Sáng kiến kinh nghiệm Ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số

 Lời nói đầu
 Có lẽ “tam thức bậc hai” là một khía cạnh khá quen thuộc đối với chúng ta: những người học toán ,nghiên cứu toánNó xuyên suốt trong chương trình Trung học phổ thông,tam thức bậc hai có rất nhiều ứng dụng,việc sử dụng công cụ này giúp chúng ta giải quyết một loạt các bài toán trong giải tích,hình học,cũng như trong lượng giác.
 “Tam thức bậc hai” xuất hiện trong nhiều cuốn sách.Tuy nhiên các tác giả chỉ đề cập một cách tổng quan,chung chung ,chứ chưa đi sâu vàotừng vấn đề,ứng dụng cụ thể của nó.
 Vì vậy nhóm nghiên cứu chúng tôi đã lựa chọn đề tài “Ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số”_Đây là một trong những ứng dụng đặc sắc của tam thức bậc hai.Nhằm cụ thể hóa các dạng bài tập trên cơ sở ứng dụng tam thức bậc hai vào việc tìm cực trị của hàm số .
 Trong đề tài này ,chúng tôi chia làm hai phần chính:
 Phần 1: Nêu ra những cơ sở lý thuyết trọng tâm.
 Phần 2:Đưa ra hệ thống bài tập bao gồm 6 dạng từ dễ đến khó.
 Dạng 1: Hàm số y = f(x) = 
 Dạng 2: Hàm số y = f (x) = 
 Dạng 3: Hàm số chứa dấu giá trị tuyệt đối và hàm số chứa căn thức
 Dạng 4: Hàm số lượng giác
 Dạng 5: Tìm 
 và 
 Dạng 6: Tìm 
 và 
 Trong mỗi dạng ,chúng tôi đã lựa chọn để đưa ra một số bài tập có giải mẫu từ đơn giản đến phức tạp và một số bài tập tự giải.Đặc biệt ở dạng 5 và 6 là những dạng bài tập rất hay vì mặc dù nó cồng kềnh nhưng với việc ứng dụng tam thức bậc hai ta thấy lời giải thật gọn nhẹ.
 Vì thời gian và khả năng còng hạn chế nên chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót .Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các bạn để đề tài chúng tôi được hoàn thiên hơn.
 Chúng tôi cung xin bày tỏ lòng biết ơn đến thầy giáo Dương Thanh Vỹ đã hướng dẫn chúng tôi trong quá trình làm đề tài này.
 Phần I: MỘT SỐ KIẾN THỨC TRANG BỊ
 Xét dấu tam thức bậc hai có dạng f(x) = ( ) 
 Đặt 
 Khi ta đặt 
 Ta có f(x1)=f(x2)=0 thì x1, x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai ( cũng là hai nghiệm của phương trình bậc hai ) 
Định lý Viét thuận:
 Nếu phương trình bậc hai :ax2+bx+c=0 (a ≠ 0 ) có hai nghiệm x1,x2 ( giả sử x1 < x2) thì 
Mệnh đề: 
Hệ quả (Định lý Viét đảo):
 Nếu hai số có tổng là S, có tích là P thì hai số đó là nghiệm của phương trình ( với )
 ï Chú ý 
 Nếu ( hai nghiệm trái dấu )
 Ta có hai trường hợp nhỏ:
 Nếu ( hai nghiệm đều âm )
 Nếu ( hai nghiệm đều dương )
 Tính chất đồ thị (P): y = f(x) = là một parabol có đỉnh 
 Trong đó là nghiệm kép của tam thức bậc hai 
 (d) là trục đối xứng của (P)
 Bằng đồ thị chúng ta vẫn có thể ghi nhớ được định lý trên và còn tìm được giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của tam thức bậc hai như sau:
 a > 0

 a < 0

-∆/4a
-∆/4a
 x1
x2
O
-b/2a
S
O
x2
x1
-b/2a
-∆/4a
S
-∆/4a
O
-b/2a
-b/2a
S
O
-b/2a
S
-∆/4a
-b/2a
O
S
-b/2a
-∆/4a
O
S
 max
 min
 GTNN f(x) = 
 Khi x = 
 GTLN f(x) = 
 Khi x = 

 I/ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI
 ô Định lý thuận
 Tam thức bậc hai luôn có dấu của hệ số a; với mọi giá trị của x; và chỉ loại trừ hai trường hợp :
 + Nếu 
 + Nếu 
 ô Định lý đảo
 Nếu tồn tại số thực thỏa mãn thì tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt , và 
 ô Hệ quả
 Nếu tồn tại hai số và sao cho , thì tam thức bậc hai có hai nghiệm phân biệt và và có một nghiệm nằm ngoài khoảng (với <)
 ô Cách nhớ
 Với 
 x x1 x2 
 cùng dấu a 0 trái dấu a 0 cùng dấu a
 Với 
 x x1= x2 = 
 cùng dấu a 0 cùng dấu a
 Với 
 x 
 cùng dấu a
 ô So sánh nghiệm của tam thức bậc hai với một số cho trước
 TH1: 
 Không cần xét dấu và luôn có 
 TH2: việc so sánh không đặt ra
 TH3: 
 TH4: 
 II/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT- GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT (GTLN và GTNN)	
 Tìm GTLN – GTNN của hàm số bằng cách áp dụng tam thức bậc hai
 Cơ sở của phương pháp này là sự dụng sự đánh giá của hàm số bằng ba công cụ sau đây của tam thức bậc hai
 Thứ nhất là:
 i, f(x) = 
 ii, f(x) = 
 Thứ hai là: Để tìm GTLN – GTNN của hàm số y = f(x) ta thực hiện từng bước như sau
 Bước 1: Tìm tập xác định
 Bước 2: Chuyển (1) về dạng
 (1) (ë)
 Trong (ë) ta xem y như là một tham số, x là ẩn số và xét các trường hợp sau:
 TH1: a(y) = 0
 TH2: a(y)0
 Để tìm điều kiện của y để phương trình (ë) có nghiệm trên tập xác định
 Thứ ba là: sử dụng tính chất định tính, định hình của tam thức bậc hai để xác định GTLN – GTNN 
 Xét hàm số f(x) = trên đoạn 
 * Giả sử a > 0 ta cần xét ba trường hợp
 TH1: Hoành độ đỉnh của parabol x0 = thì 
 GTNN của hàm số là đạt được khi x = x0
 GTLN của hàm số là 
 TH2: Nếu x0 = thì GTNN là: đạt được khi 
 GTLN là: đạt được khi 
 TH3: Nếu x0 = thì GTNN là: đạt được khi 
 GTLN là: đạt được khi 
* Giả sử a < 0, xét tương tự
ïLưu ý
 Ngoài phương pháp đánh giá trên đây không loại trừ khả năng áp dụng bất đẳng thức Cauchy, Schwartz để làm giảm bớt khối lượng tính toán.
 Trên đây chúng tôi đã tóm tắt lại một số kiến thức cơ bản và cơ sở của phương pháp sử dụng tam thức bậc hai để tìm GTLN và GTNN của hàm số. Để minh họa cho phương pháp này chúng tôi xin đưa ra một số bài bài điển hình trong phần tiếp theo.
Phần II: MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP ĐIỂN HÌNH
 Dạng 1: HÀM SỐ y = f(x) = 
 Bài 1:[1] 
 Cho hàm số y = f(x) = trên tập .
 Tìm a để GTNN của f(x) bằng 2.
 Giải: 
 Vì hệ số a = 4 > 0 thì đồ thị của hàm số y = f(x) là parabol quay bề lõm lên trên, đỉnh 
 Bây giờ ta xét 3 vị trí của so với đoạn 
TH1: 
Quan sát đồ thị ta thấy 
TH2: 
Quan sát đồ thị ta thấy 
TH3: 
 Quan sát đồ thị ta thấy 
 Vậy kết hợp ba trường hợp ta thấy thỏa yêu cầu bài toán.
Bài 2:[1]
Cho phương trình với tham số a ≥1 như sau:
 x2+2(a-3)x+ a-13 =0 (1)
Tìm những giá trị a để nghiệm lớn của phương trình đã cho đạt giá trị lớn nhất
Giải:
 Ta có: ∆’=(a-3)2-(a-13)=a2-7a+22 (2) 
 =(a-7/2)2+39/4 >0 ; a≥1
Phương trình (1) có hai nghiệm: 
Xét nghiệm lớn 
Để ý rằng : 2a – 7-2>0
 do ∆>0
 (vô lý)
 .
Do đó x2’(a)<0 ,; Hay hàm x2(a) giảm trên đoạn [1;+∞)
Suy ra 	
Vậy a=1 thì GTLN (x2)=6.
Chú ý : ngoài ra còn có cách giải khác mà chúng tôi không trình bày ở đây.
 Dạng 2: HÀM SỐ CÓ DẠNG y = f (x) = 
 Bài 1:[1] 
 Tìm GTLN và GTNN của hàm số	
 (1)
 Giải:
 Ta nhận thấy nên việc tìm GTLN của y quy về việc tim GTNN(M)
thỏa 
, 
, (1)
Đặt F(x) = 
+ Khi M = 1 thì (1) trở thành: : không thỏa , 
+ Khi M thì (1) trở thành: 
Vậy GTLN (y) = GTNN (M) = 7
Tương tự việc tìm GTNN của y ta quy về việc tìm GTLN của m thỏa điều kiện
 , 
 , (2)
 Đặt G (x) = 
+ Khi m = 1 thì (2) trở thành: : không thỏa , 
+ Khi m thì (2) trở thành: 
 Vậy GTNN (y) = GTLN (m) = 
Kết luận: GTLN (y) = 7 và GTNN (y) = 
 Bài 2:[2] 
 Tìm GTLN và GTNN của hàm số
 y = f(x) = (1) 
 Giải
 Trên tập xác định: D = của hàm số ta viết 
 Đặt g (x) = (2)
+ Khi y = 1 thì (2) trở thành: ( vô lí ) (3)
 + Khi y thì (2) có nghiệm 
 (4)
 Từ (3) và (4) cho ta GTNN f (x) = 1 và không tồn tại GTLN.
 Bài 3: [2] 
 Cho hàm số y = f(x) = , p, q là tham số. Tìm GTNN và GTLN cùa hàm số.
 Giải
 là một giá trị của hàm số
 Phương trình sau có nghiệm 
 (í) có nghiệm
 TH1: y0 = 1
 (í) 
 Do đó phương trình có nghiệm 
 là 1 giá trị của hàm số (í)
 TH2: 
 Phương trình có nghiệm 
 Đặt 
 Vì a = 4 > 0 và F(y0) nên không thể xảy ra trường hợp nên 
 Gọi y1, y2 là hai nghiệm của phương trình F(y0) = 0
 Khi đó (íí)
 Hơn nữa F(1) = 
 Từ (í) và (íí) ta suy ra 
 Bài 4: [1] 
 Tìm giá trị của a và b để hàm số
 y = f(x) = có GTNN bằng 1 và GTLN bằng 3
 Giải
 Ta có 
 Tương tự 
 Theo yêu cầu bài toán cho ta hệ có nghiệm
 Ta nhân thấy 
 Vậy không tồn tại a, b để max f(x) = 3 và min f(x) = 1 với mọi . 
 Dạng 3: HÀM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 
 VÀ HÀM SỐ CHỨA CĂN THỨC
 Bài 1:[3] Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số: y = f(x) = , " xÎ R 
 Giải: Ta đi tìm giá trị nhỏ nhất của hàm đặc trưng y = g(x) = trên R
 Gọi M(x0, y0) là 1 điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số y = g(x), " xÎ R 
Û y0 = Û y0x02 - y0x0 + y0 = 2x02 + x0 - 1
Û (y0 - 2)x02 - (y0 + 1)x0 + y0 +1 = 0
 Xét tam thức bậc 2 F(x0) trong các trường hợp sau:
TH 1: y0 - 2 = 0 Û y0 = 2. Khi đó (1) Û -3x0 + 3 = 0 Û x0 = 1
Vậy y0 = 2 là một giá trị của hàm số y = f(x) tại điểm x0 = 1
TH 2: y0 ≠ 2: Tam thức F(x0) có nghiệm trên R.
Û 
Û Û 
Þ Û 
 Þ f(x) = Max {1, 3} = 3
 Hơn nữa f(x) ³ 0, "x Î R và f( ) = f(-1) = 0
 Do đó f(x) = 0 
 Bài 2:[3]
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của 
 y = 
 Giải: Từ điều kiện -3 £ x £ 1 và do ( )2 + ( )2 = 4 ta có thể đặt
 0 £ t £ 1
 Khi đó y = 
 Trước hết, ta cần tìm các giá trị của y để phương trình
F(t) = (7 - 5y)t2 + 2(8y - 6)t + 7y - 9 = 0 có nghiệm thuộc [0, 1]
 1) y = không là giá trị của biểu thức vì phương trình chỉ có nghiệm 
 t = - Ï [0, 1]
 2) y ≠ 
D’ = (8y - 6)2 - (7y - 5)(7y - 9) = 99y2 - 190y + 99 > 0 "y
f(0) = 7y - 9
f(1) = 18y - 14
 - = 
 a) f(0).f(1) £ 0 Û £ y £ 
 b) Û không tồn tại y
 Vậy Max y = khi t = 0 Þ x = -8.
 Min y = khi t = 1 Þ x = 1.
 Bài 3:[4]
 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
 y = f(x) = x + trên khoảng (0, +¥)
 Giải: y0 là một giá trị của hàm số y = f(x) 
Û pt sau y0 = x + (1) có nghiệm x > 0
(y0 - x)2 = x2 + có nghiệm x > 0
 y02 - 2y0x + x2 = x2 + có nghiệm x > 0
2y0x2 - y02x + 1 = 0 có nghiệm x > 0
Tam thức bậc hai F(x) = 2y0x2 - y02x + 1 = 0 có nghiệm x > 0
 Ta có DF = y04 - 8y0 = y0(y03 - 8)
 Vì y0 = x + > 0, "x > 0 nên DF ³ 0
Û y03 - 8 ³ 0
Û y0 ³ 2
Û 
Þ Tam thức bậc 2 F(x) vó 2 nghiệm khi y0 ³ 2 và lúc đó 2 nghiệm đều dương
Þ f(x) = 2 tại x = 
 Dạng 4: HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
 Bài 1:[1]
 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:
y = (3sinx + 4 cosx)(3cosx - 4 sinx) + 1
 Giải: y = 12 cos2x - 7sinxcosx - 12sin2x + 1
 Û y = 12 cos2x - sin2x + 1
 y0 là một giá trị của hàm số Û 24cos2x - 7sin2x + 2 - 2y = 0 có nghiệm x Î R
Û 242 + (-7)2 ³ (2y - 2)2
Û (2y - 2)2 £ 252
Û -25 £ 2y -2 £ 25
Û £ y £ 
 Lúc đó 
 Bài 2:[4] 
 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
 y = f(x) = , xÎ R
 Giải: Xét hàm số: y = g(x), x Î R Û phương trình sau có nghiệm:
 y0(sinx + 2) = sinx + cosx + 1
Û phương trình: (y0 -1)sinx - cosx + 2y0 - 1 = 0 có nghiệm
Û (y0 - 1)2 + 1 ³ (2y0 - 1)2
Û 3y02 - 2y0 - 1 £ 0
 Û - £ y0 £ 1
 Þ g(x) = 1; g(x) = - 
 Þ Þ f(x) = 1 tại x = 2kp, k Î Z
 Vì f(x) ³ 0 "x Î R và f(x) = 0 Û 
 Bài 3:[2] 
 Tùy theo m, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
 y = f(x) = sin4x + cos4x + msinxcosx ; "x, "m.
 Giải: Ta có: y = f(x) = (sin2x + cos2x)2 - 2sin2xcos2x + msinxcosx
 Û y = f(x) = - sin22x + sin2x + 1
 Đặt: sin2x = t Þ | t | £ 1
 Yêu cầu bài toán bây giờ quy về việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:
 g(t) = - t2 + t + 1 ; " | t | £ 1, "m.
 g(t’) = - t + 
 Xét 3 trường hợp:
 TH 1: £ -1 Û m £ -2
 t	 -¥ -1 1 +¥ 
 g’(t) + 0 - -
 g(t) 
 Þ 
 Þ 
 TH 2: -1 < < 1 Û -2 < m < 2
 t -¥ -1 1 +¥ 
 g’(t) + 0 -
 g(t) 
Þ 
 Þ 
 TH 3: ³ 2 Þ m ³ 4
 t -¥ -1 1 +¥ 
 g’(t) + + 0 -
 g(t) 
Þ 
 Þ ; "m Î [2, +¥) 
 Dạng 5: TÌM 
 VÀ 
 PHƯƠNG PHÁP :
 Xét hàm số :f trên R với m,n
 Gọi : g(x)=là đa thức cơ sở có:
 Trước hết,để dơn giản ta giải quyết bài toán thứ nhất : tìm minqua hai trường hợp:
TH1: 0
 f= 
 Đây là bài toán tầm thường ,ta có ngay kết quả :
S
xS
ys
TH2: >0 và xét bài toán với 
 (khi lập luận tương tự)
 f=
 Khi : ; ta xét ba khả năng cho 
f1(x1)
f1(x1)
O
A
xS
x1
x2
f1(x1)
f1(x2)
O
x2
x1
O
xs
x2
x1
A
f1(x2)
min
 Với 
 min (I)
Khi : ; ta xét khả năng cho 
f2(x2) 
f2(x1) 
O 
x2 
xs 
x1 
S 
f2(x2) 
f2(x1) 
S 
O 
x2 
xs 
x1 
f2(x1) 
f2(x1) 
O 
x2 
xs 
x1 
S 
 min với 
 min(II)
 Kết hợp (I) và (II) cho ta trong mọi trường hợp:
 =min{, } 
 BÀI TẬP :
 Bài 1:[4] 
 Với những giá trị nào của tham số m thì giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y= lớn hơn 1?
 Giải:
 Để ý rằng : f(x) = =0 
 Ta viết : f(x) = 
 f(x) = 
 Áp dụng phương pháp trên (
 = >1
 1<m (ycbt)
 Bài 2: [3]
 Tìm các giá trị của tham số a để cho giá trị lớn nhất của hàm số :
 y = 4ax+ ; lớn hơn 2. 
 Giải :
 Ta viết : f(x) =
 = 
 (1) 
 Nhưng a nên chọn trong (1) ; a = 1 là số nguyên thỏa ycbt
 Bài 3: [4]
 Tìm những giá trị của tham số m để hàm số 
 y = + mx có giá trị lớn nhất bằng 1
 Giải:
 Yêu cầu bài toán tương đương việc quy về tìm sao cho
 f(x) = + mx -1 > 0; x (1)
 Ta có : g(x)=
 nên 
 Ta xét hai trường hợp:
 C TH1: xác đinh m để:
. C TH2: Xác định m để 
 (với )
. TH1 TH2 :cho ta : 1
 Dạng 6: TÌM 
 VÀ 
 PHƯƠNG PHÁP:
 Cũng như ở dạng trước ,Ở đây trình bày phương pháp tìm : 
 với và m>0 (*)
 Các trường hợp khác với (*) cũng lập luận tương tự :
 Để ý rằng khi đặt : f(x) =
 f(x)(1)
(C1)
S2
S1
 Dấu bằng đẳng thức xảy ra khi: x =- f() = +c 
 Ta xét : f(x) = f=
(C2)
(C1)
S2
S1
 Qua các trường hợp sau: 
A
(C2)
Thì : 
(C2)
(C1)
S2
S1
 A 	
 Thì : 
<
 Thì : 
 Vậy : = min
 BÀI TẬP:
 Bài1: [4]
 Tìm m để với mọi x ,ta có: +2
 Giải:
 Xét : +2
 f=
 Gọi là đỉnh của Parabol ( . ta có
 Để ý rằng : 
 >0
 2 (ycbt)
 Bài 2: [3]
 Tìm giá trị của tham số sao cho GTNN của hàm số Biết rằng :
 y = f(x) =
 Giải:
 Để ý rằng : y = f(x)=
 y = f(x) (đẳng thức xảy ra khi x= m) 
 y = f(x)
 Gọi là đỉnh của các Parabol : . Như sau:
 f=
 Để ta xét:
 C TH1: m= 
. C TH2: m=
. C TH3: 
 Kết hợp cả ba trường hợp ta được: -1/2 (ycbt)
 Bài 3: [2]
 Tìm các giá trị của tham số m sao cho: x2 + (m + 1)2 + 2 (1)
 Giải:
 Xét tam thức bậc hai đặc trưng cho (1), ta có:
 f(x) = x2 + (m + 1)2 + 2
 Suy ra f(x) x2 + (m + 1)2 ( dấu đẳng thức xảy ra khi x = m – 1)
 Suy ra f(x) (m – 1)2 + (m + 1)2 = 2(m2 + 1)
 Xét: f(x) = 
 Gọi S1, S2 là các đỉnh của Parabol (P1): y = f1(x); (P2): y = f2(x)
 Ta xét 3 trường hợp như sau:
 CTH1: m – 1 ≤ -1 = m 0 
 Suy ra 
 - 1 ≤ m ≤ 0
 CTH2: m – 1 1 = m 2
 Suy ra 
 m 
 CTH3: -1< m – 1 < 1 0< m < 2 
 Suy ra 
 Bài4: [1]
 Tìm các giá trị của tham số để: ,
 HD:
 Bạn có thể giải bài này bằng cách làm tương tự như những bài trên.
xS