Sáng kiến kinh nghiệm Tính chất các điểm cực trị của đồ thị hàm trùng phương

TÍNH CHẤT CÁC ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG
Các đề thi tuyển sinh vào Đại học và Cao đẳng trong các năm gần đây, chúng ta thường gặp câu khảo sát hàm số và các vấn đề liên quan đến các điểm cực trị của đồ thị hàm số này. Để giúp học sinh ôn thi có hiệu quả, bài viết này đưa ra các tính chất thường gặp của các điểm cực trị của hàm số và một số ứng dụng của nó.
I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT
Xét hàm số trên .
Ta có . Suy ra 
Ở đây chúng ta chỉ xét trường hợp hay gặp là đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phân biệt.
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị phân biệt khi và chỉ khi có ba nghiệm phân biệt hay phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 0 (*)
Với điều kiện (*) ta có . Suy ra đồ thị hàm số có ba điểm cực trị là , và .
Khi đó ta có và .
Sau đây là một số tính chất thường gặp của các điểm cực trị này.
1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Vì nên tam giác ABC là tam giác cân tại A. Suy ra tam giác ABC là tam giác vuông khi và chỉ khi hay tam giác ABC vuông cân tại A. 
Khi đó 
Tính chất 1: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi .

2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
Ta có tam giác ABC là tam giác đều khi và chỉ khi 
.
Tính chất 2: Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều khi và chỉ khi .

3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc cho trước.
Có ba trường hợp xảy ra.
Trường hợp 1: .
 Khi đó tam giác ABC là tam giác tù. Vì tam giác ABC cân tại A nên tam giác ABC có một góc khi và chỉ khi .
Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có 
 .
Trường hợp 2: ( ta đã xét ở tính chất 1)
Trường hợp 3: .
+ Nếu thì , suy ra .
Áp dụng định lý côsin vào tam giác ABC ta có 
.
+ Nếu thì tương tự trường hợp 1, ta có .
Tính chất 3. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc cho trước khi và chỉ khi và
hoặc nếu 
hoặc nếu 
hoặc nếu 
hoặc nếu .

4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn (với O là gốc tọa độ)
Ta có .
Tính chất 4. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn điều kiện (với O là gốc tọa độ) khi và chỉ khi .

5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính diện tích tam giác đó.
Gọi H là giao điểm của BC với trục Oy thì AH là đường cao của tam giác ABC. Khi đó H có tọa độ . Suy ra .
Vậy diện tích tam giác ABC là .
Tính chất 5. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích là S cho trước khi và chỉ khi .

6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Gọi R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là giao điểm của BC với trục Oy. Khi đó H có tọa độ là và . 
Từ tam giác vuông AHC, ta có .
Áp dụng định lý sin vào tam giác ABC ta được 
Suy ra .
Tính chất 6. Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp là R khi và chỉ khi .

II. ỨNG DỤNG
Ví dụ 1. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2012 khối A và khối A1)
Cho hàm số (1), với m là tham số thực.
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Lời giải. 
Áp dụng tính chất 1, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông khi và chỉ khi 
Ví dụ 2. (Câu 1 đề thi TSĐH năm 2011 khối B)
Cho hàm số (1), m là tham số. 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho ; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 4, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho khi và chỉ khi .
Ví dụ 3. Cho hàm số (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị là R khi và chỉ khi 
. Suy ra .
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương, ta có
 .
Vậy .
Ví dụ 4. Cho hàm số (1)
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính bằng 1.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 6, đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và đường tròn đi qua ba điểm này có bán kính R khi và chỉ khi hay 
Theo đề bài ta có , suy ra 
. Đối chiếu với điều kiện ta được , .
Ví dụ 5. Cho hàm số 
Với những giá trị nào của m thì đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
Lời giải.
Áp dụng tính chất 2, đồ thị có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời các điểm 
cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều khi và chỉ khi 
 . 
Ví dụ 6. Cho hàm số 
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng .
Lời giải.
Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc khi và chỉ khi .
Ví dụ 7. Cho hàm số .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. 
Lời giải. 
Theo tính chất 5, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích khi và chỉ khi 
 . 
Ví dụ 8. Cho hàm số .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng .
Lời giải 
Theo tính chất 3, đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác cân có một góc khi và chỉ khi ta có hai trường hợp sau
+ Nếu góc ở đỉnh thì (1)
+ Nếu góc ở đáy thì (2)
Ta có (1) 
Và (2) 
 .
Vậy khi hoặc thì đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng .
III. BÀI TẬP 	
Bài tập 1. Cho hàm số .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác đều.
 ĐS: 
Bài tập 2. Cho hàm số .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có một góc bằng . ĐS: hoặc 
Bài tập 3. Cho hàm số (1)
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác tạo bởi các điểm cực trị đó đạt giá trị nhỏ nhất
 ĐS: 
Bài tập 4. Cho hàm số (1), m là tham số. 
Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho ; trong đó O là gốc tọa độ , A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
 ĐS: 
Bài tập 5. Cho hàm số .
Tìm m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác có diện tích bằng 32. 
 ĐS: 
 IV. KẾT LUẬN
	Bài viết này đã nêu ra 6 tính chất của các điểm cực trị của đồ thị hàm số
 và một số ứng dụng của chúng. Hy vọng rằng bài viết này cung cấp cho các bạn một tài liệu để giảng dạy và ôn tập cho học sinh lớp 12 thi vào các trường Đại học và Cao đẳng có kết quả. Cuối cùng tác giả mong đón nhận được sự góp ý chân thành của các bạn và xin chúc các bạn sức khỏe, hạnh phúc và thành đạt.
	Trân trọng cám ơn.
 Nguyễn Văn Thiết
MỤC LỤC
Mở đầu ..trang 1
I. Cơ sở lý thuyết .. 1
	1) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một 
 tam giác vuông. . 1
	Tính chất 1
	2) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một 
 	 tam giác đều. . 1
 	Tính chất 2
	3) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một 
 tam giác cân có một góc cho trước.2
	Tính chất 3
	4) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C thỏa mãn 
 (với O là gốc tọa độ) . 2
	Tính chất 4
	5) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một 
 tam giác và tính diện tích tam giác đó... 2
	Tính chất 5 
	6) Điều kiện để ba điểm cực trị A, B, C tạo thành ba đỉnh của một 
 tam giác và tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 3
	Tính chất 6
II. Ứng dụng 
	Ví dụ 1. 3
	Ví dụ 2  3
	Ví dụ 3  4
	Ví dụ 4  4
	Ví dụ 5  4
	Ví dụ 6  5
	Ví dụ 7 .... 5
	Ví dụ 8  5
III. Bài tập
	Bài tập 1 . 6 
	Bài tập 2 . 6
	Bài tập 3 . 6
	Bài tập 4 . 6
	Bài tập 5 . 6
IV. Kết luận ... 7
Mục lục . 8
	Nhận xét của BGH. 9
PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC TRƯỜNG
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
Xếp loại: .......................................................................
 Ngày .........tháng..........năm ...........
PHẦN ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG KHOA HỌC SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ
................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................
 Ngày .........tháng..........năm ...........