Sáng kiến kinh nghiệm Sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số

LỜI NÓI ĐẦU.
B
ất đẳng thức là một chuyên đề hay và đặc sắc của toán học sơ cấp đã đựoc đưa vào dạy và học rộng rãi ở các trường phổ thông trung học.Trong các kỳ thi học sinh giỏi các cấp ,kỳ thi tuyển sinh vào đại học, cao đẳng không bao giờ vắng mặt các bài toán về bất đẳng thức. Tuy nhiên phải nhận thấy rằng các bài toán chứng minh bất đẳng thức là các bài toán khó bởi lẽ nó không có một phương pháp chính thống nào để giải đựợc tất cả các bài toán bất đẳng thức cũng như nó đòi hỏi người học phải có kiến thức vững chắc và một số kỹ năng giải toán nhất định. Hiện nay tài liệu viết về bất đẳng thức cũng khá đa dạng theo nhiều hướng giải quyết sử dụng các công cụ khác nhau. Với ý tưởng sử dụng công cụ đạo hàm trong khảo sát hàm số, chúng tôi mạnh dạn lựa chọn và thực hiện đề tài này với mục đích đóng góp một phần công sức nho nhỏ và việc tuyển chọn và chứng minh một số bất đẳng thức bằng phương pháp hàm số .Hi vọng cuốn tiểu luận này sẽ là một tài liệu bổ ích cho bạn đọc.
Cuốn tiểu luận chia làm 4 chương:
 Chương I: ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
 Chương II: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC.
 Chương III: TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC 
 Chương IV: ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG 
Mỗi chương đều được trình bày theo 2 phần: lý thuyết và hệ thống bài tập .Cuối mỗi chương đều có phần bài tập tương tự và nâng cao nhằm mở rộng và đào sâu kiến thức.
Cuốn tiểu luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn đầy nhiệt tình của thầy giáo Dương Thanh Vỹ cùng với sự nỗ lực rất lớn của tất cả các thành viên trong nhóm.Nhân đây chúng em xin chân thành cảm ơn thầy.
 Quy Nhơn,ngày 03 tháng 12 năm 2009.
 Nhóm thực hiện.
MỤC LỤC
 Nội dung .Trang 
LỜI NÓI ĐẦU	
MỤC LỤC
Chương I: 	.
ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 3 
Chương II: 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC .15 Chương III: 
TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC..32 
Chương IV: 
ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG ...38
KẾT LUẬN CHUNG 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO...43 
CHƯƠNG I
ĐẠO HÀM VÀ ÁP DỤNG XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ.
I.Lý thuyết:
 1.Đạo hàm:
 a.Định nghĩa:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên khoảng và .
Ký hiệu : :số gia của đối số tại x0.
 :số gia của hàm số tại .
Nếu tồn tại (hữu hạn) giới hạn: thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm tại và giới hạn đó chính là đạo hàm của f(x) tại .
Ký hiệu: hoặc 
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại mọi điểm của khoảng (a,b) thì ta nói hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b).
 b.Định lý:( điều kiện cần của đạo hàm)
Nếu hàm số f(x) có đạo hàm tại thì f(x) liên tục tại . Và do đó nếu hàm số f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) thì nó liên tục trên khoảng (a,b).
 Chứng minh: 
Thật vậy : Vì f(x) có đạo hàm tại nên tồn tại =. Từ đó suy ra:
 Tức là f(x) liên tục tại .
Lưu ý:Điều ngược lại của định lý nói chung là không đúng ,chẳng hạn hàm liên tục tại 0 tuy nhiên nó không có đạo hàm tại 0.
 c.Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:
 2.Ứng dụng đạo hàm xét tính đơn điệu của hàm số:
 a.Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a,b).
Hàm số f(x) được gọi là đồng biến(tăng) trên khoảng (a,b) nếu 
Hàm số f(x) được gọi là nghịch biến(giảm) trên khoảng (a,b) nếu 
Ví dụ: là những hàm đồng biến trên miền xác định của nó.
 là những hàm nghịch biến trên miền xác định của nó.
 b.Định lý:
Giả sử f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b).Khi đó:
Nếu thì f(x) đồng biến trên khoảng(a,b).
Nếu thì f(x) nghịch biến trên khoảng(a,b).
II.Hệ thống bài tập minh họa:
Như vậy sử dụng đạo hàm ta có thể xét tính đơn điệu của hàm số và từ đó áp dụng vào giải quyết một số bài toán chứng minh bất đẳng thức.Sau đây là một số ví dụ minh họa.
Bài 1[3]. Chứng minh rằng: Ta có: 
 .
 Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
.
 Xét hàm số:f(x)=xsinx+2cosx ,x.
Suy ra : f’(x) nghịch biến trên 
Do đó f(x) nghịch biến trên (0,).
Theo giả thiết nên 
(đpcm).
Bài2:[9] Chứng minh rằng: sinx > .
Giải :
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với : 
Xét hàm số . Ta có:
(với g(x)=xcosx-sinx ).
Ta có : g’(x)=-xsinx<0, .
Suy ra g(x) nghịch biến trên khoảng 
Do đó g(x)<g(0)=0.
Suy ra :f’(x)=<0, .Hay f(x) là hàm giảm trên .
Suy ra(đpcm).
Bài 3:[3] Chứng minh rằng :ta có :arctanx-
Giải:
Ta đưa bất đẳng thức cần chứng minh về dạng: arctanx.
Xét hàm số: f(x)=arctanx- trên đoạn ,ta có:
f’(x)=.
Suy ra f(x) nghịch biến trên .
 hay: arctanx.(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.
Bài 4:[3] Chứng minh rằng :.
Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với bất đẳng thức sau:
.
Xét hàm số: f(x)= .Ta có:
f’(x)=
f’’(x)=
Vì hàm y=cosx nghịch biến trên và x<x , nên .
f’’(x)>0, .
f’(x) đồng biến trên .
Do đó f(x) đồng biến trên cho nên f(x)>f(0)=0, .
.(đpcm)
Bài 5[9] :Chứng minh rằng :Với mọi x>0,ta có:
Giải:
Xét hàm f(x)=-x+sinx trên khoảng , ta có:
f’(x)=
f’’(x)=x-sinx.
f’’’(x)=1-cosx>0,.
hay (*)
Mặt khác xét hàm g(x)=,x>0. Tương tự ta cũng có:
Theo chứng minh trên ta có :g”(x)=f(x)>0,x>0.Do đó g’(x) đồng biến trên .
g’(x)>g’(0)=0 ,x>0.Do vậy g(x) lại đồng biến trên .
Suy ra :g(x)>g(0), x>0
Hay sinx < (**)
Kết hợp (*) và (**) ta có đpcm.
Bài 6:[5] Chứng minh rằng: nếu thì 
Áp dụng:
a, Cho 0<a<b<1.Chứng minh rằng :tan(ab)<tana.tanb
b,Cho .Chứng minh rằng: 
Giải:
Xét hàm số: f(x)=.Ta có:
f’(x)=.
Ta biết rằng sin2x0.Từ đó suy ra:f’(x)>0,,tức là f(x) đồng biến trên .Kết hợp giả thiết suy ra hay
Áp dụng:
a.Từ gt 0<a<b<1 suy ra :0<ab<a<b<.Áp dụng kết quả trên ta có: (*).
Lại vì:00) (**)
Kết hợp (*) &(**) ta có: tan(a.b)<tana.tanb (đpcm).
b.Từ gt suy ra: 
Áp dụng kết quả trên suy ra:(đpcm).
Bài 7 [5]:Chứng minh rằng : 
Giải:
Xét hàm số: >0.Ta có:
 =.
>0.Suy ra f’(x) là hàm tăng trên nên f’(x)>f’(0)=ln1=0
Vậy f(x) cũng là hàm tăng trên .Suy ra:
f(x)>f(0)=0,,x>0(đpcm).
Bài 8 [9]:Chứng minh rằng: .(*)
Giải:
Ta xét 2 trường hợp sau:
Nếu 1>y>x>0 thì (*)
 .(1)
Nếu 1>x>y>0 thì (*)
 . (2) 
Xét hàm số : . Ta có:
 .
Suy ra f(t) đồng biến trên khoảng (0,1).Do đó:
Nếu 1>y>x>0 thì f(y)>f(x) tức là (1) đúng.
Nếu 1>x>y>0 thì f(x)>f(y) tức là (2) đúng.
Tóm lại (*) đúng với mọi x,y(đpcm)
Bài 9 :[0]Chứng minh rằng với mọi x>0,ta có:
Giải:
Xét hàm số :f(x)= Ta có:
Do vậy f(x) là hàm đồng biến trên .
Hay (đpcm)
Bài 10[9]:Chứng minh rằng : .(*)
Giải:
Vì lnx là hàm đồng biến nên từ gt suy ra: lnx>lny hay lnx-lny>0.
Do vậy : (*)x>y>0.
 x>y>0.(**)
Đặt t=>1, ta có:(**)
Xét hàm f(t)= .Ta có:
Suy ra f(t) là hàm đồng biến trên 
 Do đó:f(t)>f(1)=0, .
Từ đó suy ra đpcm.
Bài 11[5]: Chứng minh rằng nếu ABC là tam giác nhọn thì
 sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC >.
Giải:
Vì tam giác ABC nhọn cho nên :
Xét hàm số f(x)=sinx+tanx-2x trên .
Ta có :.
f(x) đồng biến trên khoảng .Do đó f(x)>f(0),
.
Lần lượt xét x=A,B,C sau đó cộng vế theo vế ta có:
sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC>2(A+B+C)=2.(đpcm)
Bài 12[5]:Cho a,b,c>0.Chứng minh rằng:
 (*)
Giải:
Trước hết ta có nhận xét bất đẳng thức trên là một bất đẳng thức đẹp và có thể giải theo nhiều cách. Ở đây theo phương pháp sử dụng tính đơn điệu của hàm số ta có thể làm như sau:
Lấy logarit Nepe hai vế (*) ta có:
. (**)
Vì hàm f(x)=lnx đồng biến trên khoảng cho nên bất đẳng thức (**) là đúng.Từ đó suy ra (*) cũng đúng.(đpcm)
Bài 13[5]: Chứng minh rằng :.
Giải:
Ta có .
.
Mà .Suy ra:
(đpcm)
Bài 14: (Đề thi tuyển sinh đại học khối D-2007)
 Chứng minh rằng:(*)
Giải:
(*)
 .
Xét hàm số .
Ta có: .
Suy ra f(x) nghịch biến trên ,do đó .
Từ đó suy ra đpcm.
Tổng quát: Cho a,b,x,y là các số dương; x>y
 Chứng minh rằng:(*)
Giải:
(*)
Đặt b/a =c >0
(**)
 (***)
Xét hàm số :f(t)=
Ta có f’(t)=
Rõ ràng f’(t)0,suy ra f(t) nghịch biến trên (0;+)
Theo giả thiết x>y>0 nên (***) đúng(đpcm)
Bài 15[10]:Cho x,y>0,thỏa mãn x+y=1
 Chứng minh rằng:
Giải:
 A=
Đặt t=
Xét hàm số f(t)=t+1/t+2 ,với t(0,1/16]
,ta có
.Thật vậy
Vì 0<
Do đó f(t) nghịch biến trên (0,1/16]
Suy ra f(0)>f(t)f()=18
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t=.
Theo gt x+y=1(x,y>0) nên x=y=1/2
Bài 16[2]: Chứng minh rằng .
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: .Ta chuyển về chứng minh :
 >
.
Xét hàm số f(x)=2sinx+tanx-3x trên . Ta có:
,
Suy ra f(x) đồng biến trên .Do đó f(x)>f(0), .(đpcm).
Bài 17 [5]:Chứng minh rằng :.
Áp dụng: Cho dãy () được xác định như sau:
 .
Tìm .
Giải:
Xét hàm số f(x)=x-ln(1+x) và g(x)=ln(1+x)-x +,.
Ta có: .
Suy ra f(x) tăng trên ,do đó f(x)>f(0)=0, 
.(*)
Lại có:.
Suy ra g(x) cũng là hàm tăng trên (0;+),do vậy g(x)>g(0)=0, 
.(**)
Kết hợp (*)&(**) ta có đpcm.
Áp dụng:
Áp dụng bất đẳng thức vừa chứng minh lần lượt với x= sau đó cộng vế theo vế ta có:
.
Qua giới hạn và sử dụng định lý kẹp ta có :.
Bài 18:[1] Chứng minh rằng a,b là những số dương bất kì,còn c là thông số bất kì âm,thì
Giải:
Bất đẳng thức chứng minh tương đương với (#)
Đặt f(x)=với x0
Ta có f’(x)=
-Nếu x:Khi đó f’(x)<0,do đó f(x) là hàm giảm ngặt trong khoảng này.Mặt khác f(x) liên tục [0,-c] nên tất cả các giá trị nằm từ f(-c)=0 đến f(0)=.Vì vậy với (*)
Có đẳng thức f(x)=0 chỉ khi với x=-c
-Nếu x>-c :Khi đó f’(x)>0 , do đó f(x) là hàm tăng ngặt trong khoảng (-c,+).Vì vậy f(x)f(-c) với x-c(**)
Đẳng thức chỉ có với x=-c
Vì a/b >0 nên theo (*)&(**) ta được (#) đúng
Đẳng thức xảy ra khi a/b=-c
Bài 19:[9] Cho 4 số dương a,b,c,d.Chứng minh rằng: 
>0
Giải:
Không mất tính tổng quát ta giả sử 
Xét hàm số f(a)= ,với a>0
Ta có f’(a)=
 f”(a)= >0
Suy ra f’(a) đồng biến trên (0,+)
Vì ab nên f’(a) f’(b)
Mặt khác ta có f’(b)= 0 nên f(a) đồng biến trên (0,+)
Do a>0 nên f(a)>f(0)=0(đpcm)
III.Bài tập đề nghị:
Bài 1[2].Chứng minh rằng: ,ta có:
a. sinx > x
b.tanx < x
c.cosx <.
Bài 2[2].: Chứng minh rằng với mọi x>0 ,ta có:
a.lnx <
b.1+2lnx <
c.ln(1+)<2x.arctanx
Bài 3[2]:Chứng minh rằng
Bài 4[3]: Chứng minh rằng:.
Hướng dẫn:Làm tương tự như bài 15
Bài 5[3]: Chứng minh rằng ta luôn có:
 .
Hướng dẫn:
Dễ thấy -2x+2>0, .
Nếu xo thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng
Nếu x>0 ,xét 2 hàm ,.
Hãy chứng minh rằng .Từ đó suy ra đpcm.
Bài 6[2]: Chứng minh rằng 
Bài 7[9]:Chứng minh rằng :.
Hướng dẫn:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: ,a>b>e.
Xét hàm f(x)=.Chứng minh f(x) là hàm nghịch biến ,từ đó hãy suy ra đpcm.
Bài 8:(Đề thi tuyển sinh trường đại học Quy Nhơn)
Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng:
Bài 9[2] : Chứng minh rằng sin 20 >1/3
Hướng dẫn:
Sin60=3sin20-4
Do đó sin20 là nghiệm của phương trình 3x-4=
Xét hàm số f(x)= 3x-4
Bài 10[2]:Cho tam giác ABC nhọn ,chứng minh rằng:
 2(sinA+sinB+sinC)+(tanA+tanB+tanC)>3.
Hướng dẫn:
 Xét hàm f(x)=2sinx+tanx-3x , x.
CHƯƠNG II 
CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC.
I.Lý thuyết:
 1.Định nghĩa:
Cho hàm số f(x) xác định trên tập D và D. Khi đó:
 a. được gọi là một điểm cực đại của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a,b) chứa sao cho D sao cho :\{}. Và khi đó ta nói f() là giá trị cực đại của hàm số f.
 b. được gọi là một điểm cực tiểu của hàm số f nếu tồn tại một khoảng (a,b) chứa sao cho D sao cho :\{}. Và khi đó ta nói f() là giá trị cực tiểu của hàm số f.
 c.Điểm cực đại và cực tiểu gọi chung là điểm cực trị của hàm số
Giá trị cực đại và giả trị cực tiểu gọi chung là cực trị của hàm số.
Điểm () gọi là điểm cực trị của đồ thị của hàm số f.
 2.Định lý:
 a.Định lý 1:(điều kiện cần của cực trị)
Giả sử hàm số f có đạo hàm tại .Khi đó nếu f đạt cực trị tại thì .
Chú ý: Điều ngược lại nói chung là không đúng,tức là nhưng f không đạt cực trị tại . Và hàm số f có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó hàm số không có đạo hàm.
 b.Định lý 2:(điều kiện đủ thứ 1)
Giả sử f liên tục trên (a,b) chứa và có đạo hàm trên các khoảng (a, ) và (,b).Khi đó:
Nếu f’(x)0, thì f đạt cực tiểu tại .
Nếu f’(x)>0, và f’(x)<0, thì f đạt cực đại tại 
 c.Định lý 3:(điều kiện đủ thứ 2)
Giả sử f có đạo hàm cấp 1 trên khoảng (a,b) chứa điểm , f’()=0 và f có đạo hàm cấp hai tại khác 0. Khi đó:
Nếu f’’()<0 thì hàm số f đạt cực đại tại .
Nếu f’’()>0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại .
 3.Nhận xét:
Giá trị cực đại (cực tiểu) của 1 hàm số nói chung không phải là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f trên tập hợp D.Tuy nhiên nếu hàm số f liên tục trên [a,b] và chỉ có một giá trị cực đại (cực tiểu) duy nhất thì giá trị đó cũng là giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của hàm số f.
II.Hệ thống bài tập minh họa:
Bài 1[6]:Chứng minh rằng với mọi giá trị của x ta đều có: .
Giải:
Xét hàm f(x)= . Ta có:
 .
.
Bảng biến thiên :
	f’(x)	0	+
	f(x)	
Như vậy f đạt cực tiểu là tại x=.Từ đó suy ra :(đpcm)
Bài 2[9]:Chứng minh rằng với mọi số thực x ta luôn có:
 .
Giải:
Đặt t=sinx+cosx ,.Khi đó:
Sin2x=.
.
Do đó: =:=f(t)
Ta có : .
.
Bảng biến thiên :
 t	0	 1	
	f’(t)	+	0 	0 +	 0	 
	3	 3
	f(t)	
Do vậy : .Từ đó suy ra đpcm.
Bài 3[4]: Cho tam giác ABC có .Chứng minh rằng:
 . (*)
Giải:
(*)
Từ giả thiết suy ra hay .
Đặt t=cosC, .
Ta xét hàm : .
Bảng biến thiên:
 t	0	 	1	+
	+	 0	 	0	+
 3
	 0	
Từ bảng biến thiên ta suy ra ,.Từ đó suy ra đpcm.
Bài 4[6]: Cho ,Chứng minh rằng: .
Giải:
Xét hàm f(x)= . Ta có:
 .
.
Dù n chẵn hay lẻ ta đều có hay .
Bài 5[6]: Chứng minh rằng :(bất đẳng thức Bernoulli).
Giải:
Xét hàm f(x)= Ta có:
 .
Bảng biến thiên:
 x	0	1	+
	+	 0	
	 0
Từ đó suy ra f(x)f(1)=0 hay Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.(đpcm)
* Một số dạng khác của bất đẳng thức Bernoulli:
i. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.
ii.. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.
iii. . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=1.
iv.. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=a.
v. . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=a.
Bài 6[5]: Tìm m để cho :.(*)
Giải:
Xét hàm số :f(x)= .Ta có:
 .
 .
Bảng biến thiên:
 x	1
 	+	 0	
	-1	1
Suy ra :.Như vậy ta chỉ cần chọn m ta có (*).
Bài 7[8]:Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:
 .
Giải:
Trước hết ta thấy rằng đây là một bất đẳng thức trong tam giác rất cơ bản và cũng có rất nhiều cách để làm.Sau đây chúng tôi chỉ trình bày một cách giải bằng phương pháp hàm số,bạn đọc có thể giải hoặc tìm đọc trong các tài liệu khác để làm phong phú thêm phép chứng minh .
Ta có : cosA+cosB+cosC=.(*)
Vì cos1,cos,nên cosA+cosB+cosC
Do vậy ta xét hàm .
.
.
 x	 0	
 	+	 0	
 f(x)	 
 	 1	1
Suy ra :, do đó .(**)
Kết hợp (*)&(**) suy ra : .
Dấu đẳng thức xảy ra đều.
Nhận xét:Qua phép chứng minh trên ,ta nghĩ tới lớp các bất đẳng thức tam giác ma dấu đẳng thức xảy ra khi tam giác đều chúng liên quan đến các lớp hàm số có đạo hàm phụ thuộc vào 2cosx-1,cosx –sin(x/2),hoặc 2sinx -(vì đạo hàm bằng 0 khi x=)
Ví dụ:Xuất phát từ f’(x)=
Xét=cotx-
Ta đặt f(x)=cotx -
 x	 0	
 	+	 0	
 f(x)	 
Suy ra max f(x)=f()=-
Do đó cotA --
 cotB --
 cot C--
Cộng các vế của 3 bất đẳng thức trên ta được
cotA+cotB+cotc+32(
Như vậy bằng con đường trên bạn đọc tìm ra nhiều bất đẳng thức lượng giác
Bài8 [8]:Cho tam giác ABC,chứng minh rằng:
1+cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA(cosA+cosB+cosC)+cosAcosBcosC. (*)
Giải:
(*) (1).
Mặt khác : cosA+cosB+cosC=1+4>1.
Và cosA+cosB+cosC nên từ đó suy ra:
 1< cosA+cosB+cosC.Khi đó (1) tương đương với :
 . (2)
Đặt t= cosA+cosB+cosC, 1<t.
Xét hàm , ta có:
.
Suy ra f(t) đồng biến trên 1<t, do đó . Như vậy (2) đúng từ đó suy ra bất đẳng thức ban đầu cũng đúng.
Dấu đẳng thức xảy ra cosA+cosB+cosCABC đều.
Bài 9[4]: Cho a,b,c là 3 số dương thõa điều kiện:.chứng minh rằng:
 (*)
Giải:
Vì nên 0<a,b,c<1. 
Xét hàm Ta có:
Bảng biến thiên
 t	0	 1
 	+	 0	 
 f(t)	
 0 0
Suy ra .Do đó:
Tương tự: 
 .
Cộng vế các bất đẳng thức trên ,sử dụng giả thiết ta có:
(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra .
Bài 10[4]: Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để là 
 .
Giải:
Xét hàm , ta có:
 .
Bảng biến thiên:
 x	 	
	 0	+
Như vậy . Do đó:
(đpcm)
Bài 11[6]: Cho và .Chứng minh rằng: 
Giải:
Từ gt suy ra và .Do đó:
Xét hàm f(x)= ,. Ta có:
 .
Bảng biến thiên:
 x	0	1	
 	 + 0	 _ 0	
	2	
Suy ra do đó .(đpcm)
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y=1.
Bài 12 [5]: Cho và .Chứng minh rằng:
 .
Giải:
Xét hàm số .
 .
 .
Lại có: .
Do đó là cực tiểu duy nhất nên nó cũng là giá trị nhỏ nhất của hàm số hay nói cách khác: .
Chọn x=a , c=a+b>0 ta có : .
Nếu a+b=0 và n lẻ hoặc a=b hoặc n=1 thì bất đẳng thức vẫn đúng.
Tóm lại : , và .
Dấu đẳng thức xảy ra 
Bài 13[5]: Cho x,y,z là các số thực không âm thỏa x+y+z=1. Chứng minh rằng:
 .
Giải:
Không mất tính tổng quát có thể giả sử .
Do x+y+z=1 suy ra .
Đặt S==x(y+z)+yz(1-2x).
Ta có: 0<S= x(1-x)+yz(1-2x) x(1-x)+(1-2x) 
 = x(1-x)+(1-2x)=.
Xét hàm f(x)= ,.Ta có:
=0
Bảng biến thiên:
x 	0	
 	+
Từ đó suy ra :
.(đpcm)
Bài 14 [5]:Cho a.b,c là 3 số tùy ý thuộc đoạn [0,2] và thõa a+b+c=3.Chứng minh rằng:
Giải:
Tương tự như bài 13 ta giả sử :.Vì a+b+c=3 và 0 nên suy ra .
Đặt S=.
Xét hàm f(c)= ,.Ta có:
 f’(c)=4c-6=0.
Bảng biến thiên:
 c	1	2
f’(c)	 	0	 +
	5	5
f(c)	
Như vậy :.Suy ra : (đpcm)
Bài 15[5]: Chứng minh rằng với mọi x ,ta luôn có:
Giải:
Ta có: 
 =.
Đặt t=tanx, xét hàm .Ta có:
.
.
Bảng biến thiên:
t	
f(t)	+	0	0	+
	1
f(t)	1	
Như vậy :.Tư đó suy ra:
 (đpcm)
Bài 16 [5]:Chứng minh rằng với mọi x ta có: .
Giải:
Trước hết ta thấy rằng :
.Tức là sinx+cosx+2>0,.
Đặt t=tan.
Khi đó : .
Xét hàm f(t)= ,.Ta có:
 .
Bảng biến thiên:
 t 	3	0	
 f’(t)	 0	+	0	
	1	
 f(t)	
Như vậy :. Từ đó suy ra: ,(đpcm)
Bài 17 [5]: Cho Chứng minh rằng với mọi x1 ta có:
 .
Giải:
Xét hàm số: f(x)= với x1.Ta có:
.
Vì .
Hay f’’(x) 0, tăng trên .
Lại vì :.
Vậy f’(x)0,
Suy ra f(x) tăng trên [1,+ .
Mà .
Do đó: ,(đpcm)
Bài 18[5]: Chứng minh rằng nếu n là một số tự nhiên chẵn và a là một số lớn hơn 3 thì với mọi x ta có: 
Giải:
Xét hàm số: f(x)= , ,n chẵn, a>3.
Ta có :.
Để ý rằng do n chẵn nên f’(x) không đổi dấu khi đi qua x=0, ta có bảng biến thiên như sau:
 x	0	3	
f’(x)	0	0	+
f(x)	
Như vậy , (vì a>3).Từ đó suy ra:
 .(đpcm)
III.Bài tập đề nghị:
Bài 1[8]:Cho ABC ,chứng minh rằng:.
Bài 2[8]: Cho ABC nhọn ,chứng minh rằng:
.
Bài 3[7]: Chứng minh rằng :.
Bài 4[11]: Cho a,b,c là 3 số thỏa =1.Chứng minh rằng:
 .
Bài 5[11]:Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:
.
 Hướng dẫn:
Bài 1,bài 2:Xét hàm số:
Bài 3: Viết ,. Đặt t=,sau đó xét hàm .
Bài 4: Phân tích: .
Để ý rằng =1(gt) và 
Đặt x=a+b+c ,() xét hàm f(x)=.
Bài 5: Bài toán đưa về chứng minh bất đẳng thức :
.
Xét , ,.Từ đó suy ra đpcm.
CHƯƠNG III
TÍNH LỒI LÕM CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG VÀO BẤT ĐẲNG THỨC.
I,Lý thuyết:
 1.Định nghĩa:
Cho hàm số y=f(x) xác định trên D và có đồ thị (C).Ta nói:
a.Đồ thị (C) của hàm số f là lồi trên (a,b)D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía trên đồ thị.
b. Đồ thị (C) của hàm số f là lõm trên (a,b)D nếu tiếp tuyến của (C) tại mỗi điểm của nó đều nằm phía dưới đồ thị.
c.Nếu đồ thị của hàm số lồi và lõm trên từng khoảng xác định của nó thì điểm phân cách giữa phần lồi và phần lõm của nó được gọi là điểm uốn của đồ thị.
 2.Định lý:
 a.Định lý 1:
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a,b) nào đó. Khi đó:
i.Nếu f’’(x)<0,(a,b) thì đồ thị hàm số f lồi trên khoảng (a,b).
ii.Nếu f’’(x)>0,(a,b) thì đồ thị hàm số f lõm trên khoảng (a,b).
 b.Định lý 2:
Giả sử hàm số f có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng (a,b) và . Khi đó nếu và f’’(x) đổi dấu khi qua thì điểm là một điểm uốn của đồ thị hàm số f.
 3.Tính chất của hàm lồi ,lõm, bất đẳng thức Jensen:
 a.Tính chất của hàm lồi:
Hàm số f được gọi là lồi trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lõm trên khoảng đó.
Như vậy: Hàm số f lồi trên khoảng (a,b)
 	 Bất đẳng thức Jensen: Nếu hàm số f lồi trên khoảng (a,b) thì
	f(b)	 với mọi , ta có:
(f(a)+f(b))/2 	 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
 Tổng quát :
 f(a) 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==.
	-	
	0	a 	b	x	
 b.Tính chất của hàm lõm:
Hàm số f được gọi là lõm trên khoảng (a,b) nếu nó có đồ thị lồi trên khoảng đó.
Như vậy: Hàm số f lõm trên khoảng (a,b)
 y	 Tính chất: nếu hàm số f lõm trên khoảng (a,b) thì 
	f(b)	 với mọi , ta có:
 (f(a)+f(b))/2 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
 	 Tổng quát :
 f(a) 
 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi ==.
	-	
	0	a 	b	x	
Như vậy sử dụng bất đẳng thức Jensen ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán bất đẳng thức có dạng hoặc có thể đưa được về dạng như trên và ngược lại chỉ cần chọn hàm thích hợp ta có thể tạo ra hàng loạt các bất đẳng thức thuộc dạng này.Sau đây là một số ví dụ minh họa.
II.Hệ thống baì tập minh họa:
Bài 1[2]: Chứng minh rằng với mọi x,yta có:.
Giải:
Xét hàm số f(x)=, ta có: f’(x)=2x ; f’’(x)=2>0.
Suy ra f là hàm lồi trên R ,do đó: hay .
Tổng quát :
Xét hàm f(x)=.Ta có: .Từ đó suy ra đpcm.
Bài 2 [2]: Chứng minh rằng với mọi x,y>0 ta có:.
Giải:
Xét hàm f(x)=lnx , x>0.Ta có:.
Suy ra f(x) là hàm lõm trên (0,),do đó: hay .Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Bài 3[2]:Chứng minh rằng :.
Giải:
Ta xét hàm f(x)=sinx trên đoạn ta có:
f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx.Suy ra f là hàm lõm trên đoạn do đó:
 hay .
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x=y.
Bài 4[5]: Cho f là hàm lõm (đồ thị lồi) trên khoảng (a,b) .Giả sử p,q là hai số dương bất kỳ và .Chứng minh rằng:.
Giải:( phưong pháp vectơ )
Giả sử M và N thuộc đồ thị của hàm số f .Gọi Ilà điểm thỏa mãn hệ thức vectơ :.Khi đó ta có hệ:
Vì f là hàm lõm nên .
 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Tưong tự nếu f là hàm lồi trên (a,b) thì .
Bài 5 [5]: Cho 3 số dương a,b,c.Chứng minh rằng:
Giải:
Lấy logarit tự nhiên hai vế ta có:
.
Xét hàm số f(x)=xlnx , x>0 .Ta có:
f’(x)=lnx+1 ; f’’(x)=.Suy ra f(x) là hàm lồi trên và do đó:
 (*)
Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM ta có:
Do lnx là hàm đồng biến nên suy ra: (**)
Kết hợp (*)&(**) suy ra: 
 (đpcm)
Nhận xét :Đây là một bất đẳng thức khá hay và có thể giải bằng nhiều cách khác,chẳng hạn dùng bất đẳng thức Chebyshev.Bạn đọc có thể làm thử hoặc tìm thêm cách giải khác hay hơn,
Bài 6[5]: Cho bốn số dương a,b,x,y.Chứng minh rằng:
.
Giải:
Tương tự bài 5 ta cũng xét hàm f(x)=xlnx và có f(x) là hàm lồi với mọi x>0.Áp dụng kết quả bài 4 ta có:
 ,
Chọn ta có:
(đpcm)
Bài 7 [5]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có:
 sinA+sinB+sinC
Giải:
Xét hàm f(x)=sinx trên khoảng (0,) ta có:
f’(x)=cosx ; f’’(x)=-sinx<0,.
Suy ra f(x) là hàm lõm trên khoảng (0,) và hiển nhiên 0<A,B,C<cho nên :
Dấu đẳng thức xảy ra ABC đều.
Bài 8[5]: Chứng minh rằng nếu ABC là tam giác nhọn thì:
 tanA+tanB+tanC .
Giải:
Vì tam giác ABC là tam giác nhọn nên 0<A,B,C<.
Xét hàm f(x)=tanx , 0<x<.Ta có:
 ; 
Suy ra f(x) là hàm lồi trên , do đó:
.
Dấu đẳng thức xảy ra ABC đều.
Bài 9[2]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
 .
Giải:
Xét hàm số: f(x)=, ta có:
f’’(x)=2>0,.
Suy ra f(x) là hàm lồi trên R, do đó:
.
Chọn ta được:
(*)
Mặt khác : ,do đó 
(*)
Tổng quát : .Việc chứng minh hoàn toàn tương tự như trên.
Bài 10[6]: Cho A,B,C là ba góc của một tam giác .Chứng minh rằng:
 .
Giải:
Xét hàm .
Ta có: f’’(x)=.
Suy ra f là hàm lồi trên khoảng (0,), và do đó:
(đpcm).
III.Bài tập đề nghị:
Bài 1[2]: Cho .Chứng minh rằng: .
Bài 2[2]: Cho thõa .Chứng minh rằng:
.
Bài 3[2]: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
a. .
b. .
CHƯƠNG IV
ĐỊNH LÝ MỞ RỘNG VÀ ỨNG DỤNG.
I.Lý thuyết:
Trong chương cuối này chúng tôi đề cập đến một định lý “mới” nhằm mở rộng và đào sâu hơn ứng dụng của đạo hàm vào việc chứng minh bất đẳng thức.Nội dung định lý như sau:
Định lý:
Nếu f(x) và g(x) là hai hàm khả vi liên tục cho đến cấp n (n1) trên khoảng (a,b). Khi đó nếu và thì .(*)
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.
Với n=1 : vì nên suy ra 
.(1)
Lại vì cho nên từ (1) ta suy ra :
Như vậy định lý đúng với n=1.
Bây giờ giả sử (*) với n=k, ta chứng minh (*) cũng đúng với n=k+1.
Từ bất đẳng thức suy ra:
 .
. (2)
Áp dụng gt kết hợp với (2) suy ra :
Sử dụng giả thiết quy nạp (*) đúng với n=k suy ra .
Định lý được chứng minh.
II.Hệ thống bài tập minh họa:
Như vậy sử dụng kết quả của định lý trên ta có thể giải quyết được một lớp các bài toán bất đẳng thức chỉ đơn thuần bằng công cụ đạo hàm.Sau đây là một số ví dụ điển hình.
Bài 1[1] : Chứng minh rằng: .
Giải:
Xét hai hàm f(x)=tanx và g(x)= .
Ta có: ; 
 ; 
 ; 
 ; .
Dễ thấy :.
Tại x=0: f(0)=g(0)=0;f’(0)=g’(0)=1;f’’(0)=g’’(0)=0;f’’’(0)=g’’’(0)=2.
Như vậy các điều kiện của định lý đều được thỏa mãn và từ đó ta suy ra :
f(x)>g(x), .(đpcm)
Bài 2[0]: Chứng minh rằng : tanx+sinx>2x, .
Giải:
Xét 2 hàm f(x)=tanx+sinx và g(x)=2x trên khoảng .Ta có:
 ; 
 ; .
Với mọi x thuộc khoảng thì sinx>0, cosx>0 và . Do đó:
>0, hay .
Tại x=0 :f(0)=g(0)=0 ; f’(0)=g’(0)=2.
Áp dụng định lý trên ta suy ra :f(x)>g(x), 
 tanx+sinx>2x, .(đpcm)
Bài 3[0]: Chứng minh rằng : .
Giải:
Đặt f(x)=2x.arctanx và g(x)= ln(1+) trên khoảng .
Ta có: 
 .
Với mọi x >0 thì 0g’(x),x>0.
Tại x=0 :f(0)=g(0)=0. Áp dụng định lý suy ra : f(x)>g(x),x>0
 .(đpcm)
Bài 4[0]: Chứng minh rằng : 
Giải:
Đặt f(x)=ln(1+x) ; g(x)=x ; h(x)=. Ta có:
 ; g’(x)=1 . Rõ ràng : 0.
 Với x=0 : f(0)=g(0)=0 .Từ đó suy ra :f(x)0
 Hay (*)
Lại có : ; 
 ; 
 ; .
Với mọi x>0 thì rõ ràng .
Tại x=0 thì f(0)=h(0)=0 ; f’(0)=h’(0)=1 ; f’’(0)=h’’(0)=.
Từ đó ta suy ra : f(x)>h(x) , x>0
Hay (**).
Kết hợp (*)&(**) suy ra : (đpcm)
Bài 5[0]: Chứng minh rằng với mọi x>0 , ta có:
 . (*)
Giải:
(*) 
 .(**)
Xét hàm f(x)= và g(x)= .Ta có:
 ; 
 ; .
Với thì và nên suy ra .
Với thì và cho nên .
Tóm lại : , với mọi x>0.
Tại x=0, ta có :f(0)=g(0)=1 ; f’(0)=g’(0)=0.
Áp dụng định lý trên ta suy ra f(x)>g(x),x>0. Tức là (**) đúng và do đó(*) cũng đúng.
Bài 6[1]: Chứng minh rằng: .
Giải:
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
 .
Xét hàm và g(x)=2 trên khoảng (-1,1), ta có:
.
Với mọi xthì do đó .
Mà nên suy ra .
Tại x=0 ta có f(0)=g(0)=2.Áp dụng định lý trên ta suy ra : 
Hiển nhiên cho nên hay .
III.Bài tập đề nghị:
Bài 1[0]: Chứng minh rằng .
Bài 2[0]: Chứng minh rằng 
Bài 3[0]: Chứng minh rằng tgx<x 
KẾT LUẬN CHUNG
 Lý thuyết bất đẳng thức và đặt biệt các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú cực kì đa dạng.Hiện có hàng trăm giáo trình cơ bản và sách chuyên đề tham khảo về đại số ,giải tích,số học và hình học trình bày lý thuyết và bài tập về bất đẳng thức.Tuy vậy các tài liệu về bất đẳng thức chưa đi sâu vào phương pháp giải.Ở trong phần tiểu luận trên chúng tôi đã trình bày phương pháp chứng minh bất đẳng thức bằng khảo sát hàm số một cách khá hệ thống,và làm rõ thêm mối quan hệ giữa hàm số với bất đẳng thức.
 Vì thời gian thực hiện cuốn tiểu luận rất ngắn cũng như trình độ kiến thức có hạn nên chắc chắn cuốn tiểu luận không thể tránh khỏi những thiếu xót nhất định.Rất mong nhận được các ý kiến đóng góp ,phê bình cũng như bổ sung của quý thầy cô và bạn đọc. Chúng tôi xin chân thành cảm ơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
 [0] Những bài tập của nhóm
[1] Nguyễn Hữu Điển ,Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ thông,NXB Giáo Dục, 2002
[2] Lê Hồng Đức ,Phương pháp giải toán đạo hàm và ứng dụng ,NXB Sư Phạm, 2008.
[3] Nguyễn Đức Hồng,Trần Huyên, Nguyễn Văn Vĩnh, Phương pháp trắc nghiệm đạo hàm đồ thị,NXB đại học quốc gia Hà Nội, 2008.
[4] Đức Huyên, Nguyễn Mộng Hy,Nguyễn Cam ,Chuyên đề luyện thi vào đại học.
[5] Trần Văn Kỷ ,Toán chọn lọc 375 bài toán bất đẳng thức ,NXB TP Hồ Chí Minh,1998.
[6] Võ Đại Mau ,Phương pháp giải toán bất đẳng thức ,NXB Trẻ, 1998.
[7] Nguyễn Văn Mậu , Phương pháp giải phương trình và bất phương trình, NXB Giáo Dục ,2002.
[8] Đoàn Thế Phiệt ,Toán học tuổi trẻ ,NXB Giáo Dục ,2007.
[9] Trần Phương , Bài giải trọng tâm ôn luyện môn toán ,NXB đại học quốc gia Hà Nội,2009.
[10] Nguyễn Đức Tấn, Nguyễn Anh Hoàng ,Giải bằng nhiều cách các bài toán bất đẳng thức, NXB tổng hợp Tp.Hồ Chí Minh,2004.
[11] Phạm Trọng Thư, Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức,NXB Đại Học Sư Phạm ,2008.