SKKN Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các tính chất hình học để tìm lời giải cho một số bài toán tọa độ trong mặt phẳng (Chương III hình học Lớp 10)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA
TRƯỜNG THPT TRIỆU SƠN 4
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TƯ DUY CHO HỌC SINH THÔNG QUA VIỆC KHAI THÁC CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC ĐỂ TÌM LỜI GIẢI CHO MỘT SỐ BÀI TOÁN TỌA ĐỘ TRONG MẶT PHẲNG (CHƯƠNG III HÌNH HỌC 10)
Người thực hiện: Lê Thị Hương
Chức vụ: Giáo viên
SKKN môn: Toán
THANH HÓA NĂM 2016
MỤC LỤC
 Nội dung
Trang
Mở đầu
1
 - Lí do chọn đề tài
1
 - Mục đích nghiên cứu
1
 - Đối tượng nghiên cứu
1
 - Phương pháp nghiên cứu
2
 2. Nội dung sáng kiến kinh nghiệm
2
 2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
2
 2.2. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
2
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
3
 2.3.1. Kiến thức cơ bản.
4
 2.3.2. Một số ví dụ tiêu biểu.
6
Bài tập tự luyện.
18
2.4. Hiệu quả của sáng kiến.
19
3. Kết luận và kiến nghị.
20

1. MỞ ĐẦU	
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Một trong những mục tiêu cụ thể của giáo dục phổ thông hiện nay là: “Tập trung phát triển trí tuệ, thể chất, hình thành phẩm chất, năng lực công dân phát hiện và bồi dưỡng năng khiếu, định hướng nghề nghiệp cho học sinh; Phát triển khả năng sáng tạo, tự học, khuyến học tập suốt đời”. Để thực hiện được mục tiêu trên thì việc phát triển năng lực tư duy cho học sinh có vai trò hết sức quan trọng. Do đó trong quá trình dạy học nói chung và dạy học môn toán nói riêng người giáo viên cần phải hết sức coi trọng vấn đề này.
Trong chương III hình học lớp 10 có một phần rất quan trọng của hình học phổ thông đó là phương pháp tọa độ trong mặt phẳng, đây là phần tiếp nối của hình học phẳng ở cấp THCS nhưng được nhìn dưới quan điểm đại số và giải tích. Như vậy mỗi bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng đều mang bản chất của một bài toán hình học phẳng nào đó, khi giải các dạng bài tập này thì khả năng tư duy của học sinh được nâng lên rất nhiều. Tuy nhiên khi tìm lời giải cho các bài toán hình học tọa độ học sinh thường không chú trọng đến bản chất hình học của bài toán ấy, khi cần giải quyết bài toán các em không biết bắt đầu tư đâu, dựa vào đâu để suy luận tìm lời giải. Nguyên nhân của vấn đề trên là một phần vì học sinh ngại hình học phẳng vì cứ nghĩ hình học phẳng là khó nên “lười” tư duy, một phần vì giáo viên khi dạy cũng không chú trọng khai thác hướng dẫn cho học sinh, chưa phân tích tác kĩ các thao tư duy để tìm lời giải cho các bài toán, các bài tập minh họa cũng đơn điệu, rời rạc, thiếu sức hấp dẫn, điều này không gây được hứng thú học tập và sự sáng tạo cho các em. Dẫn đến kết quả học tập của học sinh còn nhiều hạn chế.
 Vì vậy, thực tế yêu cầu phải trang bị cho học sinh các phương pháp suy luận giải toán hình học tọa độ trong mặt phẳng dựa trên việc kết hợp các tính chất hình học mà các em đã có ở THCS và các kiến thức mà các em đã tiếp thu được khi học phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm kích thích khả năng tư duy sáng tạo, tăng cường hứng thú học tập của học sinh. Từ đó phát huy khả năng tư duy tích cực, chủ động giải quyết vấn đề, tự mình có thể suy luận tìm ra phương án tối ưu để giải quyết các yêu cầu mà mỗi bài toán đặt ra và hình thành ở học sinh năng lực giải quyết các tình huống thực tế . 
Từ những lí do trên tôi chọn đề tài “Phát triển năng lực tư duy cho học sinh thông qua việc khai thác các tính chất hình học để tìm lời giải cho một số bài toán tọa độ trong mặt phẳng (chương III hình học 10)’’.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU 
Thông qua đề tài phát huy khả năng tự tìm lời giải cho các bài tập liên quan đến các kiến thức ở chương III hình học lớp 10, phát huy tính tích cực, chủ động, tư duy sáng tạo cho học sinh .
ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU 
 + Tìm hiểu các thao tác tư duy, các bước suy luận để tìm lời giải cho một bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng.
 + Xây dựng và định hướng khai thác một số tính chất hình học thuần tuý, kết hợp với các kiến thức của hình học giải tích để giải quyết một số bài tập phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 + Thực nghiệm sư phạm nhằm đánh giá tính khả thi và hiệu quả của đề tài.
PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
 + Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lí thuyết.
 + Phương pháp nghiên cứu điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin.
 + Phương pháp thống kê, xử lí số liệu.
2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.
 Trong học tập môn Toán thì hoạt động chủ đạo và thường xuyên của học sinh là hoạt động tư duy giải bài tập, thông qua đó hình thành kỹ năng, kỹ xảo đồng thời rèn luyện phát triển trí tuệ. Vì vậy, nó được quan tâm nhiều trong dạy học. Việc hướng dẫn cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo là một vấn đề cần thiết. Đối với môn toán việc rèn luyện khả năng tư duy trìu tượng, tư duy logic, khả năng phân tích tổng hợp, dự đoán, tương tự hóa, khái quát hóa, biết liên hệ, xâu chuỗi kiến thức sẽ góp phần quyết định trong việc tìm ra lời giải của một bài tập hình học nói chung và các bài tập phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói riêng. Do đó trong quá trình hướng dẫn học sinh làm bài tập giáo viên cần quan tâm đến vấn đề phát huy khả năng tư duy độc lập, định hướng tìm lời giải cho mỗi bài toán đồng thời tạo điều kiện thuận lợi để phát huy tính tích cực, tư duy sáng tạo cho các em. 
 Các dạng bài tập phần tọa độ trong mặt phẳng rất phong phú, nhiều bài toán hay, xâu chuỗi được nhiều mảng kiến thức, có nhiều vấn đề để học sinh khai thác. Do vậy khi dạy học phần này giáo viên cần lưu ý tạo điều kiện để học sinh phát huy tính tích cực, chủ động, khả năng tư duy để có thể tự mình tìm lời giải cho các bài tập. Từ đó phát huy ở các em tính độc lập, tự chủ, khả năng giải quyết các tình huống mà thực tế mà mình gặp trong cuộc sống.
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.
Khi dạy xong chương III hình học 10 phương pháp tọa độ trong mặt phẳng tôi thấy đa số học sinh mới chỉ làm được một số dạng bài tập đơn giản; còn những bài tập mang tính suy luận, đòi hỏi khả năng vận dụng cao thì các em không tự mình tìm được lời giải mặc dù trước đó khi giáo viên tiến hành giảng dạy các tiết chữa bài tập các em tỏ ra khá hiểu bài. Trong khi đó, các bài toán liên quan đến phần này ở các đề thi đại học, trung học phổ thông quốc gia, các đề thi học sinh giỏi trong những năm gần đây lại đòi hỏi tính suy luận cao. Để giải được những bài toán này học sinh không chỉ phải nắm được các kiến thức của hình học giải tích mà còn phải phát hiện ra “điểm nút” của bài toán đó là các tính chất hình học thuần túy ở trung học cơ sở ẩn chứa trong mỗi bài toán. Điều này dẫn đến kết quả làm bài của học sinh chưa được như mong muốn.
Khi dạy các dạng bài tập phần này, một thực tế thường xảy ra là nhiều giáo viên đi theo lối mòn như: Nêu dạng toán, phương pháp giải chứ chưa phân tích cho học sinh thấy được trong bài toán tại sao lại phải đi tìm toạ độ điểm này trước, điểm kia sau, ưu tiên đường này trước, đường kia sau, tính độ dài các đoạn thẳng , tính các góc để làm gì? Tại sao lại kẻ thêm đường thẳng này, kẻ với mục đích gì?...Sở dĩ có thực trạng trên là vì giáo viên chưa chịu thực hiện đổi mới phương pháp dạy học hoặc biết nhưng ngại áp dụng, thiếu kiên nhẫn phân tích, giải thích cho học sinh. Điều này làm hạn chế khả năng tư duy, niềm đam mê, hứng thú học tập của các em. Theo tôi việc phân tích, định hướng cho học sinh cách tiếp cận một bài hình học là rất cần thiết, đây là công việc mà người giáo viên phải chú trọng hơn là cung cấp cho các em một lời giải khô khan.
- Kết quả thực trạng trên.
 Trong các năm học 2013-2014; 2014-2015 tỉ lệ học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn 4 làm được câu hình học tọa độ trong mặt phẳng khi đi đại học và THPT Quốc Gia không nhiều (điều đó thể hiện ở kết quả thi, số lượng học sinh đạt điểm tám trở lên mới đạt khoảng 25% trên tổng số thí sinh dự thi) 
 Năm học 2014- 2015 khi chưa áp dụng sáng kiến vào giảng dạy. Sau khi dạy xong chương III hình học lớp 10 và tổ chức ôn tập, rèn kĩ năng giải bài tập trong các tiết dạy tự chọn và các buổi dạy thêm trong nhà trường. Tôi cho học sinh lớp 10D3 giải thử một số bài tập lấy từ đề thi thử Đại học của một số trường THPT và các đề thi đại học năm 2014 . Kết quả như sau:
Lớp
Số HS
Giỏi
Khá
TB
Yếu
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
SL
TL(%)
10D3
48
0
0
10
20,8
20
41,6
18
37,6
Từ kết quả đó, trong năm học 2015- 2016 tôi đã tiến hành đổi mới dạy nội dung này tại lớp 10A3 (lớp 10A3 có chất lượng tương đương với lớp 10D3)
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một số buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên. Trong đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân tích bài toán hình học phẳng tương ứng; Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh; Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện. Nội dung cụ thể là:
 2.3.1: Tổ chức cho học sinh ôn tập củng cố lại một số kiến thức cơ bản.
Trước khi hướng dẫn học sinh khai thác các tính chất hình học phẳng để giải bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cần tổ chức cho học sinh ôn tập lại một số tính chất hình học cơ bản mà các em đã được học ở trung học cơ sở. Cụ thể là tính chất về các đường trong tam giác, các tính chất của đường tròn tứ giác nội tiếp, tính chất của hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông; các tính chất cơ bản của phần véc tơ trong mặt phẳng và phần phương pháp tọa độ trong mặt phẳng.
 Tiếp theo, hướng dẫn học sinh tìm hiểu và chứng minh một số tính chất hình học thuần túy thường được khai thác trong các bài toán phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nhằm mục đích củng cố, khắc sâu thêm kĩ năng chứng minh quan hệ vuông góc, quan hệ song song, sự bằng nhau của các đoạn thẳng, các góc... đồng thời cũng để các em có cơ sở để tư duy, phát hiện các tính chất hình học ẩn chứa trong mỗi bài toán và vận dụng chúng trong quá trình tìm giải. Cụ thể là một số tính chất sau:
Gọi lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Ta có các tính chất sau:
- Tính chất 1:
 Cho tam giác nội tiếp đường tròn (C), là điểm đối xứng của A qua I, H’ là giao điểm thứ hai của AH với (C). Khi đó ta có các kết quả sau:
1. Tứ giác BHCA’ là hình bình hành. 
2. Gọi M là trung điểm của BC, ta có 
3. Ba điểm I, G, H thẳng hàng và (định lí Ơle )
4. H’ đối xứng với H qua BC
Chứng minh
1. Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) 
(cùng vuông góc với).
Tương tự ta có. Từ đó suy ra tứ giác là hình bình hành.
2. (cùng vuông góc với BC)
3. Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên (1). M là trung điểm của BC nên Theo chứng minh trên 
 (2).

Từ (1) và (2) 
4. (cùng phụ với góc)
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
 cân tại C nên H’ đối xứng với H qua B
- Tính chất 2:
 Cho tam giác ABC. Gọi D, E lần lượt là chân các đường cao kẻ từ đỉnh B và C lên các cạnh AB, AC. Các điểm I, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm của tam giác ABC, K là trung điểm của AH, M là trung điểm của cạnh BC. Khi đó ta có:
5. 
6. hay 
7. Tứ giác EKDM nội tiếp đường tròn đường kính 
Chứng minh
5. Tứ giác AEHD nội tiếp đường tròn đường kính AH Tương tự, ta có tứ giác EDCB nội tiếp đường tròn đường kính BC nên 
 là trung trực của ED
6. Cách 1: Tứ giác BEDC nội tiếp nên: .
Mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )
 Mà 
. 
 Cách 2: Qua A kẻ tiếp tuyến AJ với đường tròn. Khi 
đó Mặt khác (cùng chắn cung) 
Mà . Từ đó suy ra 
.
7. DK là đường trung tuyến của tam giác vuông ADH nên cân tại H 
+ DM là đường trung tuyến của tam giác DBC nên cân tại M (1)
Tương tự ta có (2)
Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EKDM nội tiếp đường tròn đường kính . 
- Tính chất 3: 
 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (C) tâm I, D là giao điểm của đường phân giác trong góc A với đường tròn (C). Khi đó ta có các tính chất :HH
7. Với là điểm đối xứng với qua đường phân giác AD thì 
8. 	
Chứng minh
7. Nếu thì 
Với mỗi mà M không trùng với A, qua M kẻ 
đường thẳng vuông góc với đường phân giáccắt AC 
tại Khi đó AD vừa là đường cao vừa là đường phân 
giác của tại trung điểm củanên
 là điểm đối xứng với M qua đường thẳng AD	
8. D là điểm chính giữa cung BC nên 
(Tính chất đường kính đi qua điểm chính giữa của cung)
- Tính chất 4: Cho hình chữ nhật ABCD. Khi đó nếu thì .
Chứng minh
ABCD là hình chữ nhật nên nó nội tiếp đường tròn
đường kính AC. Mà nên M cũng thuộc
đường tròn này. Mặt khác đường tròn đường kính 
AC cũng chính là đường tròn đường kính DB nên 
M nhìn BD dưới một góc vuông hay .
- Tính chất 5: Cho hình vuông ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD. Khi đó .
Chứng minh
 =
.
2.3.2. Hướng dẫn học sinh tìm lời giải cho bài toán hình học tọa độ phẳng Oxy thông qua một số ví dụ điển hình.
Một bài toán hình học tọa độ phẳng có thể được giải theo một trong ba hướng chính sau: Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích; Giải hoàn toàn theo quan điểm hình học thuần túy sau đó áp dụng vào tọa độ; Kết hợp khai thác các yếu tố hình học phẳng và hình giải tích để giải toán.
 Mỗi hướng giải đều có những ưu thế riêng cho từng bài toán nhưng nói chung đối với các bài toán về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng trong đề thi đại học và trung học phổ thông quốc gia những năm gần đây thì giải theo hướng thứ ba thường hiệu quả hơn cả. 
 Quy trình tìm và trình bày lời giải cho bài toán hình học tọa độ trong mặt phẳng theo hướng thứ ba thường gồm các bước sau:
Bước 1: Vẽ hình phẳng biểu thị cho bài toán (vẽ hình càng chính xác càng dễ quan sát để nhận ra “ điểm nút” của bài toán). 
Bước 2: Phân tích bài toán, tìm lời giải:
 Quan sát hình vẽ, xác định giả thiết và yêu cầu của bài toán; Trên cơ sở các dữ kiện của bài toán phân tích các yếu tố hình phẳng cần thiết để giải toán. 
- Sắp xếp các điểm chưa biết tọa độ, các đường cần tìm theo thứ tự từ nhiều giả thiết đến ít giả thiết. Xác định xem nên ưu tiên tìm điểm nào? Đường nào trước?
- Phân tích các điểm, các đường trên hình vẽ: Liên hệ các điểm, các đường đã biết với nhau; liên hệ các điểm, các đường cần tìm với các điểm đã biết tọa độ hoặc tìm được ngay tọa độ với các điểm khác, với các đường mà giả thiết cho, với tính chất các đường, các góc trong tam giác, trong đường tròn, trong tứ giác (thường là tứ giác nội tiếp, hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình vuông)để dự đoán tính chất hình học ẩn chứa trong bài toán, tiến hành chứng minh tính chất đã phát hiện rồi dựa vào tính chất đó để giải quyết bài toán. 
- Lập sơ đồ các bước giải bài toán.
- Bước 3: Trình bày lời giải.
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng , các điểm lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác. Hãy lập phương trình cạnh , biết điểm B có hoành độ không lớn hơn 3.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải
Cách 1: 
- Bước 1: Giáo viên hướng dẫn học sinh vẽ hình
- Bước 2: Phân tích tìm lời giải
+ Đầu bài đã cho các điểm và phương trình
đường thẳng BC nên ta tìm mối liên hệ giữa và ta sẽ liên hệ đến tính chất (với M là trung điểm của BC) tìm được tọa độ điểm M.
+ Mục tiêu bài toán là viết phương trình AB nên ta tìm mối liên hệ giữa các điểm Đã có tọa độ các điểm nên để tìm A ta liên hệ đến tính chất tìm được tọa độ điểm A.
+ Tiếp theo ta phân tích các dữ kiện liên quan đến điểm B, ta nhận thấy và Từ đó ta tìm được tọa độ điểm B.
+ Sau khi tìm được A, B ta viết được phương trình AB.
- Bước 3:	Trình bày lời giải
Gọi M là trung điểm của BC Đường thẳng IM đi qua I và có véc tơ pháp tuyến phương trình đường thẳng IM: tọa độ điểm M thỏa mãn hpt:. Chứng minh (tính chất 1)
 . 
Do 
 phương trình đường thằng AB là: . 
Cách 2:
+ Phân tích: Đầu bài đã cho các điểm 
lần lượt là trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 
nên ta liên hệ ngay đến tính chất ba điểm I, G, H thẳng
hàng và với G là trọng tâm của tam giác ABC.
Từ đó tìm được tọa điểm G. Sau khi tìm được điểm G, đã
biết phương trình BC một cách rất tự nhiên ta quan tâm
đến trung điểm M của BC, tìm mối quan hệ giữa M với các điểm, các đường đã biết, nhận thấy tìm được tọa độ điểm M. Mục tiêu của bài toán là viết phương trình cạnh AB nên cần lưu ý đến các điểm. Nhận thấy tìm ngay được A dựa vào tính chất tiếp theo ta tìm tọa độ điểm B, dựa vào các điêu kiện và điểm B có hoành độ không lớn hơn 3. Khi đã tìm được tọa độ ta dễ viết được phương trình đường thẳng.
+ Học sinh tự trình bày lời giải theo quá trình phân tích ở bước 2. 
Nhận xét: Điểm mấu chốt của bài toán là các tính chất liên quan đến trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác; mối liên hệ giữa đường kính và dây cung của đường tròn. Cũng với mối liên hệ đó khi thay đổi một số giả thiết của bài toán ta sẽ được những bài tập mới.
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( -2;-1), trực tâm H (2; 1), . Hãy lập phương trình đường thẳng biết trung 
 điểm M của BC nằm trên đường thẳng d: x - 2y - 1= 0 và điểm M có tung độ dương.
- Bước 1: Yêu cầu học sinh tự vẽ hình.
- Bước 2: Phân tích : Đường thẳng BC đi qua điểm M
nhận làm véc tơ pháp tuyến, đã biết nên ta cần
tìm toạ độ điểm M. Đầu bài đã cho các điểm A và H;
 do đó ta nghĩ đến mối liên hệ giữa M và AH
đó là (với I là tâm đường tròn ngoại tiếp )
và mối liên hệ về độ dài giữa để tìm tọa độ M
- Bước 3: Trình bày lời giải.
Do M. Gọi I là tâm đường tròn
ngoại tiếp tam giác ABC. Khi đó 
Ta có và 
 Vì M là trung điểm của BC nên Do đó: 
hoặc . Do . Đường thẳng BC đi qua , nhận 
làm véc tơ pháp tuyến có phương trình . 
Nhận xét: Qua ví dụ 2, ta thấy giả thiết của bài toán có thể thay đổi nhưng khi học sinh nắm vững bài toán gốc (tính chất ) thì các em vẫn có thể giải quyết được yêu cầu của bài toán mới.
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn có phương trình , đường thẳng AC đi qua E. Gọi H và K lần lượt là chân đường cao kẻ từ đỉnh B và C. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết phương trình đường thẳng HK là và A có hoành độ âm, B có tung độ dương.
Hướng dẫn học sinh tìm lời giải
- Bước 1: Hướng dẫn học sinh vẽ hình.
- Bước 2: Phân tích: + Ta tìm được ngay tọa độ tâm I và
bán kính r của đường tròn ngoại tiếp tam giác.Trên cở sở 
giả thiết của bài toán xác định sẽ tìm tọa độ điểm A trước
liên hệ điểm A với các điểm, các đường đã biết là điểm I 
và đường thẳng HK, ta tìm mối liên hệ giữa AI và HK. Dự
đoán AI vuông góc với HK và tiến hành chứng minh (tính chất 2). 
+ Sau khi chứng minh được , viết được phương trình đường thẳng AI tọa độ điểm A, sau khi tìm được tọa đô điểm A, viết được phương trình đường thẳng AC (AC đi qua A và E) từ đó suy ra . 
- Bước 3: Trình bày lời giải
Đường tròn (C) có tâm là I(2;-2) và bán kính R=
Ta có tứ giác HKBC nội tiếp nên (1) 
Gọi D là giao điểm thứ hai của AI với (C). Khi đó 
 (2). Từ (1) và (2) ta có .
Mặt khác .Suy ra 
Vậy 
Do đó phương trình AI là : Suy ra tọa độ 
điểm A là nghiệm của hệ phương trình:
 Ta được A(5;-1) (loại) và A(-1;-3)
Khi đó AC đi qua A(-1;-3) và E(2;-3) nên có phương trình: 
Suy ra tọa độ điểm C là nghiệm của hệ : 
 H là giao điểm của đường thẳng HK và AC nên H(1;-3)
- Đường thẳng BH đi qua H và vuông góc với AC nên BH có phương trình : . B là giao điểm của BH và (C) nên tọa độ của B là nghiệm của hệ: 
 (do B có tung độ dương)
Vậy A(-1;-3) ; B(1;1) ; C(5;-3)
Ví dụ 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có trực tâm H, phương trình đường thẳng AH là trung điểm của cạnh B là điểm Gọi E và F lần lượt là chân đường cao hạ từ C và B đến AB và AC, phương trình đường thẳng EF là . Tìm tọa độ điểm A, biết A có hoành độ dương. 
- Hướng dẫn học sinh vẽ hình	
- Phân tích: + Đầu bài đã cho phương trình EF và tọa độ trung điểm điểm M của BC nên ta liên hệ ngay đến tính chất với K là trung điểm của AH
Phương trình AH đã biết từ đó tìm được tọa độ điểm K
bốn điểm E; F; K; M thuộc đường tròn (C) đường kính
KM (tính chất 2); Có tọa độ K và M ta viết được phương
trình đường tròn này từ đó ta tìm được tọa độ điểm E 
+ Để tìm tọa độ A ta liên hệ A với các điểm đã tìm
được tọa độ . Nhận thấy là trung 
tuyến của tam giác vuông (1). Kết hợp điều kiện với điều kiện (1) và giả thiết A có hoành độ dương ta tìm được tọa độ điểm A.
- Trình bày lời giải	 
Gọi K trung điểm AH. Tứ giác AEHF nội tiếp và bốn điểm B, C, E, F cùng thuộc một đường tròn nên KM ^ EF (đoạn nối tâm vuông góc với dây chung).
Ta có: mà 
(cùng phụ với góc )
 và: 
. Tương tự 
 Do đó tứ giác MEKF nội tiếp đường tròn đường kính KM, tâm là trung điểm 
J của KM.
Đường thẳng KM qua M và vuông góc EF nên có phương trình: 3x + y – 9 = 0.
K là giao điểm của AH và KM nên tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình: 
Đường tròn đường kính KM có tâm J(2; 3) và bán kính nên có phương trình: (x – 2)2 + (y – 3)2 = 10 .
Tọa độ điểm E là nghiệm của hệ phương trình:
 hoặc Þ E(5; 4) hoặc E(–1; 2).
Vì A Î AH nên A(a ; 3a + 3)
Ta có: 
Vì A có hoành độ dương nên .
Ví dụ 5: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ , cho tam giác nhọn ABC. Đường thẳng chứa đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A và đường thẳng BC lần lượt có phương trình là . Đường thẳng qua A vuông góc với đường thẳng BC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại điểm thứ hai là . Viết phương trình các đường thẳng AB, AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
- Hướng dẫn học sinh vẽ hình.
- Phân tích: Từ điều kiện bài toán suy ra tìm
ngay được M là trung điểm của BC, viết được
 phương trình AD và 
Nhận thấy trực tâm H đối xứng với D qua BC
(tính chất 1), suy ra tọa độ điểm H; Để viết được
phương trình AB, AC ta tìm tọa độ các điểm B, C
gọi B(t; t-4), dùng điều kiện M là trung điểm của
BC suy ra tọa độ của điểm C theo t, dùng điều kiện
 tìm được t từ đó suy ra tọa độ các điểm B, C và viết được phương trình AB, AC.
- Trình bày lời giải 
 Gọi M là trung điểm của BC, H là trực tâm tam giác ABC, K là giao điểm của BC và AD, E là giao điểm của BH và AC. Do M là giao điểm của AM và BC nên tọa độ của M là nghiệm của hệ phương trình:
Đường thẳng AD đi qua D và vuông góc với BC nên phương trình AD có dạng
. Do A là giao điểm của AD và AM nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình
Tọa độ điểm K là nghiệm của hệ phương trình:
Tứ giác HKCE nội tiếp nên , mà (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ). Suy ra , vậy K là trung điểm của HD nên .
Do B thuộc BC , do M là trung điểm của BC nên: 
. Do H là trực tâm của tam giác ABC nên
Do . Suy ra 
Chú ý: Sau khi tìm được tọa độ các điểm A, trung điểm M của BC và trực tâm H ta có thể liên hệ tới tính chất để tìm tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, từ đó viết được phương trình của đường tròn này và các điểm B, C chính là giao điểm của nó với đường thẳng BC.
Ví dụ 6: Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho có đỉnh , đường phân giác trong của góc A có phương trình và tâm đường tròn ngoại tiếp là I (1; 7). Viết phương trình cạnh BC, biết diện tích gấp 4 lần diện tích .
- Vẽ hình
- Phân tích
 Đã có tâm I và tọa độ điểm A nên viết được phương 
trình đường tròn (C) ngoại tiếp tam giác ABC. Từ đó
tìm được tọa độ D là giao điểm thứ hai của đường phân
giác trong góc A với đường tròn (C ). Khi đó 	
 (tính chất 3). Kết hợp nhận xét với giả thiêt
 ta viết ta viết được phương trình cạnh BC.
- Lời giải	
+ Ta có . Phương trình đường tròn ngoại tiếp có dạng
+ Gọi D là giao điểm thứ hai của đường phân giác trong 
góc A với đường tròn ngoại tiếp . Tọa độ của D là 	
nghiệm của hệ phương trình: 
 Vì AD là phân giác trong của góc A nên D là điểm chính giữa cung nhỏ BC
 Do đó hay đường thẳng BC nhận véc tơ làm vec tơ pháp tuyến.
+ Phương trình cạnh BC có dạng 
Do nên 
 Vậy phương trình cạnh BC là : hoặc .
Ví dụ 7: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có đỉnh B(-4; 1), trọng tâm G(1; 1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc BAC có phương trình 
x-y-1 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A.
- Bước 1: Vẽ hình (đối với bài toán này không nhất thiết phải vẽ hình)
- Bước 2: Phân tích giả thiết và yêu câu cầu của bài toán : 
+ Đã có điểm B và đường phân giác trong (d) của góc A, ta nghĩ ngay đến tính chất của đường phân giác “B’ đối xứng với B qua đường phân giác trong của góc A thì B’ thuộc đường thẳng AC”. Mặt khác đã có tọa độ điểm B và trọng tâm G thì tìm được tọa độ trung điểm M của AC. 
Đường thẳng AC đi qua B’ và M từ đó viết 
được phương trình AC
 Sơ đồ các bước giải bài toán:
+ Tìm tọa độ trung điểm M của AC.
+ Tìm B’ đối xứng với B qua đường phân 
 giác trong của góc A.
+ Viết phương trình MB’ 
- Bước 3: Trình bày lời giải
Đường thẳng đi qua B và vuông góc với đường phân giác trong của góccó phương trình : . Gọi là điểm đối xứng với B qua 
.
Ta có ; Gọi M là trung là trung điểm của AC. Khi đó Từ đó . Đường thẳng AC cũng chính là đường thẳng có phương trình 
; tọa độ A là nghiệm của hệ Vậy .
Nhận xét: Có thể giải bài toán hoàn toàn theo quan điểm hình học giải tích như sau:
 Gọi M là trung là trung điểm của AC. Khi đó Từ đó . Vì A thuộc đường thẳng nên Đường thẳng có véc tơ chỉ phương . Vì là phân giác trong của gócnên 
	Rõ ràng việc giải phương trình cuối là cồng kềnh và phức tạp. Do đó nếu chúng ta biết khai thác các kết quả của hình học phẳng để giải quyết bài toán như trên thì lời giải ngắn gọn hơn nhiều.
Ví dụ 8: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có đường chéo AC nằm trên đường thẳng d: . Điểm nằm trên đường thằng chứa cạnh AB, điểm nằm trên đường thẳng chứa cạnh AD, . Xác định tọa độ các đỉnh của hình thoi ABCD biết đỉnh C có hoành độ âm.
 Quá trình tư duy tìm lời giải:
- Học sinh tự vẽ hình.
- Phân tích: Đầu bài đã cho phương trình
đường thẳng chứa cạnh AC nên ta liên hệ đến
các tính chất đường của đường chéo trong hình
 thoi 
(với , AC là phân giác của các góc
 và . Đã biết tọa độ các điểm nên ta khai thác tính chất
AC là phân giác của góc . Theo tính chất 7, ta có (với E’ là điểm đối xứng của E qua AC). Từ đó viết được phương trình AD và tìm ngay được , sau khi tìm được A dùng các giả thiết và độ dài nên ta tìm được tọa độ điểm C. Khi đã có tọa độ A và C thì ta tìm được trung điểm tìm được trung điểm I của AC, tiếp theo ta viết được phương trình BD là đường thẳng qua I, vuông góc với AC , dùng điều kiện B đối xứng với D qua I, ta tìm được tọa độ điểm D. 
- Dựa vào quá trình phân tích ở bước 2, học sinh tự trình bày lời giải.
Nhận xét: Khi làm các bài tập liên quan đến hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật,hình vuông ngoài các tính chất đặc trưng về mối liên hệ giữa các cạnh, các góc, ta thường hay khai thác tính chất của giao điểm hai đường chéo của chúng. 
Ví dụ 9: (Đề thi THPT quốc gia năm 2015): Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên cạnh BC; D là điểm đối xứng với B qua H; K là hình chiếu vuông góc của C trên AD. Giả sử và trung điểm của cạnh AC thuộc đường thẳng có phương trình . Tìm tọa độ điểm A.
- Vẽ hình
- Phân tích tìm lời giải: + Gọi M là trung điểm của 
AC. Từ giả bài toán ta xác định tìm tọa độ điểm M
 trước (vì trong các điểm chưa biết tọa độ thì M
chứa nhiều giả thiết nhất). Điều kiện thứ nhất là
ta tìm mối liên hệ giữa M với các điểm đã biết
 tọa độ là thì nhận thấy
 (vì tứ giác AHKM nội tiếp đường tròn tâm M, đường kính AC ), từ đó tìm được tọa độ điểm M.
+ Sau khi tìm được tọa độ điểm M, ta tìm mối liên hệ giữa A và các điểm đã biết tọa độ là , quan sát hình vẽ, ta dự đoán và đặc biệt hơn nữa là A đối xứng với K qua MH. Chứng minh được nhận xét này thì bài toán hoàn toàn được giải quyết.
- Lời giải
 Gọi M là trung điểm của AC. Vì nên . Ta có tứ giác AHKC nội tiếp đường tròn tâm M nên điểm M thuộc đường trung trực của HK có phương trình .
 Do D đối xứng với B qua H nên tam giác ABD cân tại A nên 
Tam giác ABC vuông tại A nên 
Mặt khác (tam giác MCH cân tại M ) 
 Mặt khác MK = MA nên là trung điểm của AK
 đối xứng với A qua đường thẳng MH.
 	Ta có ; đường thẳng MH có phương trình . Trung điểm I của AK thuộc MH và nên tọa độ của A thỏa mãn hệ phương trình 
 Chú ý: Ta có thể chứng minh A đối xứng với K qua MH bằng các cách sau:
Cách 1: (hai góc nội tiếp cùng chắn một cung )
 (cùng phụ với góc ) 
 (tam giác ABD cân tại A)
 nên tam giác AHK cân tại H, suy ra mà nên A đối xứng với K qua M.
Cách 2: Gọi thì là D trực tâm của tam
giác AEC Do đó
nên cân tại H. Mặt khác 
 đối xứng với A qua đường thẳng MH 
 Nhận xét: Mấu chốt của bài toán là việc chứng minh 
tam giác HAK cân tại K và để ý đến tính chất của tứ 
giác nội tiếp.
Ví dụ 10: (Trích đề thi HSG lớp 12 tỉnh Thanh Hóa năm học 2014 – 2015 )
 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho hình chữ nhật ABCD có điểm H(1;2) là hình chiếu vuông góc của A lên BD. Điểm là trung điểm của cạnh BC phương trình đường trung tuyến kẻ từ đỉnh A của ADH là : .Viết phương trình đường thẳng BC.
 Quá trình phân tích tìm lời giải:
- Bước 1: Yêu cầu học sinh vẽ hình.
- Bước 2: Phân tích: Gọi là đường trung tuyến kẻ từ A của ADH 
đầu bài đã cho phương trình đường thẳng AK và tọa
độ các điểm H, M nên ta nghĩ đến việc tìm mối liên
hệ giữa chúng, bằng quan sát hình vẽ ta nhận thấy
 Sau đó tìm cách chứng minh nhận xét này.
+ Khi đã chứng minh được thì viết được
phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với
 AK tọa độ điểm K. Sau khi có tọa độ điểm K ta tìm được tọa độ điểm D (D đối xứng với H qua K) đồng thời viết được phương trình AH và tìm được .
+ Sau khi tìm được A, D thì viết được phương trình đường thẳng BC (là đường thẳng qua M nhận làm véc tơ chỉ phương)
 - Bước 3: Trình bày lời giải
Gọi là đường trung tuyến kẻ từ A củaADH , gọi N là trung điểm
của AD thì nên K thuộc đường tròn đường kính NB.
 Tứ giác ABMN là hình chữ nhật nên nó 
nội tiếp đường tròn đường kính NB. Đường
tròn này cũng là đường tròn đường kính 
AM K nhìn AM dưới một góc vuông
Hay 
Đường thẳng KM đi qua và vuông góc với AK: nên MK có pt: . .
Do K là trung điểm của HD mà H(1; 2) nên D(0; 2) 
AH đi qua H(1; 2) và vuông góc với HK nên AH có PT: x - 1 = 0 
A(1; 0). 
BC qua và song song với AD nên BC có PT là: 2x + y – 12 = 0
 Nhận xét:
 - Ngoài cách cách chứng minh trên , có thể chứng minh theo cách sau: Gọi P là trung điểm của AH. Ta có
PK song song và bằng 
Mà do đó P là trực tâm 
của tam giác ABK BP
 mà BPKM là hình bình hành nên 
KM song song BP	.
- Có thể dùng tính