Tài liệu Bồi dưỡng Đại số Lớp 8 (Phần 1)

Tailieumontoan.com 
 
Tài liệu sưu tầm 
 BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ LỚP 8 
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
MỤC LỤC 
Chương 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC ...................................................................... 2 
§1. NHÂN ĐA THỨC .......................................................................................................................... 2 
§2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ .................................................................................... 4 
§3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ .............................................................................. 8 
§4. CHIA ĐA THỨC ......................................................................................................................... 16 
§5. TÍNH CHIA HẾT ......................................................................................................................... 20 
§6. MỘT SỐ HẰNG ĐẲNG THỨC TỔNG QUÁT .......................................................................... 23 
Chương II: PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ..................................................................................................... 27 
§1. TÍNH CHẤT CƠ BẢN VÀ RÚT GỌN PHÂN THỨC ............................................................... 27 
§2. CÁC PHÉP TÍNH VỀ PHÂN THỨC ........................................................................................... 28 
§3. DÃY CÁC PHÂN THỨC VIẾT THEO QUY LUẬT ...................................................................... 32 
§4. PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC .................................................................................. 33 
Chương III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ................................................................... 36 
§1. KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH, PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ..................... 36 
§2. PHƯƠNG TRÌNH TÍCH .............................................................................................................. 37 
§3. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU ...................................................................................... 41 
§4. TOÁN BẬC NHẤT MỘT ẨN ..................................................................................................... 42 
Chương IV. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN .......................................................... 45 
§1. LIÊN HỆ GIỮA THỨ TỰ VÀ PHÉP CỘNG, PHÉP NHÂN. ................................................... 45 
§2. TÌM GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA BIỂU THỨC. .................................. 52 
§3. BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ......................................................................... 58 
§4. PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ...................................... 60 
§5. BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI ............................. 62 
§6. BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH. BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG THƯƠNG. .............. 63 
Phần đề thi ............................................................................................................................................. 65 
PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC ...................................................................................... 65 
PHÂN THỨC ĐẠI SỐ ....................................................................................................................... 67 
PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN ........................................................................................ 68 
BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH .................................................................................. 69 
MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC ............................................................................................................. 70 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -1- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
Chương 1. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA ĐA THỨC 
§1. NHÂN ĐA THỨC 
Phép nhân đơn thức với đa thức, đa thức với đa thức được thực hiện như sau: 
( ). . .A B C A B A C+ = + 
( ) ( ). . . . .A B C D A B A D B C B D+ + = + + + 
 Ví dụ 1. Cho biểu thức: 
 3 1 1 432 4. 2 .
229 433 229 433 229.433
M  = + − − 
 
a) Bằng cách đặt 1
229
a= ; 1
433
b= , hãy rút gọn biểu thức M theo a và b. 
b) Tính giá trị của biểu thức M. 
Giải: 
a) ( ) ( )3 2 1 4 5M a b a b ab a= + − − − = 
b) 1 55 5.
229 229
M a= = = 
Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức 
5 4 3 25 5 5 5 1A x x x x x= − + − + −
tại x = 4 
Giải 
Cách 1. Thay x = 4, ta có 
5 4 3 24 5.4 5.4 5.4 5.4 1A = − + − + −
( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 24 4 1 .4 4 1 .4 4 1 .4 4 1 .4 1= − + + + − + + + −
5 5 4 4 3 3 2 24 4 4 4 4 4 4 4 4 1= − − + + − − + + −
3=
Cách 2. Thay 5 = x + 1, ta có 
( ) ( ) ( ) ( )5 4 3 21 1 1 1 1A x x x x x x x x x= − + + + − + + + −
5 5 4 4 3 3 2 2 1x x x x x x x x x= − − + + − − + + −
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -2- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
 = 1 3x − =
Nhận xét: Khi tính giá trị của một biểu thức, ta thường thay chữ bằng số. Nhưng ở ví 
dụ 1 và ở cách 2 của ví dụ 2, ta lại thay số bằng chữ. Ở ví dụ 1, các số 1
229
và 1
433
 lặp lại 
nhiều lần trong biểu thức M được thay bởi a và b. Ở ví dụ 2, số 5 được lặp lại nhiều lần trong 
biểu thức A được thay bởi x + 1. 
Ví dụ 3: Chứng minh hằng đẳng thức 
( )( ) ( )( ) ( )( ) 2x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + − 
Biết rằng 2x a b c= + + 
Giải: 
Biến đổi vế trái, ta được 
2 2 2x bx ax ab x bx cx bc x ax cx ca− − + + − − + + − − + 
( ) ( )23 2x x a b c ab bc ca= − + + + + + 
Thay 2a b c x+ + = , được vế trái bằng 2x ab bc ca− + + + , bằng vế phải. 
Hằng đẳng thức được chứng minh. 
BÀI TẬP 
1. Rút gon biểu thức: 
( ){ }2 2 3 5y x x y y x y x− − − −  + − −   
 Với 2 22x a ab b= + + ; 2 22y a ab b= − + 
2. Thực hiện phép tính: 
( ) ( )1 1 23 4 1 2 6 1n n n nx x x x− + −− − − 
3. Rút gọn các biểu thức: 
a) 110 6.10n n+ − ; 
b) 2 190.10 10 10k k k+ +− + ; 
c) 3 12,5.5 .10 5 6.5n n n− −+ − . 
4. a) Chứng minh rằng: 10 11 122 2 2+ + chia hết cho 7. 
b) Viết 7. 32 thành tổng của ba lũy thừa cơ số 2 với các số mũ là ba số tự nhiên liên 
tiếp. 
5. Tính 1 1 4 118 5 83. . .5
117 119 117 119 117.119 39
− − + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -3- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
6. Tính giá trị 15 14 13 12 28 8 8 ... 8 8 5x x x x x x− + − + − + − với x = 7. 
7. Rút gọn: ( )( )2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + + + − − − 
8. Chứng minh hằng đẳng thức: 
( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2a b c ab bc ca a b c a a bc b b ca c c ab+ + − − − + + = − + − + − 
9. Chứng minh hằng đẳnt thức: 
( )( ) ( )100 100 100 .100a b a b ab+ + = + + + 
Từ đó suy ra quy tắc nhân nhẩm hai số lớn hơn 100 một chút. 
10. Hãy xây dựng quy tắc nhân nhẩm hai số nhỏ hơn 100 một chút dựa vào hằng đẳng 
thức 
( )( ) ( )100 100 100 .100a b a b ab− − = + + + 
11. Rút gọn biểu thức: ( )( )( )x a x b x c+ + + 
Biết rằng: 6a b c+ + = 
 7ab bc ca+ + = − 
 60abc = − 
§2. CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ 
Bảy hằng đẳng thức đáng nhớ được học trong chương trình cho ta kết quả cuối cùng của 
các phép nhân đa thức với đa thức. 
 ( )2 2 22a b a ab b+ = + + (1) 
 ( )2 2 22a b a ab b− = − + (2) 
 ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − (3) 
 ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + (4) 
 ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b− = − + − (5) 
 ( )( )2 2 3 3a b a ab b a b+ − + = + (6) 
( )( )2 2 3 3a b a ab b a b− + + = − (7) 
Các công thức (4) và (5) còn được viết dưới dạng: 
( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ = + + + 
 ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b− = − − − 
 Từ công thức (1) suy ra công thức bình phương của một đa thức: 
 ( )2 2 2 2 2 2 2a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -4- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
Ví dụ 4. Cho đa thức: 22 5 3x x− + . Viết đa thức trên dưới dạng một đa thức của biến y, 
trong đó y = x + 1. 
Giải: Thay x bởi y – 1, ta được 
( ) ( )222 5 3 2 1 5 1 3x x y y− + = − − − + 
 ( )22 2 1 5 5 3y y y= − + − + + 
 22 9 10y y= − + 
Ví dụ 5. Số nào lớn hơn trong hai số A và B? 
( )( )( )( )( )2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1A = + + + + + 
322B = 
Giải: Nhân hai vế của A với 2 – 1, ta được: 
 ( )( )( )( )( )( )2 4 8 162 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1A = − + + + + + 
Áp dụng hằng đẳng thức ( )( ) 2 2a b a b a b+ − = − nhiều lần, ta được 
322 1A = − . Vậy A < B. 
Ví dụ 6. Rút gọn biểu thức: 
( ) ( ) ( )3 3 26A a b c a b c a b c= + + + − − − + 
Giải: 
( ) ( ) ( )3 3 26A a b c a b c a b c=  + +  +  − +  − +    
( ) ( ) ( ) ( )2 33 2 3 23 3 3a a b c a b c b c a a b c= + + + + + + + − + + 
( ) ( ) ( )2 3 23 6a b c b c a b c+ + − + − + 
32a= 
BÀI TẬP 
A – CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (1), (2), (3) 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -5- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
12. Tính nhanh kết quả các biểu thức sau: 
a) 2 2127 146.127 73 ;+ + 
b) ( )( )8 8 4 49 .2 18 1 18 1 ;− + − 
c) 2 2 2 2 2 2100 99 98 97 ... 2 1 ;− + − + + − 
d) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 220 18 16 ... 4 2 19 17 15 ... 3 1 ;+ + + + + − + + + + + 
e) 
2 2
2 2
780 220 ;
125 150.125 75
−
+ +
13. So sánh hai số sau, số nào lớn hơn? 
a) 1989.1991A = và 21990 ;B = 
b) x yA
x y
−
=
+
 và 
2 2
2 2
x yB
x y
−
=
+
 với 0;x y> > 
c) ( )( )( )( )( )2 4 8 163 1 3 1 3 1 3 1 3 1A = + + + + + và 323 1;B = − 
14. Rút gọn các biểu thức: 
a) ( ) ( )( ) ( )2 25 2 1 4 1 3 2 5 3 ;x x x x− + − + − − 
b) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 22 2 1 2 2 1 2 1 ;a a a a a+ + − + − + 
c) ( ) ( ) ( )( )2 29 1 1 5 2 9 1 1 5 ;x x x x− + − + − − 
d) ( ) ( )( ) ( )2 22 25 1 2 5 1 5 1 5 1 ;x x x x x x− + + − − + + − 
15. Rút gọn các biểu thức: 
a) ( ) ( )2 22 2 2 2 2 2 ;a b c a b c+ − − − + 
b) ( ) ( ) ( )2 2 22 ;a b c a b c a b+ + + + − − + 
c) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 ;a b c a b c a b c b c a+ + + − + + + − + + − 
16. Chứng minh các hằng đẳng thức: 
a) ( ) ( ) ( )2 222 2 2 22 ;a b ab a b− + = + 
b) ( )( ) ( ) ( )2 22 2 2 2 ;a b c d ac bd ad bc+ + = + − − 
c) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ;ax b a bx c x c a b c x+ − − + + = + + + 
d) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 31 3 ;
2
a b c a b b c c a a b c abc + + − + − + − = + + −  
e) 3 2 2 2 2 2 2 21000 1003 1005 1006 1001 1002 1004 1007 ;+ + + = + + + 
17. Cho 2 2 210 10a b c= + . Chứng minh rằng: 
( )( ) ( )27 3 2 7 3 2 3 7a b c a b c a b− + − − = − 
18. Cho 2a b c p+ + = . Chứng minh rằng: 
a) ( )2 2 22 4bc b c a p p a+ + − = − 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -6- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
b) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 2p a p b p c a b c p− + − + − = + + − 
19. Viết đa thức 2 3 2x x+ + dưới dạng đa thức của 1x − 
20. Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên chẵn liên tiếp bằng 36. Tìm hai số ấy. 
21. Hiệu các bình phương của hai số tự nhiên lẻ liên tiếp bằng 40. Tìm hai số ấy. 
22. Tìm ba số tự nhiên liên tiếp, biết rằng tổng các tích của từng cặp hai số trong ba số 
ấy bằng 74. 
23. Tổng ba số a, b, c bằng 9, tổng các bình phương của chúng bằng 54. 
Tính ab bc ca+ + . 
24. Tìm x và y, biết rằng: 2 22 4 5 0x x y y+ + − + = . 
25. Cho 2 2 2 0a b c ab bc ca+ + − − − = . Chứng minh: a b c= = . 
26. Cho ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 24a b b c c a a b c ab bc ca− + − + − = + + − − − . 
Chứng minh: a b c= = . 
27. Tính giá trị của các biểu thức: 
a) 2 10 26x x− + với 105;x = 
b) 2 0,2 0,01x x− + với 0,9;x = 
c) ( )( ) ( )22 5 1 5 36a a a− + − − + với 99;a = 
28. Chứng minh rằng: 
a) ( )6 10 0;a a − + > 
b) ( )( )3 5 4 0;x x− − + > 
c) 2 1 0.a a+ + > 
29. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) 2 4 1;x x− + 
b) 24 4 11;x x+ + 
c) 23 6 1.x x− − 
30. Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức: 
a) 25 8 ;x x− − 
b) 24 1.x x− + 
31. Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức: 
a) ( )( )( )( )1 2 3 6x x x x− + + + 
b) 2 22 4 6x x y y− + − + 
B – CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC (4), (5), (6), (7) 
32. Tính giá trị của các biểu thức: 
a) 3 21 3 3a a a+ + + với 9;a = 
b) 3 23 3x x x+ + với 19;x = 
c) 3 23 3 6a a a+ + + với 29;a = 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -7- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
d) 3 23 3 1a a a− + + với 101.a = 
33. Rút gọn các biểu thức: 
a) ( )( ) ( )( )21 1 1 1 ;x x x x x x− + − + − + 
b) ( )( ) ( )( ) ( )32 2 4 2 23 1 1 1 1 1 ;x x x x x x x− + − − + + − − 
c) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 .a b c a b c b c a c a b+ + + − − + − − + − − 
34. Tìm x, biết: 
 ( ) ( ) ( )( )2 3 26 1 2 1 2 1 1 1x x x x x+ − + + − + + = . 
35. Chứng minh các hằng đẳng thức: 
a) ( ) ( )3 3 3 3a b a b ab a b+ = + + + 
b) ( ) ( )( )( )3 3 3 3 3a b c a b c a b b c c a+ + = + + + + + + 
36. Cho 0a b c+ + = . Chứng minh rằng: 3 3 3 3 .a b c abc+ + = 
37*. Cho 0a b c d+ + + = . Chứng minh rằng: ( )( )3 3 3 3 3 .a b c d ab cd c d+ + + = − + 
38. Cho 1a b+ = . Tính giá trị của ( ) ( )3 3 2 22 3M a b a b= + − − . 
§3. PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ 
Ví dụ 7. Phân tích thành nhân tử: 
a) 2 6 8;x x− + 
b) 29 6 8;x x+ − 
Giải: Ba hạng tử của đa thức không có nhân tử chung, cũng không lập thành bình 
phương của một nhị thức. Do đó ta nghĩ đến việc tách một hạng tử thành hai hạng tử để 
tạo thành đa thức có bốn hoặc năm hạng tử. 
 Ba phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử: 
− Đặt nhân tử chung. 
− Nhóm các hạng tử. 
− Dùng hằng đẳng thức. 
Ngoài ra, để phân tích đa thức thành nhân tử, người ta còn dùng những phương 
pháp khác, như: tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, thêm và bớt cùng một hạng tử, 
đổi biến, hệ số bất định. 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -8- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
a) Cách 1: ( ) ( )2 26 8 2 4 8 2 4 2x x x x x x x x− + = − − + = − − − 
( )( )2 4x x= − − 
Cách 2: ( )22 26 8 6 9 1 3 1x x x x x− + = − + − = − − 
 ( )( )2 4x x= − − 
 Cách 3: ( )( ) ( )2 4 6 12 2 2 6 2x x x x x− + + = + − + + 
 ( )( )2 4x x= − − 
 Cách 4: ( )( ) ( )2 16 6 24 4 4 6 4x x x x x− − + = + − − − 
 ( )( )2 4x x= − − 
 Cách 5: ( ) ( )22 4 4 2x 4 2 2 2x x x x− + − + = − − − 
 ( )( )2 4x x= − − 
b) Có nhiều cách tách một hạng tử thành hai hạng tử khác, trong đó hai cách sau là 
thông dụng nhất: 
Cách 1: Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phương pháp nhóm các hạng 
tử và đặt nhân tử chung mới. 
2 29 6 8 9 6 12 8x x x x x+ − = − + − 
( ) ( ) ( )( )3 3 2 4 3 2 3 2 3 4x x x x x= − + − = − + . 
Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đưa đa thức về dạng hiệu hai 
bình phương. 
( ) ( )( )2 29 6 1 9 3 1 3 3 4 3 2x x x x x+ + − = + − = + − . 
Chú ý: Cách tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào hằng đẳng thức: 
( ) ( )( )2mpx np mq x nq mx n mp q+ + + = + + . 
Như vậy trong tam thức: 2ax bx c+ + , hệ số b được tách thành 1 2b b+ sao cho 1 2b b ac= 
Trong thực hành ta làm như sau: 
1. Tìm tích ac. 
2. Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách. 
3. Chọn hai thừa số có tổng bằng b. 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -9- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
Trong đa thức: 29 6 8x x+ − thì 9, 6, 8a b c= = = − . 
Bước 1: Tích ( )9. 8 72ac = − = − . 
Bước 2: Phân tích 72− ra tích hai thừa số trái dấu, trong đó thừa số dương có giá trị 
tuyệt đối lớn hơn (để tổng hai thừa số bằng 6). 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )72 1 .72 2 .36 3 .24 4 .18 8 .9− = − = − = − = − = − 
Bước 3: Chọn hai thừa số có tổng bằng 6. Đó là – 6 và 12. 
Trong trường hợp tam thức 2ax bx c+ + có b là số lẻ, hoặc a không là bình phương của 
một số nguyên thì giải theo cách 1 gọn hơn so với cách 2. 
Ví dụ 8. Phân tích thành nhân tử: ( )22 24 4 12x x x x+ + + − . 
Giải: Ta nhận thấy nếu đặt: 2x x y+ = thì đa thức có dạng: 2 4 12y y+ − là tam thức 
bậc hai đối với y. Ta có: 
( ) ( )2 24 12 6 2 12 6 2 6y y y y y y y y+ − = + − − = + − + 
 ( )( )6 2y y= + − 
 ( )( )2 26 2x x x x= + + + − 
 ( )( )2 26 2 2x x x x x= + + + − − 
 ( ) ( ) ( )2 6 2 2x x x x x= + +  + − +   
 ( )( )( )2 6 2 1x x x x= + + + − . 
Cách làm như trên gọi là đổi biến. 
Chú ý: Tam thức bậc hai 2ax bx c+ + sẽ không phân tích tiếp được thành nhân tử trong 
phạm vi số hữu tỉ nếu: 
Theo cách 1, khi phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách, không có 
hai thừa số nào có tổng bằng b, hoặc 
Theo cách 2, sau khi tam thức về dạng 2ax k− thì k không là bình phương của một số 
hữu tỉ. 
Tam thức 2 6x x+ + không phân tích thành nhân tử được nữa (trong phạm vi số hữu tỉ) 
vì: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -10- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
Theo cách 1, tích 6 1.6 2.3ac = = = , không có hai thừa số nào có tổng bằng 1. 
Còn theo cách 2, 
2
2 2 1 1 23 1 236 2.
2 4 4 2 4
x x x x x + + = + + + = + + 
 
Ta thấy 23
4
 không là bình phương của một số hữu tỉ. 
Ví dụ 9. Phân tích thành nhân tử: 3 23 4x x+ − . 
Giải: Ta tách các hạng tử của đa thức trên bằng phương pháp tìm nghiệm của đa thức. 
Ta nhắc lại a là nghiệm của đa thức ( )f x nếu ( ) 0f a = . Như vậy, nếu đa thức ( )f x chứa 
nhân tử x a− thì a phải là nghiệm của đa thức. Ta lại chú ý rằng nếu đa thức trên có một nhân 
tử là x a− thì nhân tử còn lại là 2x bx c+ + suy ra 4ac− = − , tức là a phải là ước của – 4. Tổng 
quát, trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên nếu có phải là ước của hạng tử không 
đổi. Ước của – 4 là ±1, ±2, ±4. Kiểm tra, ta thấy 1 là nghiệm của đa thức. Như vậy, đa thức 
chứa nhân tử 1x − , do đó ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung 1x − . 
Cách 1: 3 2 3 2 23 4 4 4x x x x x+ − = − + − 
 ( ) ( )( ) ( )( )2 21 4 1 1 1 4x 4x x x x x x= − + + − = − + + 
 ( )( )21 2 .x x= − + 
Cách 2: 3 2 3 23 4 1 3 3x x x x+ − = − + − 
( )( ) ( )( )21 1 3 1 1x x x x x= − + + + + − 
( )( )21 1 3x 3x x x= − + + + + 
( )( )21 2 .x x= − + 
 Ta cũng chú ý rằng nếu đa thức có tổng các hệ số bằng 0 thì đa thức chứa nhân tử 1x − , 
nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của hạng tử bậc lẻ thì 
đa thức chứa nhân tử 1x + 9xem ví dụ 14). 
 Ví dụ 10. Phân tích thành nhân tử: 3 22 5 8 3x x x− + − . 
 Giải: Các số ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, như vậy đa thức không có nghiệm 
nguyên. Nhưng đa thức có thể có nghiệm hữu tỉ. Trong đa thức với hệ số nguyên, nghiệm hữu 
tỉ nếu có phải có dạng p
q
, trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất 
(bạn đọc tự chứng minh). 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -11- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
Như vậy, nghiệm hữu tỉ nếu có của đa thức trên chỉ có thể là ±1, 1
2
± , ±3 hoặc 3
2
± . 
Sau khi kiểm tra ta thấy 1
2
x = là một nghiệm nên đa thức chứa nhân tử 1
2
x − hay 2 1x − . Do 
đó, ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung 2 1x − . 
 3 22 5 8 3x x x− + − 
3 2 22 4 2 6 3x x x x x= − − + + − 
( ) ( ) ( )2 2 1 2 2 1 3 2 1x x x x x= − − − + − 
( )( )22 1 2 3x x x= − − + . 
Có thể giải bài tập trên bằng phương pháp hệ số bất định: nếu đa thức trên phân tích 
được thành nhân tử thì phải có dạng: 
( )( )2ax b cx dx m+ + + . 
Phép nhân này cho kết quả: 
( ) ( )3 2 .acx ad bc x am bd x bm+ + + + + 
 Đồng nhất đa thức này với 3 22 5 8 3x x x− + − , ta được: 
2ac = , 5ad bc+ = − , 8am bd+ = , 3bm = − . 
 Có thể giả thiết rằng 0a > (vì nếu 0a < thì ta đổi dấu cả hai nhân tử), do đó 2a = hoặc 
1.a = 
 Xét 2a = thì 1c = , ta có: 2 5d b+ = − , 2 8m bd+ = , 3bm = − ; b có thể bằng ±1, ±3. 
 Xét 1b = − thì 3m = , 2d = − thỏa mãn các điều kiện trên. 
 Vậy 2a = , 1c = , 1b = − , 3m = , 2d = − . 
 Ta có: ( )( )3 2 22 5 8 3 2 1 2 3x x x x x x− + − = − − + 
 Ví dụ 11. Phân tích thành nhân tử: ( ) ( ) ( )P ab a b bc b c ca c a= − + − + − 
 Giải: 
 Cách 1. Khai triển hai hạng tử cuối: 
 ( ) 2 2 2 2P ab a b b c bc c a ca= − + − + − 
 ( ) 2 2 2 2 = ab a b bc c a ca b c− − + − + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -12- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
( ) ( ) ( )( )2 = ab a b c a b c a b a b− + − − + − 
( )( )2 = a b ab c ac bc− + − − 
( ) ( ) ( ) = a b a b c c b c−  − − −   
( )( )( ) = .a b b c c a− − − 
Cách 2. Tách b c− thành ( ) ( )a b c a− − + −   
( ) ( ) ( ) ( )P ab a b bc a b c a ca c a= − −  − + −  + −  
( )( ) ( )( ) = b a b a c c c a a b− − + − − 
( )( )( ) = .a b b c c a− − − 
BÀI TẬP 
39. Phân tích thành nhân tử: 
a) 3 24 8 8;x x x− − + 
b) 2 31 6 6 ;x x x+ − − 
c) 3 26 486 81;x x x− − + 
d) 4 24 4 1;x x x− + − 
e) ( )2 2 24 4;x x x+ − + 
f) ( ) ( ) ( )2 22 24 4 1 .x x x x+ − + − − 
40. Phân tích thành nhân tử: 
a) ( ) ( )2 21 ;xy x y+ − + 
b) ( ) ( )2 2 24 ;a b c a b c c+ + + + − − 
c) ( )22 2 2 2 24 ;a b a b c− + − 
d) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 ;a b c b c a c a b− + − + − 
e) ( ) ( ) ( ) 2 ;ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + + 
g) ( ) ( ) ( ) 3 ;ab a b bc b c ca c a abc+ + + + + + 
h) ( ) ( ) ( )3 3 3 3 3 3 ;a b c b c a c a b− + − + − 
i*) ( ) ( ) ( )3 2 2 3 2 2 3 2 2 ;a b c b c a c a b− + − + − 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -13- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
j*) ( ) ( ) ( )2 2 2 3 3 3 4 .a b c b c a c a b a b c abc− + − + − − − − + 
41. Phân tích thành nhân tử: 
a) 3 3 3 3 ;a b c abc+ + − b) ( )3 3 3 3.a b c a b c+ + − − − 
42. Phân tích các tam thức bậc hai thành nhân tử: 
a) 2 7 12;x x− + b) 2 5 14;x x− − c) 24 3 1.x x− − 
43. Phân tích thành nhân tử bằng cách đổi biến để đưa về dạng tam thức bậc hai đối với 
biến mới: 
a) 4 26 11 3;x x− + 
b) ( ) ( )22 23 2;x x x x+ + + + 
c) ( )( )( )1 2 3 1;x x x x+ + + + 
d) 2 27 12 ;x xy y− + 
e) 2 22 3 3 10.x xy y x y− + + − − 
44. Phân tích 3 7 6x x− − thành nhân tử bằng nhiều cách. 
45. Phân tích thành nhân tử: 
a) 3 25 8 4;x x x− + − 
b) 3 3x 2;x − + 
c) 3 25 3 9;x x x− + + 
d) 3 28 17 10;x x x+ + + 
e) 
3 23 6 4.x x x+ + + 
46. Phân tích thành nhân tử: 
a) 3 2 4;x x− − 
b) 3 22 12 17 2;x x x− + − 
c) 3 2 4;x x+ + 
d) 3 23 3 2;x x x+ + + 
e) 3 29 24 26;x x x+ + + 
g) 3 22 3 3 1;x x x− + − 
h) 
3 23 14 4 3.x x x− + + 
47. Phân tích thành nhân tử: 
a) 4 3 22 1;x x x x+ + + + 
b) ( ) ( )22 21 4 1 ;x x x+ − − 
c) ( )22 8 36.x − + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -14- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
48. Phân tích thành nhân tử; 
a) 4 4;x + 
b) 4 64;x + 
c) 464 1;x + 
d) 481 4.x + 
49*. Phân tích thành nhân tử: 
a) 5 1;x x+ + b) 
7 2 1.x x+ +
50*. Phân tích thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định: 
a) 2 23 22 4 8 7 1;x xy x y y− − + + + 
b) 2 212 5 12 12 10 3;x x y y xy+ − + − − 
c) 
4 3 26 11 6 1.x x x x+ + + + 
51*. Tìm số nguyên a sao cho đa thức ( )( 5) 2x a x+ − + phân tích được thành ( )( )x b x c+ + 
với b, c là số nguyên. 
52*. Tìm số nguyên m sao cho ( )( 5) 3x m x+ + + phân tích được thành ( )( )x a x b+ + với a, b 
là số nguyên. 
53. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức sau là một số nguyên tố: 
a) 3 24 4 1A n n n= − + − ; b) 3 26 9 2B n n n= − + − . 
54*. Trong hằng đẳng thức 3 3 2( 1) 3 3 1,x x x x+ = + + + lần lượt thay x bằng 1,2,3,...,n rồi cộng 
các đẳng thức đó lại. Bằng cách đó hãy tính: 
2 2 2 21 2 3 ... .S n= + + + + 
55*. Bằng cách tương tự như bài 54, hãy tính: 
3 3 3 31 2 3 ... .S n= + + + + 
từ hằng đẳng thức 4 4 3 2( 1) 4 6 4 1.x x x x x+ = + + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -15- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
§4. CHIA ĐA THỨC 
Đa thức ( )A x gọi là chia hết cho đa thức ( )B x khác 0 nếu tồn tại đa thức ( )Q x sao cho
( ) ( ). ( )A x B x Q x= . 
Với mọi cặp đa thức ( )A x và ( )B x , trong đó ( ) 0B x ≠ , tồn tại duy nhất cặp đa thức 
( )Q x và ( )R x sao cho ( ) ( ). ( ) ( )A x B x Q x R x= + , trong đó ( ) 0R x = hoặc bậc của ( )R x nhỏ hơn 
bậc của ( )B x . Khi đó ( )Q x là thương và ( )R x là dư của phép chia ( )A x cho ( )B x . 
Nếu ( ) 0R x = , ta được phép chia hết. Nếu ( ) 0R x ≠ , ta được phép chia có dư. 
Ta cũng nhắc lại ở đây rằng hai đa thức gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng giá trị với mọi giá 
trị của biến. Do đó nếu hai đa thức (được viết dưới dạng thu gọn) có các hệ số tương ứng của 
các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó bằng nhau thì hai đa thức đó bằng nhau. 
Ví dụ 12. Xác định số a sao cho đa thức 3 3x x a− + chia hết cho 2( 1)x − . 
 Giải: 
 Cách 1. Đặt phép chia: 
 3 3x x a− + 2 2 1x x− + 
 − 3 22x x x− + 2x + 
 22 4x x a− + 
 − 22 4 2x x− + 
 2a − 
 Muốn phép chia không dư, ta phải có 2 0a − = hay 2a = ; 
 Cách 2. (Phương pháp hệ số bất định) 
 Nếu đa thức bậc ba 3 3x x a− + chia hết cho đa thức bậc hai 2 2 1x x− + thì thương là 
nhị thức bậc nhất có hạng tử cao nhất là 3 2:x x x= , hạng tử thấp nhất là :1a a= . 
 Như vậy 3 3x x a− + đồng nhất với ( )( )2 2 1x x x a− + + tức là đồng nhất 
( ) ( )3 22 1 2x a x a x a+ − + − + . Do đó các hệ số tương ứng phải bằng nhau tức là: 
2 0
1 2 3
a
a
− =
 − = −
 hay 2.a = 
 Cách 3. (Phương pháp xét giá trị riêng) 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -16- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
 Gọi thương của phép chia là ( )Q x , ta có ( )23 23 1 . ( )x x a x Q x− + = − với mọi x. 
 Với 1x = thì 1 3.1 0. (1)a Q− + = hay 2 0a− + = tức là 2.a = 
 Thử lại: ( ) ( )3 23 : 2 1 2x x a x x x− + − + = + . 
 Ví dụ 13. Chứng minh định lí “Số dư trong phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x a− 
bằng giá trị của đa thức ấy tại x a= ”. 
 Giải: Chia đa thức f(x) cho nhị thức x a− , ta được thương là ( )Q x và dư là hằng số r. 
Ta có ( )( ) . ( )f x x a Q x r= − + với mọi x, do đó x a= thì ( ) .f x r= 
 Chú ý: Định lí trên được gọi là định lí Bê-du mang tên nhà toán học Pháp Bézout (1730 
– 1783). Định lí Bê-du giúp ta tính số dư của phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x a− mà 
không cần thực hiện phép chia đa thức. 
 Từ định lí Bê-du, ta thấy đa thức f(x) chia hết cho x a− khi và chỉ khi a là nghiệm của 
đa thức. 
 Ví dụ 14. Cho đa thức 4 3 20 1 2 3 4( )f x a x a x a x a x a= + + + + . Chứng minh rằng: 
 a) Đa thức f(x) chia hết cho 1x − nếu tổng các hệ số bằng 0. 
 b) Đa thức f(x) chia hết cho 1x + nếu tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng 
các hệ số của hạng tử bậc lẻ. 
 Giải: 
 a) Theo định lí Bê-du, số dư r của phép chia f(x) cho 1x − là 
0 1 2 3 4(1) .r f a a a a a= = + + + + 
 Nếu 0 1 2 3 4 0a a a a a+ + + + = thì 0.r = 
 b) Theo định lí Bê-du, số dư r của phép chia f(x) cho 1x + là 
0 1 2 3 4( 1) .r f a a a a a= − = − + − + 
 Nếu 0 2 4 1 3a a a a a+ + = + thì 0.r = 
 Chú ý: Chứng minh trên không chỉ đúng đối với đa thức f(x) có bậc bốn mà còn đúng 
với đa thức f(x) có bậc bất kì. 
 Ví dụ 15. Tìm các giá trị nguyên của n để giá trị của biểu thức 22 3 3n n+ + chia hết 
cho giá trị của biểu thức 2 1.n − 
 Giải: Đặt phép chia 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -17- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
 22 3 3n n+ + 2 1n − 
 − 22n n− 2n + 
 4 3n + 
 − 4 2n − 
 5 
 Đa thức 22 3 3n n+ + không chia hết cho đa thức 2 1n − , nhưng có những giá trị nguyên 
của n để giá trị của 22 3 3n n+ + chia hết cho giá trị của 2 1n − . 
 Muốn vậy 2 1n − phải là ước của 5. Ước của 5 là 1, 5.± ± 
 Với 2 1 1n − = ta có 1.n = 
Với 2 1 1n − = − ta có 0.n = 
Với 2 1 5n − = ta có 3.n = 
Với 2 1 5n − = − ta có 2.n = − 
 Vậy với n bằng 1,0,3, 2− thì giá trị của biểu thức 22 3 3n n+ + chia hết cho giá trị của 
biểu thức 2 1n − . 
BÀI TẬP 
56. Rút gọn các biểu thức: 
a) 12 449 : 7 ; 
b) 
25 5025 5:
16 4
   
   
   
; c) 
25 103 9:
4 16
   
   
   
. 
57. Rút gọn các biểu thức: 
a) 
100 160
298 80
125 .2
5 .4
; 
b) 
8 3
8 3 4
9 .5
3 .27 .5
; 
c) ( )11 4 715.3 4.27 : 9+ ; 
d) ( )
58 2
2 4
x y
x y
+
+
. 
58. Xác định các số a sao cho: 
a) 227x a+ chia hết cho 3 2x + ; 
b) 4 2 1x ax+ + chia hết cho 2 2 1x x+ + ; 
c) 23 27x ax+ + chia cho 5x + có số dư bằng 2. 
59. Xác định các số a và b sao cho: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -18- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
a) 4 2x ax b+ + chia hết cho 2 1x x+ + ; 
b) 3 24ax bx+ − chia hết cho ( )( )1 3x x+ + ; 
c) 4 3 23x x x ax b− − + + chia cho 2 2x x− − có dư là 2 3x − ; 
d) 32x ax b+ + chia cho 1x + dư 6− , chia cho 2x − dư 21. 
60. Không làm phép chia đa thức, hãy xác định xem đa thức 3 24 7 2x x x− − − có hay không 
chia hết cho: 
a) 2x − ; b) 2x + ? 
61. Xác định dư của phép chia đa thức 3 9 27 81x x x x x+ + + + cho: 
a) 1x − ; b) 2 1x − . 
62. Chứng minh rằng ( ) ( )10 102 21 1 2x x x x+ − + − + − chia hết cho 1x − . 
63. Tìm các giá trị nguyên của x để: 
a) Giá trị của biểu thức 22 7x x+ − chia hết cho giá trị của biểu thức 2x − . 
b) Giá trị của biểu thức 210 7 5x x− − chia hết cho giá trị của biểu thức 2 3x − . 
64. Tìm số tự nhiên n để giá trị của biểu thức 225 97 11n n− + chia hết cho giá trị của biểu thức
4n − . 
65*. Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên nào để giá trị của biểu thức 3 22 3 3n n n− + + 
chia hết cho giá trị của biểu thức 2n n− . 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 -19- 
BỒI DƯỠNG ĐẠI SỐ 8 Website: tailieumontoan.com 
§5. TÍNH CHIA HẾT 
Định nghĩa: Cho hai số nguyên a và b trong đó 0b ≠ . Ta nói a chia hết cho b nếu tìm 
được số nguyên q sao cho a bq= . 
Các tính chất về chia hết 
1. Bất cứ số nào khác 0 cũng chia hết cho chính nó. 
2. Nếu a chia hết cho b, b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c (tính chất bắc cầu). 
3. Số 0 chia hết cho mọi số 0b ≠ . 
4. Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1. 
5. Nếu a và b cùng chia hết cho m thì a b+ chia hết cho m, a b− chia hết cho m. 
6. Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m thì a b+ không 
chia hết cho m, a b− không chia hết cho m. 
7. Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m. 
8. Nếu a chia hết cho m, b chia hết cho n thì ab chia hết cho mn. 
Hệ quả: Nếu a chia hết cho b thì na chia hết cho nb . 
9. Nếu a chia hết cho các số nguyên dương m và n thì a chia hết cho BCNN của m và n. 
Hệ quả: Nếu a chia hết cho hai số nguyên tố cùng nhau m và n thì a chia hết cho tích mn. 
10. Nếu một tích chia hết cho số nguyên tố p thì tồn tại một thừa số của tích chia