SKKN Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng, phát huy tính tích cực chủ động học tập của học sinh khi học môn Giải tích 12 thông qua việc tăng cường các bài toán liên hệ thực tế

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT THẠCH THÀNH 3
*****************
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MỘT VÀI KINH NGHIỆM 
PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC, CHỦ ĐỘNG HỌC SINH
 KHI HỌC MÔN GIẢI TÍCH 12 THÔNG QUA VIỆC 
TĂNG CƯỜNG CÁC BÀI TOÁN LIÊN HỆ THỰC TẾ
Người thực hiện: Hoàng Thị Trang Nhung
Chức vụ: Giáo viên
SKKN thuộc lĩnh vực: Toán
THANH HOÁ NĂM 2017
I – MỞ ĐẦU
MỤC LỤC
Trang
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài.1
1.2. Mục đích nghiên cứu..2
1.3. Đối tượng nghiên cứu.2
1.4. Phương pháp nghiên cứu3
1.5.Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm..3
II – NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm ...........3
2.2. Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm..5
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề. .6
2.3.1. Bài toán có nội dung thực tiễn chương I – Giải tích 12 6
	a) Bài toán ứng dụng về quãng đường tối ưu....6
	b) Bài toán ứng dụng về diện tích, thể tích...9
2.3.2. Bài toán có nội dung thực tiễn chương II – Giải tích 12.12
	a) Bài toán lãi suất ngân hàng.12
	b) Bài toán tăng trưởng...15
2.3.3. Bài toán có nội dung thực tiễn chương III – Giải tích 12... 17
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm........18
III – KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ
3.1.Kết luận.19
3.2 Kiến nghị...20
Tài liệu tham khảo
I – MỞ ĐẦU
1.1. Lí do chọn đề tài
Toán học có liên hệ mật thiết với thực tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, công nghệ cũng như trong sản xuất và đời sống xã hội hiện nay. Những bài toán đặt ra xuất phát từ nhu cầu thực tiễn, từ bài toán cho kinh tế, sản xuất đến giải quyết các bài toán tăng trưởngNhiều tri thức toán học, ngay cả toán học đơn giản ở bậc phổ thông, có thể ứng dụng hiệu quả vào đời sống nhưng đòi hỏi những kĩ năng nhất định và một thói quen nhất định. Trang bị những kĩ năng này là công việc của nhà trường và sự rèn luyện của bản thân mỗi người. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội và phù hợp với mục tiêu của giáo dục toán học
Đảng và Nhà nước ta luôn coi trọng việc phát triển con người, coi con người là nguồn lực hàng đầu của đất nước. Con người được giáo dục và tự giáo dục luôn được coi là nhân tố quan trọng nhất vừa là động lực, vừa là mục tiêu cho sự phát triển bền vững của xã hội. Giáo dục Việt Nam đang tập trung đổi mới, hướng tới một nền giáo dục tiến bộ, hiện đại ngang tầm với các nước trong khu vực và trên thế giới. Uỷ ban giáo dục của UNESCO đã đề ra bốn trụ cột của giáo dục trong thế kỉ XXI là: “Học để biết (Learning to know), học để làm (Learning to do), học để cùng chung sống (Learning tolive together), học để tự khẳng định mình (Learning to be)”[7]. Các kiến thức học sinh được học phải gắn liền với thực tế. Chính vì thế vai trò của các bài toán có nội dung thực tế trong dạy học toán là không thể không đề cập đến. Và cũng vì lẽ đó mà các nhà giáo dục đã không ngừng cải cách, chỉnh sửa nội dung giảng dạy cho phù hợp với yêu cầu xã hội.
	Tuy nhiên, những ứng dụng của toán học vào thực tiễn trong chương trình và sách giáo khoa, cũng như trong thực tế dạy học toán chưa được quan tâm một cách đúng mức và thường xuyên. Trong các sách giáo khoa và các tài liệu tham khảo về toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ toán học; số lượng ví dụ, bài tập toán có nội dung liên môn và thực tế còn rất ít. Bên cạnh đó, một vấn đề quan trọng nữa trong thực tế dạy toán ở trường phổ thông là các giáo viên không thường xuyên rèn luyện cho HS thực hiện những ứng dụng toán học vào thực tiễn mà theo Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn – nguyên thứ trưởng Bộ GD & ĐT đó là kiểu dạy toán “xa rời cuộc sống đời thường” cần phải thay đổi.
 Có lẽ ai đã từng học toán, đang học toán đều có suy nghĩ rằng học toán ngoài những phép toán đơn giản như cộng, trừ, nhân, chia... thì hầu hết các kiến thức toán khác là rất trừu tượng với học sinh. Vì vậy việc học toán trở thành một áp lực nặng nề với học sinh. Nghĩ rằng toán học khô khan, mơ hồ, xa xôi, học chỉ để học, học chỉ để là công cụ để giải quyết các bài toán ở môn học khác, học toán chỉ mục đích phục vụ thi cử... Sự hồ nghi về tính ứng dụng thực tế của môn toán là không tránh khỏi, nhất là trong bối cảnh chương trình học còn hạn chế trong trình bày các nội dung lên hệ với thực tế.
Với mục đích giúp cho học sinh thấy rằng toán học là rất gần gũi với cuộc sống xung quanh, toán học rất thực tế và việc tiếp thu các kiến thức toán ở trường phổ thông không chỉ phục vụ mục đích thi cử mà nó còn là công cụ đắc lực để giúp các em giải quyết nhiều tình huống trong cuộc sống hàng ngày. Ngoài ra còn giúp giáo dục ý thức của học sinh tránh xa những cám dỗ mà nếu không có toán học với những con số khô khan thì các em không thể tưởng tượng ra được hậu quả. Trong quá trình thực hiện niệm vụ giáo dục, bản thân tôi nhận thấy những bất cập của chương trình sách giáo khoa, thấy được việc khơi dậy và bồi dưỡng hứng thú học tập của các em khi học toán qua các bài tập vận dụng thực tế là quan trọng. Nên tôi rất chú trọng, tích cực trong sáng tạo, tìm tòi, đưa các bài toán thực tế đến với các em học sinh. Đồng thời mạnh dạn phát triển thêm Sáng kiến kinh nghiệm năm 2015 “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng hứng thú học tập cho học sinh thông qua việc tăng cường các bài toán liên hệ thực tế ” (SKKN đã được Hội đồng khoa học ngành chứng nhận, xếp loại B), tôi xin nêu “Một vài kinh nghiệm bồi dưỡng, phát huy tính tích cực chủ động học tập của học sinh khi học môn Giải tích 12 thông qua việc tăng cường các bài toán liên hệ thực tế ” nhằm giúp học sinh thấy được tầm quan trọng khi học về các khái niệm toán học, từ đó giúp cho các em tích cực, chủ động và hứng thú hơn trong học tập môn toán, yêu nó hơn và học tập tốt hơn. Góp phần làm nổi bật nguyên lý: “Hoạt động giáo dục phải được thực hiện theo nguyên lý học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuẩt, lý luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà trường gắn liền với giáo dục gia đình và giáo dục xã hội” [3]
1.2. Mục đích nghiên cứu
 	Từ lý do chọn đề tài, từ cơ sở thực tiễn giảng dạy khối 12 ở trường THPT, cùng với kinh nghiệm trong giảng dạy. Tôi đã hệ thống lại một số dạng bài tập liên hệ thực tế ứng với một số nội dung kiến thức giải tích 12 dưới dạng bài tập trắc nghiệm. Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh phương pháp giải những bài toán ứng dụng thực tế, bên cạnh đó giúp học sinh thấy được ý nghĩa của việc học toán ở trường phổ thông có mối liên hệ chặt chẽ với cuộc sống hàng ngày. Từ đó khơi dậy hứng thú học tập, giúp các em yêu thích môn học hơn, có động lực hơn để học tập đạt kết quả tốt nhất. Và quan trọng hơn hết là nhằm rèn luyện cho các em kĩ năng và giáo dục cho các em tự tin hơn, chủ động hơn, sẵn sàn ứng dụng toán học một cách có hiệu quả trong các lĩnh vực kinh tế, sản xuất, xây dựng và bảo vệ Tổ quốc – như trong Nghị quyết TW4 (khoá VII) đã nhấn mạnh mục tiêu giáo dục: “Đào tạo những con người lao động tự chủ, năng động và sáng tạo, có năng lực giải quyết các vấn đề do thực tiễn đặt ra, tự lo được việc làm, lập nghiệp và thăng tiến trong cuộc sống, qua đó góp phần xây dựng đất nước giàu mạnh, xã hội công bằng, dân chủ, văn minh” [8]
1.3. Đối tượng nghiên cứu
- Các bài toán có nội dung thực tế liên quan đến các phần kiến thức:
+ Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số
+ Hàm số mũ, hàm số lôgarit
+ Nguyên hàm, tích phân
1.4. phương pháp nghiên cứu
Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng một số phương pháp sau:
+ Nghiên cứu và phân tích các tài liệu giáo khoa và các tài liệu tham khảo có liên quan.
+ Phương pháp tạo tình huống có vấn đề.
+ Phương pháp thống kê, tổng hợp, so sánh.
1.5. Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm
SKKN này được phát triển, tiếp nối từ SKKN chủ đề của năm 2015 tôi đã viết. 
- Trong SKKN năm 2015, tôi đề cập đến việc tăng cường các bài toán ứng dụng thực tế dành cho chương trình Đại số và Giải tích 10 và 11 [1]
- Trong SKKN năm 2017 này, tôi đề cập đến việc tăng cường các bài toán ứng dụng thực tế dành cho chương trình Giải tích 12 [2]
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm
	2.1.1. Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn là phù hợp với xu hướng phát triển chung của thế giới và thực tiễn Việt Nam.
 	Thế giới đã bước vào kỉ nguyên kinh tế tri thức và toàn cầu hoá. Với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ, người lao động buộc phải chủ động, dám nghĩ, dám làm, linh hoạt trong lao động, hoà nhập với cộng đồng xã hội, đặc biệt phải luôn học tập, học tập suốt đời. “Giáo dục và học tập suốt đời sẽ cung cấp cho các cá nhân một giấy "thông hành để cơ động" mà họ rất cần có, nhằm tự điều chỉnh trước những đòi hỏi về sự mềm dẻo và sự thay đổi mà họ phải đối mặt, trong một thế giới đang chuyển động từ một xã hội công nghiệp hóa theo kiểu truyền thống sang một xã hội kiến thức đang xuất hiện và nổi trội lên” [9]. Chính vì thế trong giáo dục cần hình thành và phát triển cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức để có thể tự mình giải quyết các vấn đề của cuộc sống cũng như năng lực tự học. Dẫn đến xu thế của việc cải cách giáo dục toán học trên thế giới là “hiện đại hoá một cách thận trọng và tăng cường ứng dụng” [12].
	Ở Việt Nam, qua các kì cải cách giáo dục, chương trình môn toán đã có nhiều đổi mới, trong đó đặc biệt chú ý tới việc tăng cường các bài toán ứng dụng thực tế. Nó đã và đang thể hiện sự phù hợp và có tác dụng tích cực trong hoàn cảnh giáo dục nước ta.
2.1.2 Rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại.
Chủ tịch Hồ Chí Minh đã nhiều lần nhấn mạnh: “Các cháu học sinh không nên học gạo, không nên học vẹt, ...học phải suy nghĩ, phải liên hệ với thực tế, phải có thí nghiệm và thực hành. Học và hành phải kết hợp với nhau” [6]. Đồng chí Trường Chinh cũng đã nêu: “Dạy tốt...là khi giảng bài phải liên hệ với thực tiễn, làm cho học sinh dễ hiểu, dễ nhớ và có thể áp dụng điều mình đã học vào công tác thực tiễn được. Bằng đồ dùng để dạy, chỉ cho học sinh thấy tận mắt, sờ tận tay, ...”, “ Học tốt... là học sinh phải gắn liền với hành, với lao động”
Hiện nay, Bộ giáo dục và đào tạo đang tiến hành lộ trình đổi mới đồng bộ phương pháp dạy học và kiểm tra đánh giá ở các trường phổ thông theo định hướng phát triển năng lực học sinh trên tinh thần Nghị quyết 29 – NQ/TƯ về đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục và đào tạo , đòi hỏi phải tăng cường yêu cầu học sinh vận dụng kiến thức vào giải quyết những vấn đề thực tiễn.
	Những quan điểm trên thể hiện việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng toán học vào thực tiễn là một yêu cầu có tính nguyên tắc góp phần phản ánh được tinh thần và sự phát triển theo hướng ứng dụng của toán học hiện đại.
	2.1.3. Rèn luyện năng lực vận dụng kiến thức toán học vào thực tiễn, giúp học sinh có kĩ năng thực hành các kĩ năng toán học và làm quen dần với các tình huống thực tiễn.
	Việc dạy toán ở nhà trường phổ thông hiện nay đang rơi vào tình trạng bị coi nhẹ thực hành và ứng dụng toán học vào đời sống. Mối liên hệ toán học với thực tế còn yếu. Giáo viên chỉ quan tâm, chú trọng việc hoàn thành những kiến thức lí thuyết trong quy định chương trình sách giáo khoa, mà không chú trọng dạy bài tập toán cho các em, đặc biệt những bài toán có nội dung thực tiễn, dẫn đến tình trạng học sinh thường lúng túng, thậm chí không hoàn chỉnh được những bài toán thực ra là rất cơ bản và ở mức độ trung bình.
 	Tìm hiểu qua các phương tiện thông tin đại chúng, ta có thể so sánh được phần nào hiệu quả của công tác giáo dục ở các nước trên thế giới. Tại sao nước ta lượng sinh viên ra trường bị thất nghiệp rất lớn? Có bằng đại học nhưng không được nhận vào làm như các lao động chỉ mới tốt nghiệp THPT? Tại sao nhiều học sinh - sinh viên tốt nghiệp nhưng rất bỡ ngỡ trước nhiều công tác cần đến toán học ở hợp tác xã, công trường, xí nghiệp? Không làm chủ được các tình huống về bài toán kinh tế đơn giản trong cuộc sống. Phải chăng những cái học sinh - sinh viên được học không ứng dụng được vào trong lao động sản xuất, hay là do không biết vận dụng kiến thức vào giải quyết các vấn đề thực tiễn? Có nhiều nguyên nhân, trong đó có nguyên nhân từ tình hình “dạy và học toán hiện nay ở nước ta đang rơi vào tình trạng quá coi nhẹ thực hành và ứng dụng vào cuộc sống”[10]. “Dạy và học toán còn tách rời cuộc sống đời thường”[11].
	 Bởi thế, dạy cho học sinh kiến thức thôi chưa đủ. Cần cho học sinh thấy những tình huống thực tế sẽ được áp dụng ở phần kiến thức mà học sinh được học và hướng dẫn học sinh giải quyết các vấn đề đó. Để câu trả lời của học sinh về câu hỏi: “Học toán để làm gì” không đơn giản là: “học để biết”, “Học để thi” mà thấy được việc học toán gần gũi với đời sống hàng ngày. Tạo sự hứng thú, sáng tạo trong học tập. 
2.2- Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm
Như trong sáng kiến kinh nghiệm cùng chủ đề năm 2015 tôi đã trình bày: “Trong các sách giáo khoa toán hiện hành về đại số và giải tích ở trường THPT, có rất ít bài toán thực tế. Sự phân bổ các bài toán liên hệ thực tế cũng không đồng đều. Những chương có tính ứng dụng cao mới có vài ví dụ, bài tập”
Trong sáng kiến kinh nghiệm ấy tôi cũng đã liệt kê những chương không hề có một bài toán vận dụng nào của từng khối. Đồng thời đề xuất những chương, bài hoàn toàn có thể đưa thêm bài tập vận dụng để học sinh học hứng thú hơn. Tuy nhiên vì điều kiện có hạn, tôi mới trình bày được nội dung gắn với kiến thức sách giáo khoa đại số và giải tích lớp 10 và 11.
Trong sáng kiến kinh nghiệm lần này, tôi tập trung đi vào nội dung sách giáo khoa giải tích lớp 12. Thực trạng cho thấy: 
- Chương I - Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, chỉ có duy nhất một ví dụ ứng dụng thực tế ở bài “Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”. Phần bài tập có nêu ra bài tập 2, bài tập 3 (trang 24) có “hơi hướng” vận dụng thực tế, nhưng thực ra không phải là nội dung mới vì khi học về ý nghĩa hình học hệ quả của bất đẳng thức Cauchy (Đại số lớp 10 – chương 4 - §1) học sinh đã được làm dạng này. Và chỉ cần áp dụng kiến thức lớp 10 học sinh có thể trả lời nhanh chóng và chính xác yêu cầu bài toán. Nhất là với tinh thần đổi mới trong kiểm tra đánh giá hiện nay là thi dưới hình thức trắc nghiệm. Học sinh chỉ cần làm sao cho ra kết quả nhanh nhất. Vì thế hai bài tập SGK đưa ra chưa hợp lý, chưa thể hiện được mối liên hệ thực tế mà nội dung kiến thức bài học có thể vận dụng.
Trong khi đó, trong thực tế những bài toán cần vận dụng phần này rất nhiều. Chương trình sách giáo khoa nên đưa thêm vào, để học sinh thấy rõ tầm quan trọng của việc học là để các em chiếm lĩnh tri thức và vận dụng chúng, giải quyết các tình huống trong cuộc sống của chính mình. Không thấy được cái ý nghĩa gắn với bản thân, thì cũng khó tạo dựng hứng thú học tập cho các em.
- Chương II – Hàm số luỹ thưà, hàm số mũ và hàm số lôgarit: Có 4 ví dụ bài toán thực tế ở bài “Hàm số mũ, hàm số lôgarit” được SGK đưa ra làm bài toán đặt vấn đề cho mục “Hàm số mũ”, tuy nhiên chỉ giải duy nhất một bài và cũng không có một bài tập luyện tập nào. Tâm lí học sinh và thậm chí là của một bộ phận lớn những nhà làm giáo dục cho rằng bài tập là phần củng cố kiến thức. Là phần để học sinh có thể dùng để luyện tập những kiến thức, kĩ năng đã học được. Việc không có một bài tập nào trong khi ứng dụng thực tế của phần kiến thức này là rất nhiều, theo tôi là một thiếu sót cần chỉnh sửa bổ sung của chương trình SGK.
- Chương III – Nguyên hàm, tích phân: Chỉ có bài “Ứng dụng của tích phân trong hình học”, là thấy rõ ứng dụng của tích phân trong tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể. Không có bài tập nào khác ứng dụng thực tế. Nếu Toán học chỉ đưa ra công cụ để các môn như Vật lý, Hoá học, giải quyết các vấn đề thực tế khác thì sẽ gây ra cảm giác khô khan cho người học toán. Dù ứng dụng của nguyên hàm tích phân trong bộ môn Vật lý khai thác khá nhiều, nhưng theo tôi, khi cung cấp cho học sinh kiến thức toán học nào thì nên cho học sinh được làm quen, được rèn luyện kĩ năng vận dụng, thực hành thực tế ở phần kiến thức đó, hoặc ít ra, là các ví dụ, bài tập mang tính giới thiệu. Để kích thích trí tò mò, tư duy sáng tạo, vận dụng liên môn để giải quyết vấn đề cho học sinh.
Ngoài ra, như trong sáng kiến kinh nghiệm cùng chủ đề tôi đã viết: “tính giáo dục của môn toán thông qua lượng bài tập thực tế trong sách giáo khoa cũng chưa thực sự nổi bật”. Ở thời kì bùng nổ công nghệ thông tin, chạy theo kinh tế thị trường rất nhiều cám dỗ bên ngoài xã hội. Nếu như sách giáo khoa có thêm nhiều bài tập có tính chất giáo dục như: Bài toán Min, Max, bài toán lãi suất ngân hàng , bài toán gia tăng dân số, bài toán y tế... Thì thông qua những con số, học sinh được cảm nhận rõ hơn về cuộc sống, tự chủ hơn trong các tình huống giải quyết bài toán kinh tế cho gia đình, bản thân, ý thức cao hơn về những nguy cơ tiềm ẩn ảnh hưởng trực tiếp tới con người. Đồng thời những em học sinh không lựa chọn định hướng nghề nghiệp là thi đậu vào các trường đại học, cao đẳng cũng có thể tự tin rằng, kiến thức THPT có thể giúp các em tự tin giải quyết các vấn đề trong cuộc sống khi đã được tiếp cận và học cách giải quyết chúng từ những kiến thức phổ thông đã được học ấy. Qua đó ý thức của mỗi học sinh có cơ hội tốt lên, tích cực hơn. Giáo dục mới đạt được kết quả như mong đợi.
2.3. Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.
	Trong khuôn khổ đề tài tôi xin nêu một số bài toán có thể vận dụng vào các đơn vị kiến thức trong chương trình Giải tích 12. Bằng kiến thức đã học được học sinh sẽ làm quen giải quyết một số vấn đề quen thuộc, gần gũi trong đời sống hàng ngày. Từ đó có thể rút ra những bài học quý báu trong cuộc sống.
2.3.1 Các bài toán có nội dung thực tiễn chương I – Giải tích 12: Nhóm bài tập ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
a) Bài toán ứng dụng về quãng đường tối ưu
	Đây là phần ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số, gặp rất nhiều trong cuộc sống hàng ngày mà sách giáo khoa chưa điểm đến. Sau khi học sinh đã được học kiến thức, thay vì cho học sinh rèn luyện làm bài tập theo công thức máy móc đã học thì nên cho học sinh làm quen với các bài tập tình huống thực tế để rèn luyện cho học sinh biết vận dụng kiến thức toán học để giải quyết vấn đề trong cuộc sống.
Bài tập đề nghị: 
Bài tập 1: Một công ty muốn làm một đường dây điện từ một điểm A trên đất liền đến một điểm B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển một khoảng BC = 1. Khoảng cách từ A đến C là 4. Chi phí để lắp đặt mỗi km dây điện đặt dưới nước là 5000USD, còn lắp đặt trên bờ là 3000USD. Vị trí S trên đoạn AC sao cho khi mắc dây điện từ A qua S rồi đến B thì số tiền ít nhất. Khi đó S cách A một đoạn bằng: 	A. 	
	C
S
A
B
? km
B. 
 	C. 
	D. 
Bài giải chi tiết: 	Chọn B
 - Trước tiên, ta xây dựng hàm số là hàm số tính tổng chi phí sử dụng
Đặt () thì ta được , Theo đề bài, mỗi dây điện đặt dưới nước chi phí 5000USD, còn đặt trên mặt đất hết 3000USD, như vậy ta có hàm số xác định như sau:
	 với 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của để có được số tiền ít nhất cần sử dụng và từ đó xác định được vị trí điểm S. Ta có 
Hàm số liên tục trên 
Ta có , , .Vậy 
Khi đó chi phí là thấp nhất và điểm S nằm cách A một đoạn . 
Bài tập 2: Hai con tàu đang ở cùng một vĩ tuyến và cách nhau 5 hải lí. Tàu thứ nhất chạy theo hướng Nam với vận tốc 6 hải lí/giờ, còn tàu thứ hai chạy theo hướng về tàu thứ nhất với vận tốc 7 hải lí/giờ. Hỏi sau bao lâu khoảng cách giữa hai con tàu là lớn nhất?
A. giờ	B. giờ	C. 2 giờ	D. 3 giờ
Bài giải chi tiết: Chọn A
 B
B’
A
A’
d
* Phân tích: Khó nhất của bài toán là học sinh không hình dung được hướng đi của hai con tàu để thiết lập hàm khoảng cách. Cụ thể
Giả sử A, A’, B, B’ lần lượt là vị trí ban đầu và vị trí lúc sau của tàu 1 và tàu 2
- Vì tàu 1 đi về hướng Nam (Hướng AA’) mà hai con tàu lúc đầu lại ở cùng một vĩ tuyến nên hướng AA’ là hướng xuống và vuông góc với BB’
- Tàu 2 đi về phía tàu 1 nên đi theo hướng . Ta có hình vẽ minh hoạ như trên từ đây đi thiết lập khoảng cách d.
	Gọi là khoảng cách lớn nhất giữa hai con tàu và là thời gian từ lúc xuất phát đến lúc đạt khoảng cách đó.
Ta có: Trong đó:
, , (lần lượt là quãng đường tàu 1và tàu 2 đi trong khoảng thời gian , 
Khảo sát hàm với ta tìm được kết quả đạt giá trị lớn nhất tại 
Bài tập 3: Cho hai vị trí A, B cách nhau 615 cùng nằm về một phía bờ sông như hình vẽ. Khoảng cách từ A và từ B đến bờ sông lần lượt là 118 và 487. Một người đi từ A đến bờ sông để lấy nước và mang về B. Đoạn đường ngắn nhất mà người đó phải đi là:
A. 569,5	B. 671,4	C. 779,8	D. 741,2
 B
615m
A
487m
118m
Bài giải chi tiết: Chọn C
E
F
M
 B
615m
A
369m
118m
D
118m
492m
	Ta giả sử người đó đi từ A đến M để lấy nước và đi từ M về B
Tính dễ dàng tính được Đặt ()
khi đó ta được: 
Như vậy ta có hàm số được xác định :
 = với 
Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của để có được quãng đường ngắn nhất và từ đó xác định được vị trí điểm M
 	 =
Hàm số liên tục trên đoạn . So sánh các giá trị ta có giá trị nhỏ nhất là 
b) Bài toán ứng dụng về diện tích – thể tích
Như tôi đã nói ở trên, sách giáo khoa đưa ra bài tập 2, 3 (trang 24) với nội dung không mới. Học sinh có thể sử dụng kiến thức lớp 10 để giải nhanh hơn. Tuy nhiên nếu sách giáo khoa đưa ra với mục đích cho học sinh thấy cách giải khác là vận dụng lý thuyết về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số thì nên lựa chọn cách đưa bài toán có nội dung gần gũi với cuộc sống hơn. Tôi đề nghị bài tập như sau:
Bài tập 1: Một lão nông chia đất cho con trai để người con canh tác riêng, biết người con sẽ được chọn miếng đất hình chữ nhật có chu vi bằng 800. Hỏi anh ta chọn kích thước của nó bằng bao nhiêu để diện tích canh tác lớn nhất?
A. 	B. 	C. 	D. Đáp án khác
Bài giải chi tiết: Chọn A
Gọi chiều dài và chiều rộng của miếng đất lần lượt là và , 
Diện tích miếng đất là Theo bài ra thì hay 
Do đó 
 Vậy 
Lập bảng biến thiên ta được Max khi 
Vậy người con trai của lão nông dân chọn mảnh đất kích thước (hình vuông) thì diện tích canh tác là lớn nhất.
Bài tập 2: Trong lĩnh vực thuỷ lợi, mương dẫn nước được gọi là có dạng “Thuỷ động học” nếu với tiết diện ngang của mương có diện tích S xác định, độ dài đường biên giới hạn của tiết diện là nhỏ nhất(- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương). Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ) với diện tích bằng 200. Xác định kích thước của mương dẫn nước để mương có dạng “Thuỷ động học” 
A. 	 B. 	 C. D. [4]
x
y
Bài giải chi tiết: 	Chọn A 
Theo bài ra ,lần lượt là chiều rộng và chiều cao của mương. 
Diện tích tiết diện ngang của mương là 
Để mương có dạng “Thuỷ động học” thì độ dài đường biên giới hạn của tiết diện là cần nhỏ nhất. Xét hàm số với 
 Ta có (do )
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 
Vậy để mương có dạng “Thuỷ động học” thì kích thước của mương dẫn nước là
Nâng lên bài toán tổng quát: 
	Trong lĩnh vực thuỷ lợi, mương dẫn nước được gọi là có dạng “Thuỷ động học” nếu với tiết diện ngang của mương có diện tích S xác định, độ dài đường biên giới hạn của tiết diện là nhỏ nhất(- đặc trưng cho khả năng thấm nước của mương). Giả sử mương dẫn nước có tiết diện ngang là hình chữ nhật (như hình vẽ). Cần xác định các kích thước của mương dẫn nước như thế nào để mương có dạng “Thuỷ động học”? [4]
A. 	 B. C. D. 
x
y
	Bài giải chi tiết: Chọn D
Theo bài ra ,lần lượt là chiều rộng và chiều cao của mương. 
Diện tích tiết diện ngang của mương là 
Để mương có dạng “Thuỷ động học” thì độ dài đường biên giới hạn của tiết diện là cần nhỏ nhất. Xét hàm số với 
 Ta có (do )
Lập bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại 
Vậy để mương có dạng “Thuỷ động học” thì kích thước của mương dẫn nước là . 
Bài tập 3: Bác Duy muốn thiết kế một bể cá bằng kính không có nắp với thể tích và chiều cao là . Một vách ngăn (cũng bằng kính) ở giữa chia bể cá thành hai ngăn, với các kích thước (đơn vị đo là ) như hình vẽ. Tính để bể cá ít tốn nguyên liệu nhất (tính cả tấm kính ở giữa), coi bề dày các tấm kính như nhau và không ảnh hưởng đến thể tích của bể.
A. 	B. 	
C. 	D. 
 3dm
a dm
b dm
	Bài giải chi tiết: Chọn D
Thể tích của bể là (1)
Bể cá tốn ít nguyên liệu nhất tức là khi diện tích toàn phần của bể nhỏ nhất
Ta có diện tích toàn phần của bể là: 
Từ (1) suy ra 
Vậy kích thước bể cá với ,thì chi phí cho nguyên liệu là ít nhất
● Không khó để lồng ghép các bài toán ứng dụng giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số (Bài 3- Chương I - Giải tích 12). Thay vì những bài toán nghiêng về lý thuyết có phần khô khan. Những bài toán như thế này cho học sinh thấy yêu thích môn toán hơn vì hiểu được rằng toán học luôn theo sát ta trong cuộc sống. Cần sử dụng toán học như một công cụ hiệu quả để làm chủ cuộc sống của mình.
2.3.2 Các bài toán có nội dung thực tiễn chương II – Giải tích 12: Nhóm bài tập ứng dụng hàm số mũ, hàm số lôgarit
	- Hàm mũ và hàm lôgarit được sử dụng rộng rãi trong việc mô tả các hiện tượng vật lý và kinh tế như tính lãi suất kép, tốc độ tăng trưởng dân số, sự phân rã của chất phóng xạ,là những vấn đề rất gần gũi trong cuộc sống. Dạy cho học sinh kiến thức và cho học sinh thấy được học kiến thức ấy giúp vận dụng được những gì trong cuộc sống của bản thân là rất quan trọng.
a) Bài toán lãi suất ngân hàng
	Thực tế cho thấy, nhiều học sinh không hề biết vận dụng các kiến thức đã học để giải quyết một vấn đề tài chính liên quan đến bài toán lãi suất ngân hàng. Khi gặp vấn đề ấy, họ chỉ biết hỏi kinh nghiệm của những người đã từng trải qua, hoặc phải cần đến sự tư vấn của cán bộ tài chính, ngân hàng. 
Ví dụ 1 sách giáo khoa – trang 70 (Bài 4: Hàm số mũ – hàm số lôgarit) có nêu ra bài toán “Lãi kép”. Tuy nhiên việc dạy học chỉ dừng lại ở đó thì việc giúp học sinh có thể giải quyết các bài toán khác về lãi suất ngân hàng là rất khó khăn. Đành rằng, muốn ứng dụng được vào cuộc sống thì trước hết học sinh phải có những thông hiểu nhất định các kiến thức, kĩ năng, phương pháp toán. Tuy nhiên với sự liên hệ quá ít như vậy sẽ không hình thành và rèn luyện cho học sinh ý thức vận dụng toán học và không làm rõ được vai trò công cụ của toán học trong hệ thống các khoa học và thực tế cuộc sống.
- Lý thuyết lãi đơn, lãi kép:
Gọi: 	: Số tiền cả vốn lẫn lãi sau kì hạn; 
:Tiền gửi ban đầu; 
	: Số kì hạn tính lãi; 
: Lãi suất định kì, tính theo %
* Lãi đơn:- Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra. Công thức tính: 
* Lãi kép:
- Là số tiền lãi không chỉ tính trên số tiền gốc mà còn tính trên số tiền lãi do tiền gốc đó sinh ra thay đổi theo từng định kì
+ Lãi kép, gửi một lần: Công thức tính: 
+ Lãi kép, gửi định kì:
- Trường hợp tiền được gửi vào cuối mỗi tháng:
+ Tiền gửi tháng thứ nhất sau kì hạn (tháng) thành 
+ Tiền gửi tháng thứ hai sau kì hạn (tháng) thành 
+ Tiền gửi tháng cuối cùng là 
Vậy áp dụng công thức tổng cấp số nhân, số tiền cuối tháng là
+++=
	 Hay 
- Trường hợp tiền được gửi vào đầu mỗi tháng: 
+ Tiền gửi cuối tháng thứ nhất là 
+ Đầu tháng thứ hai người đó có số tiền là 
+ Cuối tháng thứ hai người đó có số tiền là:
- Cuối tháng thứ người đó có số tiền là [3]
* Bài tập đề nghị
Bài tập 1: (Lãi đơn, lãi kép) Ông An gửi tiết kiệm vào ngân hàng với số tiền 50 triệu đồng với lãi suất 6,9%/năm.
a) Tính số tiền ông An nhận về sau 2 năm gửi tiết kiệm theo hình thức lãi đơn?
b) Tính số tiền ông An nhận về sau 2 năm gửi tiết kiệm theo hình thức lãi kép?
	Bài giải chi tiết:
a) Sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi ông An thu về là 
	 triệu đồng
b) Sau hai năm số tiền cả gốc lẫn lãi ông An thu về là 
	 triệu đồng
● Bài toán rất đơn giản nhưng rất thực tế, cho thấy sự khác nhau giữa hai hình thức gửi tiết kiệm, mà bất kì người nào cũng nên biết để tính phương án có lợi nhất về kinh tế cho mình. Đó chính là ý nghĩa của các bài toán ứng dụng thực tế dành cho người học.
Bài tập 2: (Lãi kép gửi một lần) Bà Lan gửi 100 triệu vào ngân hàng Agribank định kì tính lãi kép với lãi suất là 8%/năm. Sau 5 năm bà rút toán bộ tiền và dùng một nửa để sửa nhà, số tiền còn lại bà tiếp tục đem gửi ngân hàng trong 5 năm với cùng lãi suất. Tính số tiền lãi bà Lan thu được sau 10 năm:
A. 81,413 triệu đồng	B. 115,892triệu đồng
C. 119 triệu đồng	D. 78 triệu đồng
Bài giải chi tiết:	Chọn A
Áp dụng công thức lãi kép, sau 5 năm Bà Lan rút được tổng số tiền
	 triệu đồng
Suy ra số tiền lãi là triệu đồng
Bà dùng một nửa để sửa nhà nên còn 73,466 triệu đồng gửi tiếp vào ngân hàng
Sau 5 năm tiếp, số tiền bà Lan rút được là :
	triệu đồng
Suy ra số tiền lãi là triệu đồng
Vậy tiền lãi bà Hoa thu được sau 10 năm là triệu đồng 
Bài tập 3: (Lãi kép gửi định kì – đầu tháng) Anh Tuấn mong muốn rằng sau 6 năm sẽ có 2 tỷ để mua nhà. Hỏi anh Tuấn phải gửi vào ngân hàng một khoản tiền tiết kiệm như nhau hàng năm gần nhất với giá trị nào sau đây, biết rằng lãi suất của ngân hàng là 8%/năm và lãi hàng năm được nhập vào vốn
A. 253,5 triệu	B. 251 triệu	C. 253 triệu	D. 252,5 triệu
Bài giải chi tiết:	Chọn D
Áp dụng công thức 
Suy ra Trong đó là số tiền anh Tuấn có được sau 6 năm, M là số tiền anh Tuấn gửi hàng năm, là lãi suất, là số năm.
Vậy anh Tuấn phải gửi vào ngân hàng một số tiền tiết kiệm như nhau hàng năm là triệu
Bài tập 4: ( Trả góp gửi định kì – cuối tháng) Một người vay ngân hàng 1 tỷ đồng theo phương thức trả góp để làm kinh doanh. Nếu cuối mỗi tháng, bắt đầu từ tháng thứ nhất, người đó trả 40 triệu đồng và chịu lãi số tiền chưa trả là 0,65% mỗi tháng (biết lãi suất không thay đổi) thì sau bao lâu người đó trả hết nợ?
A. 26 tháng	B. 27 tháng	C. 28 tháng	D. 29 tháng
	Bài giải chi tiết:	Chọn C
Gọi là số tiền vay, là tiền trả hàng tháng, là lãi suất mỗi tháng
Đến cuối tháng thứ thì số tiền còn nợ là: 
Hết nợ đồng nghĩa 
Áp dụng với A = 1(tỷ), M = 0,04 (tỷ), r = 0,0065 Ta được 
Vậy người đó cần trả góp trong 28 tháng. 
● Bốn bài toán trên khá đơn giản và dễ hiểu trong rất nhiều dạng bài toán ngân hàng được khai thác từ cùng