Sáng kiến kinh nghiệm Xác định công thức tổng quát của dãy số

ĐẶT VẤN ĐỀ 
	Trong chương trình toán học THPT các bài toán liên quan đến dãy số là một phần quan trọng của đại số và giải tích lớp 11 , Học sinh thường phải đối mặt với nhiều dạng toán khó liên quan đến vấn đề này và gặp khó khăn trong vấn đề xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số. Đặc biệt ở một số lớp bài toán khi đã xác định được công thức tổng quát của dãy số thì nội dung của bài toán gần như được giải quyết
	Để đáp ứng được một phần đề tài “ Xác định công thức tổng quát của dãy số “ và kết hợp với sự tiếp cận “ Lý thuyết phương trình sai phân “ qua một số chuyên đề mà bản thân tác giả đã được học 
	Nội dung của đề tài nhằm cung cấp một số phương pháp cơ bản xác định công thức tổng quát của dãy số và có sự phân loại ở một số lớp bài toán . Đây cũng là đề tài và bài giảng mà tác giả đã dạy cho học sinh , đặc biệt là học sinh khá giỏi và lớp chọn, là tài liệu học sinh và đồng nghiệm tham khảo
	Trong đề tài này tác giả đã sử dung một số kết quả có tính hệ thống của ‘ Lý thuyết phương trình sai phân “ . Tuy nhiên những vấn đề áp dụng kiến thức toán học hiện đại chỉ dừng lại ở một số trường hợp đặc biệt và giới hạn trong trường số thực .
	Giới hạn của đề tài chỉ dừng lại ở việc xác định công thức tổng quát của một số dãy số , từ đó có áp dụng vào một số bài toán cụ thể . Qua đó, người đọc có thể trang bị thêm cho mình phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số. Đặc biệt các thầy cô có thể tự kiểm tra kết quả và xây dựng cho mình một lớp các bài toán về dãy số được trình bày trong đề tài
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ VÀ XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ
A. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP MỘT
	Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng 
trong đó a,b, là các hằng số ,a # 0 và là biểu thức của n cho trước
Dạng 1
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (1.1)
trong đó cho trước 
Phương pháp giải 
	Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi đó (q là hằng số ) , trong đó q được xác định khi biết 
Bài toán 1: Xác định số hạng tổng quát của cấp số nhân, biết số hạng đầu tiên bằng 1 và công bội bằng 2
Bài giải Ta có 
 (1.2) 
Phương trình đặc trưng có nghiệm Vậy . Từ suy ra Do đó 
Dạng 2
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (2 .1)
trong đó là đa thức theo n
Phương pháp giải 
	Giải phương trình đặc trưng ta tìm được Ta có Trong đó là nghiệm của phương trình thuần nhất (1.1) và là nghiệm riêng tuỳ ý của phương trình không thuần nhất (2.1) Vậy q là hằng số sẽ được xác định sau 
Ta xác định như sau : 
Nếu thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu thì với là đa thức cùng bậc với 
Thay vào phương trình, đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của 
Bài toán 2: Tìm thoả mãn điều kiện 
	 (2.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó Thay và phương trình (2.2) ta được 
 (2.3) 
thay n=1và n=2 vào (2.3) ta được hệ phương trình sau 
Do đó 
Ta có Vì nên 
Vậy 
Dạng 3
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (3.1)
trong đó là đa thức theo n
Phương pháp giải 
	Giải phương trình đặc trưng ta tìm được Ta có Trong đó , c là hằng số chưa được xác định , được xác định như sau :
Nếu thì 
Nếu thì 
Thay vào phương trình (3.1) đồng nhất các hệ số ta tính được các hệ số của . Biết từ hệ thức , tính được c
Bài toán 3: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (3.2) 
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó 
Thay vào phương trình (3.2) , ta thu được 
Suy ra Do đó vì nên c=1 Vậy 
Dạng 4
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (4.1) 
Trong đó là đa thức theo n và 
Phương pháp giải 
	Ta có Trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất , là một nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất , là nghiệm riêng bất kỳ của phương trình không thuần nhất 
Bài toán 4: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (4.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có trong đó 
Thay vào phương trình , ta được 
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 
Vậy thay vào phương trình Ta được 
Vậy
Do đó . Ta có nên Vậy 
B. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP HAI
	Phương trình sai phân tuyến tính cấp một là phương trình sai phân dạng 
trong đó a,b,c, , là các hằng số , a # 0 và là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp hai luôn có hai nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) 
Dạng 1
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (5.1) 
Phương pháp giải 
	Giải phương trình đặc trưng tìm Khi đó
Nếu là hai nghiệm thực khác nhau thì , trong đó A và B được xác định khi biết 
Nếu là hai nghiệm kép thì , trong đó A và B được xác định khi biết 
Bài toán 5: Tìm thoả mãn điều kiện sau
 	(5.1)
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép 
Ta có 
 (5.2)
Cho n=0 , n=1 thay vào (5.2) ta thu được hệ phương trình 
Vậy 
Dạng 2
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (6.1)
trong đó a # 0, là đa thức theo n cho trước
Phương pháp giải 
	Giải phương trình đặc trưng để tìm . Khi đó ta có trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất và là một nghiệm tuỳ ý của phương trình 
Theo dạng 1 ta tìm được , trong đó hệ số A, B chưa được xác định , được xác định như sau :
Nếu thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu là nghiệm đơn thì là đa thức cùng bậc với
Nếu là nghiệm kép thì là đa thức cùng bậc với,
Thay vào phương trình , đồng nhất các hệ số, tính được các hệ số của . Biết từ hệ thức tính được A, B
Bài toán 6: Tìm thoả mãn điều kiện 
 (6.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có trong đó 
Thay vào phương trình (6,2) , ta được 
Cho n=1 , n=2 ta thu được hệ phương trình 
Vậy 	
Do đó 
Mặt khác 
Vậy 
Dạng 3
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (7.1) 
Phương pháp giải 
	Giải phương trình đặc trưng để tìm Khi đó ta có trong đó được xác định như dạng 1 và hệ số A và B chưa được xác định, được xác định như sau 
Nếu thì 
Nếu là nghiệm đơn thì 
Nếu là nghiệm kép thì 
Thay vào phương trình , dùng phương pháp đồng nhất thức các hệ số sẽ tính được hệ số k . Biết từ hệ thức tính được A,B 
Bài toán 7: Tìm thoả mãn điều kiện 
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm kép Ta có trong đó 
Thay vào phương trình , ta được 
Vậy . Do đó . (1) Thay vào phương trình ta thu được 
Vậy 
Dạng 4
 Tìm thoả mãn điều kiện 
 (8.1) 
trong đó a # 0 , là đa thức theo n và 
Phương pháp giải 
	Ta có trong đó là nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất , là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất là nghiệm riêng tùy ý của phương trình không thuần nhất 
Bài toán 8: ( Đề thi OLYPIC 30 -4 Toán 11 Lần thứ VIII- 2002 )
Tìm thoả mãn điều kiện 
 (8.2)
Bài giải Phương trình đặc trưng có nghiệm Ta có 
trong đó
Thay vào phương trình , ta được 
Vậy
Do đó 
Thay vào phương trình , ta được 
Do đó 
Vậy 
 (8.3) 
Ta thay vào (8.3) ta được hệ phương trình 
Vậy 
C. PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP BA
	Phương trình sai phân tuyến tính cấp ba là phương trình sai phân dạng 
 (a.1)
trong đó a,b,c, d, ,, là các hằng số , a # 0 và là biểu thức của n cho trước
(NX: Phương trình đặc trưng của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba luôn có ba nghiệm kể cả nghiệm phức, song nội dung của đề tài chỉ dừng lại trong trường số thực , tức là chỉ xét nghiệm thực ) 
Phương pháp giải 
Nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba có dạng , trong đó là nghiệm tổng quát ủa phương trình tuyến tính thuần nhất, là một nghiệm riêng của phương trình tuyến tính không thuần nhất 
Xét phương trình đặc trưng 
 (a.2)
Xác định công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính cấp ba thuần nhất
Nếu (a.2) có ba nghiệm thực phân biết thì 
Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 2 và một nghiệm đơn thì 
Nếu (a.2) có một nghiệm thực bội 3 thì 
Xác định nghiệm riêng của phương trình (a.1)
Xét là đa thức của n ta có 
Nếu thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu (nghiệm đơn ) thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu (bội 2 ) thì là đa thức cùng bậc với 
Nếu (bội 3) thì là đa thức cùng bậc với 
Xét ta có 
Nếu thì 
Nếu (nghiệm đơn ) thì 
Nếu (nghiệm bội s ) thì 
Bài toán 9: Tìm dãy số biết rằng 
 (9.1) 
Bài giải Xét phương trình đặc trưng 
có 3 nghiệm thực
Vậy 
Cho n=1, n=2, n=3 và giải hệ phương trình tạo thành, ta được 
Vậy 
D. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài toán 10: Cho dãy số được xác định theo công thức sau 
 (10.1) 
Chứng minh số là số chính phương
Bài giải Ta có 
	(10.2)
Trong (9.2) ta thay n bởi n-1, ta được 
	(10.3)
Trừ các vế của (10.1) cho (10.2) ta thu được 
 (10.4)
Phương trình đặc trưng của (10.4) là 
có nghiệm là nghiệm bội bậc ba
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình (10.4) là 
Cho n=0, n=1, n=2 ta được 
Ta thu được và từ đó ta có 
Điều này chứng tỏ A là một số chính phương
Bài toán 11: Cho dãy số được xác định theo công thức sau 
 (11.1) 
Chứng minh rằng 
Bài giải Xét dãy số với và 
 (11.2)
Dễ thấy . Do đó chỉ cần chứng minh
Đặt suy ra . Nhận xét rằng 
 (11.3)
Ta lại có 
 suy ra (11.4)
Thế (11.4) vào (11.3) ta được 
Suy ra 
 (11.5)
Phương trình đặc trưng của (11.5) là 
 có nghiệm 
Nghiệm tổng quát của (11.1) là 
Ta có 
Do đó ta nhận được 
 	 (11.6) 
Từ (11.6) ta suy ra 
Ta cần chứng minh 
Do 
Nên . Từ đó , ta có , và khi đó 
Vậy 
E. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Xác định công thức của dãy số thoả mãn các điều kiện sau
Bài 2: Cho dãy số thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng là một số lẻ
Bài 3: Cho dãy số xác định bởi 
Chứng minh rằng 
Bài 4: Cho dãy số thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng là một số chính phương
Bài 5: (Tuyển tập đề thi Olympic 30 – 4 Toán 11 Lần thứ VIII – 2002
NXB giáo dục )
Cho dãy số thoả mãn như sau 
Chứng minh : 
( kí hiệu chia hết )
Bài 6: Cho dãy số thoả mãn điều kiện 
Chứng minh rằng tồn tại các hằng số nguyên M sao cho các số đều là số chính phương
Bài 7: ( Báo Toán Học và Tuổi Trẻ số 356) 
Cho dãy số ( i=1,2,3,4)được xác định bởi 
Tính giá trị của biểu thức 
Bài 8: Cho dãy số nguyên dương thoả mãn điều kiện 
Tìm số nguyên dương h bé nhất có tính chất
F. XÂY DỰNG BÀI TOÁN VỀ DÃY SỐ TRUY HỒI
Nhận xét : Nội dung của đề tài trên giúp bạn đọc tìm ra công thức tổng quát của một lớp dãy số có tính chất truy hồi một cách chính xác nhất, giúp các Thầy cô kiểm tra kết quả bài toán theo cách giải khác. Bên cạnh đó ta có thể tiến hành xây dựng thêm các bài toán mới về dãy số 
	Dưới đây là một số ví dụ “ xây dựng thêm các bài toán về dãy số có tính quy luật “ chỉ mang tính chất tham khảo. Tác giả mong muốn bạn đọc tìm hiểu và phát triển rộng hơn các bài toán khác về dãy số
Ví dụ 1: Xuất phát từ phương trình 
	 (12.1)
phương trình (12.1) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số được xác định theo công thức sau 
có thể cho . Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Cho dãy số xác định như sau
Xác định công thức của dãy số 
Bài toán 2: Cho dãy số xác định như sau
Tính giá trị của biểu thức 
Ví dụ 2: Xuất phát từ phương trình 
	 (12.2)
phương trình (12.2) có thể được coi là phương trình đặc trưng của một dãy số có quy luật. Chẳng hạn dãy số được xác định theo công thức sau 
có thể cho khi đó vận dụng thuật toán trên xác định được công thức tổng quát của dãy số 
 Ta có thể phát biểu thành các bài toán sau
Bài toán 1: Xác định công thức của dãy số thoả mãn các điều kiện sau
Bài toán 2: Cho dãy số xác định như sau
Chứng minh rằng là một số chính phương	
Bài toán 3: Cho dãy số xác định như sau
Xác định số tự nhiên n sao cho 
KẾT LUẬN- KIẾN NGHỊ
	Trải qua thực tiễn giảng dạy, nội dung các bài giảng liên quan đến đề tài và có sự tham gia góp ý của đồng nghiệp, vận dụng đề tài vào giảng dậy đã thu được một số kết quả nhất định sau :
Học sinh trung bình trở lên nắm vững được một số phương pháp và biết vận dụng ở dạng cơ bản xác định được công thức của dãy số 
Một số đề thi học sinh giỏi, Học sinh lớp chọn có thể sử dụng phương pháp trình bày trong đề tài để giải bài toán
Là một phương pháp tham khảo cho học sinh và các thầy cô giáo
Qua nội dung đề tài, đồng nghiệp có thể xây dựng thêm các bài toán về dãy số
	Xây dựng phương pháp giảng dậy theo quan điểm đổi mới là việc mà toàn xã hội và nghành đang quan tâm. Tuy nhiên, trong một số lớp bài toán bậc THPT ta có thể sử dụng một số kết quả của toán học hiện đại để xây dựng phương pháp giải toán sơ cấp là một vấn đề ít được chú ý. Qua nội dung đề tài tác giả mong muốn có sự tìm hiểu sâu hơn về mối quan hệ giữa “Toán học hiện đại” và “Phương pháp toán sơ cấp ”. Qua đó ta có thể tìm được phương pháp giải, xây dựng các lớp bài toán ở bậc THPT
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Lê Đình Thịnh- Lê Đình Định , Phương pháp sai phân. Nhà xuất bản Đại Học Quốc Gia Hà Nội 2004
Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ V, Nhà xuất bản Giáo Dục 
Tuyển tập đề thi OLYMPIC 30 – 4 Môn Toán Lần thứ VII-2002 , Nhà xuất bản Giáo Dục 
Tạp trí Toán Học và Tuổi Trẻ Số 356 , Nhà xuất bản Giáo Dục 
Trần Chí Hiếu Nguyễn Danh Phan Tuyển chọn các bài toán PTTH Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo Dục 
Nguyễn Văn Mậu , Một số bài toán chọn lọc về dãy số , Nhà xuất bản Giáo Dục - 2003