Sáng kiến kinh nghiệm Biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị

A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Khảo sát hàm số và ứng dụng của khảo sát hàm số là một phần rất quan trọng trong chương trình lớp 12, trong các đề thi đại học. Một trong các ứng dụng của khảo sát hàm số là biện luận số nghiệm của phương trình bằng đồ thị. Đây là dạng toán rất hay, rất có ích cho học sinh, không chỉ cho học sinh lớp 12 mà kể cả cho học sinh lớp 10, 11. Rất nhiều bài toán muốn biện luận số nghiệm của phương trình, bất phương trình theo tham số m, nếu dùng phương pháp đại số các em gặp nhiều khó khăn vì phải xét quá nhiều trường hợp, nhưng nếu dùng đồ thị thì bài toán trở nên đơn giản, dễ thấy hơn. Đề tài này đi sâu vào việc giúp học sinh có kỹ năng giải nhanh và chính xác loại toán này
II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong chương trình lớp 12 , khi dạy phần biện luận phương trình bằng đồ thị, tôi thấy sách giáo khoa chỉ đề cập đến hai dạng thường gặp đó là trường hợp phương trình đề bài cho là phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C ) với một đường thẳng d mà đường d là đường thẳng cùng phương với trục Ox.Trong khi đó có nhiều bài toán trong đề thi tuyển sinh đại học thì phương trình đề bài cho là phương trình hoành độ giao điểm của đường cong (C ) với một đường thẳng d mà những đường thẳng d luôn song song với nhau, không cùng phương Ox, hoặc những đường d này luôn quay quanh một điểm A cố định. Ngoài ra còn rất nhiều bài toán khi giải ta thường đưa về dạng xét dấu tam thức f(x) = ax2 + bx + c trên miền K , dạng toán này học sinh thường gặp phải khó khăn khi a có chứa tham số và có rất nhiều em giải thiếu trường hợp , kể cả khi các em đọc lời giải sẵn , có em vẫn không hiểu tại sao lại phải đưa ra các điều kiện như thế Song nếu có sự giúp đỡ của đồ thị thì việc giải quyết các bài toán trên trở nên nhẹ nhàng hơn và ít xảy ra tình trạng thiếu nghiệm. Vì vậy với bài viết này tôi hy vọng giúp các em học sinh tháo gỡ được những khó khăn khi gặp các bài toán trên.
Bài viết còn nhiều hạn chế, tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quí thầy cô cùng đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn. 
 Đồng Xoài, ngày 21 tháng 2 năm 2009
 Giáo viên
 TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN 
B/ PHẦN NỘI DUNG
Vấn đề 1 : Giải và biện luận phương trình bằng đồ thị 
 Cho phương trình (1) , đππể dùng đồ thị (C ) : y = f(x) biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình (1) thì ta biến đổi sao cho một vế của (1) là f(x) còn vế còn lại sẽ có một trong 5 dạng sau :
DẠNG 1 : f(x) = m (1) .Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của 
(C ) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m 
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta tìm được số nghiệm của phương trình (1) .
VÍ DỤ 1:1/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = x3 – 3x2 +1 
 2/ Dùng đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :
 a/ x3 – 3x2 +1 = m (1)
 b/ x6 – 3x4 +1 – m = 0 (2)
 c/ cos3x – 3 cos2x + 1 – m = 0 (3) x 
GIẢI: 
1/ + Tập xác định : D = R
 + y/ = 3x2 – 6x = 3x ( x – 2)
 y/ = 0 
 + y// = 6x – 6 = 6 ( x – 1 )
 y// = 0 
BXD : 
 x - 1 +
 y// - 0 +
 (C) lồi ĐU lõm
 + BBT :
 x - 0 2 +
 y/ + 0 - 0 +
 CĐ +
 y 1 -3
 CT
 - 
 + ĐĐB:
 x -1 0 1 2 3
 y -3 1 -1 -3 1
(C )
d
d
d
2/ a/ x3 – 3x2 +1 = m (1) 
(1) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = x3 – 3x2 +1 và đường thẳng d : y = m 
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
+ Nếu thì (C ) và d có 1 giao điểm phương trình (1) có một nghiệm 
+ Nếu thì (C ) và d có 2 giao điểm phương trình (1) có hai nghiệm
+ Nếu -3 < m < 1 thì (C ) và d có 3 giao điểm phương trình (1) có ba nghiệm
b/ x6 – 3x4 +1 – m = 0 (2) (2/) với t = x2 0
(2/) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t0 và đường thẳng d : y = m ,d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của phương trình (2/) chính là số giao điểm của (C ) và d với điều kiện hoành độ giao điểm t0. Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
+Nếu m < -3 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ âm (2/) vô nghiệm (2) vô nghiệm 
+ Nếu thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ âm và 2 giao điểm có hoành độ dương (2/) có 2 nghiệm (2) có 4 nghiệm 
+ Nếu m = 1 thì (C ) và d có 2 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ bằng 0 và 1 giao điểm có hoành độ dương(2/) có 2 nghiệm (2) có 3 nghiệm 
+ Nếu m > 1 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ dương (2/) có 1 nghiệm (2) có 2 nghiệm đối nhau
c/ cos3x – 3 cos2x + 1 – m = 0 (3) (3/) 
với t = cosx vì x nên t 
(3/) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) : y = t3 – 3t2 +1 với t và đường thẳng 
d : y = m ,d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m ) .Số nghiệm của phương trình (3/) chính là số giao điểm của (C ) và d với điều kiện hoành độ giao điểm t. Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
+ Nếu m < -3 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ t < -1 (3/) vô nghiệm (3) vô nghiệm.
+ Nếu thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ t và 2 giao điểm có hoành độ t(3/) có 1 nghiệm (3) có 1 nghiệm
+ Nếu thì (C ) và d có 3 giao điểm trong đó có 2 giao điểm có hoành độ t và 1 giao điểm có hoành độ t(3/) có 2 nghiệm (3) có 2 nghiệm
+Nếu m = 1 thì (C ) và d có 2 giao điểm trong đó có 1 giao điểm có hoành độ bằng 0 và 1 giao điểm có hoành độ t(3/) có 1 nghiệm (3) có 1 nghiệm
 + Nếu m > 1 thì (C ) và d có 1 giao điểm với hoành độ t(3/) vô nghiệm (3) vô nghiệm.
Ví dụ 2 :  Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – mx + m = 0 (1)
Giải : 
x3 – mx + m = 0 x3 = m ( x – 1) 
( vì x = 1 không phải là nghiệm của (1) )
Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của ( C) : y = và (d) : y = m 
Khảo sát và vẽ (C ) : y = = x2 + x + 1 + 
+ Tập xác định : D = R \ 
+ y/ = 2x + 1 - = 
+(C ) có tiệm cận đứng : x = 1 , tiệm cận cong : y = x2 + x + 1
+ Bảng biến thiên 
 X - 0 1 + 
 y/ - 0 - - 0 +
 + + + 
 y 
 - CT
Đồ thị hàm số đạt cực tiểu tại điểm (;) , có điểm uốn O (0;0)
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có :
+ m < thì (1) có đúng một nghiệm 
+ m = thì (1) có hai nghiệm
+ m > thì (1) có ba nghiệm
(C )
(C )
d
Ví dụ 3 : Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m : 
Chú ý : Với ví dụ 3 nếu giải bằng phương pháp đại số thì các em dùng định nghĩa để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối và đưa về việc giải và biện luận phương trình bậc hai , cách làm này phức tạp hơn , nhưng nếu ta nhìn bài toán này dưới dạng 1 thì bài giải lại đơn giản hơn .
 Giải : 
Ta có : 
Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = và d : y = m 
Vẽ đồ thị ( C ) : y = và xét x2 + x – 2 = - m khi x 1 ta có , 
 ( m )
Tương tự xét x2 + x – 2 = m khi x 1 ta có , ( m )
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có :
a/ m > 0 thì (1) có nghiệm x = x1
b/ m = 0 thì (1) có nghiệm 
c/ thì (1) có nghiệm 
d/ m = - thì (1) có nghiệm 
(C )
d
d
e/ m < - thì (1) có nghiệm x = x4 
Ví dụ 4: Tìm tham số a để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt :
Giải : 
Ta có : 
 Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = 
và d : y = a 
Dựng đồ thị (C ) :y = = 
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có (1) có bốn nghiệm khi và chỉ khi 4 < a < 
d
(C )
Ví dụ 5: Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất : 
Giải : 
Ta có : 
Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = và
 d : y = 5a
Dựng đồ thị (C ) :y = = 
d: y = 5a là đường thẳng cùng phương với Ox , đi qua điểm (0;5a) 
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi : 5a = -
(C )
d
DẠNG 2 : f(x) = g(m) (1) trong đó g(m) là biểu thức theo m 
Đặt g(m) = m/ , lưu ý điều kiện của m/.Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = f(x) và đường thẳng d : y = m/ 
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) .Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta tìm được số nghiệm của phương trình (1) .
Ví dụ 6 : Cho đồ thị (C) : y = x3 - 3x2 + 1 .Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :x3 - 3x2 – m2 – 2m – 2 = 0 (1)
Giải :
(C )
d
d
(1) x3 – 3x2 +1 = m2 + 2m +3 = ( m + 1)2 + 2 
Đặt m/ = ( m + 1)2 + 2 
Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) :y = x3 – 3x2 +1 và d : y = m/ 
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có m/ thì (C ) 
và d có 1 giao điểm nên pt (1) có 1 nghiệm
Ví du ï7 : Cho đồ thị (C) : y = x3 - 3x2 + 1 .Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 - 3x2+1 = m + (2)
Giải : 
(C )
d
d
d
Đặt m/ = m + , điều kiện :
Ta xem (2) là phương trình hòanh độ giao điểm của (C ) :y = x3 – 3x2 +1 và d : y = m/ 
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có :
+m/ 2 thì d cắt (C ) tại một điểm nên pt (2) có một nghiệm 
+ - 3 
thì d cắt (C ) tại ba điểm nên pt (2) có ba nghiệm
+ m/ = -3 thì d và (C ) có hai giao điểm nên pt (2) có hai nghiệm
+ m/ < -3 d cắt (C ) tại một điểm nên pt (2) có một nghiệm
DẠNG 3 : f(x) = f(m) (1) trong đó f(m) là biểu thức theo m 
Đặt f(m) = m/ , dựa vào bảng biến thiên của f(x) ta suy ra bảng biến thiên của f(m) 
Ta xem (1) là phương trình hoành giao điểm của (C ) : y = f(x) và đường thẳng
 d : y = m/ 
d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ ) .Số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C ) và d .Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta tìm được số nghiệm của phương trình (1) .
Ví dụ 8: : Cho đồ thị (C) : y = x3 - 3x2 + 1 .Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = 0 (1)
Giải : 
x3 - 3x2 – m3 + 3m2 = 0 (1) x3 – 3x2 +1 = m3 – 3m2 +1 
Đặt m/ = m3 – 3m2 +1 , dựa vào bảng biến thiên của f(x) = x3 – 3x2 +1 , ta có bảng biến thiên của f(m) :
 + BBT :
 m - -1 0 2 3 +
 CĐ +
 f(m) -3 1 -3 1
 CT
 - 
Ta xem (1) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = f(x) = x3 – 3x2 +1 và đường thẳng 
d : y = m/ d là đường thẳng cùng phương Ox và đi qua điểm có tọa độ ( 0; m/ )
Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
a/ thì d cắt (C ) tại một điểm nên pt (1) có một nghiệm
b/ thì d và (C ) có hai giao điểm nên pt (1) có hai nghiệm
c/ -3 < m/ < 1 thì d cắt (C ) tại ba điểm nên pt (1) có ba nghiệm
(C )
d
d
Ví dụ 9: Cho hàm số y = ( x + 1)2 ( 2 – x )
 a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số 
 b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 ( x + 1)2 ( 2 – x ) = ( m + 1)2 ( 2 – m ) (1)
Giải : y = ( x + 1)2 ( 2 – x ) = - x3 + 3x + 2 
+ D = R
+ y/ = -3x2 + 3 ; y/ = 0 
+ y// = -6x , y// = 0 x = 0 y = 2
BXD : 
 x - 0 +
 y// + 0 -
 (C) lõm ĐU lồi
 + BBT :
 x - -1 1 +
 y/ - 0 + 0 -
 + CĐ 
 y 0 4
 CT -
 + ĐĐB:
 x -2 -1 0 1 2 
 y 4 0 2 4 0 
(C )
d
d
b/ Đặt k = ( m + 1)2 ( 2 – m )
dựa vào bảng biến thiên của f(x) = - x3 + 3x + 2, ta có bảng biến thiên của 
k = ( m + 1)2 ( 2 – m )
 m - -2 -1 1 2 +
 + 4
 k 4 0
 0 -
Căn cứ vào đồ thị ta có :
a/ (1) có đúng một nghiệm 
b/ (1) có hai nghiệm
c/ (1) có ba nghiệm 
Dạng 4 : f(x) = kx + m (1) với k là một hằng số , m là tham số 
là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = f(x) và d : y = kx + m 
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn cùng phương với đường thẳng y = kx 
Cho d tiếp xúc với (C ) , ta tìm được các tiếp tuyến của (C ) và d , dựa vào các tiếp tuyến này ta chia các trường hợp để biện luận .
Ví dụ 10: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = - x3 + 3x 
 b/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x3 – 12x + m = 0 
Giải : 
+ D = R
+ y/ = -3x2 + 3 ; y/ = 0 
+ y// = -6x , y// = 0 x = 0 y = 0
BXD : 
 x - 0 +
 y// + 0 -
 (C) lõm ĐU lồi
 + BBT :
 x - -1 1 +
 y/ - 0 + 0 -
 + CĐ 
 y -2 2 
 CT -
 + ĐĐB:
 x -2 -1 0 1 2 
 y 2 -2 0 2 -2 
(C )
d
m = - 16
d
m = 16
b/ x3 – 12x + m = 0 - x3 +3x = - 9x + m (1)
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = - x3 +3x và d : y = - 9x + m 
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn song song với đường thẳng y = -9x 
Cho d tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm :
Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
a/ Nếu thì (C ) và d có một giao điểm (1) có một nghiệm 
b/ Nếu thì (C ) và d có hai giao điểm (1) có hai nghiệm
c/ Nếu -16 < m < 16 thì (C ) và d có ba giao điểm (1) có ba nghiệm
Lưu ý : khi -16 16 thì đường d tương ứng nằm bên phải đường tiếp tuyến ứng với m = 16
Ví dụ 11: Cho đồ thị (C ) : y = 
a/ Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) 
b/ Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) và có hệ số góc là 2
c/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : - 2x – m = 0 (*)
Giải :
a/ Hàm số xác định khi x2 – 4x + 3 0 Vậy D = 
+ y/ = , y/ = 0 
+ y = x – 2 là tiệm cận xiên của (C )
 y = - x + 2 là tiệm cận xiên của (C )
+ BBT : 
 x - 1 3 +
 y/ - +
 + +
 y 
 0 0 
+ ĐĐB : x 0 1 3 4
 y 0 0 
(C )
b/ Gọi là tiếp tuyến cần tìm có hệ số góc bằng 2 , gọi x0 là hoành độ tiếp điểm 
Ta có y/ (x0) = 2 
Vậy phương trình  : y = 2x – 4 - 
c/ - 2x – m = 0 (*) 
(*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = và d : y = 2x + m 
Khi m thay đổi , những đường d luôn song song với tiếp tuyến 
d
(C )
d
d
Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có : 
a/ m < -6 thì (*) có một nghiệm 
b/ -6 thì (*) có hai nghiệm 
c/ m = -4 - thì (*) có một nghiệm
d/ -4 - < m < -2 thì (*) vô nghiệm
e/ m - 2 thì (*) có một nghiệm
Dạng 5 : f(x) = m ( x – a) + b (1) với a , b là một hằng số , m là tham số 
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = f(x) và d : y = m ( x – a) + b 
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố định A( a,b) 
Cho d tiếp xúc với (C ) , ta tìm được các tiếp tuyến của (C ) và d , dựa vào các tiếp tuyến này ta chia các trường hợp để biện luận .
Ví dụ 12 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = 
 b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 x – 2 + = mx – m + 1 (1)
Giải : 
+ D = R\
+ y/ =; y/ = 0 
+(C ) có một tiệm cận đứng x = 2 và một tiệm cận xiên y = x - 2
 + BBT :
 x - 1 2 3 +
 y/ + 0 - - 0 +
 CĐ + + 
 y -2 2 
 CT
 - - 
 + ĐĐB:
 x 0 1 3 4
 y - -2 2 
Nhận xét : Nếu câu b/ đề bài chỉ yêu cầu bịên luận theo m số nghiệm của phương trình (1) thì ta có thể dùng phương pháp tam thức bậc hai , nhưng ở đây yêu cầu của đề bài là dùng đồ thị (C ) nên buộc ta phải sử dụng dạng đồ thị (C ) .Vì vậy phương trình (1) phải đưa về dạng 5.
b/ x – 2 + = mx – m + 1 (1) 
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = và d : y = m ( x – 1) + 1 
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố định A( 1,1) 
Cho d tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm :
Thế (b) vào (a) ta có : 
x – 2 + = (1 - )(x-2) + m + 1 
Thế (c ) vào (b) với điều kiện m < 1 , ta có : 
Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
a/ Nếu thì (C ) và d có hai giao điểm (1) có hai nghiệm
b/ Nếu thì (C ) và d có một giao điểm (1) có một nghiệm
c/ Nếu thì (C ) và d không có giao điểm (1) vô nghiệm
(C )
(C )
d
d
d
- 
m =1
+ 
Chú ý : Với ví dụ này thì khi xét các trường hợp để biện luận ngoài việc vẽ các tiếp tuyến vừa tìm được , các em phải vẽ thêm hai đường thẳng đi qua A và song song với hai đường tiệm cận của đồ thị (C ), khi đó đường thẳng song song với tiệm cận đứng không tồn tại hệ số góc m , nghĩa là m tiến ra vô cực , còn đường thẳng song song với tiệm cận xiên có hệ số góc m = 1.Do đó dựa vào vị trí các đường thẳng d ta dễ dàng biện luận các trường hợp .
Ví dụ 13: a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = 
 b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 x + = mx – m + 1 (1)
Giải : + D = R\
+ y/ =; y/ = 0 
+(C ) có một tiệm cận đứng x = 2 và một tiệm cận xiên y = x 
+ BBT x - 1 2 3 +
 y/ + 0 - - 0 +
 CĐ + + 
 y 0 4 
 CT
 - - 
 + ĐĐB:
 x 0 1 3 4
 y - 0 4 
(C )
b/ b/ x + = mx – m + 1 (1) 
(1)là phương trình hoành độ giao điểm của (C ): y = và d : y = m ( x – 1) + 1 
Khi m thay đổi những đường thẳng d luôn quay quanh một điểm cố định A( 1,1) 
Cho d tiếp xúc với (C ) hệ phương trình sau có nghiệm :
Thế (b) vào (a) ta có : 
x + = (1 - )(x-2) + m + 1 
Thế (c ) vào (b) với điều kiện m < 1 , ta có : 
Dựa vào đồ thị của (C ) và d ta có :
+
d
d
d
(C )
(C )
-
a/ Nếu thì (C ) và d có hai giao điểm (1) có hai nghiệm
b/ Nếu m= -3 thì (C ) và d có một giao điểm (1) có một nghiệm
c/ Nếu thì (C ) và d không có giao điểm (1) vô nghiệm
Chú ý : 
* * / Khi viết phương trình tiếp tuyến với đường cong (C ) đi qua một điểm A cho trước trong trường hợp (C ) : y = , rất nhiều học sinh lúng túng khi giải hệ điều kiện tiếp xúc , nếu chỉ dùng phương pháp thế như đối với hàm số đa thức thì có nhiều bài các em không tìm được kết quả hoặc tìm được thì giải cũng khó khăn , vì vậy tôi đề nghị một mẹo nhỏ để giải quyết vấn đề này 
Ở ví dụ 12 và ví dụ 13 để giải hệ điều kiện tiếp xúc trong trường hợp (C ) là hàm số hữu tỉ , ta làm như sau :“ ta biến đổi sao cho vế trái của phương trình (a) xuất hiện mẫu ( x – 2), sau đó thế (b) vào (a) nhưng chỉ thế vào vị trí m trước (x – 2) và thu gọn để được phương trình (c) .Cuối cùng thế (c) vào (b) với lưu ý điều kiện của m ta được một phương trình theo m giải phương trình này ta tìm được giá trị m từ đó ta viết được phương trình tiếp tuyến d”
* / Ở ví dụ 12 do có hai phương trình tiếp tuyến nên từ điểm cố định A(1;1) ta vẽ các tiếp tuyến và các đường thẳng song song với hai đường tiệm cận , từ đó ta mới chia các trường hợp để biện luận .
* / Ở ví dụ 13 nếu không lưu ý điều kiện của m các em dễ sai lầm nhận hết cả hai giá trị , ở đây ta chỉ tìm được một tiếp tuyến d mà thôi , do đó phần biện luận cũng đơn giản hơn 
Ví dụ 14: a/ Vẽ đồ thị (C ) : y = 
 b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : 
 - mx + 4m – 3 = 0 (*)
Giải : 
a/ Ta có : 
Do đó (C ) chính là nửa đường tròn tâm O , bán kính R = 3 ở phía trên trục hoành 
b/ - mx + 4m – 3 = 0 (*) = m(x-4) + 3 
Ta xem (*) là phương trình hoành độ giao điểm của (C ) : y = và d: y = m(x-4) + 3 
d là đường thẳng quay quanh điểm cố định A( 4 ; 3) khi m thay đổi 
Dựa vào đồ thị (C ) và d ta có : 
+ m < 0 thì (*) vô nghiệm 
+ m = 0 thì (*) có một nghiệm x = 0 
+ 0 < m thì (*) có hai nghiệm
+ < m < 3 thì (*) có một nghiệm
+ m > 3 thì (*) vô nghiệm
Vấn đề 2: : Giải và biện luận hệ phương trình bằng đồ thị 
Sử dụng 5 dạng biện luận phương trình , ta có thể biện luận hệ phương trình 
Ví dụ 15 : Cho hệ phương trình : .Tìm m để hệ phương trình có nghiệm 
Giải : 
+ Nếu m < 0 thì phương trình (2) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm 
+ Nếu m = 0 thì phương trình (2) có nghiệm (0;0) nên hệ vô nghiệm
+ Nếu m > 0 thì (1) được biểu diễn bởi 4 cạnh hình vuông ABCD 
với A( -1;0) , B(0;1) , C(1;0) , D( 0;-1)
được biểu diễn bởi đường tròn tâm O , bán kính R = 
Khoảng cách từ O đến mỗi đỉnh của hình vuông là 1 .
Khoảng cách từ O đến mỗi cạnh của hình vuông là 
D
A
B
C
x
y
O
Hệ phương trình có nghiệm đường tròn tâm O có bán kính R = có điểm chung với ít nhất một cạnh của hình vuông ABCD 
Ví dụ 16: Tìm các giá trị của a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm : 
Giải : * Nếu 1 + a 0 thì hệ vô nghiệm 
Nếu a > -1 khi đó (1) là phương trình của đường tròn tâm O , 
bán kính R= 
(2) được biểu diễn bởi hai đường thẳng 
d1 : x + y = 2 và d2 : x + y = - 2 
d( O , (d1)) = = d( O , (d2))
Hệ phương trình có đúng hai nghiệm đường tròn tâm O bán kính R= tiếp xúc với d1 và d2 = a = 0
O
d1
d2
Ví dụ 17: Cho hệ phương trình. (*)
 Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
Giải :
 Hệ đã cho có thể viết lại :
(*) 
Ta nhận thấy (1) là phương trình đường thẳng, luôn qua điểm cố định (0;1) . (2) là phương trình đường tròn có tâm I(;0) bán kính R = . Do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi :
d(I ;d) = < 0 <m < 
Ví dụ 18: Cho hệ phưong trình(*).
 Tìm m sao cho hệ sau đây có 3 nghiệm .
Giải :
Hệ đã cho có thể viết lại :(*) 
Các điểm M(x;y) thỏa (1) là những điểm nằm trên 2 đường thẳng như hình vẽ
Các điểm M(x;y) thỏa (2) là những điểm nằm trên đường tròn tâm I(0;0) bán kính R = , do số giao điểm của đường thẳng và đường tròn chính là số nghiệm . Vậy để hệ phương trình có 3 nghiệm thì :
R = ON , mà ON = = (áp dụng đktx) do đó :
 = 
Ví dụ 19: Biện luận theo a về số nghiệm của hệ phương trình. 
Giải :
Ta đổi trục cho dễ về việc tính toán và biện luận:
Đổi trục oxy 0XY 
Hệ đã cho có thể viết lại :
Ta nhận thấy các điểm M(x;y) thoả mãn (1) là hình vuông ABCD trong đó A(-2;0) , B(0;2) , C(2;0) , D(0;-2) .Các điểm thỏa mãn (2) nằm trên 2 đường: X = 2a ,Y= 2a , mà giao điểm I của chúng luôn luôn di động trên Y = X , dễ thấy điểm I/(1;1) như hình vẽ , do số giao điểm của 2 đường thẳng và hình vuông ABCD chính là số nghiệm , nên ta có : 
 Nếu hệ vô nghiệm.
Nếu hệ có 2 nghiệm.
Nếu hệ có 4 nghiệm.
 Nếu hệ có 3 nghiệm.
Vấn đề 3 : Giải và biện luận bất phương trình bằng đồ thị 
Với bất phương trình f(x) > g(x) khi và chỉ khi đồ thị (C ) : y = f(x) nằm phía trên đồ thị 
(C/ ) : y = g(x) 
Ví dụ 20 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = 3x – x3
b/ Vẽ đồ thị hàm số : y = 
c/ Dùng đồ thị để giải bất phương trình : 3x – x3 > 
Giải : 
a/ + D = R 
+ y / = 3 – 3x2 , y / = 0 
+ y// = -6x , y// = 0 x= 0 nên gốc tọa độ là điểm uốn 
BXD : 
 x - 0 +
 y// + 0 -
 (C) lõm ĐU lồi
+ BBT :
 x - -1 1 +
 y/ - 0 + 0 -
 + CĐ 
 y -2 2 
 CT -
 + ĐĐB:
 x -2 -1 0 1 2 
 y 2 -2 0 2 -2 
(C )
(C/ )
c/ Dùng đồ thị để giải bất phương trình : 3x – x3 > 
Đồ thị (C ) : y = 3x – x3 cắt đường thẳng y = 2x tại gốc tọa độ và A(1;2), (C ) cắt đường thẳng
 y = - 2x tại gốc tọa độ và B(- ; 2).Do đó tập nghiệm của bất phương trình : 3x – x3 > 
là S = ( -; -)(0;1)
Ví dụ 21: Cho hệ bất phưong trình. (*)
 Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất .
Giải :
Nghiệm của bất phương trình (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O2(0;-1) bán kính 
R2 =. (như hình vẽ) 
Nghiệm của bất phương trình (2) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm O1(-1;0) bán kính
 R1 = .
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi : R1 + R2 = O1O2 
Hay : 2= 
Ví dụ 22: Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm duy nhất 
Giải :
Hệ đã cho có thể viết thành .
Xét hệ toạ độ trực chuẩn oxy
Nhận xét : những điểm M(x;y) thỏa mãn (1) là những điểm nằm trên và trong đường tròn tâm I(1;1) bán kính R = (như hình vẽ) , những điểm M(x;y) thỏa mãn (2) là miền gạch chéo và đường thẳng x +y =1 .Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi R = OH ,
Mà OH = ( áp dụng đktx) vậy : là ycbt
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH THAM KHẢO 
Bài 1 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) của hàm số : y = 2x + 
b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình :2x. - m. + 1 = 0
c/ Biện luận theo m số nghiệm của phương trình :2cosx. - m. + 1 = 0
với 
Bài 2 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = -x3 + 3x2 – 4 
b/ Viết phương trình tiếp tuyến của (C ) biết rằng tiếp tuyến đó song song với đường thẳng 
d: y = - 9x + k
c/ Tùy theo tham số k , biện luận số giao điểm của (C ) và d 
Bài 3 : Tìm các giá trị m sao cho phương trình : x + có đúng hai nghiệm 
Bài 4 : Cho phương trình : sin2x + sin2 3x – m .cos2 2x = 0 (*) 
a/ Giải phương trình (*) khi m = 3 ?
b/ Tìm m để phương trình (*) có nghiệm 
Bài 5 : a/ Khảo sát và vẽ đồ thị (C ) : y = x4 – 4x3 + 3
b/ Dùng (C ) biện luận theo m số nghiệm của phương trình : x4 – 4x3 + 8x – m + 3 = 0 
Bài 6 : Tìm k để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt : ( x – 1)2 = 2 
Bài 7 : Cho hệ phưong trình. (*)
a) Tìm tất cả các giá trị của a để hệ có 2 nghiệm phân biệt.
b) Gọi A(x1 ; y1) , B(x2 ; y2 ) là 2 nghiệm của hệ .Tìm a để độ AB đạt giá trị lớn nhất .
Bài 8 : Cho hệ phương trình: . Xác định các giá trị của a để:
Hệ phương trình vô nghiệm
Hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 9 : Cho hệ phương trình : . Giả sử là nghiệm của hệ. Đặt . Tìm m để
A đạt giá trị lớn nhất
A đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 10 : T×m a ®Ĩ mçi hƯ sau cã nghiƯm duy nhÊt.
 a) 	b) 	c) 
 Bài 11 : T×m m ®Ĩ hƯ sau cã hai nghiƯm 	.
Bài 12 : T×m a ®Ĩ mçi hƯ sau cã nghiƯm: a) 	b) .
Bài 13 : Cho hƯ . T×m m ®Ĩ hƯ nghiƯm ®ĩng víi mäi .
Bài 14 : Cho c¸c sè thùc a, b, c, d, x, y tháa m·n c¸c ®iỊu kiƯn:
 a2 + b2 - 4a - 6b + 12 = 0, c2 + d2 + 6c - 2d + 6 = 0, x - y = 5
 H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc F = .
Bài 15 : Cho hệ phương trình:. Tìm m để hệ có hai nghiệm sao cho đạt giá trị lớn nhất.
Bài 16 : Giải và biện luận hệ phương trình
a) 	b) 
C/ PHẦN KẾT LUẬN
Các bài toán về biện luận phương trình, hệ phương trình, bất phương trình bằng đồ thị là các bài toán rất phong phú, đa dạng, do đó đòi hỏi người giải phải biết cách nhìn, nhiều bài toán có được lời giải hoặc lời giải hay là nhờ việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài toán .
Nhìn về lượng và chất thì bài tập trong sách giáo khoa rất ít, không đủ dạng, không đủ cho các em học sinh rèn luyện. Trong bài viết này tôi chỉ nêu một vài ví dụ để gợi ý phương pháp giải do đó các em cần tìm thêm bài tập trong các sách tham khảo, sách luyện thi đại học để rèn luyện kỹ năng giải Toán trong mỗi dạng. Hy vọng bài viết này là cầu nối giúp các em nhìn vấn đề một cách hệ thống hơn, khái quát hơn, làm hành trang cho các em trong các kỳ thi.
Kết quả thực hiện :
Trong quá trình giảng dạy cho học sinh ở trường THPT tôi đã áp dụng sáng kiến này từ lớp 10 cho đến lớp 12. Khi tôi dạy cho học sinh vấn đề này, tôi thấy các em rất thích thú, khi gặp một đề bài tương tự các em đã vận dụng cách giải một cách linh hoạt, có khi cùng một đề các em lại giải được nhiều cách khác nhau. Mặt khác trong quá trình theo dõi các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng tôi thấy rất nhiều đề thi liên quan đến sáng kiến trên và có rất nhiều học sinh tôi giảng dạy đã áp dụng sáng kiến này trong bài thi của mình đạt kết quả cao 
Kiến nghị :
Nhiệm vụ hàng đầu của người giáo viên dạy Toán là làm sao cho học sinh yêu thích môn Toán, chăm chú nghe giảng trong giờ dạy của mình và đạt kết quả cao trong các kỳ thi. Hiện nay có rất nhiều học sinh cảm thấy môn Toán trừu tượng, khó hiểu, ít liên quan đến đời sống thực tại. Do đó khi trực tiếp giảng dạy môn Toán tôi luôn cố gắng tìm phương pháp hay để các em tiếp cận vấn đề của Toán học dễ dàng hơn. Sáng kiến trên là một phần nhỏ trong suy nghĩ của tôi, tôi hy vọng quí thầy cô cũng như tôi tìm kiếm nhiều phương pháp hay, trực quan, dễ hiểu để học sinh của chúng ta ngày càng giỏi hơn, thi đậu nhiều hơn nữa.
Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của quí thầy cô để bài viết được hoàn hảo hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1/ Sách Giải Tích 12 của trường chuyên Lê Hồng Phong
2/ Sách giải toán Khảo sát hàm số của Nguyễn Trọng Khâm – Nguyễn Cam 
3/ Chuyên đề khảo sát hàm số của Ngô Tấn Lực 
4/ Các phương pháp và kỹ thuật đặc biệt giải toán THPT của Nguyễn văn Quí
5/ 15 phương pháp chuyên đề Tam thức bậc hai và các ứng dụng đặc sắc 
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 
TRƯỜNG THPT HÙNG VƯƠNG
 NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC 
SỞ GIÁO DỤC TỈNH BÌNH PHƯỚC
Kính thưa quí thầy cô ban giám khảo cùng các anh chị em đồng nghiệp
Khảo sát hàm số và ứng dụng