
a, Ta có: 
15 9 20 9 30 18 2 20 27
9 19 29 6 28 19 29 18
5.4 .9 4.3 .8 5.2 .3 2 .3 .2
5.2 .6 7.2 .27 5.2 .3 7.2 .3
− −
=
− −
( )
( )
29 18 29 18
28 18 28 18
2 .3 10 9 2 .3 2
2 .3 15 14 2 .3
−
= = =
−
 b, Ta có: 
( )
( )
( )
( )10 310 3 5 2 10 3 10 4
3 9 3 9 3 3 9 3 39 3
5 .7 1 7 5. 65 .7 25 .49 5 .7 5 .7 10
9 35 .7 5 .7 .2 5 .7 1 2125.7 5 .14
B
− −− − −
= = = = = ⋅
+ ++
c, Ta có: 
2
16
2 36
13 11 9 18 35
3.4.2 3 .2
2
11.2 .4 4 .2 2 11 2
C 
Bài 3: Thực hiện phép tính: 
a,
11 12
9 2 9
5.7 7
7 .5 13.7
A 
 b,
 c,
15 9 20 9
9 19 29 6
5.4 .9 4.3 .8
5.2 .6 7.2 27
C −=
−
Hướng dẫn giải 
a, Ta có: 
11 12 11 11
2
9 2 9 99 2
5.7 7 7 (5 7) 7 .12 7 49
7 .5 13.7 7 .127 5 13
A 
b, Ta có: 
c, Ta có: 
( )
( )
29 18 215 9 20 9 30 18 2 20 27
9 19 29 6 9 19 19 29 18 28 18
2 .3 5.2 35.4 .9 4.3 .8 5.2 .3 2 .3 .2 2.1.1 2
1.1.15.2 .6 7.2 27 5.2 .2 .3 7.2 .3 2 .3 5.3 7.2
A
−− −
= = = = =
− − −
Bài 4. Tính: ( )213 8 19 231 0,5 3 1 :1
15 15 60 24
 ⋅ ⋅ + − 
 
 Hướng dẫn giải 
Ta có: ( )213 8 19 231 0,5 3 1 :1
15 15 60 24
 ⋅ ⋅ + − 
 
28 1 8 79 24. .3 .
15 4 15 60 47
 = + − 
 
7 2 1
5 5
= − = 
Bài 5: Tính biêu thức: . 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
. 
Bài 6: Thực hiện phép tính:
Hướng dẫn giải 
15 16
15
2 .7 2
5.2
B −=
( )1515 16
15 15
2 7 22 .7 2 5 1
5.2 5.2 5
B
−−
= = = =
9
10
151515 17 1500 176
161616 17 1600 187
B    = + − −  
  
9
10
151515 17 1500 176
161616 17 1600 187
B    = + − −  
  
15 1 15 16 1
16 17 16 17
= + − + =
( )242 .5 131 13 4A  = − − − 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
Ta có : . 
Bài 7: Thực hiện phép tính: 
 a) ( ) ( ){ }2 2 2 08 : 25 18 : 5 2 :11 2018 − − + −  b) ( ) ( )
27 7 15 1411.3 .9 9 : 2.3− 
Hướng dẫn giải 
a) ( ) ( ){ }2 2 2 08 : 25 18 : 5 2 :11 2018 − − + −  
 [ ]{ }64 : 25 18 : 33:11 1= − − 
 { }64 : 25 18 : 2= − 
 64 :16 4= = . 
b) ( ) ( )27 11 15 1411.3 .9 9 : 2.3− 
 ( ) ( )7 22 30 2 2811.3 .3 3 : 2 .3= − 
 ( ) ( )29 30 2 2811.3 3 : 2 .3= − 
 ( )29 2 283 .8 : 2 .3= 
 ( )29 3 2 283 .2 : 2 .3 3.2 6= = = . 
Bài 8: Thực hiện phép tính: 
Hướng dẫn giải 
 Ta có :
116 8.1 .4 4 27
4
= + − + =
Bài 9: Rút gọn : 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
Bài 10: Thực hiện phép tính: 
Hướng dẫn giải 
( ) ( )24 22 .5 131 13 4 16.5 131 9A  = − − − = − −  ( )80 131 81 80 50 30= − − = − =
( ) ( )
0
2 24 212 8 2 : 2 .4 2
2
− + − − + −  
( ) ( )
0
2 24 212 8 2 : 2 .4 2
2
− + − − + −  
5 7 9
11 13 15 17 19 21
25 25 25
5 5 5 5 5 5
B + +=
+ + + + +
( ) ( )
( )
( )( )
10 4 85 7 9 10 14 18
11 13 15 17 19 21 11 15 19 13 17 21 4 8 11 13
5 1 5 525 25 25 5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 1 5 5 5 5
B
+ ++ + + +
= = =
+ + + + + + + + + + + + +
10
11 13
5 1 1
5 5 5 125 130
= = =
+ +
32 2 1 10,4 0,25 20139 11 3 5 :7 7 1 20141,4 1 0,875 0,7
9 11 6
A
 − + − + 
= − 
 − + − +
 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
3
3
3
2 2 2 1 1 1
20135 9 11 3 4 5 :
7 7 7 7 7 7 2014
5 9 11 6 8 10
1 1 1 1 1 12
2013 2 2 20135 9 11 3 4 5 : : 0
1 1 1 7 1 1 1 2014 7 7 20147
5 9 11 2 3 4 5
 − + − + 
= − 
 − + − + 
 
  − + − +      = − = − =       − + − +        
DẠNG 2 : TÍNH ĐƠN GIẢN 
Bài 1: Rút gọn : 
2 2 2 4 4 42 4
19 43 1943 19 41 2941:3 3 3 5 5 53 5
19 43 1943 19 41 2941
A
− + − − + −
=
− + − − + −
 Hướng dẫn giải 
Ta có : 
1 1 1 1 1 12 1 4 1
19 43 1943 19 41 2941:
1 1 1 1 1 13 1 5 1
19 43 1943 19 41 2941
2 4 2 5 5: . .
3 5 3 4 6
A
   − + − − + −   
   =
   − + − − + −   
   
= = =
Bài 2: Thực hiện phép tính: 
2 2 1 10,4 0,25 20149 11 3 5 :7 7 1 20151,4 1 0,875 0,7
9 11 6
M
 − + − + 
= − 
 − + − +
 
Hướng dẫn giải 
32 2 1 10,4 0,25 20139 11 3 5 :7 7 1 20141,4 1 0,875 0,7
9 11 6
A
 − + − + 
= − 
 − + − +
 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
2 2 1 10,4 0,25 20149 11 3 5 :7 7 1 20151,4 1 0,875 0,7
9 11 6
1 1 12 2 2 1 1 1 1 1 12
2014 20145 9 115 9 11 3 4 5 3 4 5: :7 7 7 7 7 7 1 1 1 7 1 1 12015 2017 .
5 9 11 6 8 10 5 9 11 3 3 4 5
M
 − + − + 
= − 
 − + − +
 
    − +− + − + − +      = − = − 
     − + − + − + − +          
5
2 2 2014: 0
7 7 2015
 = − = 
 
Bài 3: Thực hiện phép tính: 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
7
1,2 : 2 1 34 0,75 1 0119 360,6 4 4.
36 17
−
= + + = − + + = 
Bài 4: Thực hiện phép tính: 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
= 
3 2 41,2 : 1 .1,25 1,08 :
25 25 7 0,6.0,5 :1 5 9 36 50,64 5 .
25 9 4 17
M
   − −   
   = + +
 − − 
 
3 2 41,2 : 1 .1,25 1,08 :
25 25 7 0,6.0,5 :1 5 9 36 50,64 5 .
25 9 4 17
M
   − −   
   = + +
 − − 
 
2 3 193 33 7 11 1931 9. : .
193 386 17 34 1931 3862 25 2
A       = − + + +            
2 3 193 33 2 193 3 193 33 2 2 33) . . . 1
193 386 17 34 193 17 386 17 34 17 34 34
7 11 1931 9 7 1931 11 1931 9 7 11 9. . . 5
1931 3862 25 2 1931 25 3862 25 2 25 50 2
11:5
5
a
A
  − + = − + = − + =    
  + + = + + = + + =    
⇒ = =
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
Bài 5: Thực hiện phép tính: 
 Hướng dẫn giải 
Bài 6: Thực hiện phép tính: 
Hướng dẫn giải 
Bài 7: Tính biểu thức: 
3 3 1 10,5 0,5 0,2
17 37 3 4
5 5 5 7 7 7 3,5
6 17 37 5 4 3
− + − + −
= +
− + − + −
B 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
2 2 1 10,4 0,25 20149 11 3 5 :7 7 1 20151,4 1 0,875 0,7
9 11 6
M
 − + − + 
= − 
 − + − +
 
2 2 1 10,4 0,25 20149 11 3 51) :7 7 1 20151,4 1 0,875 0,7
9 11 6
1 1 12 2 2 1 1 1 1 1 12
2014 20145 9 115 9 11 3 4 5 3 4 5: :7 7 7 7 7 7 1 1 1 7 1 1 12015 27 .
5 9 11 6 8 10 5 9 11 3 3 4 5
M
 − + − + 
= − 
 − + − +
 
    − +− + − + − +      = − = −       − + − + − + − +          
015
2 2 2014: 0
7 7 2015
 = − = 
 
3 30,375 0,3 1,5 1 0,7511 12
5 5 50,265 0,5 2,5 1,25
11 12 3
− + + + −
+
− + − − + −
3 3 3 3 3 3 3
8 10 11 12 2 3 4) 53 5 5 5 5 5 5
100 10 11 12 2 3 4
1 1 1 1 1 1 1 165 132 120 1103 3 3.
38 10 11 12 2 3 4 1320
53 1 1 1 1 1 1 53 66 60 55 55 5 5
100 10 11 12 2 3 4 100 660
2633.
1320
a A
− + + + −
= +
− + − − + −
− + +     − + + + −     
     = + = +
− − − + +     − − + + + − −     
     
=
−
2633.3 3 3945 3 18811320
53 49 1749 12255 5 5948 5 297405.
100 660 3300
−
+ = + = + =
− − −−
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
3 3 1 1 3 3 3 1 1 1 10,5 0,5 0,2
17 37 3 4 6 17 37 2 3 4 5
5 5 5 7 7 7 5 5 5 7 7 7 73,5
6 17 37 5 4 3 6 17 37 5 4 3 2
− + − + − − + − + −
= + = +
− + − + − − + − + −
B
1 1 1 1 1 1 13
3 1 166 17 37 2 3 4 5
1 1 1 1 1 1 1 5 7 355 7
6 17 37 2 3 4 5
 − + − + − 
 = + = − = ⋅
   − + − − + −   
   
Bài 8: Thực hiện phép tính:
1 1 1 1(1 2 3 ... 100) (63.1,2 21.3,6)
2 3 7 9
1 2 3 4 ... 99 100
 + + + + − − − − 
 
− + − + + −
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
1 1 1 1(1 2 3 ... 100) (63.1,2 21.3,6)
2 3 7 963.1,2 21.3,6 0 0
1 2 3 4 ... 99 100
 + + + + − − − − 
 − = ⇒ =
− + − + + −
DẠNG 3 : TÍNH TỔNG CÁC SỐ TỰ NHIÊN ĐƯỢC LẬP TỪ MỘT CHỮ SỐ 
Tính tổng: ... ...
n
S a aa aaa aaa a= + + + +

 Phương pháp: 
Ta có: 
( )... ... 1 11 111 ... 111...1
9 9 99 999 ... 999...9
n n
n
S a aa aaa aaa a a
S a
= + + + + = + + + +
 
⇒ = + + + + 
 
 

Đặt 9 99 999 ... 999...9
n
A = + + + +

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 310 1 10 1 10 1 ... 10 1nA = − + − + − + + − 
 ( )2 310 10 10 ... 10 111...10n
n
n n= + + + + − = −

111...10
.
9
n
a n
S
 
− 
 ⇒ =

Bài 1: Tính tổng tự nhiên 
a, 
10
9 99 999 ... 999...9A = + + + +

 b,
10
1 11 111 ... 111...1B = + + + +

Hướng dẫn giải 
a, Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1010 1 10 1 10 1 ... 10 1A = − + − + − + + − 
 ( )
2 3 10
10 9
10 10 10 ... 10 10 111..10 10 111...100.= + + + + − = − =

b, Ta có: 9 9 99 999 .... 9999...99B = + + + + ( 10 số 9). 
( ) ( ) ( ) ( )2 3 1010 1 10 1 10 1 ... 10 1A = − + − + − + + − 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
 ( )
2 3 10
10 9
10 10 10 ... 10 10 111..10 10 111...100.= + + + + − = − =

9
111...100
.
9 9
AB⇒ = =

Bài 2: Tính tổng tự nhiên C= 
10
5 55 555 ... 555...5C = + + + +

 Hướng dẫn giải 
a, Ta có: 
10
5 1 11 111 ... 111...1C
 
= + + + + 
 

 ( 10 số 1) 
10
9 5 9 99 999 ... 999...9C
 
= + + + + 
 

Ta có: ( ) ( ) ( ) ( )2 3 1010 1 10 1 10 1 ... 10 1A = − + − + − + + − 
 ( )
2 3 10
89
10 10 10 ... 10 10 111...10 10 111..100= + + + + − = − =

8 8
5.111...100 555..500
.
9 9
C⇒ = =

DẠNG 4 : TÍNH TỔNG DÃY PHÂN SỐ CÓ QUY LUẬT 
1) Tính tổng: S = 
 * Với 2 1 3 2 4 3 1... 1n aa a a a a a a a −− = − = − = = − = 
Phương pháp: 
Ta có: 
2 1
1 2 1 2 1 2
3 2
2 3 2 3 2 3
1
1 1 1
1 1 1 ;
1 1 1 ;
...................................................
1 1 1 .n n
n n n n n n
a a
a a a a a a
a a
a a a a a a
a a
a a a a a a
−
− − −
−
= = −
−
= = −
−
= = −
Do đó: 
 S = 
Bài 1: Tính tổng : 
2005.2004
1...
4.3
1
3.2
1
2.1
1
++++=S 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
 1 1 1 1 1 1 1
1.2 1 2 2 3 2004 2005
= − = − = −
1 1
; ;...........
2.3 2004.2005
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được. 
1 2 2 3 3 4 n 1 n
1 1 1 1...
a a a a a a a a−
+ + + +
1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...
a a a a a a a a a a−
− + − + − + + − = −
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
2005
2004
2005
11
2005
1
2004
1
2004
1...
3
1
3
1
2
1
2
11 =−=−




 −++




 −+




 −+=S 
Bài 2: Tính tổng : 
2005.2004
1...
11.10
1
10.9
1
+++=S 
Hướng dẫn giải 
Ta thấy tổng này giống hệt như tổng ở bài 1 ta dùng cách tách các số hạng như ở 
bài 1: 
18045
1996
2005
1
9
1
2005
1
2004
1...
11
1
10
1
10
1
9
1
=−=
−++−+−=S
Nhận xét : Nếu số hạng tổng quát có dạng: 
( )1
1
+nn
Thì ta tách như sau: 
( ) 1
11
1
1
+
−=
+ nnnn
Từ đó ta có công thức tổng quát để tính tổng như sau: 
( ) 1
11
1
1...
3.2
1
2.1
1
+
−=
+
+++=
nnn
S 
2) Tính tổng: S = 
* Với 2 1 3 2 4 3 1... 1n aa a a a a a a a k−− = − = − = = − = > thì: 
Phương pháp: 
Ta có: 
2 1
1 2 1 2 1 2
3 2
2 3 2 3 2 3
1
1 1 1
1 1 ;
1 1 ;
...................................................
1 1 .n n
n n n n n n
a ak
a a a a a a
a ak
a a a a a a
a ak
a a a a a a
−
− − −
−
= = −
−
= = −
−
= = −
Do đó: 
 S = 
Bài 1: Tính tổng : 2 2 2 2...
1.3 3.5 5.7 99.101
A = + + + + 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
1 2 2 3 3 4 n 1 n
1 1 1 1...
a a a a a a a a−
+ + + +
1 2 2 3 3 4 n 1 n 1 n
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...
k a a a a a a a a k a a−
   
− + − + − + + − = −   
  
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
2 3 1 1 1
1.3 1.3 1 3
2 5 3 1 1
3.5 3.5 3 5
...............................
2 101 99 1 1
99.101 99.101 99 101
−
= = −
−
= = −
−
= = −
Do đó : 1 1 1 1 1 1 1 1...
1 3 3 5 5 7 99 101
B        = − + − + − + + −       
       
1 1001
101 101
= − =
Bài 2: Tính tổng : 
2005.2003
1...
5.3
1
3.1
1
+++=S 
Hướng dẫn giải 
Cách 1 
Học sinh phải nhận dạng được các số hạng đều có dạng 
- Tử số của các số hạng đó là 1 
- Mẫu là tích của hai số tự nhiên hơn kém nhau hai đơn vị. 
Ta có thể tách như sau:
1 1 2 1 3 1 1 1. . 1
1.3 2 1.3 2 1.3 2 3
−   = = = −   
   
Tương tự: 




 −=
5
1
3
1
2
1
5.3
1 
 




 −=
2005
1
2003
1
2
1
2005.2003
1 
Cộng vế với vế của các đẳng thức trên ta được: 
2005
1002
2005
11
2
1
2005
1
2003
1...
5
1
3
1
3
11
2
1
=




 −=











 −++




 −+




 −=S 
Nhận xét kết quả: 
- Thừa số nhỏ nhất, lớn nhất của mẫu các số hạng là 1; 2005 
- Kết quả bằng tích của hiệu các nghịch đảo thừa số nhỏ nhất và thừa số lớn nhất 
của mẫu với nghịch đảo đơn vị kém hơn. 
Cách 2: Ta có: 
2005.2003
1...
5.3
1
3.1
1
+++=S 
Ta thấy: 
abab
b
ab
a
ab
ba 11
...
−=−=
− (a,b∈N, a > b ) 
Ta phải biến đổi sao cho tử số của tất cả các số hạng phải là khoảng cách hai thừa số dưới 
mẫu thì tất cả các hạng tử đều tách ra được: 
2 1 1
1.3 1 3
2 1 1
3.5 3 5
..................
= −
= −
2 1 1
2003.2005 2003 2005
= − 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2004... ... 1
1.3 3.5 2003.2005 1 3 3 5 2003 2005 2005 2005
     ⇒ + + + = − + − + + − = − =     
      
1 1 2 2 2 2004... 2S ...
3.5 2003.2005 1.3 3.5 2003.2005 2005
2004 1002S : 2
2005 2005
= + + + ⇒ = + + + =
⇒ = =
1
Mµ S
1.3 
Chú ý: Thông qua ví dụ trên cần phải khắc phục cho học sinh sai hay gặp: 
5
1
3
1
5.3
1
−= là sai 
Nhận xét tổng quát: 
1 1
.
m
b a b a
= − với a – b = m. 
Bài toán tổng quát. 
( ){ }{ }
1 1 1...
( ) ( )( 2 ) 1n
S
a a m a m a m a n m a nm
= + + +
+ + + + − +
 với m = 1;2;3.. n = 1;2;3. 
 1 1 1nS m a a nm
 = − + 
Bài 3: Tính nhanh tổng sau: 
a, A =
2 2 2 2 23 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
A = + + + + b, B = 
4 4 4 4...
11.16 16.21 21.26 61.66
+ + + + 
Hướng dẫn giải 
a, Ta có : 
2 2 2 2 23 3 3 3 3
2.5 5.8 8.11 11.14 14.17
A = + + + +
= 1 1 1 1 1 1 1 1... 3.
2 5 5 8 14 1 2 7
3.
7 1
   − + − + + − = −   
   
= 15 45
34
4
3.
3
= 
Vậy 
34
 45A = . 
b, Ta có: 
1 1 1 1 5 5 5 54 ... 5 4 ...
11.16 16.21 21.26 61.66 11.16 16.21 21.26 61.66
B B   = + + + + ⇒ = + + + +   
   
 1 1 1 1 1 1 1 15 4 ... 4
11 16 16 21 61 66 11 66
B    = − + − + + − = −   
   
55 4 25 4.
11.66 66 33
B B⇒ = ⇒ = = 
Bài 4: Tính giá trị của biểu thức: 
3 3 3 3 25 25 25... ...
1.8 8.15 15.22 106.113 50.55 55.60 95.100
A    = + + + + − + + +   
   
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
3 3 3 3...
1.8 8.15 15.22 106.113
B = + + + + 7 7 7 77 3 ...
1.8 8.15 15.22 106.113
B  ⇒ = + + + + 
 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 112 3.112 487 3 ... 3 1 3.
1 8 8 15 15 22 106 113 113 113 7.113 113
B B   ⇒ = − + − + − + + − = − = => = =   
   
 và 
25 25 25 1 5 5 5... ...
50.55 55.60 95.100 5 50.55 55.60 95.100
C C= + + + ⇒ = + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
1 1 1 1 1
5 50 100 100 20
C C⇒ = − = ⇒ = . Khi đó : 48 1 847
113 20 2260
A B C= − = − = 
Bài 5: Tính nhanh: 1 9 9 9...
19 19.29 29.39 1999.2009
+ + + + 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
1 9 9 9...
19 19.29 29.39 1999.2009
A+ + + + = 9 9 9 9...
9.19 19.29 29.39 1999.2009
A⇒ = + + + + 
10 10 10 10 1 110 9 ... 9
9.19 19.29 29.39 1999.2009 9 2009
A    ⇒ = + + + + = −   
   
2000 2000 20010 9.
9.2009 2009 2009
A A= = ⇒ = 
Bài 6: Thực hiện phép tính: 1 1 1 1 13. 5. 7. ... 15. 17.
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
A = − + − + − 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
1 1 1 1 13. 5. 7. ... 15. 17.
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
A = − + − + − = 3 5 7 15 17...
1.2 2.3 3.4 7.8 8.9
− + − + − 
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1...
1 2 2 3 3 4 7 8 8 9
         = + − + + + − + + − +         
         
1 81
9 9
= − =
Bài 7: Tính tỉ số A
B
 biết : 
1 1 1 1...
1.300 2.301 3.302 101.400
A = + + + + và 
1 1 1 1...
1.102 2.103 3.104 299.400
B = + + + + 
Hướng dẫn giải 
299 299 299 1 1 1 1 1 1 1 1299 ... ...
1.300 2.301 101.400 1 300 2 301 3 302 101 400
A        = + + + = − + − + − + + −       
       
 1 1 1 1 1 1299 1 ... ...
2 3 101 300 301 400
A    ⇒ = + + + + − + + +   
   
101 101 101 101101 ...
1.102 2.103 3.104 299.400
B = + + + + 
1 1 1 1 1 1 11 ...
102 2 103 3 104 299 400
       = − + − + − + + −       
       
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 ... ... 1 ... ...
2 3 299 102 103 400 2 3 101 300 301 400
       = + + + + − + + + = + + + + − + + +       
       
 Khi đó : 
101299 101
299
AA B
B
= ⇒ = 
Bài 8: Rút gọn 
Hướng dẫn giải 
1 1 1 1 1 1.....
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
A = − − − − − −
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
3) Mẫu là các số tự nhiên liên tiếp 
a) Tính tổng sau:
( )( )21
1...
4.3.2
1
3.2.1
1
++
+++=
nnn
Sn 
Nhận xét đề bài: 
- Tử các số đều là 1 
- Mẫu các số hạng đều là 3 tích số tự nhiên liên tiếp. 
- Số hạng tổng quát có dạng 
( )( )21
1
++ nnn
Ta có: 
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( ) ( )( )
21 1 2 1 1 1 1.
1 2 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2
k k
k k k k k k k k k k k k k
 + −
= = = − + + + + + + + + + 
Do đó: 
( )( ) ( ) ( )( )




++
−
+
=
++





 −=





 −=
21
1
1
1
2
1
21
1
...........................
4.3
1
3.2
1
2
1
4.3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
3.2.1
1
nnnnnnn
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được. 
 ( ) ( )( )




++
−
+
++−+−=
21
1
1
1...
4.3
1
3.2
1
3.2
1
2.1
1
2
1
nnnn
Sn 
Nhận xét kết quả: Nếu mẫu có 3 số tự nhiên liên tiếp thì tổng bằng tích nghịch đảo của 
( 3 - 1) với hiệu nghịch đảo của tích 2 thừa số có giá trị nhỏ nhất và tích 2 thừa số có giá 
trị lớn nhất: ( )( )




++
−=
21
1
2.1
1
2
1
nn
Sn 
1 1 1 1 1 11.1) .....
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
1 1 1 1 1 1.....
100 100.99 99.98 98.97 3.2 2.1
1 1 1 1 1 1.....
100 1.2 2.3 97.98 98.99 99.100
1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 .....
100 2 2 3 97 98 98 99 99 100
A
A
A
A
= − − − − − −
 = − + + + + + 
 
 = − + + + + + 
 
 = − − + − + + − + − + −

1 1 491
100 100 50
A


− = − − = 
 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
Bài 1: Tính tổng : 1 1 1 1... .
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
= + + + +B 
Hướng dẫn giải 
Ta xét : 1 1 2 1 1 2 1 1 2; ; .... ;
1.2 2.3 1.2.3 2.3 3.4 2.3.4 37.38 38.39 37.38.39.
− = − = − = 
Tổng quát : 
( ) ( )( ) ( )( )
1 1 2 .
1 1 2 . 1 2
− =
+ + + + +n n n n n n n
Do đó : 2 2 2 22 ...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 37.38.39
= + + + +B 
1 1 1 1 1 1...
1.2 2.3 2.3 3.4 37.38 38.39
     = − + − + + −     
     
 1 1 740 370 .
1.2 38.39 38.39 741
= − = = 
Suy ra 
185 .
741
=B 
Bài 2: Tính nhanh tổng sau: P = 1 1 1 1...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12
+ + + + 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 2 2 2 2 1 1 1 1 1 12 ... ...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 10.11.12 1.2 2.3 2.3 3.4 10.11 11.12
P      = + + + + = − + − + + −     
     
1 1 65 652
1.2 11.12 132 264
P P= − = ⇒ = 
Tổng quát: 
( )( ) ( )( )
1 1 1 1 1... : 2.
1.2.3 2.3.4 1 2 2 1 2
A
n n n n n
 
= + + + = −  + + + + 
2) Tính tổng sau: 
( )( )( )321
1...
5.4.3.2
1
4.3.2.1
1
+++
+++=
nnnn
Sn 
Nhận xét đề bài 
- Tử các số hạng là 1 
- Mẫu các số hạng đều là 4 tích số tự nhiên liên tiếp. 
- Số hạng tổng quát có dạng 
( )( )( )321
1
+++ nnnn
Ta có 
( )( )( ) ( )( )( )
( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
1 1 3.
1 2 3 3 1 2 3
31 1 1 1
3 1 2 3 2 1 2 1 2 3
k k k k k k k k
k k
k k k k k k k k k k
=
+ + + + + +
 + −
= = − + + + + + + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
Do đó: 
1 1 1 1
1.2.3.4 3 1.2.3 2.3.4
1 1 1 1
2.3.4.5 3 2.3.4 3.4.5
 = − 
 
 = − 
 
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )
....................................
1 1 1 1
1 2 3 3 1 2 1 2 3n n n n n n n n n n
 
= −  + + + + + + + + 
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được 
( )( ) ( )( )( )
1 1 1 1 1 1 1...
3 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 1 2 1 2 3n
S
n n n n n n
 
= − + − + + −  + + + + + 
 = ( )( )( )




+++
−
321
1
3.2.1
1
3
1
nnn
Bài 1: Tính tổng: 1 1 1 1... .
1.2.3.4 2.3.4.5 3.4.5.6 27.28.29.30
+ + + + 
Hướng dẫn giải 
Nhận xét: 
1 1 3 1 1 3, ,...,
1 2 3 2 3 4 1 2 3 4 2 3 4 3 4 5 2 3 4 5
− = − =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
1 1 3 .
27 28 29 28 29 30 27 28 29 30
− =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Gọi biểu thức phải tính bằng A , ta được: 
1 1 40593 .
1 2 3 28 29 30 28 29 30
A = − =
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Vậy 
1353 .
8120
A = 
c) Bài toán tổng quát 
( ) ( )( ) ( )1...21
1...
1...4.3.2
1
...3.2.1
1
−+++
++
+
+=
mnnnnmm
Sn 
Ta có ngay ( ) ( )( )( ) ( )




−++++
−
−−
=
1...321
1
1...3.2.1
1
1
1
mnnnnmm
Sn 
với m = 2; 3; 4... n = 1; 2; 3 
Chú ý: Ví dụ 1: Có thể khai thác cho học sinh thấy trong tổng 
( )( )21
1...
4.3.2
1
3.2.1
1
++
+++=
nnn
Sn 
Thì 3 – 1 = 4 - 2 =..= n + 2 - n = 2 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
( )( )
( ) ( )( )
( )( )
2 2 22 ...
1.2.3 2.3.4 1 2
1 1 1 1 1 12 ...
1.2 2.3 2.3 3.4 1 1 2
1 1
1.2 1 2
n
n
S
n n n
S
n n n n
n n
⇒ = + + +
+ +
    = − + − + + −      + + +     
= −
+ +
( )( )
1 1 1
2 1.2 1 2n
S
n n
 
⇒ = −  + + 
Như vậy: 
( )( ) ( ) ( )( )
( )( )( ) ( )( ) ( )( )( )mamamamamaamamamaa
m
mamamaamamaa
m
32
1
2
1
32
3*
2
11
2
2*
+++
−
++
=
+++
++
−
+
=
++
DẠNG 5: TÍNH TỔNG TỰ NHIÊN DẠNG TÍCH 
Bài 1: a) Tính tổng 1.2 2.3 3.4 ... 98.99= + + + +A 
b) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính: 2 2 2 2 21 2 3 ... 97 98= + + + + +B 
c) Sử dụng kết quả của câu a, hãy tính: 1.99 2.98 3.97 ... 98.2 99.1= + + + + +C 
Hướng dẫn giải 
a) Để tách mỗi số hạng thành hiệu của hai số nhằm triệt tiêu từng cặp hai số, ta 
nhân mỗi số hạng của A với 3. Thừa số 3 này được viết dưới dạng 3 0− ở số hạng 
thứ nhất, 4 1− ở số hạng thứ hai, 5 2− ở số hạng thứ ba, ., 100 97− ở số hạng cuối 
cùng. Ta có: 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 1.2(3 0) 2.3 4 1 3.4 5 2 ... 97.98. 99 96 98.99 100 97= − + − + − + + − + −A 
( )1.2.3 2.3.4 3.4.5 ... 97.98.99 98.99.100 (0.1.2 1.2.3 2.3.4
... 96.97.98 97.98.99)
= + + + + + − + + +
+ +
 98.99.100= 
Suy ra 323400.=A 
Tổng quát ta có: ( ) ( )( ). 1 21.2 2.3 ... 1 .
3
+ +
+ + + + =
n n n
n n 
b) 2 2 2 2 21 2 3 ... 97 98= + + + + +B 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 3 4 1 ... 97 98 1 98 99 1= − + − + − + + − + − 
 ( ) ( )1.2 2.3 3.4 ... 97.98 98.99 1 2 3 ... 97.98= + + + + + − + + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
98.99 323400 4851 318549.
2
= − = − =A 
Tổng quát : 2 2 2 2 21 2 3 ... 97 98+ + + + + 
( )( ) ( ) ( )( )1 2 1 1 2 1
3 2 6
+ + + + +
= − =
n n n n n n n n
c) 1.99 2.98 3.97 ... 98.2 99.1= + + + + +C 
( ) ( ) ( ) ( )1.99 2. 99 1 3. 99 2 ... 98. 99 97 99. 99 98= + − + − + + − + − 
( ) ( )1.99 2.99 3.99 ... 98.99 99.99 1.2 2.3 .. 97.98 98.99= + + + + + − + + + +
( )99. 1 2 3 ... 99 A= + + + + − 
99.100 98.99.100 99.100.10199. 166650.
2 3 6
= − = = 
Tổng quát : ( ) ( ) ( ) ( )( )1 21. 2 1 3. 2 ... 1 2 .1 .
6
+ +
+ − + − + + − + =
n n n
n n n n n 
Bài 2: Tính tổng: 
Hướng dẫn giải 
( ) ( ) ( )4 1.2.3.4 2.3.4. 5 1 3.4.5. 6 2 .... 17.18.19. 20 16B = + − + − + + − 
4 1.2.3.4 2.3.4.5 1.2.3.4 3.4.5.6 2.3.4.5 .... 17.18.19.20 16.17.18.19B = + − + − + + − 
4 17.18.19.20B = 
17.18.19.5 29070.B = =
 Bài 3: Tính nhanh các tổng sau 
a, 1.4 2.5 3.6 ... 100.103D = + + + + b, 1.3 2.4 3.5 ... 97.99 98.100E = + + + + + 
Hướng dẫn giải 
a, Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )1. 1 3 2. 2 3 3 3 3 ... 100. 100 3D = + + + + + + + + 
 ( ) ( ) ( ) ( )1.1 1.3 2.2 2.3 3.3 3.3 ... 100.100 100.3D = + + + + + + + + 
 ( ) ( )1.1 2.2 3.3 ... 100.100 3 1 2 3 ... 100D = + + + + + + + + + 
 Đặt, 1.1 2.2 3.3 ... 100.100A = + + + + và 1 2 3 4 ... 100B = + + + + + 
Ta có : 2 2 2 21 2 3 .... 100A = + + + + 
 ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 2 3 1 3 4 1 ... 100 101 1 .A⇒ = − + − + − + + − 
( ) ( )
( ) ( )
1.2 2.3 3.4 ... 100.101 1 2 3 ... 100
1.2 2.3 3.4 ... 100.101 2 1 2 3 ... 100
A
D
⇒ = + + + + − + + + +
⇒ = + + + + + + + + + 
 Đặt 1.2 2.3 3.4 ... 100.101C = + + + + , Tính tổng C ta được : 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 1.2 3 0 2.3 4 1 3.4 5 2 ... 100.101. 102 99C = − + − + − + + − 
 ( ) ( ) ( ) ( )3 1.2.3 0.1.2 2.3.4 1.2.3 3.4.5 2.3.4 ... 100.101.102 99.100.101C = − + − + − + + − 
 3 100.101.102 0.1.2 100.101.102 100.101.34C C= − = ⇒ = 
1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6 .... 17.18.19B = + + + + +
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
 ( ) 1001 2 3 4 ... 100 100 1 . 101.50 5050.
2
B = + + + + + = + = = 
Vậy 100.101.34 5050 348450.D C B= + = + = 
b, Ta có: 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 2 2 3 3 2 ... 97 97 2 98 98 2E = + + + + + + + + + + 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1.1 1.2 2.2 2.2 3.3 3.2 ... 97.97 97.2 98.98 98.2E = + + + + + + + + + + 
 ( ) ( )1.1 2.2 3.3 ... 97.97 98.98 2 1 2 3 4 ... 97 98E = + + + + + + + + + + + + 
 Đặt 1.1 2.2 3.3 ... 98.98A = + + + + và 1 2 3 4 ... 97 98B = + + + + + + 
 Tính rồi tương tự câu a rồi thay vào E. 
Bài 4: Tính: 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10
3.4 6.8 9.12 12.16 15.20
+ + + +
+ + + +
Hướng dẫn giải 
( )3.4 6.8 9.12 12.16 15.20 6.1.2 6.2.4 6.3.6 6.4.8 6.5.10 6 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10+ + + + = + + + + = + + + +
( )
1 .
6 6
1.2 2.4 3.6 4.8 5.10 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10
3.4 6.8 9.12 12.16 15.20 1.2 2.4 3.6 4.8 5.10
= =
+ + + + + + + +
+ + + + + + + +
Bài 5: Biết rằng : 2 2 2 21 2 3 ....... 10 385.+ + + + = Tính tổng: 2 2 22 4 ..... 20S = + + + 
Hướng dẫn giải 
Ta có : 
 ( ) ( ) ( )2 2 22.1 2.2 ..... 2.10S = + + +
 ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 .1 2 .2 ...... 2 .10 2 . 1 2 ...... 10 2 .385 1540= + + + = + + + = = 
Bài 6: Không sử dụng máy tính hãy so sánh: 
 và 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
DẠNG 6: TÍNH TỔNG CÔNG THỨC 
Bài 1: Tính tổng: 1 1 11 (1 2) (1 2 3) ... (1 2 ... 16)
2 3 16
A = + + + + + + + + + + 
Hướng dẫn giải 
Ta có: 
1 2.3 1 3.4 1 16.17 2 3 4 5 171 . . ... . ...
2 2 3 2 16 2 2 2 2 2 2
A = + + + + = + + + + + 
 ( )1 1 17.181 2 3 4 ... 17 1 . 1 76.
2 2 2
 = + + + + + − = − = 
 
2.1 2.3 2.5 ... 2.99A = + + + + 2.2 2.4 2.6 ...... 2.98 100B = + + + + +
2.2 2.4 2.6 .... 2.98 100
2.1 2.3 2.5 ....