SKKN Rèn luyện tư duy giải toán Hình học không gian cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian

TRƯỜNG PHỔ THÔNG TRUNG HỌCCHUYÊN VĨNH PHÚC
RÈN LUYỆN TƯ DUY GIẢI TOÁN
HÌNH HỌC KHÔNG GIAN CHO HỌC SINH THÔNG QUA
 MỐI LIÊN HỆ GIỮA HÌNH HỌC PHẲNG
 VÀ HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
 Người thực hiện : Đào chí Thanh
 Tổ : Toán Tin
 Sô Điện thoại : 0985 852 684
 Email : thanhtoan@vinhphuc,edu.vn
 Năm 2011- 2012 
LỜI CẢM ƠN
Với tình cảm chân thành, tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến các đồng chí trong tổ toán – tin đã đọc,góp ý tận tình trong bản sáng kiến kinh nghiệm này.
	Đặc biệt, tôi xin cảm ơn Th.s Hạ Vũ Anh đã đóng góp nhiều ý kiến quí báu cho bản sáng kiến kinh nghiệm và giúp tôi hoàn thành sáng kiến kinh nghiệm này. 
	Do thời gian nghiên cứu có hạn, các bài toán chỉ xem xét trong pham vi nhỏ nên chắc chắn khó tránh khỏi thiếu sót.Tác giả rất mong nhận được sự giúp đỡ, chỉ dẫn và trân trọng tiếp thu các ý kiến phê bình, đóng góp của các thầy cô giáo và đồng nghiệp.
 Vĩnh yên, tháng 05 năm 2012
 Đào chí Thanh
 MỤC LỤC
Trang
PHẦN I MỞ ĐẦU
4
 1. Lý do chọn đề tài
4
 2. Mục đích nghiên cứu
5
 3. Đối tượng ngiên cứu
6
 4. Giới hạn của đề tài
6
 5. Nhiệm vụ của đề tài
6
 6. Phương pháp nghiên cứu
6
 7. Thời gian nghiên cứu
6
 8. Ký hiệu, tên viết tắt
7
 PHẦN II- KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG
8
 1 1 . Hiện trạng
8
 2. Một số giải pháp 
9
 3. Vấn đề nghiên cứu
9
 4. Một số bài toán cung cấp cho học sinh kỹ năng giải bài tập HHKG
24
 5. Một số bài luyện tập 
35
 6. Đề kiểm tra chất lượng học sinh
36
 7. Kết quả học tập của học sinh
38


 PHẦN III- KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
40
 1 . Kết luận
40
 2. Kiến nghị
41
 3. Phụ lục 
42
Tài liệu tham khảo
44

 PHẦN I
MỞ ĐẦU
1.Lý do chọn đề tài
Mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam là hình thành những cơ sở ban đầu và trọng yếu của con người mới: phát triển toàn diện phù hợp với yêu cầu và điều kiện hoàn cảnh đất nước con người Việt Nam.
Trong giai đoạn hiện nay, mục tiêu đào tạo của nhà trường phổ thông Việt Nam đã được cụ thể hoá trong các văn kiện của Đảng, đại hội đại biểu toàn quốc lần thứ VIII Đảng Cộng Sản Việt Nam và kết luận của hội nghị trung ương khoá IX, mục tiêu này gắn với chính sách chung về giáo dục và đào tạo “ Giáo dục và đào tạo gắn liền với sự phát triển kinh tế, phát triển khoa học kĩ thuật xây dựng nền văn hoá mới và con người mới” “Chính sách giáo dục mới hướng vào bồi dưỡng nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài, hình thành đội ngũ lao động có trí thức, có tay nghề”
Môn Toán trong trường phổ thông giữ một vai trò, vị trí hết sức quan trọng là môn học công cụ nếu học tốt môn Toán thì những tri thức trong Toán cùng với phương pháp làm việc trong toán sẽ trở thành công cụ để học tốt những môn học khác.
Môn Toán góp phần phát triển nhân cách, ngoài việc cung cấp cho học sinh hệ thống kiến thức, kĩ năng toán học cần thiết môn Toán còn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất của người lao động mới: cẩn thận, chính xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ.
Một trong các môn học cung cấp cho học sinh nhiều kỹ năng, đức tính, phẩm chất của con người lao động mới là môn hình học không gian. Để học môn này học sinh cần có trí tưởng , kỹ năng trình bày, vẽ các hình trong không gian và giải nó.
	Như mọi người đều bỉết,hình học không gian là môn học có cấu trúc chặt chẽ,nội dung phong phú hơn so với hình học phẳng.Trong quá trình dạy học ở trường phổ thông để giải quyết một vấn đề của hình học không gian nhiều giáo viên đã chuyển vấn đề đó về hình học phẳng hoặc chia kiến thúc của hình không gian thành những phần đơn giản hơn mà có thể giải nó trong các bài toán phẳng.Đó là một việc làm đúng đắn,nhờ nó làm cho quá trình nhận thức,rèn luyện năng lực lập luận, sự sáng tạo,tính linh hoạt khả năng liên tưởng từ hình học phẳng sang hình học không gian của học sinh.
	Trong mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian,với cơ sở là mặt phẳng là một bộ phận của không gian ta chú trọng tách các bộ phận phẳng ra khỏi không gian bằng các hình vẽ (các phần được tách ra thường là thiết diện,giao tuyến.) nhằm giúp học sinh liên tưởng đến các bài toán hình học phẳng để từ đó giải quyết được bài toán ban đầu.
Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên củng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên.
Để giải bài tập hình học không gian một cách thành thạo thì một trong yếu tố quan trọng là biết kết hợp các kiến thức của hình học không gian và hình học phẳng, phải tìm ra mối liên hệ của chúng sự tương tự giữa HHP và HHKG, giúp học sinh ghi nhớ lâu các kiến thức hình học, vận dụng tốt các kiến thức đã học . 
 	Vì vậy để giúp học sinh học tốt môn hình học lớp 11 tôi đã chọn đề tài :
 “ Rèn luyện tư duy giải toán Hình học không gian cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian" 
2.Mục đích nghiên cứu:
Tìm ra phương pháp dạy học phù hợp với học sinh , tạo hứng thú học tập cho học sinh,từ đó củng cố các kiến thức đã học ở THCS. Nhằm giúp học sinh thấy được mối liên quan của HHP và HHKG . Từ đó nâng cao chất lượng học tập của học sinh trong các tiết học.
3.Đối tượng ngiên cứu:
Một số bài toán HHP và HHKG giải toán hình học lớp 11.
4.Giới hạn của đề tài:
 Do tính chất của môn học, tôi chỉ tập chung vào một số bài toán hình học phẳng có liên quan đến các bài toán hình không gian trong chương trình phổ thông”.
5.Nhiệm vụ của đề tài:
Kế hoạch giúp đỡ học sinh học tốt môn hình học lớp 11
Rút ra kết luận và đề xuất một số biện pháp khi tiến hành giúp đỡ từng đối tượng học sinh nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy trong nhà trường THPT.
6.Phương pháp nghiên cứu:
Để thực hiện mục đích và nhiệm vụ của đề tài, trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các nhóm phương pháp sau:
Nghiên cứu các loại tài liệu sư phạm, quản lí có liên quan đến đề tài.
Phương pháp quan sát (công việc dạy- học của giáo viên và HS).
Phương pháp điều tra (nghiên cứu chương trình, hồ sơ chuyên môn,).
Phương pháp đàm thoại phỏng vấn (lấy ý kiến của giáo viên và HS 
 thông qua trao đổi trực tiếp).
Phương pháp thực nghiệm.
7.Thời gian nghiên cứu:
Năm học: Từ tháng 9 năm 2011 đến tháng 4 năm 2012
Số tiết giảng dạy : 24 tiết (được dạy trong các tiết học và chuyên đề ôn thi ĐH)
8. Ký hiệu, tên viết tắt
 Mặt phẳng : mf
 Đường thẳng : ĐT
 Diện tích tam giác ABC : S∆ ABC 
 Phép vị tự : (Tâm O; tỷ số k)
 : là độ dài đường cao hạ từ A; B; C đến các cạnh đối diện của ∆ ABC : là độ dài đường TT hạ từ A; B; C đến các cạnh đối diện của ∆ ABC
 : là độ dài đường phân giác hạ từ A; B; C đến các cạnh đối diện của ∆ ABC
PHẦN II - KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU KHOA HỌC SƯ PHẠM ỨNG DỤNG
 1. Hiện trạng :
 Trong quá trình dạy học môn Toán, nhất là môn Hình học thì quá trình học tập của học sinh còn khá nhiều em học tập chưa tốt. Đặc điểm cơ bản của môn học là môn yêu cầu các em có trí tưởng tượng phong phú.Cách trình bày chặt chẽ, suy luận logic của một bài hình học làm cho học sinh khó đạt điểm cao trong bài tập hình không gian.
	Ở trường các em học sinh được học sách Hình học cơ bản, các bài tập tương đối đơn giản so với sách nâng cao nhưng khi làm các bài tập trong đề thi khảo sát chất lượng thì bài tập có yêu cầu cao hơn nên cũng gây một phần lúng túng cho học sinh.Nhiều em không biết cách trình bày bài giải,sử dụng các kiến thức hình học đã học chưa thuần thục,lộn xộn trong bài giải của mình. Cá biệt có một vài em vẽ hình quá xấu, không đáp ứng đươc yêu cầu của một bài giải hình học.Vậy thì nguyên nhân nào cản trở quá trình học tập của học sinh?
	Khi giải các bài toán hình học không gian các giáo viên và học sinh thường gặp một số khó khăn với nguyên nhân như là :
	+) Học sinh cần phải có trí tưởng tượng không gian tốt khi gặp một bài toán hình không gian.
	+) Do đặc thù môn hình không gian có tính trừu tượng cao nên việc tiếp thu, sử dụng các kiến thức hình không gian là vấn đề khó đối với học sinh 
	+) Học sinh quen với hình học phẳng nên khi học các khái niệm của hình không gian hay nhầm lẫn, khó nhìn thấy các kết quả của hình học phẳng được sử dụng trong hình không gian, chưa biết vận dụng các tính chất của hình học phẳng cho hình không gian 
	+) Một số bài toán không gian thì các mối liên hệ của giả thiết và kết luận chưa rõ ràng làm cho học sinh lúng túng trong việc định hướng cách .
	+) Bên cạnh đó còn có nguyên nhân như các em chưa xác định đúng đắn động cơ học tập, chưa có phương pháp học tập cho từng bộ môn, từng phân môn hay từng chuyên đề mà giáo viên đã cung cấp cho học sinh. Cũng có thể do chính các thầy cô chưa chú trọng rèn luyện cho học sinh,hay phương pháp truyền đạt kiến thức chưa tôt làm giảm nhận thức của học sinh...v.v.
	Để hiểu rõ các nguyên nhân yếu kém tôi đã tiến hành trắc nghiệm khách quan bằng 10 câu hỏi cho mỗi phiếu (gồm 02 phiếu) về khả năng học tập môn toán và môn hình học ở trường phổ thông 
	 Sau khi đưa cho học sinh các câu hỏi trắc nghiệm khách quan tôi đã kiểm tra tính trung thực, độ tin cậy của dữ liệu theo công thức Spearman – Brown 
Mỗi câu hỏi có điểm từ 1 đến 5 (Từ 1 điểm: Hoàn toàn không đồng ý đến 5 điểm : Hoàn toàn đồng ý)
 (Xem phục lục 1 và 2 trang 43)
	Từ một số nguyên nhân trên tôi mạnh dạn đưa ra một hướng giải quyết nhằm nâng cao chất lượng dạy và học của thầy và trò trong bộ môn hình học không gian.Tạo hứng thú cho học sinh trong quá trình học hình ở trường phổ thông bằng cách: Rèn luyện tư duy giải toán hình học không gian cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian. 
2. Một số giải pháp 
 	Để giải được bài hình học tốt theo tôi nghĩ có một số giải pháp tăng cường kỹ năng kiến thức cho học sinh đó là:
	 Hướng dẫn học sinh vẽ hình trong không gian, giải thích các vẽ nhằm giúp học sinh vẽ hình đẹp, dễ dàng giải quyết các bài tập.
	Tăng cường vấn đáp nhằm giúp học sinh hiểu rõ các khái niệm trong hình không gian như quan hệ song song của hai đưòng thẳng ; hai mặt phẳng, đưòng thẳng và mặt phẳng..v..v
	Sử dụng đồ dùng dạy học một cách hợp lý như các mô hình trong không gian, các phần mềm giảng dạy như Cabir, GSPS,Geogebra. 
	Dạy học theo các chủ đề, mạch kiến thức mà đã được giáo viên phân chia từ khối lượng kiến thức cơ bản của chương trình nhằm giúp học sinh hiểu sâu các kiến thức mà mình đang có, vận dụng chúng một cách tốt nhất.
	Trong quá trình dạy học tôi đề ra một hướng giải quyết là “ Rèn luyện tư duy giải toán Hình học không gian cho học sinh thông qua mối liên hệ giữa hình học phẳng và hình học không gian" 
 3/ Vấn đề nghiên cứu:
Để hình thành kiến thức cho học sinh tôi đã soạn hai tiết minh họa phương pháp này nhằm đào sâu kiến thức cho học sinh 
Tiết 1: LUYỆN TẬP 
A. MỤC TIÊU
 1. Kiến thức
	Hiểu,nhớ được các kiến thức đã học trong trường THCS từ đó vận dụng vào để giải được một số bài tập trong HHKG 
	2. Kỹ năng
	- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng.
	- Rèn kỹ năng vẽ hình trong không gian, 
	- Biết vận dụng kiến thức về các định lý Talets trong mặt phẳng; tính chất của hình bình hành.
	3. Tư duy và thái độ
Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng không gian, suy luận logic.trong không gian
Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức.
Biết được toán học có ứng dụng trong thực tiễn.
B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ
	 - GV: dụng cụ dạy học, bảng phụ, phiếu học tập, máy vi tính ( computer) và máy chiếu ( projector).
	- HS: dụng cụ học tập, bài cũ.
C. GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Về cơ bản sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp.
Đan xen hoạt động nhóm.
D. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 
1. Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
Ghi bảng – trình chiếu

VÝ dô 1: Trong mặt phẳng, cho ®­êng th¼ng d vµ hai ®iÓm A, B cè ®Þnh kh«ng thuéc d. T×m ®iÓm M trªn d sao cho tæng MA + MB nhá nhÊt.

Sử dụng máy chiếu để rút ra kết quả của bài tập này.
- Hiểu yêu cầu đặt ra và trả lời câu hỏi.
Đây là bài tập không khó yêu cầu học sinh (VD: em Công ) trình bày bài giải? 

- Nhận xét câu trả lời của bạn và bổ sung nếu cần.
- Yêu cầu học sinh khác nhận xét câu trả lời của bạn và bổ sung nếu có.


-Nhận xét và chính xác hóa kiến thức cũ.


- Đánh giá HS và cho điểm (H/s : Công)




- Phát hiện vấn đề nhận thức.
Ta có thể mở rộng ra không gian được không?
	2. Hoạt động 2: Bài mới 
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
Ghi bảng trình chiếu

VD1': Trong không gian,cho mặt phẳng () và hai điểm A; B Tìm M trên ( ) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
 

Nhận xét đề bài KG và đề hình phẳng?
*) Nếu A;B khác phía đối với mặt phẳng ( ) thì điểm M xác định như thế nào?
*) Nếu A;B cùng phía đối với mặt phẳng 
( ) thì điểm M xác định như thế nào?
 b1) Xác định điểm đối xứng của B qua mặt ( ) 
b2) Lập mặt phẳng (ABC) cắt () giao tuyến Ex 
b3) Nối AC cắt Ex tại M. M là điểm cần tìm 

H/s nhận xét tính chất dối xứng của B qua mặt phẳng 
Hướng dẫn H/s Cm M thỏa mãn ĐK

H/s nêu cách c/m bài tập này ?
Ví dụ 2:Trong mặt phẳng, cho tứ giác ABCD có M;N;P;Q lần lượt là trung điểm các cạnh AB;BC;CD;DA.Chứng minh rằng MNPQ là hình bình hành


Ví dụ 2': Trong không gian,cho tứ diện ABCD,gọi M;N;P;Q;R;S lần lượt là trung điểm các cạnh AB;CD;CA;BD;AD;BC
Chứng minh các đoạn thẳng MN;PQ;RS đồng qui tại một điểm

Dựa vào cách C/m VD3 ta có tứ giác MRNS;NPMQ;PRQS là hình bình hành, 
Vậy các đường chéo đồng qui tại một điểm
Hay các đoạn thẳng MN;PQ;RS đồng qui tại một điểm
H/s nêu t/c của trung tuyến trong tam giác?
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho ∆ ABC thì giao 3 trung tuyến đồng qui tại G và G chia các đoạn trung tuyến theo tỷ số 1:2 (Kết quả đã biết ở THCS)


Ví dụ 3': Trong không gian,cho tứ diện ABCD,gọi Ga; Gb;GC; Gd lần lượt là trọng tâm các mặt BCD,ACD,ABD;ABC.Chứng mỉnh rằng các đưòng thẳng AGA;BGB;CGC; DGD đồng qui tại G và 


Xét ∆ ABM có MN là đường gì của ∆ ; G nằm trên MN thỏa mãn ĐK gì?
Theo ví dụ 2' ta có các đoạn MN; PQ; RS đồng qui tại G Ta chứng tỏ AGa qua G và chia theo tỷ số như trên.
 Nối AG cắt BM tại X Kẻ NP // AG cắt BM tại P Ta chứng minh X là Ga 
 Trong ∆ NMP có XG // NP qua trung diểm của MN nên XP = XM; trong ∆ ABX có NP // AX qua trung điểm của AB nên BP = PX 
Hay BP = PX = XM Vậy X là trọng tâm ∆ BCD và ta có NP = ½ AX; GX = ½ NP nên
 (đpcm) 
 
 Hướng dẫn h/s giải bài tập hinh học phẳng và chuyển KQ sang không gian

	3. Hoạt động 3: 
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
Ghi bảng – trình chiếu

Ví dụ 4:Trong mặt phẳng,cho ∆ ABC đưòng thẳng bất kỳ cắt hai cạnh AB ; AC tại M; N thì
Đây là kết quả quan trọng các em tự c/m?
 Hướng dẫn h/s c/m kết quả này?

Ví dụ 4': Trong không gian,cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành.Mặt phẳng (P) cắt các cạnh SA;SB;SC;SD lần lượt tại M;N;P;Q thì 
Hãy tìm giao tuyến của (ACS) và (BSD)
Tìm giao điểm của (P) và SO
Ta có I là giao của MP và QN thì I nằm trên SO.
Trong tam giác SAC ta có: 
Mà (O là trung điểm AC)

Áp dụng kết quả vd 4 vào ∆ SAC ;
∆ SAO; ∆ SOC
Vậy 
Do đó :
Tương tự trong ∆ SBD : 
từ (1) và (2) ta có đpcm


	Hoạt động 5: Củng cố toàn bài
	Câu hỏi 1: Em hãy cho biết những nội dung chính đã học trong bài này?
	Câu hỏi 2: Em hãy nêu lại một số kết quả liên quan đến trọng tâm tứ diện
	Lưu ý HS: Về kiến thức, kỹ năng, tư duy và thái độ như trong phần mục 
 tiêu bài học đã nêu.
Tiết 2: LUYỆN TẬP
A. MỤC TIÊU
	1. Kiến thức
 Hiểu, nhớ được các kiến thức đã học trong trường THCS từ đó vận dụng vào để giải được một số bài tập hình không gian
	2. Kỹ năng
	- Dựng được ảnh của một điểm, một đoạn thẳng, một tam giác, một đường tròn qua một phép đối xứng trục, đối xứng qua mặt phẳng.
	- Rèn kỹ năng vẽ hình trong không gian, 
	- Biết vận dụng kiến thức về các định lý Talets trong mặt phẳng; tính chất của hình bình hành.
	3. Tư duy và thái độ
Biết quy lạ về quen, phát triển trí tưởng tượng không gian, suy luận logic.trong không gian
Tích cực trong phát hiện và chiếm lĩnh tri thức.
Biết được vai trò của toán học trong thực tiễn.
B. CHUẨN BỊ CỦA THẦY VÀ TRÒ
	- GV: dụng cụ dạy học, bảng phụ, phiếu học tập, máy vi tính ( computer) và máy chiếu ( projector).
	- HS: dụng cụ học tập, sách giáo khoa.
C. GỢI Ý VỀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC
Về cơ bản sử dụng phương pháp gợi mở vấn đáp.
Đan xen hoạt động nhóm.
D. TIẾN TRÌNH DẠY HỌC 
	1. Hoạt động 1: Ôn tập kiến thức cũ
Hoạt động của học sinh
Hoạt động của giáo viên
Ghi bảng – trình chiếu
 +) Vẽ hình
 +) kẻ hình phụ đề c/m kết quả trên.
VÝ dô 1 : Trong mặt phẳng, cho góc xOy, trên Ox lấy điểm A, Oy lấy diểm B sao cho (d là hằng số).Chứng minh rằng AB luôn qua điểm cố định

Hướng dẫn học sinh chứng minh để rút ra kết quả của bài tập này.
+) Dựng phân giác góc AOB
+) Kẻ DC // OB sử dụng ĐL Ta lét tìm các tỷ số 

Ta có ∆ ODC cân đỉnh D


 Theo Ta lét 



Vậy C là điểm cố định cần tìm.

- Phát hiện vấn đề nhận thức.
Ta có thể mở rộng ra không gian được không?
	2. Hoạt động 2: Bài mới 
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
Ghi bảng trình chiếu

VD1': Trong không gian,cho hai đưòng thẳng chéo nhau a;b.Trên đưòng thẳng a lấy hai điểm A,B trên đưòng thẳng b lấy hai điểm C;D sao cho B;D nằm cùng phía so với A;C(A;C cố định ) và Chứng minh rằng mặt phẳng đi qua BD và song song với AC qua một điểm cố định


Nhận xét đề bài KG và đề hình phẳng?
+) Qua C dựng đưòng thẳng Cc // a
+) Trong mặt (a,c) dựng BK//AC 
+) Mặt phẳng (BKD) là mặt phẳng cần dựng
Hãy dựng mặt phẳng thoả mãn yêu cầu bài toán?
H/s nhận xét trong mặt phẳng (CKD) kết quả có như VD1 không? 
+) Theo các dựng ta có AB = CK nên
+) theo VD1 thì H là điểm cố định
Hướng dẫn H/s Cm H thỏa mãn ĐK

Ví dụ 2: Trong không gian,cho góc xOy và điểm A cố định không nằm trong mặt (xOy) Điểm B cố định nằm trên phân giác góc xOy,đưòng thẳng (d) thay đổi qua B luôn cắt Ox tại M; Oy tại N.Chưng minh rằng: là hằng số.





H/s nêu công thức tính diện tích tam giác?
H/s nêu công thức tính thể tích hình chóp? 
Ta gọi khoảng cách từ A đến (xOy) là h thì: 

Nhận xét tỷ số :

Nêu công thức Hê- rông để tính diện tích ∆ ABC
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng, cho ∆ ABC thì diện tích tam giác : 
Công thứcHê rông

Trong KG có công thức tương tự không?

Ví dụ 3':Trong không gian,cho tứ diện SABC có SA;SB;SC đôi một vuông góc.Tính thể tích tứ diện theo AB =a;AC =b;BC =a

 
 Ta có :
 hay 
Vậy :
 
3. Hoạt động 3: 
Hoạt động của HS
Hoạt động của GV
Ghi bảng – trình chiếu
Khi SA,SB,SC đôi một vuông góc thì thể tích hình chóp tính như thế nào?
Vậy :
Hay với 
Công thức này gần giống Hêrông
 Hướng dẫn h/s tính SA,SB,SC

Ví dụ 4: Trong mặt phẳng, cho tam gi¸c ®Òu ABC, träng t©m G. M lµ mét ®iÓm trong tam gi¸c. §­êng th¼ng MG c¾t c¸c ®­êng th¼ng BC, AC, AB theo thø tù ë A’, B’, C’. Chøng minh r»ng:.


Hạ theo Ta lét ta có: . Gọi I;J lần lượt là chân đường cao hạ từ M xuống các cạnh AB;AC	A
Khi ®ã ta cã: 
 
 Hãy nhận xét
 (1)
Vậy : 
Lại có : 
 Suy ra: (đpcm)
 
 Sử dụng diện tích để tìm tổng (1)

 Ví dụ 4': Trong không gian,cho tứ diện đều ABCD , träng t©m G. Mét ®iÓm M trong tø diÖn, ®­êng th¼ng MG c¾t c¸c mÆt ph¼ng BCD, ACD, ABD, ABC lÇn l­ît taÞ c¸c ®iÓm A’, B’, C’, D’ chøng minh r»ng: 
Giả sử đường thẳng cắt mặt (ACD).(BCD)
tại B';A'
như hình vẽ ta có
nhận xét gì?
 Hãy tính tổng (2)

Hạ 
Ta thấy A’;H;K thẳng hàng
Gọi I, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống các mặt phẳng ABD, ACD, ABC. Tương tụ như trên ta có: 
; ; .
. 
Sử dụng thể tích để tìm tổng (2)
Hãy so sánh diện tích các mặt của tứ diện?
Ta có: 
Vì : 
 Vậy 

Hoạt động 5: Củng cố toàn bài
 BTVN: Chứng minh ĐL Mêlelauyt trong mặt phẳng; trong không gian.
4. Một số bài toán cung cấp cho học sinh kỹ năng giải bài tập HHKG 
 Tôi chủ động đưa ra cho học sinh một số bài toán hình học phẳng và mở rộng kết quả đó trong không gian 
 Các bài toán sau đây khai thác một vài mở rộng của một số bài toán phẳng sang bài toán trong không gian và sự vận dụng phương pháp giải bài toán phẳng để giải bài toán mở rộng đó.
Bài toán 1 : 
Cho tam giác ABC vuông tại A ta có 
c2 = a.c’; b2 = b’.a (1)
ha2 = c’.b’ (2)
 (3)
a2 = b2 + c2 ( 4)
b.c = a.ha (5)
 Sau đây là bài toán tương tự trong không gian
 Bài toán 1’ 
Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S. Đặt SA = a; SB = b; SC = c 
hạ OH (ABC); OH = h Chứng minh rằng 
 a) 
 b) 
 c) ∆ ABC nhọn, 
a2 .tanBAC = b2 tanCBA = c2tanBCA = 2SABC .
 Bài giải :
 a) Hạ SF BC thì AH qua F
 Ta thấy ∆ ASF vuông tại S nên 
 (Áp dụng (3))
lại sử dụng (3) vào ∆ BSC ta có 
 vậy 
Ta thấy biểu thức cần chứng minh tương tự như (4) 
 Ta có : 
 Vây : 
Do H nằm trong tam giác ABC nên ∆ ABC nhọn
 Xét : 2SABC = AF. BC và b2 tan ABC = b2 . theo (1) thì b2 = BC.BF nên 
 b2 tan ABC = BC.AF= 2SABC Tương tự ta có dpcm.
Bài toán 2: Cho ABC vuông tại A, M là một điểm bất kì trên BC. AM tạo với AB, AC các góc theo thứ tự là và.
 Chứng minh cos2 + cos2 = 1.
Giải: 
 Qua M dựng đường thẳng vuông góc với AM, 
cắt AB, AC lần lượt tại B’ và C’.
 Khi đó: cos = ; cos = 
 cos2+cos2=(sử dụng (3))
 = = 1 (Do AB’C’ vuông tại A, AM là đường cao).
Bài toán 2’: Cho hình chóp tam diện vuông SABC đỉnh S, M là điểm thuộc miền trong ABC. SM hợp với các cạnh SA, SB, SC các góc theo thứ tự , ,. 
Chứng minh cos2 + cos2 + cos2 = 1.
Giải:
 Sử dụng cách giải tương tự cách giải với bài toán 
trong mặt phẳng. Dựng mặt phẳng qua M và vuông 
góc với SM cắt hình chóp lần lượt tại A’, B’, C’.
 Khi đó: ; ; 
 Nên:
 =
 = 1
 (Theo tính chất của tứ diện vuông)
 Vậy cos2 + cos2 + cos2 = 1.
Bài toán 3: Trong tam giác ABC gọi G là giao điểm 3 đường trung tuyến. Chứng minh .
Bài giải : 
 Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.
 Ta có: .
 Lại có: 
 = 
 Hay: .
Bài toán 3’: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là giao điểm các đường trọng tuyến của tứ diện. Chứng minh .
Bài giải: 
 Gọi E là trung điểm của CD; G1, G2 lần lượt là 
trọng tâm của các tam giác ∆BCD và ∆ADC.
 Khi đó: .
 Trong ∆ABE, ta có:
 Từ đó: .
Bài toán 4 :Cho hinh bình hành ABCD, gọi E;F lần lượt là trung điểm AD;BC. AC cắt BD tại O 
AC cắt BE; DF tại H;I.Chứng minh rằng 
AH = HI = IC
 2(AD2 + AB2) = AC2 + BD2 .
 Đây là bài tập cơ bản, chứng minh không khó ta có thể mở rông kết quả này sang không gian 
Bài toán 4’ : Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ 
Chứng minh rằng: các mặt chéo (AD’B’); (C’BD) cắt A’C tại G1; G2 có các tính chất sau
 G1; G2 là trọng tâm ∆ AD’B ; ∆ C’BD
 A’G1 = G1G2 = CG2 
 Tổng bình phương các cạnh bằng tổng bình phương các đường chéo 
 Bài giải 
a) Nối A’C’ cắt B’D’ tại T, AC cắt BD tại U. Trong mặt ACC’A’ nối A’C cắt AT; C’U tại G1; G2 . Ta thấy G1; G2 là giao của hai mặt chéo (AD’B’); (C’BD) với A’C
Để c/m : G1; G2 là trọng tâm ∆ AD’B’ ; ∆ C’BD, A’G1 = G1G2 = CG2 ta xét hình bình hành ACC’A’ 
theo bài 4 ta có đpcm
Lại xét hình bình hành ACC’A’ thì 
 2(AA’2 + A’C’2) = A’C2 + AC’2 (1)
Xét hình bình hành BDD’B’ thì 
 2(D’D2 +DB2) = B’D2 + BD’2 (2)
Lấy (1) + (2) ta có 2(AA’2 + A’C’2) +2(D’D2 +DB2) = B’D2 + BD’2 + A’C2 + AC’2 
 Mà 2(A’C’2+ DB2) = 2(2(AD2 + AB2) = 4(AD2 + AB2) 
 Vậy 4(AD2 + AB2 +AA’2 )= B’D2 + BD’2 + A’C2 + AC’2 (dpcm)
Bài toán 5: Chứng minh trong tam giác ABC bất kì, trọng tâm G, trực tâm H, tâm đường tròn ngoại tiếp O thẳng hàng và (Đường thẳng Ơle).
Giải: 
 Thẳng hàng là một bất biến của phép vị tự nên ta có thể nghĩ đến việc dùng phép vị tự để giải bài toán này. Yêu cầu của bài toán chứng minh hệ thức làm ta nghĩ đến phép vị tự tâm G biến O thành H hoặc ngược lại. Dựa vào hình vẽ ta dự đoán tỉ số là -2 ( hoặc ). H là trực tâm của ∆ABC còn O là trực tâm của tam giác có các đỉnh là chân các đường trung tuyến. Với định hướng đó ta giải bài toán như sau.
 Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB.
 Ta có: ; ; 
 Do đó: 
 ( là phép vị tự tâm O tỉ số k ).
 Phép vị tự bảo tồn tính vuông góc nên sẽ biến 
trực tâm của ∆ ABC thành trực tâm của ∆ MNP. 
 Theo giả thiết, H là trực tâm của tam giác ABC và dễ dàng chứng minh được O là trực tâm của tam giác ABC.
 Suy ra: hay . 
 Từ đó ta có H, G, O thẳng hàng và .
 Chuyển bài toán sang bài toán trong không gian, không phải tứ diện nào cũng có các đường cao đồng quy tại một điểm nên ta chỉ xét những tứ diện có tính chất này.
Bài toán 5’ : Trong không gian, cho tứ diện trực tâm ABCD. Chứng minh, trọng tâm G, trực tâm H và tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thẳng hàng và GH = GO.
Giải: 
 Ta cũng sẽ dùng phép vị tự để giải bài toán trong không gian. Yêu cầu chứng minh GH = GO gợi ý cho ta nghĩ đến phép vị tự tâm G tỉ số -1.
 Lần lượt lấy A′ đối xứng với A, B′ đối xứng với B, C′ đối xứng với C, D′ đối xứng với D qua G.
 Xét phép vị tự , ta có: 
 Như vậy, nên phép vị tự này sẽ biến trực tâm của tứ diện ABCD thành trực tâm của tứ diện A’B’C’D’. Theo giả thiết, H là trực tâm của tứ diện ABCD, ta sẽ chứng minh O là trực tâm của tứ diện A’B’C’D’.
 Thật vậy, trước hết ta sẽ chứng minh: , từ đó (các đỉnh khác chứng minh tương tự). 
 Ta có mp(BCD) // mp(B’C’D’) Do O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên O cách đều các đỉnh B, C, D. Ta chứng minh A’ cũng cách đều B, C, D.
 Gọi G1 là giao điểm của AA’ với mp(BCD).
 Trong ∆BA’B’ có G là trung điểm của BB’và nên G1 là trọng tâm của ∆BCD.
 Từ đó, BG1 cắt A’B’ tại trung điểm E của A’B’ và . Trong ∆BCD, G1 là trọng tâm nên BG1 qua trung điểm E’ của CD và BG1 = 2G1E’. 
 Suy ra: E ≡ E’ hay CD cắt A’B’ tại trung điểm của mỗi đường. Do đó A’DB’C là hình bình hành. 
 Hơn nữa, nên A’DB’C là hình thoi.
 → A’D = A’C = CB’ và A’B = B’A.
 Ta chứng minh được B’A = CB’ nên suy ra A’B = A’D = A’C hay A’ cách đều các đỉnh B, C, D.
 Suy ra: hay .
 Vậy H, G, O thẳng hàng và GO = GH.
Bài toán 6: Chứng minh trong tam giác bất kì, 9 điểm gồm: 3 chân đường 3 cao, 3 trung điểm của 3 cạnh, 3 trung điểm các đoạn nối trực tâm với các đỉnh thuộc một đường tròn (Đường tròn Ơle).
Bài giải: 
 Ta sẽ dùng phép vị tự để giải bài toán.
 Giả sử tam giác ABC có H1, H2, H3, 
M1, M2, M3, I1, I2, I3 lần lượt là 3 chân
3 đường cao, 3 trung điểm 3 cạnh, 
3 trung điểm các đoạn nối trực tâm với
các đỉnh. 
 Gọi E1, E2, E3, F1, F2, F3 lần lượt là các điểm đối xứng với H qua H1, H2, H3, M1, M2, M3. 
Nhận xét: Ta chứng minh được 9 điểm A, B, C, H1, H2, H3, M1, M2, M3 cùng 
 thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
 Qua phép vị tự thì , , , , , , , , . Do đó, kết hợp với nhận xét ta kết luận 9 điểm H1, H2, H3, M1, M2, M3, I1, I2, I3 cùng thuộc một đường tròn ảnh của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC qua ( Đpcm).
Bài toán 6’: Cho tứ diện trực tâm ABCD. Gọi H1, H2, H3, H4 , G1, G2, G3, G4, I1, I2, I3, I4 lần lượt là 4 chân 4 đường cao, 4 trọng tâm và 4 trung điểm trên 4 đoạn thẳng nối trực tâm với các đỉnh thỏa mãn . Chứng minh 12 điểm đó cùng thuộc một mặt cầu.
Bài giải:
 Ta sẽ chứng minh I1, G1, H1 thuộc một mặt cầu là ảnh của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD qua phép vị tự tâm H tỉ số (đối với các điểm khác hoàn toàn tương tự).
 Thật vậy, gọi G là trọng tâm của tứ diện, O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện thì ta có . Gọi E là điểm thuộc AH1 sao cho và F là điểm thuộc HG1 sao cho .
 Ta có: 
 =
 = = 
 (Do G là trung điểm của HO)
 A, O, F thẳng hàng và O là trung 
điểm của AF. 
 Dễ thấy H1G1 // EF và 
nên . Từ đó, E, F thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện.
 Xét phép vị tự
 Do 3 điểm A, E, F thuộc mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nên I1 , H1, G1 thuộc mặt cầu ảnh của mặt cầu đó qua phép vị tự .
 Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được các điểm còn lại cùng thuộc mặt cầu này (Đpcm).
Bài toán 7: Cho tam giác ABC và M là một điểm thuộc miền trong tam giác. Gọi S1, S2, S3 lần lượt là diện tích các tam giác MBC, MCA, MAB. 
Chứng minh .
Bài giải:
 Gọi S là diện tích của tam giác ABC, ta biến đổi được biểu thức cần chứng minh về dạng 
Biểu thức trên là biểu diễn của vectơ
 qua hai vectơ và nên ta định hướng giải bài toán theo cách từ 
M ta dựng hai đường thẳng lần lượt song song với AB và AC, cắt AB 
tại B’ và AC tại C’. 
 Ta có: = = 
 Ta sẽ chứng minh và .
 Gọi H và K lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ B và M xuống AC, E là giao điểm của BM và AC.
 Ta có: và 
 Suy ra . Tương tự ta chứng minh được . 
 Từ đó: 
Bài toán 7’: Cho tứ diện ABCD, O là một điểm bất kì thuộc miền trong tứ diện. 
Gọi V1, V2, V3, V4 lần lượt là thể tích của các tứ diện OBCD, OCDA, OABD và OABC. 
 Chứng minh.
 Bài giải: 
 Tương tự bài toán trong mặt phẳng ta cũng biến đổi đẳng thức cần chứng minh về dạng 
 = + + (Với V là thể tích của tứ diện)
 Từ đó ta định hướng sẽ giải bài toán
bằng cách dựng hình hộp nhận AO làm đường chéo chính. 
 Dựng hình hộp MNOQ.APRS nhận 
AO làm đường chéo chính, ba cạnh kề nằm trên ba cạnh của tứ diện xuất phát từ A (Hình bên).
 Giả sử = x+ y + z, ta chỉ cần chứng minh
 x = , y = , z = là đủ. 
 Ta có: x = 
 Gọi F là giao điểm của BO và mặt phẳng (ACD).
 Hạ đường cao BH, OK và gọi E là giao điểm của BN và AD.
 Hai mặt phẳng (BEF) và (ACD) đi qua hai đường thẳng song song và có giao tuyến là 
 EF nên EF // NO. 
 Ta có: = = = = = x (Do MN // AC; NO //EF)
 Suy ra x = Tương tự ta cũng có: y = , z = (Đpcm).
Bài toán 8 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O.Đường thẳng vuông góc với bán kính OA cắt AB ;AC lần lượt tại M,N.Chứng minh rằng tứ giác BCNM nội tiếp đường tròn 
 Bài giải 
 Dựng tiếp tuyến Ax với đường tròn (O) tại A
 ta có ANM = NAx 
 Mà BAC = NAx 
nên ANM = BAC 
 Vậy tứ giác BCNM nội tiếp đường tròn.
 Bài toán 8’
Cho tứ diện ABCD có tâm cầu ngoaị tiếp là O.
Mặt phẳng ( ) vuông góc với bán kính OD cắt DA;DB;DC lần lượt tại M;N;P
Chứng minh rằng : A;B;C;M;N;P cùng nằm trên mặt cầu. 
 Bài giải : 
Giả sử K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DAB 
Ta thấy O là tâm cầu ngoại tiếp tứ diện nên OK vuông góc với (DAB)
Vậy MN OK lại có MN DO nên MN (DOK) hay MN KD
theo bài toán 8 thì ABMN nội tiếp đường tròn 
tương tự BCNP nội tiếp đường tròn 
Hai đường tròn này thuộc