Tài liệu 14 Chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Lớp 8

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
CÁC CHUYÊN ĐỀ 
HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 1 
TUYỂN TẬP 14 CHUYÊN ĐỀ SỐ HỌC 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 8 
LỜI NÓI ĐẦU 
Nhằm đáp ứng nhu cầu về của giáo viên toán THCS và học sinh về các chuyên đề toán 
THCS, website tailieumontoan.com giới thiệu đến thầy cô và các em 14 chuyên đề bồi dưỡng học 
sinh giỏi toán lớp 8. Chúng tôi đã kham khảo qua nhiều tài liệu để làm 14 chuyên đề về này nhằm 
đáp ứng nhu cầu về tài liệu hay và cập nhật được các dạng toán mới bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 8 . 
Các vị phụ huynh và các thầy cô dạy toán có thể dùng tuyển tập chuyên đề này để giúp con 
em mình học tập. Hy vọng 14 chuyên đề lớp 8 này có thể giúp ích nhiều cho học sinh lớp 8 phát 
huy nội lực giải toán nói riêng và học toán nói chung. 
 Mặc dù đã có sự đầu tư lớn về thời gian để sưu tầm và tổng hợp song không thể tránh khỏi 
những hạn chế, sai sót. Mong được sự góp ý của các thầy, cô giáo và các em học! 
Chúc các thầy, cô giáo và các em học sinh thu được kết quả cao nhất từ chuyên đề này! 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
Mục Lục 
 Trang 
Lời nói đầu 
Chủ đề 1. Chuyên đề chia hết 1 
Chủ đề 2. Chuyên đề số nguyên tố 50 
Chủ đề 3. Chuyên đề số chính phương 69 
Chủ đề 4. Chuyên đề nghiệm nguyên 133 
Chủ đề 5. Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử 179 
Chủ đề 6. Chuyên đề chứng minh bất đẳng thức 207 
Chủ đề 7. Chuyên đề min-max 226 
Chủ đề 8. Chuyên đề phương trình 248 
Chủ đề 9. Chuyên đề bất phương trình 
Chủ đề 10. Chuyên đề biến đổi biểu thức hữu tỷ 272 
Chủ đề 11. Chuyên đề đa thức và tính chia hết của đa thức 318 
Chủ đề 12. Chuyên đề hình học tổ hợp 352 
Chủ đề 13. Chuyên đề toán rời rạc 380 
Chủ đề 14. Các dạng toán khác 407 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
Website: tailieumontoan.com 
1 
ĐS8-Chuyên đề 1: CHIA HẾT 
Qua Các Đề Thi HSG Môn Toán Lớp 8 
A.Bài toán 
Câu 1: Chứng minh rằng: ( )23 2 7 36 7A n n n = − −   với .n∀ ∈ 
Câu 2: Chứng minh rằng: 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương 
của chúng chia hết cho 9 
b) Tìm các số nguyên n để 5 1n + chia hết cho 3 1n + 
Câu 4: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của 
chúng chia hết cho 9 
Câu 5: Chứng minh 3 17n n+ chia hết cho 6 với mọi n∈ 
Câu 6: Chứng minh rằng: 
2 3 11 1 3 3 3 ... 3 A = + + + + + chia hết cho 40. 
Câu 7: a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 2 15 26.5 8 59n n nA + += + +  
Câu 8: Chứng minh rằng 
a) 5 118 2+ chia hết cho 17 
b) 19 1919 69+ chia hết cho 44 
Câu 9: Chứng minh rằng ( )5 30a a a− ∈ 
Câu 10: Cho ,a b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích 
.a b chia cho 5 dư bao nhiêu ? 
Câu 11: Cho các số nguyên 1 2 3, , ,..., na a a a . Đặt 
3 3 3 3
1 2 3 ... nS a a a a= + + + + và 
1 2 3 ... nP a a a a= + + + + . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. 
Câu 12: a) Chứng minh rằng: 30 2121 39+ chia hết cho 45 
 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 2 2 15 26.5 8 59n n n+ ++ +  . 
Câu 13: Chứng minh: 
 a) 10 11 122 2 2A = + + chia hết cho 7. 
 b) ( )( ) ( )( )6 1 5 3 5 2 1B n n n n= + + − + − chia hết cho 2, với n Z∈ . 
 c) 3 25 15 10C n n n= + + chia hết cho 30, với n Z∈ . 
 d) Nếu 2 2 2; ;a x yz b y xz c z xy= − = − = − thì xD a by cz= + + chia hết cho ( )a b c+ + . 
 e) 4 3 24 2 12 9E x x x x= − − + + là bình phương của một số nguyên, với x Z∈ . 
 f) ( ) ( )2018 20182 21 1 2F x x x x= + − + − + − chia hết cho ( )1x − . 
 g) 8 4 1n nG x x= + + chia hết cho 2 1n nx x+ + , với n N∈ . 
Câu 14: Chứng minh rằng: 3 26 19 24B n n n= + − − chia hết cho 6 (Câu 2b đề 10) 
Câu 15: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: 20 16 3 1n n nA = + − − 
chia hết cho 323 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
2 
Câu 16: Chứng minh rằng 8 7 6 5 44 6 4M n n n n n= + + + + chia hết cho 16, với n Z∈ 
Câu 17: a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 
b)Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 2 15 26.5 8 59n n nA + += + +  
Câu 18: Cho 1 2 2016, ,........,a a a là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 
Chứng minh rằng: 3 3 31 2 2016.......A a a a= + + + chia hết cho 3. 
Câu 19: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng 
bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ? 
Câu 20: Chứng minh rằng 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Câu 21: Chứng minh rằng: 
2 3 111 3 3 3 ..... 3A = + + + + + chia hết cho 40 
Câu 22: Chứng minh rằng 1011 1− chia hết cho 100 
Câu 23: Chứng minh rằng 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Câu 24: Chứng minh rằng: 
a) 5 118 2+ chia hết cho 17 
b) 19 1919 69+ chia hết cho 44 
Câu 25: a)Chứng minh rằng: 3 23 2 6n n n+ +  với mọi số nguyên n 
b)Tìm số nguyên n sao cho: ( )3 22 7 1 2 1n n n n+ + + − 
Câu 26: . Cho số tự nhiên 3.n > Chứng minh rằng nếu ( )2 10 , ,0 10n a b a b b= + ∈ < < thì tích 
ab chia hết cho 6 
Câu 27: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n – 15n – 1 chia hết cho 225. 
Câu 28: Chứng minh rằng 2008 2009 20102 2 2+ + chia hết cho 7 
Câu 29: Chứng minh rằng 3n n− chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n 
Câu 30: Chứng minh rằng 21 24 83 2 6 1− − − chia hết cho 1930 
Chứng minh rằng: ( )( )2 1 2 1n nA = − + chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . 
Câu 31: Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7 
Câu 32: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên ,m n
2 1
1
n nm
n
+ +
=
+
 n thì phân số 
2
2
10 9 4
20 20 9
n n
n n
+ +
+ +
tối giản 
Câu 33: Chứng minh rằng 4 3 2n 2n n 2n− − + chia hết cho 24 với mọi n ∈ 
Câu 34: Chứng minh rằng ( )5a a 30 a− ∈ 
Câu 35: 
 Đặt 3 2A n 3n 5n 3.= + + + Chứng minh rằng A chia hết cho 3 với mọi giá trị nguyên 
dương của n 
 Nếu a chia 13 dư 2 và b chia 13 dư 3 thì 2 2a b+ chia hết cho 13 
 Tìm các số nguyên thỏa mãn 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
3 
Câu 36: Chứng minh rằng: ( )23 2A n n 7 36n 7 = − −   với n .∀ ∈ 
Câu 37: Hãy chứng minh : 
( )23 2 7 36A n n n= − − chia hết cho 210 với mọi số tự nhiên n 
Câu 38: 
 Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 
 Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 2 15 26.5 8 59n n nA + += + +  
Câu 39: Cho 1 2 2016, ,........,a a a là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 
Chứng minh rằng: 3 3 31 2 2016.......A a a a= + + + chia hết cho 3 
Câu 40: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng 
bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ? 
Câu 41: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương 
của chúng chia hết cho 9 
Câu 42: Chứng minh rằng với mọi số nguyên ,x y ta có: 5 5x y xy− chia hết cho 30. 
Câu 43: Hãy viết thêm vào bên phải số 43 hai chữ số để nhận được một số có 4 chữ số chia hết 
cho 3 và 7. 
Câu 44: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số 
2
2
10 9 4
20 20 9
n n
n n
+ +
+ +
tối giản. 
Câu 45: 
a) Cho 
2
3 2
4 4 .
2 4 8
a aA
a a a
+ +
=
+ − − 
Tìm a ∈ để A là số nguyên. 
b) Tìm số tự nhiên n để 5 1n + chia hết cho 3 1n + . 
Câu 46: Chứng minh tổng lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9. 
Câu 47: Cho a, b, c ∈ thỏa mãn 0.a b c+ + = Chứng minh: ( )5 5 5 30a b c+ +  
Câu 48: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thìA = 5n+2 + 26.5n + 82n+1  59 
Câu 49: a. Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B 
A = 3xn-1y6 - 5xn+1y4 và B = 2x3yn 
b. Xác định các giá trị của a,b và c để đa thức P(x) = x4 + ax2 + bx + c chia hết cho (x – 
3)3 
Câu 50: Chứng minh rằng số có dạng 4 3 26 11 6A n n n n= + + + chia hết cho 24 với mọi số tự 
nhiên n. 
Câu 51: Chứng minh rằng 4 27(7 2 )n n+ + chia hết cho 64 với mọi n là số nguyên lẻ. 
Câu 52: Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên a thỏa mãn 2017(2017 1)+ chia hết 3 11a a+ 
Câu 53: Cho số tự nhiên n > 3. Chứng minh răng nếu 2n = 10a + b (a, b N∈ , 0 < b < 10) thì 
tích ab chia hết cho 6. 
Câu 54: 
Chứng minh *n∀ ∈ thì 3 2n n+ + là hợp số 
Câu 55: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
4 
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên x thì biểu thức 5A x x= − luôn chia hết cho 30. 
Câu 56: 
Chứng minh rằng: 
c) 5 118 2+ chia hết cho 17 
d) 19 1919 69+ chia hết cho 44 
Câu 57: Cho n là số tự nhiên lẻ. Chứng minh 
Câu 58: Chứng minh 
3 17n n+ chia hết cho 6với mọi n∈ 
Câu 59: Cho , ,a b c là các số nguyên. Chứng minh rằng ( )5 5 5a b c a b c+ + − + + chia hết 
cho 30. 
Câu 60: Cho 3 số tự nhiên , , .a b c Chứng minh rằng nếu a b c+ + chia hết cho 3 thì 
3 3 3 2 2 23 3 3a b c a b c+ + + + + chia hết cho 6 
Câu 61: 
 Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của 
chúng chia hết cho 9 
 Tìm các số nguyên n để 5 1n + chia hết cho 3 1n + 
Câu 62: Chứng minh rằng với mọi số n nguyên dương thì: ( ) ( )5 5 1 6 3 2 91n n n n n+ − +  
Câu 63: Chứng minh 1011 1− chia hết cho 100 
Câu 64: Chứng minh rằng: 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Câu 65: Cho 1 2 2013, ,......,a a a là các số tự nhiên có tổng cộng bằng 
20142013 
Chứng minh rằng: 3 3 31 2 2013.....B a a a= + + + chia hết cho 3. 
Câu 66: Tìm ,a b sao cho 3 2( ) 10 4f x ax bx x= + + − chia hết cho đa thức 
2( ) 2g x x x= + − 
Câu 67: Chứng minh rằng với mọi số nguyên a thì 3 5a a+ chia hết cho 6 
Câu 68: Chứng minh rằng: ( ) ( )3 33 1 2 9Q n n n= + + + +  với mọi *n∈ 
B.Lời giải 
Câu 1: Chứng minh rằng: với .n∀ ∈ 
( ) ( )2 23 2 3 27 36 7 7 36A n n n A n n n   = − − = − −       
Lời giải 
Ta có: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
5 
( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )( )( )( )( )
2 2 3 3
3 3 2 2
2 2
7 6 7 6 7 6 7 6
6 6 6 6 1 6 1 1 6 1
1 6 1 6 1 2 3 1 2 3
n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n n
   = − − − + = − − − +   
   = − − − − − + = − − + − − −   
= + − − − + − = + + − − − +
Do 
đó A là tích của 7 số nguyên liên tiếp 7A n⇒ ∀ ∈ 
Câu 2: Chứng minh rằng: 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Lời giải 
Ta có: ( ) ( )2008 2010 2008 20102009 2011 2009 1 2011 1+ = + + − 
Vì ( )( ) ( )2008 20072009 1 2009 1 2009 ...... 2010. ........+ = + − = chia hết cho 2010 (1) 
Vì ( )( ) ( )2010 20092011 1 2011 1 2011 ..... 2010. .....− = − + = chia hết cho 2010 (2) 
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh. 
Câu 3: a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương 
của chúng chia hết cho 9 
b) Tìm các số nguyên n để 5 1n + chia hết cho 3 1n + 
Lời giải 
 Gọi 2 số phải tìm là a và b , ta có a b+ chia hết cho 3 
Ta có: ( )( ) ( ) ( )23 3 2 2 3a b a b a ab b a b a b ab + = + − + = + + −  
Vì a b+ chia hết cho 3 nên ( )2 3a b ab+ − chia hết cho 3. 
Do vậy, ( ) ( )2 3a b a b ab + + −  chia hết cho 9 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )
5 3 5 2 2 3
2 3 2 3
2
2
2
1 1 1 1
1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 1
n n n n n n
n n n n
n n n n n
n n n
n n n n
+ + ⇔ + − + +
⇔ + − − +
⇔ − + + − +
⇔ − − +
⇒ − − +
 




Hay ( ) ( )
2 2 2 2
2
1 1 1 1
1 1
n n n n n n n n
n n
− − + ⇒ − + − − +
⇒ − +
 

Xét hai trường hợp: 
2 2 0) 1 1 0
1
n
n n n n
n
=
+ − + = ⇔ − = ⇔  =
2 2) 1 1 2 0,n n n n+ − + = − ⇔ − + = không có giá trị của n thỏa mãn 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
6 
Câu 4: Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phương của 
chúng chia hết cho 9 
Lời giải 
Gọi 2 số phải tìm là a và b, ta có a b+ chia hết cho 3. 
Ta có: 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )23 3 2 2 2 22 3 3a b a b a ab b a b a ab b ab a b a b ab  + = + − + = + + + − = + + −   
Vì a b+ chia hết cho 3nên ( )2 3a b ab+ − chia hết cho 3 
Do vậy ( ) ( )2 3a b a b ab + + −  chia hết cho 9 
Câu 5: Chứng minh 3 17n n+ chia hết cho 6 với mọi n∈ 
Lời giải 
( )( )3 317 18 1 1 18n n n n n n n n n+ = − + = − + + 
Vì ( )( )1 1n n n− + là tích ba số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 2 và 3, ( )2,3 1= nên 
chia hết cho 6 
18 6n , suy ra điều phải chứng minh 
Câu 6: Chứng minh rằng: 
2 3 11 1 3 3 3 ... 3 A = + + + + + chia hết cho 40. 
Lời giải 
2 3 11 1 3 3 3 ... 3A = + + + + + 
( ) ( ) ( )2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3= + + + + + + + + + + + 
( ) ( ) ( )2 3 4 2 3 8 2 3 1 3 3 3 3 . 1 3 3 3 3 1 3 3 3= + + + + + + + + + + + 
4 8 40 3 . 40 3 . 40= + + 
( )4 8 40. 1 3 3 40= + + 
Vậy 40A 
Câu 7: 
a) Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 2 15 26.5 8 59n n nA + += + +  
Lời giải 
a) Ta phải chứng minh ( ) ( )3 33 1 2 9A n n n= + + + +  với n∈ 
( )( ) ( )
3 3 2 3 2
3 2
3 2
2
3 3 1 6 12 8
3 9 15 9
3 3 9 18 9
3 1 1 9 2 1
A n n n n n n n
n n n
n n n n
n n n n n
= + + + + + + + +
= + + +
= − + + +
= − + + + +
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
7 
Nhận thấy ( )( ) ( )( )1 1 3 3 1 1 9n n n n n n− + ⇒ − +  và ( )29 2 1 9n n+ +  
 Vậy 9A 
( ) ( )
2 2 1 2)5 26.5 8 25.5 26.5 8.8
5 59 8 8.64 59.5 8 64 5
n n n n n n
n n n n n
b + ++ + = + +
= − + = + −
59.5 59n  và ( ) ( )8. 64 5 64 5 59n n− − = 
Vậy 2 2 15 26.5 8 59n n n+ ++ +  
Câu 8: Chứng minh rằng 
a) 5 118 2+ chia hết cho 17 
b) 19 1919 69+ chia hết cho 44 
Lời giải 
a)Ta có: ( ) ( )55 11 3 11 15 11 11 4 118 2 2 2 2 2 2 . 2 1 2 .17+ = + = + = + = chia hết cho 17 
b)Ta có: 
( )( ) ( )19 19 18 17 18 18 17 1819 69 19 69 19 19 ,69 .... 69 88. 19 19 ,69 .... 69+ = + − + + = − + + chia hết 
cho 44 
Câu 9: Chứng minh rằng ( )5 30a a a− ∈ 
Lời giải 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )
25 4 2 21 1 1 1 1 4 5
1 1 2 2 5 1 1
a a a a a a a a a a a
a a a a a a a a
 − = − = − + = + − − + 
= + − − + + + −
Do tích của số nguyên liên tiếp thì chia hết cho 5 và trong 5 số nguyên liên tiếp luôn có 
ba số nguyên liên tiếp mà tích của chúng chia hết cho 6 và ( )6,5 1= 
Suy ra ( )( )( )( )1 1 2 2 30a a a a a+ − − +  và ( )( )5 1 1 30.a a a+ −  
Vậy 5 30a a−  
Câu 10: Cho ,a b là hai số tự nhiên. Biết rằng a chia cho 5 dư 3 và b chia cho 5 dư 2. Hỏi tích 
.a b chia cho 5 dư bao nhiêu ? 
Lời giải 
a chia cho 5 dư 3 nên tồn tại số tự nhiên m sao cho 5 3a m= + (1) 
 b chia cho 5 dư 2 nên tồn tại số tự nhiên n sao cho 5 2b n= + (2) 
Từ (1) và (2) suy ra ( )( ) ( ). 5 3 5 2 ... 5 5 2 3 1 1a b m n mn m n= + + = = + + + + 
 Suy ra .a b chia cho 5 dư 1. 
Câu 11: Cho các số nguyên 1 2 3, , ,..., na a a a . Đặt 
3 3 3 3
1 2 3 ... nS a a a a= + + + + và 
1 2 3 ... nP a a a a= + + + + . Chứng minh rằng: S chia hết cho 6 khi và chỉ khi P chia hết cho 6. 
Lời giải 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
8 
HD: Xét hiệu: S P− 
Chứng minh: ( ) ( )3 1 1 6a a a a a− = − +  với mọi số nguyên a . 
Sau đó sử dụng tính chât chia hết của một tổng suy ra đpcm. 
Câu 12: a) Chứng minh rằng: 30 2121 39+ chia hết cho 45 
 b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 2 2 15 26.5 8 59n n n+ ++ +  . 
Lời giải 
a) Chứng minh rằng: 
30 2121 39+ chia hết cho 45. 
HD: Đặt 
30 2121 39M = + 
Nhận xét 45 = 5.9 mà 5 và 9 là hai số nguyên tố cùng nhau (1) 
Vậy để c/m 45M  ta cần c/m 5M  và 9M  
Thật vậy, 
( ) ( )( )2130 21 30 30 2121 39 21 1 39 1 5M = + = − + − −  (2) 
(Vì ( ) ( )
30 3021 1 21 1 5− − 
 và 
( )( ) ( )( )212139 1 39 1 5− − − −  ) 
Mặt khác, 
3021 3 21 9⇒  và 
2139 3 39 9⇒  . Do đó, 9M  (3) 
Từ (1), (2) và (3) suy ra đpcm. 
* Chú ý: ( ) ( )
n na b a b− −
b) Chứng minh rằng: Với mọi số tự nhiên n ta có: 2 2 15 26.5 8 59n n n+ ++ +  . 
 Ta có: ( )2 2 15 26.5 8 51.5 8.64 59.5 8. 64 5 59n n n n n n n n+ ++ + = + = + −  
( Vì ( ) ( )64 5 64 5n n− − ). 
Suy ra đpcm. 
Câu 13: Chứng minh: 
 a) 10 11 122 2 2A = + + chia hết cho 7. 
 b) ( )( ) ( )( )6 1 5 3 5 2 1B n n n n= + + − + − chia hết cho 2, với n Z∈ . 
 c) 3 25 15 10C n n n= + + chia hết cho 30, với n Z∈ . 
 d) Nếu 2 2 2; ;a x yz b y xz c z xy= − = − = − thì xD a by cz= + + chia hết cho ( )a b c+ + . 
 e) 4 3 24 2 12 9E x x x x= − − + + là bình phương của một số nguyên, với x Z∈ . 
 f) ( ) ( )2018 20182 21 1 2F x x x x= + − + − + − chia hết cho ( )1x − . 
 g) 8 4 1n nG x x= + + chia hết cho 2 1n nx x+ + , với n N∈ . 
Lời giải 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
9 
Chứng minh: 
 a) 10 11 122 2 2A = + + chia hết cho 7 
Ta có: ( )10 11 12 10 10 10 2 10 2 102 2 2 2 2 .2 2 .2 2 . 1 2 2 2 .7 7A = + + = + + = + + =  
Vậy, 10 11 122 2 2A = + + chia hết cho 7 . 
 b) ( )( ) ( )( )6 1 5 3 5 2 1B n n n n= + + − + − chia hết cho 2, với n Z∈ . 
Ta có: ( )( ) ( )( ) ( )6 1 5 3 5 2 1 ... 24 10 2. 12 5 2B n n n n n n= + + − + − = = + = +  
Vậy, ( )( ) ( )( )6 1 5 3 5 2 1B n n n n= + + − + − chia hết cho 2, với n Z∈ 
 c) 3 25 15 10C n n n= + + chia hết cho 30, với n Z∈ . 
Ta có: ( )( )3 25 15 10 ... 5 1 2C n n n n n n= + + = = + + 
Vì 5 5 và ( )( )1 2 6n n n+ +  mà ( )5,6 1= nên ( )( )5 1 2 30n n n+ +  
Vậy, 3 25 15 10C n n n= + + chia hết cho 30, với n Z∈ . 
 d) Nếu 2 2 2; ;a x yz b y xz c z xy= − = − = − thì xD a by cz= + + chia hết cho ( )a b c+ + . 
Ta có: ( ) ( ) ( )2 2 2x . . .D a by cz x yz x y xz y z xy z= + + = − + − + − 
 ( )( )3 3 3 2 2 2... 3 ...x y z xyz x y z x y z xy yz zx= = + + − = = + + + + − − − 
Vậy, xD a by cz= + + chia hết cho ( )a b c+ + 
 e) 4 3 24 2 12 9E x x x x= − − + + là bình phương của một số nguyên, với x Z∈ . 
Ta có: 4 3 24 2 12 9E x x x x= − − + + ( ) ( )4 3 2 24 4 6 12 9x x x x x= − + − − + 
 ( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 22 2 2 22 6 2 3 2 3 3 1x x x x x x x x= − − − + = − − = − +   
Vậy, ( )( ) 24 3 24 2 12 9 3 1E x x x x x x= − − + + = − +   là bình phương của một số nguyên, với 
x Z∈ . 
 f) ( ) ( )2018 20182 21 1 2F x x x x= + − + − + − chia hết cho ( )1x − . 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )2018 20182 21 1 2 1 .F x x x x x Q x r= + − + − + − = − + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
10 
Xét tại 1x = thì ( ) ( )2018 20182 21 1 1 1 1 1 2 0r = + − + − + − = 
Vậy, ( ) ( )2018 20182 21 1 2F x x x x= + − + − + − chia hết cho ( )1x − . 
 g) 8 4 1n nG x x= + + chia hết cho 2 1n nx x+ + , với n N∈ . 
 Ta có: 
( ) ( ) ( )( )2 28 4 8 4 4 4 2 4 2 4 21 2 1 1 1 1n n n n n n n n n n nG x x x x x x x x x x x= + + = + + − = + − = + + − + (1) 
Mặt khác, ( ) ( ) ( )( )( )2 24 2 4 2 2 2 2 21 2 1 1 1 1 2n n n n n n n n n n nx x x x x x x x x x x+ + = + + − = + − = + + − + 
Từ (1) và (2) suy ra ( )( )( )8 4 2 2 4 21 1 1 1n n n n n n n nG x x x x x x x x= + + = + + − + − + 
Vậy, 8 4 1n nG x x= + + chia hết cho 2 1n nx x+ + , với n N∈ . 
Câu 14: Chứng minh rằng: 3 26 19 24B n n n= + − − chia hết cho 6 
Lời giải 
Chứng minh rằng: 3 26 19 24B n n n= + − − chia hết cho 6 
Ta có: 3 2 3 26 19 24 6 18 24B n n n n n n n= + − − = − + − − 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 21 6 3 4 1 1 6 3 4n n n n n n n n n= − + − − = − + + − − 
Vì ( ) ( ) ( )1 1 6 ?n n n− +  và ( )26 3 4 6n n− −  nên 6B (đpcm) 
Câu 15: Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: 20 16 3 1n n nA = + − − 
chia hết cho 323 
Lời giải 
Chứng minh: Với mọi n là số tự nhiên chẵn thì biểu thức: 20 16 3 1n n nA = + − − 
chia hết cho 323 . 
Ta có: 323 17.19= và ( )17,19 1= . Ta cần c/m: 17A và 19A . 
Ta có ( ) ( )20 16 3 1 20 3 16 1n n n n n nA = + − − = − + − 
 Mà ( ) ( )20 3 20 3n n− − hay ( ) ( )20 3 17 1n n−  
Và ( ) ( )16 1 16 1n − + ( vì n là số chẵn ) hay ( ) ( )16 1 17 2n −  
Từ (1) và (2) suy ra 17A . 
Tương tự, ( ) ( )20 16 3 1 20 1 16 3n n n n n nA = + − − = − + − 
Mà ( ) ( )20 1 20 1n − − hay ( ) ( )20 1 19 3n −  
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
11 
Và ( ) ( )16 3 16 3n n− + ( vì n là số chẵn ) hay ( ) ( )16 3 19 4n n−  
Từ (3) và (4) suy ra 19A . 
Vì 17A và 19A mà ( )17,19 1= suy ra 323A (đpcm) 
Câu 16: Chứng minh rằng 8 7 6 5 44 6 4M n n n n n= + + + + chia hết cho 16, với n Z∈ 
Lời giải 
Chứng minh rằng 8 7 6 5 44 6 4A n n n n n= + + + + chia hết cho 16, với n Z∈ 
Ta có: 8 7 6 5 44 6 4A n n n n n= + + + + ( )4 4 3 24 6 4 1n n n n n= + + + + 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )4 4 3 3 2 2 4 3 23 3 3 3 1 1 3 1 3 1 1n n n n n n n n n n n n n n n n = + + + + + + + = + + + + + + +  
 ( )( ) ( )( ) ( ) 434 3 2 41 3 3 1 1 1 1n n n n n n n n n n= + + + + = + + = +   
Vì ( )1n n + là tích của hai số nguyên liên tiếp nên ( )1 2n n +  
Suy ra ( ) 4 41 2A n n= +    mà 
42 16= 
Vậy, 16A với n Z∈ . 
Câu 17: a)Chứng minh rằng tổng lập phương của ba số nguyên liên tiếp chia hết cho 9 
b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 2 2 15 26.5 8 59n n nA + += + +  
Lời giải 
a) Ta phải chứng minh ( ) ( )3 33 1 2 9A n n n= + + + +  với n∈ 
( )( ) ( )
3 3 2 3 2
3 2
3 2
2
3 3 1 6 12 8
3 9 15 9
3 3 9 18 9
3 1 1 9 2 1
A n n n n n n n
n n n
n n n n
n n n n n
= + + + + + + + +
= + + +
= − + + +
= − + + + +
Nhận thấy ( )( ) ( )( )1 1 3 3 1 1 9n n n n n n− + ⇒ − +  và ( )29 2 1 9n n+ +  
 Vậy 9A 
( ) ( )
2 2 1 2)5 26.5 8 25.5 26.5 8.8
5 59 8 8.64 59.5 8 64 5
n n n n n n
n n n n n
b + ++ + = + +
= − + = + −
59.5 59n  và ( ) ( )8. 64 5 64 5 59n n− − = 
Vậy 2 2 15 26.5 8 59n n n+ ++ +  
Câu 18: Cho 1 2 2016, ,........,a a a là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3 
Chứng minh rằng: 3 3 31 2 2016.......A a a a= + + + chia hết cho 3. 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
12 
Lời giải 
Dễ thấy ( )( )3 1 1a a a a a− = − + là tích của 3 số tự nhiên liên tiếp nên chia hết cho 3 
Xét hiệu: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
3 3 3
1 2 2016 1 2 2016 1 2 2016
3 3 3
1 1 2 2 2016 2016
..... ...... .....
......
A a a a a a a a a a
a a a a a a
− + + + = + + + − + + +
= − + − + + −
Các hiệu trên chia hết cho 3 , do vậy A chia hết cho 3 
Câu 19: Cho hai số nguyên, số thứ nhất chia cho 5 dư 1, số thứ hai chia cho 5 dư 2. Hỏi tổng 
bình phương của chúng có chia hết cho 5 không ? 
Lời giải 
Vì số thứ nhất chia cho 5 dư 1 nên có dạng 5 1a + , số thứ hai chia cho 5 dư 2 nên có dạng 
5 2b + ( , )a b ∈ 
Ta có tổng bình phương hai số đó là: 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 25 1 5 1 25 10 1 25 10 4 5 5 5 2 2 1 5a b a a b b a b a b+ + + = + + + + + = + + + +  
Vậy tổng bình phương của hai số chia hết cho 5 
Câu 20: Chứng minh rằng 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Lời giải 
Ta có: ( ) ( )2008 2010 2008 20102009 2011 2009 1 2011 1+ = + + − 
Vì ( )( )2008 20072009 1 2009 1 2009 ...... 2010+ = + +  (1) 
( )( )2010 20092011 1 2011 1 2011 .... 2010 (2)− = − +  
Từ (1) và (2) ta có dpcm. 
Câu 21: Chứng minh rằng: 
2 3 111 3 3 3 ..... 3A = + + + + + chia hết cho 40 
Lời giải 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
2 3 11
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 4 2 3 8 2 3
4 8
4 8
1 3 3 3 ....... 3
1 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
1 3 3 3 3 . 1 3 3 3 3 . 1 3 3 3
40 3 .40 3 .40
40. 1 3 3 40
A = + + + + +
= + + + + + + + + + + +
= + + + + + + + + + + +
= + +
= + + 
Vậy 40A 
Câu 22: Chứng minh rằng 1011 1− chia hết cho 100 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
13 
Lời giải 
( )( ) ( )10 9 8 9 811 1 11 1 11 11 ...... 11 1 10. 11 11 ...... 11 1− = − + + + + = + + + + 
Vì 10 10 
Và ( )9 811 11 ..... 11 1+ + + + có chữ số tận cùng bằng 0 
Nên ( )9 811 11 .... 11 1+ + + + chia hết cho 10 
Vậy 1011 1− chia hết cho 100 
Câu 23: Chứng minh rằng 2008 20102009 2011+ chia hết cho 2010 
Lời giải 
Ta có: ( ) ( )2008 2010 2008 20102009 2011 2009 1 2011 1+ = + + − 
Vì ( )( )2008 20072009 1 2009 1 2009 ......+ = + − 
( )2010. ...............= chia hết cho 2010 (1) 
Vì ( )( )2010 20092011 1 2011 1 2011 .....− = − + 
( )2010. ............= chia hết cho 2010 (2) 
Từ (1) và (2) ta có đpcm. 
Câu 24: Chứng minh rằng: 
e) 5 118 2+ chia hết cho 17 
f) 19 1919 69+ chia hết cho 44 
Lời giải 
 Ta có: ( ) ( )55 11 3 11 15 11 11 4 118 2 2 2 2 2 2 . 2 1 2 .17+ = + = + = + = 
Rõ ràng kết quả trên chia hết cho 17 
 Áp dụng hằng đẳng thức 
( )( )1 2 3 2 2 1.....n n n n n n na b a b a a b a b ab b− − − − −+ = + − + − − + với mọi n lẻ 
Ta có: ( )( )19 19 18 17 1819 69 19 69 19 19 .69 ...... 69+ = + − + + 
( )18 17 1888. 19 19 .69 ..... 69= − + + chia hết cho 44 
Câu 25: a) Chứng minh rằng: 3 23 2 6n n n+ +  với mọi số nguyên n 
Lời giải 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
14 
Ta có: 
( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
3 2 2 2
2
3 2 3 2 2 2
2 2 1 2
n n n n n n n n n n
n n n n n n n
+ + = + + = + + +
 = + + + = + + 
Vì n là số nguyên nên: ; 1; 2n n n+ + là ba số nguyên liên tiếp 
Do đó có ít nhất một số chia hết cho 2, 1 số chia hết cho 3 
( )( )1 2 6n n n⇒ + +  hay 3 23 2 6n n n+ +  với mọi số nguyên n 
b)Tìm số nguyên n sao cho: ( )3 22 7 1 2 1n n n n+ + + − 
Lời giải 
Để 3 22 7 1 2 1n n n n+ + + − thì 5 2 1n − hay 2 1n − là Ư ( )5 
2 1 5 2
2 1 1 0
2 1 1 1
2 1 5 3
n n
n n
n n
n n
− = − = − 
 − = − = ⇔ ⇔
 − = =
 − = = 
Vậy { }2;0;1;3n∈ − thì 3 22 7 1 2 1n n n n+ + + − 
Câu 26: Cho số tự nhiên 3.n > Chứng minh rằng nếu ( )2 10 , ,0 10n a b a b b= + ∈ < < thì tích 
ab chia hết cho 6 
Lời giải 
 Ta có: 2 10 2 2 (1)n a b b ab= + ⇒ ⇒  
Ta chứng minh 3 (2)ab 
Thật vậy , từ đẳng thức 2 10 2n na b= + ⇒ có chữ số tận cùng là b 
Đặt ( )4 , ,0 3n k r k r r= + ∈ ≤ ≤ ta có: 2 16 .2n k r= 
Nếu 0r = thì ( )2 2 2 . 16 1 10 2n r r k n− = − ⇒ tận cùng là 2r 
Suy ra ( )2 10 2 2 2 . 16 1 3 3 3r n r r kb a a ab= ⇒ = − = − ⇒ ⇒   
Từ ( )1 và ( )2 suy ra 6ab 
Câu 27: Cho n là số nguyên dương, chứng minh rằng 16n – 15n – 1 chia hết cho 225. 
Lời giải 
Với n = 1 ta có: 16 – 15 – 1 = 0  225 
Giả sử bài toán đúng với n = k tức là ta có: 
 16k – 15k – 1  225 
Ta chứng minh bài toán đúng với n = k + 1 
Thật vậy: 16k+1 – 15(k+1) – 1 = 16.16k – 15k – 15 – 1 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
15 
 = 16k (15 + 1) – 15k – 15 – 1 
 = (16 k – 15k – 1) + 15(15k – 1) 
 = (16 k – 15k – 1) + 225. A(k)  225 
Vậy 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n là số nguyên dương. 
Câu 28: Chứng minh rằng 2008 2009 20102 2 2+ + chia hết cho 7 
Lời giải 
 ( )2008 2009 2010 2008 20082 2 2 2 . 1 2 4 7.2 7+ + = + + =  
Câu 29: Chứng minh rằng 3n n− chia hết cho 6 với mọi số tự nhiên n 
Lời giải 
Ta có: ( ) ( )3 1 . . 1n n n n n− = − + chia hết cho 3 vì tích của 3 số nguyên liên tiếp 
Ta cũng có ( ) ( )1 1n n n− + chia hết cho 2 vì trong 3 số liên tiếp có 1 số chẵn 
Mà ( )2,3 1= . Vậy 3n n− chia hết cho 6 
Câu 30: . Chứng minh rằng 21 24 83 2 6 1− − − chia hết cho 1930 
Lời giải 
Đặt ( )37 83 , 2 , 1a b c= = − = − . Ta có: 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
3 3 321 24 8 7 8 7 8
3 3 3 2 2 2
3 2 6 1 3 2 1 3.3 . 2 . 1
3a b c abc a b c a b c ab bc ca
− − − = + − + − − − −
= + + − = + + + + − − −
Mà ( ) ( )37 83 2 1 1930a b c+ + = + − + − = nên suy ra đpcm. 
Chứng minh rằng: ( )( )2 1 2 1n nA = − + chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . 
Lời giải 
Chứng minh rằng: ( )( )2 1 2 1n nA = − + chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . 
Theo giả thiết n là một số tự nhiên nên 2 1, 2 , 2 1n n n− + là ba số tự nhiên liên tiếp 
Vì tích của ba số tự nhiên liên tiếp luôn chia hết cho 3 nên ( ) ( )2 1 .2 . 2 1 3n n n− +  
Mặt khác, ( )2 ,3 1n = nên ( )( )2 1 2 1 3n n− +  . 
Vậy, ( )( )2 1 2 1n nA = − + chia hết cho 3 với mọi số tự nhiên n . 
Câu 31: Tìm các số có 3 chữ số chia hết cho 7 và tổng các chữ số của nó cũng chia hết cho 7 
Lời giải 
Gọi số có ba chữ số cần tìm là abc 
Ta có: ( )abc 98a 7b 2a 3b c= + + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
16 
Vì abc 7 2a 3b c 7 (3)⇒ + +  
Mặt khác, vì a b c 7 (4),k+ +  ết hợp với (3) suy ra b c 7−  
Do đó b c− chỉ có thể nhận các giá trị 7;0;7− 
Với b c 7 c b 7.− = − ⇒ = + Kết hợp với (4) ta chọn được các số 707; 518; 329 thỏa mãn. 
Với b c 7 b c 7.− = ⇒ = + Đổi vai trò b và c của trường hợp trên ta được các cặp số 
770,581,392 thỏa mãn Câu toán. 
Với b c 0 b c− = ⇒ = mà do (4) nên a 2b 7+  
Do 1 a 2b 27≤ + ≤ nên a 2b+ chỉ có thể nhận các giá trị 7;14; 21. 
Từ đó ta chọn được 12 số thỏa mãn là 133; 322; 511;700; 266; 455 ;644;833; 399; 588; 777;966 
Vậy có 18 số thỏa mãn Câu toán: 
707; 518; 329;770; 581; 392 ;133; 322; 511;700 ; 266 ; 455;644;833; 399; 588;777;966. 
Câu 32: Chứng minh rằng vơi mọi số tự nhiên n thì phân số 
2
2
10 9 4
20 20 9
n n
n n
+ +
+ +
tối giản 
Lời giải 
Gọi d là ƯCLN của 
210n 9n 4+ + và 
220n 20n 9+ + 
2 2
2 2
10n 9n 4 d 20n 18n 8 d
2n 1 d
20n 20n 9 d 20n 20n 9 d
 + + + + ⇒ ⇒ ⇒ + 
+ + + +  
 

 
d⇒ là số tự nhiên lẻ 
Mặt khác
2 22n 1 d 4n 4n 1 d 20n 20n 5 d 4 d+ ⇒ + + ⇒ + + ⇒    , mà d lẻ nên d 1= 
Vậy phân số trên tối giản 
Câu 33: Chứng minh rằng 4 3 2n 2n n 2n− − + chia hết cho 24 với mọi n ∈ 
Lời giải 
( )
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
4 3 2 3 2
2
2
n 2n n 2n n n 2n n 2
n n . n 2 n 2
n n 1 n 2 n n 1 n 1 n 2
− − + = − − +
 = − − − 
= − − = − + − 
( )( )( )n n 1 n 1 n 2− + − là tích 4 số nguyên liên tiếp trong đó phải có 1 số chia hết cho 2, một số 
chia hết cho 3 và một số chia hết cho 4 
Nên ( )( )( )n n 1 n 1 n 2 2.3.4 24− + − = 
Vậy 4 3 2n 2n n 2n 24− − +  
Câu 34: Chứng minh rằng ( )5a a 30 a− ∈ 
Lời giải 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
17 
( ) ( )( ) ( )( ) ( )
( )( )( )( ) ( )( )
25 4 2 2a a a a 1 a a 1 a 1 a a 1 a 1 a 4 5
a a 1 a 1 a 2 a 2 5a a 1 a 1
 − = − = − + = + −