Sáng kiến kinh nghiệm Phương pháp điều kiện cần và đủ, áp dụng phương pháp lagrange để giải quyết một số dạng bài toán

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN
 KHOA TOÁN
 LỚP SƯ PHẠM TOÁN K29
*Nhóm sinh viên thực hiện :
Hồ Ngọc Cảnh
Nguyễn Thị Kiều Chi
Phạm Thị Yến Chi
Nguyễn Quốc Chính
Nguyễn Văn Công
Huỳnh Thị Mỹ Dung
Trần Thị Dung
“Ứng dụng của phương pháp biến thiên hằng số & định lý lagrange & điều kiện cần và đủ trong giải phương trình”
Giáo viên hướng dẫn: Dương Thanh Vỹ 
Quy Nhơn 27/ 11/2009
Lời nói đầu
 Ngoài nhöõng phöông phaùp giaûi thuaàn tuùy nhö: bieán ñoåi töông ñöông, ñaët aån phuï, tính chaát haøm soá muõ; tính chaát giaù tò tuyeät ñoái; tam thöùc baäc hai..đề tài này chúng tôi đề cập đến phương pháp giải phương trình dựa vào sự tráo đổi vai trò của ẩn số và hăng số.Đồng thời kết hợp phương pháp điều kiện cần và đủ; áp dụng phương pháp lagrange để giải quyết một số dạng bài toán.
Đề tài bao gồm 3 chương:
 Chương I: Phương pháp biến thiên hằng số
 Chương II: Phương pháp điều kiện cần và đủ
 Chương III: Sự kết hợp giữa phương pháp biến thiên hằng số với dịnh lý lagrange ; điều kiện cần và đủ.
Trong đó chương I ,chương II chi làm cơ sở để phát triển lên phương pháp ở chương III. Nhưng trọng tâm của để tài là chương I và chương II (toàn bộ chương I là ý tưởng của nhóm).
Vì thời gian có hạn nên chúng tôi không thể tránh được những thiếu sót,mong sự góp ý của bạn đọc.Xin chân thành cảm ơn.
 Nhóm thực hiện.
Chương I
&*Phương pháp biến thiên hằng số*
 @ Thực chất của phương pháp này là sự trao đổi vai trò giữa ẩn số và hằng số, ẩn số được xem là tham số và hằng số được xem là ẩn số trong phương trình mới.Cụ thể như sau :
 Cho phương trình f(x)=0 
 Sau một số bước biến đổi sơ cấp, ta nhận thấy trong biểu thức f(x) nếu viết lại ở một dạng khác là g(t) thì ta có g(a)=0.Với a=const, nghĩa là từ phương trình g(t)=0 thay t=a thì được phương trình f(x)=0.
 * Nảy sinh ra ý tưởng là dùng a là ẩn số,x làm tham số trong phương trình g(t)=0. Như vậy phương trình g(t)=0 luôn luôn có nghiệm t=a. Và khi xét phương trình g(t)=0 không cần điều kiện của t. Đây là điểm khác biệt của phương pháp này với phương pháp đặt ẩn phụ. 
 Với g(t)=0, từ phương trình f(x)=0 sau khi biến đổi, nhận xét phương trình này có nghiện t=a.
 Giải g(t)=0 ta được nghiệm t phụ thuộc vào x, thay t=a vào giải tìm x.
* Chú ý: - Thông thường phương trình g(t)=0 giải tìm t đơn giản không phức tạp như phương trình f(x)=0 ban đầu.
 - Phương pháp này giải được khi từ phương trình f(x)=0 sau vài bước biến đổi ta nhận ra hằng số a.
¶Cách ra đề:- Chọn hằng số làm ẩn cho phương trình mới.
- Lập phương trình nhận hằng số làm nghiệm (phương trình giải được nghiệm theo x).
- Từ phương trình đã có đưa phương trình về phương trình theo ẩn x, đưa hằng số chọn làm nghiệm vào phương trình này, ta được một phương trình theo x. 
¶Mở rộng: Ta không dùng hằng số để làm ẩn trong phương trình mới mà thay đổi hằng số theo x. Lúc này độ phức tạp của bài toán mở rộng tùy ý bởi các hàm sơ cấp: hàm lũy thừa, hàm mũ, hàm logarit vì ta cũng nhận ra được hàm là nghiệm của g(t)=0 như vai trò của a.
* Ví dụ 1: [1] Giải phương trình sau: (1) Giải: Điều kiện: 
 (1) 
 (*)
 Xét phương trình bậc hai: (2) 
 Từ (**) ta thấy (2) có nghiệm u=5x 
 Ta giải (2): 
 Phương trình (2) có hai nghiệm là: và 
 Khi đó ta có: 
Giải (3) và (4) kết hợp với điều kiện x>1 ta tìm được x.
¶Cách ra đề: 
Chọn u =5x làm nghiệm của phương trình (*).
Xây dựng phương trình (*) thành phương trình bậc hai theo u với là 1 số chính phương có thể giải được ()
Từ (*) thay u=5x, biến đổi sơ cấp giữa các hàm theo biến x có trong phương trình ta được phương trình ban đầu (1).
Tùy vào mức độ khó dễ của bài toán mà trong phương trình bậc hai theo u ta chọn các nghiệm u1 , u2 là các hằng số ,hàm số theo x. Sau khi giải ta được
* Chú ý: Phương pháp này khác với phương pháp đặt ẩn phụ vì khi đặt ẩn phụ ta phải tìm điều kiện của ẩn mới cho phương trình mới tồn tại. Ở đây ta xét phương trình nhận hằng số (hàm số) làm nghiệm.
 * Ví dụ 2: [1] Giải phương trình sau: (1)
 Giải: 
 Đặt t=2x >0
 (1) trở thành (*) 
 Ta xét phương trình bậc hai có dạng (2)
 Từ (*) ta suy ra phương trình (2) có nghiệm u=4.
 Giải (2): 
Phương trình (2)có 2nghiệm: và 
 Khi đó ta có: 
 @ Nhận xét: - Với cách giải này thay vì giải phương trình bậc bốn ta đưa về việc giải phương trình bậc hai đã biết trước một nghiệm. Lúc ngày ta chọn nghiệm đã biết làm ẩn của phương trình mới. Bài toán này giải quyết được vì phương trình bậc hai có là số chính phương.
 * Ví dụ 3: [2] Giải phương trình sau: (1)
 Giải: 
 Ta có (1) 
 Ta xét phương trình (3): 
 (*)
 Xét phương trình bậc hai dạng: (4) 
 Từ (*) ta suy ra phương trình (4) có nghiệm u=5.
 Giải (4): 
 Phương trình (4)có 2 nghiệm: và 
 Khi đó ta có: 
 Từ (2) ta suy ra 
 @ Nhận xét: - Bài toán trên có thể giải bằng phương pháp đặt ẩn phụ.Sau đó chuyển về hệ hoặc giải bằng phương pháp biến đổi tương đương.
 - Cách giải trên đây đã thay đổi vai trò giữa ẩn số và hằng số.Ẩn x chuyển thành vai trò của tham số,còn hằng số 5 đươc xem là ẩn mới trong phương trình bậc 2 theo u,nhờ việc chuyển này mà thay vì ggiải phương trình bậc 4 theo x,ta chỉ cần giải phương trình bậc 2 theo u,phương trình này ta lại biết được 1 nghiệm.
 - Phương trình bậc 2 theo u có là một số chính phương nên việc tìmu dễ dàng hơn.
 ¶ Tổng quát: Ta có thể nhận dạng phương trình với điều kiện và a=const tùy ý .Khi đó ta có thể thay bởi các hàm sơ cấp như hàm lũy thừa,hàm mũ,hàm logarit,nhưng khi giải cần phải đặt điều kiện.Chẳng hạn như :
 Với =3x thì ta có phương trình 
 Với =log5x thì ta có phương trình 
* Ví dụ 4: [3] Giải phương trình sau: (1)
 Giải: Điều kiện : 
 Ta có (1) 
 (*)
 Xét phương trình bậc hai dạng (2)
 Từ (*) ta thấy u=2 la nghiệm của (2)
 Ta có (2) 
 Khi đó ta có 
 * Ví dụ 5: [4] Giải phương trình : 
 (1)
 Giải: (1) 
 (*)
 Ta xét phương trình : u3+()u2+()u=0 (2)
 Từ (*) ta thấy u=3 là nghiệm của phương trình (2).
 Giải (2): ta có (2) 
 Từ (3) ta có 
 Từ (4) ta có (5), với 
 (5) 
 ¶ Tổng quát: - Cách giải này không giải quyết cho lớp bài tập nào cụ thể, mà trong quá trình biến đổi, ta khéo léo nhìn ra hằng số nào đó trong phương trình là nghiệm.Từ đó ta chuyển phương trình đã cho có bậc cao hơn hay phức tạp hơn về các dạng phương trình đơn giản quen thuộc đã biết cách giải, và điều quan trọng ở đây là ta đã biết trước một nghiệm của nó
 - Vì không phải tất cả các phương trình sau khi chuyển về một phương trình mới là giải được nên phương pháp này còn hạn chế,chẳng hạn như: khi chuyển về ta được không phải là một số chính phương,khi đó gặp khó khăn và không thể giải được.
 @ Mở rộng: Vấn đề đây ra ở đây là ta chọn hằng số dể làm ẩn nên nếu ta thay các hằng số đó bằng hàm f(x) hoặc lầ một tham số thì giải như thế nào?Để trả lời vấn đề này ta xét ví dụ sau:
 * Giải phương trình (1)
 Giải: (1) 
 (*)
 Xét phương trình : (2)
 Từ (*) ta suy ra là nghiệm của phương trình (2).
 Ta có (2) 
 Khi đó ta có 
* Ví dụ 6: [2] Giải phương trình
 (1)
Giải: Điều kiện x ≠ 0
Giả sử x0 là nghiệm của phương trình (1). Khi đó
(1) ⇒
 Û 
 Û
 Û 
 Û 
Tư (*) và (**) ta có 
 Vô nghiệm
 Û 
 Û 
Thử lại ta thấy là nghiệm của (1)
@ Nhận xét: Nếu sử dụng phương pháp biến đổi (1) về phương trình
 x6 – 15x2 + 2 = 0
Đặt x2 = t > 0 ta được t3 – 15t + 2 = 0
Đây là phương trình bậc 3 không có nhận xét về cách đoán nghiệm vô tỷ nên việc đoán nghiệm để đưa về phương trình tích là khó khăn.
*Ví dụ 7: [4] Giải phương trình sau
 (1)
Giải: Điều kiện: 0 < x ≠ 1
 Đặt = t. Ta có
 Khi đó phương trình (1) trở thành 
 Û 
Ta xét phương trình sau: 
 a2 + 3ta – t2(t2 + t – 2) = 0 
 Û 
 Thay a = 5 vào (*) và (**) ta được
 ⇒ t2 – t – 5 = 0
 Û 
 Thử lại là nghiệm của phương trình (1)
@ Nhận xét:: Trong phương trình chứa tham số chúng ta thường giải phương trình ứng với một giá trị nào đó của tham số. Như vậy trong phương trình (3) tham số chính là số 5.
¶BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Giải các phương trình sau:
 1) 3) 
 2) 4) 
Chương II 
&*Phương pháp điều kiện cần và đủ*
 @ Phương pháp này khá hiệu quả khi giải phương trình,giải quuyết được một lớp các bài toán .
I. Phương pháp chung :
*Khi đó ta thực hiện các bước sau :
 Bước 1: Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa.
 Bước 2: Tìm điều kiện cần cho hệ dựa trên đánh giá hoặc tính đối xứng của hệ.
 Bước 3: Kiểm tra điều kiện đủ, trong bước này cần có một số kĩ năng cơ bản.
II. Các dạng toán:
¶Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm duy nhất .
Phương pháp :Sử dụng tính duy nhất để tìm nghiệm của bài toán.
Điều kiện cần: - Giả sử phương trình có nghiệm xo .
 - Tìm nghiệm yo phụ thuộc vào xo.
 - Vì phương trình có nghiệm duy nhất nên xo=yo.
 Từ đó suy ra nghiệm xo .
 - Thay xo vào phương trình ta tìm được m.
Điều kiện đủ : - Thay m vào phương trình đã cho rồi giải phương trình .
*Ví dụ 1 :[1] Tìm m để phương trình nghiệm duy nhất
 (2)
Điều kiện cần :
 Giả sử xo là nghiệm của pt khi đó 
 Nhận thấy 2 – xo cũng là nghiệm của pt 
 Suy ra 2 – xo = xo ⇒ xo = 1
 Thay xo = 1 vào pt ⇒ m = 4
Điều kiện đủ :
 Với m = 4 pt (2) trở thành 
 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta được 
 và 
 Do đó (2) Û 
 Û x = 1
 Vậy m = 4 pt có nghiệm duy nhất là x = 1
@Nhận xét : Bài này ta tìm nghiệm yo của pt thông qua việc thay đổi vai trò của x và 2-x.
* Ví dụ 2:[2] Tìm a để phương trình sau có nghiệm duy nhất
 (1)
 Giải:	
 Điều kiện cần: Giả sử (1) có nghiệm xo . Khi đó 
 Khi đó (– 1 –xo ) là nghiệm của (1) 
Vì (1) có nghiệm duy nhất nên 
xo = -1 – xo => xo= -
Với xo = - ta được 
 Vậy a = 1 là điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất. 
 Điều kiện đủ: Với a = 1 phương trình (1) có dạng 
 (2)
 ĐK: 
 (2) 
 Û
 Û x = - 
Vậy a = 1 la điều kiện cần để pt có nghiệm duy nhất 
 *Chú ý :
* Trong phần điều kiện cần ta có thể sử dụng 
a) BĐT Bunhiacopxki
Û
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
 Vậy là nghiệm duy nhất
 b) BĐT côsi
 ≤ 9 + (4 – x )+ (x + 5 ) = 18
Û 
 Û 
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
 Û 
 Vậy là nghiệm duy nhất.
* Bài toán trên còn có thể giải bằng phương pháp đồ thị 
Viết lại (1) dưới dạng: với a > 0 (2)
ÛPhương trình (1) có nghiệm duy nhất Ûphương trình (2) có nghiệm duy nhất.
ÛĐường thẳng cắt đồ thị hàm số tại đúng một điểm .
Xét hàm số 
 MXĐ: D = [-5,4]
Đạo hàm : 
 Bảng biến thiên: 
 Từ đó điều kiện là a=1
* Ví dụ 3: [2] Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
 (1)
 Giải : 
 Điều kiện cần : Giả sử (1) có nghiệm là xo suy ra :
 Suy ra () cũng là nghiệm của (1)
 Vậy (1) có nghiệm duy nhất khi xo=
 Thay xo vào (1) ta được : 
 Điều kiện đủ:
 + Với m = 2, (1) là nghiệm duy nhất.
 + Với , (1) 
nếu
nếu
nếu
nếu
nếu
nếu
 Vậy với m = 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất 
 ¶Tổng quát : Bài toán tổng quát cho lớp các bài toán gồm một và hai tham số 
 để phương trình có nghiệm duy nhất.
 *Tìm a,b,c để phương trình sau có nghiệm duy nhất.
 (1)
 Giải : 
 Điều kiện cần : Giả sử (1) có nghiệm x = xo 
 Suy ra 
 Để phương trình có nghiệm duy nhất thì xo = a+b-xo 
 Thay vào (1) suy ra : 
 Điều kiện đủ : Giả sử , khi đó : (1)
 (2)
Nếu , giả sử a < b, (2) , tức là (2) không có nghiệm duy nhất.
Nếu a = b thì (2) là nghiệm của phương trình .
Vậy với c = 0,a = b thì phương trình có nghiệm duy nhất.
¶Bài tập đề nghị :
* Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất :
 a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 e) 
 f) 
 g) 
@ Nhận xét chung: Đối với dạng này ta sử dụng điều kiện cần là tính duy nhất nghiệm của phương trình,tìm được giá trị của tham số m.Và điều kiện đủ khi thay m vào phương trình ta tìm được x. Sau đó kết luận bài toán.
¶Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm .Với Df là tập xác định của f(x)
 Đối với dạng này ta sử dụng điều kiện cần là phương trình luôn có nghiệm với mọi Í Df .Do đó chọn được giá trị thích hợp thế vào phương trình tìm m.Thử lại dựa vào điều kiện đủ,thay m giải phương trình tìm x.
 Kết luận : Nếu ∃thì chọn m.Hoặc nếu ∀xÏD thì m loại.
* Ví dụ1: [2] Tìm m để pt sau có nghiệm "x ≥ 0: 
 (3)
 Giải:
Điều kiện cần : Giả sử pt(3) có nghiệm "x ≥ 0 => x = 0 là nghiệm của (3).
 (2) Û 
 Û m=3
Điều kiện đủ : Với m = 3 thì (3) trở thành 
 Û x +1 = x +1 (x ≥ 0)
 Û 0 = 0 luôn đúng 
 Vậy với m = 3 thì pt nghiệm đúng "x ≥ 0
* Ví dụ 2: [3] Tìm a,b để pt sau nghiệm đúng "x :
 (4)
 Giải:
Điều kiện cần: Giả sử (4) có nghiệm "x
 Ûx = 0 là nghiệm của (4). Khi đó 
 (4) Û a – 1 = 0 Û a = 1
 Với a = 1 
 (2) Û 
 Û x2 +1 = x2 + bx + 1 Û b = 0 
 Suy ra a = 1 và b = 0 
 Với a =1 , b = 0 khi đó pt (4) có dạng 
 Û 0 = 0 đúng 
 Vậy a = 1 và b = 0 phương trình nghiệm đúng "x
 @ Nhận xét: Qua 2 ví dụ trên,với những bài toán tìm điều kiện của một hay 
 nhiều tham số sẽ thực hiện theo tuần tự:
Chọn nghiệm xo thuộc (a,b) sao cho việc tính giá trị của tham số 
 diễn ra một cách đơn giản (nếu 0 thuộc (a,b) thì nên chọn xo = 0 )
 - Thay xo vào pt tìm giá trị của tham số thứ nhất 
 - Thay giá trị tham số thứ nhất vào pt tìm giá trị tham số tiếp theo
 - Thay giá trị của các tham số vào pt rồi giải pt không có tham số
 tìm khoảng nghiệm của x rồi kết luận.
 * Ví dụ 3:[1] Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng ∀x > 0 :
 Giải:
	Điều kiện cần :
	Giả sử (1) có nghiệm ∀x > 0 ⇒ x =1 là nghiệm của phương trình 
	Khi đó : (1) Û 8m +1 = 1 Û m=0
	Điều kiện đủ: Với m = 0 , khi đó (1) có dạng :	
	 Û x = x luôn đúng .
 Vậy với m = 0 phương trình nghiệm đúng ∀x>0
 * Ví dụ 4: [3] Tìm m để phương trình sau nghiệm đúng với mọi 
 (1) 
 Giải : Điều kiện 
 Để phương trình (1) nghiệm đúng ta phải có 
 Biến đổi phương trình (1) về dạng : 
 (2)
 Điều kiện cần:
 Phương trình (1) nghiệm đúng là nghiệm của (2)
 Tức là: 
 Do đó là điều kiện cần để thõa yêu cầu của bài toán.
Đều kiện đủ: 
 Với ta có : 
 Vậy với phương trình đã cho nghiệm đúng 
 @ Nhận xét : Bài toán này có thể phát biểu dưới dạng “Tìm m để phương trình tương đương với bất phương trình , trong đó nghiệm của bất phương trình là .
 ¶Bài tập đề nghị:
Bài 1: Tìm m để phương trình nghiệm đúng ∀x∈:
Bài 2: Cho phương trình : 
 a)Giải phương trình với m=0.
 b)Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với .
Bài 3: Cho phương trình : 
	Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với .
Bài 4: Cho phương trình : 
	Tìm các giá trị của x nghiệm đúng phương trình trên với .
Bài 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm đúng ∀x > 0 
 Bài 6: Tìm m để phương trình nghiệm đúng ∀x ≥1:
¶Dạng 3: Tìm m để phương trình f(x)=0 tương đương với một bất phương trình nào đó.
 Phương pháp : Để giải đươc dạng này ta thực hiện hai bước sau :
 Bước 1: Giải bất phương trình tìm khoảng nghiệm K của bất phương trình.
 Bước 2: Bài toán đã cho được qui về “Tìm m để phương trình đã cho nghiệm đúng .
*Ví dụ1:[2] Cho 2 phương trình 
 (x + 5) (2 –x) = 3m (1)
 x4 + 6x3 – 9x2 –16 = 0 (2)
 Tìm m để 2 pt tương đương 
 Giải :
 Giải pt (2)
 (2) Û (x2+3x)2 – 16 =0 
 Û (x –1)(x +4)(x2 + 3x + 4 ) = 0 
 Điều kiện cần : Giả sử (1) và (2) tương đương 
 Suy ra x = 1 là nghiệm của pt (1) 
 Û 6 = 3m 
 Û m=1
 Vậy m = 1 là điều kiện cần để (1) và (2) tương đương 
 Điều kiện đủ : Với m = 1 khi đó (1) có dạng 
 -x2 – 3x + 10 = 3 (3)
 Đặt t = t ≥ 0
 Khi đó (3) Ût2 + 3t – 10 = 0 
 Û = 2
 Û x2 + 3x = 4 
 ⇒ (1) tương đương (2)
 Vậy m=1 thì (1) tương đương với (2)
 @ Nhận xét: 
Đối với bài toán tìm m để 2 phương trình f(x,m) =0; g(x)=0 tương 
 đương thì ta giải theo trình tự sau
 Giải tìm tập nghiệm S2 của phương trình (2)
Khi đó bài toán quy về tìm m dể phương trình f(x,m)=0 nhận S2 làm
 tập nghiệm 
Từ ví dụ 3 và 4 ta nhận thấy đối với phương trình chứa căn thức có tồn những phương trình mà tập nghiệm là một khoảng,do đó 1 phương trình chứa căn thức có thể tương đương với một bất phương trình, (hoặc có thể được phát biểu dưới dạng nghiệm đúng với mọi x Î D). Ta xét ví dụ sau :
 *Ví dụ 2 :[3] Tìm m để (1) và (2) tương đương:
 + = 2 (1) (2)
 Giải: 
 Điều kiện cần:
 (2) Û(x2 + 3x +2)2 ≤ (x2 +2x +5)2
 Û(x-3)(2x2 +5x +7)≤ 0Û x≤ 3
 Điều kiện cần: giả sử (1) và (2) tương đương x =3 là nghiệm của (1). 
Û + =2
 Û =0 Û m = 1
Điều kiện đủ:
Với mọi m = 1, phương trình có dạng:
 Û
 Û
 Û
 Tức là (1) và (2) tương đương.
	 Ta thấy trong phương trình (1) tham số m có tính đối xứng nên m = -1 thoả 
 mãn điều kiện bài toán.
	 Vậy m = ±1 thi (1) và (2) tương đương.
 @ Nhận xét:
	 Với những bài toán tìn điều kiện tham số m để phương trình có nghiệm 
 ∀x ∈ D ta có thể viết thành bài toán khác.
 -Tìm m để phương trình đã cho tương đương với bất phương trình nào đó, 
 trong đó bất phương trình có nghiệm là ∀x ∈ D
* Xét ví dụ: [3] Tìm a,b để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc [0,2).
 Giải : 
 Đặt t = 2sinx , điều kiện ,
 Khi đó phương trình (1) có dạng : (2)
 Để (1) có đúng 2 nghiệm phân biệt thuộc [0,2) khi và chỉ khi (2) 
 có nghiệm duy nhất thuộc [-2,2].
@ Nhận xét : Bài toán đã cho được qui về dạng tổng quát ở ví dụ trên.
 Trong bài toán này nếu ta dùng phương pháp đồ thị để giải thì chúng ta phải chia khoảng ra để xét,hơi phức tạp.Đặc biệt nếu tham số là một biểu thức có bậc cao thì sẻ găp khó khăn trong việc vẽ đồ thị cuar hàm y = f(m).
 Mặc khác nếu ta dùng phương pháp đơn điệu của hàm số thì ta gặp khó khăn trong việc tính đạo hàm.
 Chính vì vậy,mà phương pháp điều kiện cần và đủ tỏ ra rất hiệu quả khi giải quyết được lớp bài toán này.
 Nhưng phương pháp này vẫn còn hạn chế khi ta đi tìm nghiệm duy nhất yo=f(xo,m).Và phương pháp này chỉ giải quyết được một lớp bài toán. 
 Mở rộng : Nảy sinh ra bài toán “Tìm điều kiện của a,b,c để phương trình 
 có nghiệm thuộc K”.
 Dùng phương pháp đặt ẩn phụ : f(x) = t , khi đó phương trình đã cho được qui về ; từ điều kiện của bài toán đã cho được chuyển về tìm điều kiện của ẩn t.
*Ví dụ 3 :[4] Tìm m để phương trình sau tương đương:
	 (1)	
 ∣m - 4∣.2x-2 + m.4x-1 = 1 (2)
Giải:
Giải (1), đặt ta được nghiệm : x = 0.
	⇒Để 2 phương trình tương đương bài toán quy về tìm điều kiện của m để phương trình (2) có nghiệm duy nhất x = 0.
 	Điều kiện cần: Giả sử (2) có nghiệm x = 0:
	∣m - 4∣2-2 + m4-1 =1
	 ⇔ ∣m - 4∣ + m = 4
	 ⇔ ∣m - 4∣ = 4 – m ⇔m – 4 ≤ 0⇔ m ≤ 4
	Điều kiện đủ: Với ≤ 4
	Đặt t = 2x, t > 0 khi đó (2) có dạng 
(4 - m)t +mt2 = 4 ⇔ mt2 + (4 – m)t - 4 = 0 (3)
Với m = 0 ,(3) ⇔ t =1 ⇔ 2x = 1 ⇔ x = 0 
	 Vậy m = 0 thì (1) và (2) tương đương.
Với 0 ≠ m ≤ 4 .khi đó (3) 
 Do đó để (1) Û (2) thì :	
 Vì 0≠m ≤ 4 . Suy ra 
 Vậy với 0 ≤ m ≤ 4 hoặc m = – 4 thì (1) và (2) tương đương
 ¶ Bài tập đề nghị :
 Tìm m để phương trình có nghiệm :
	 2) Tìm m để phương trình sau có nghiệm :
 3) Tìm m để 2 phương trình sau tương đương:
 4x+1 + 2x+4 = 2x+2 + 16 và ∣m-9∣ 3x-2 + m9x-1 = 1.
 ¶Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt có với mọi giá trị của tham số.
 Đối với dạng này phương trình có chứa 2 tham số.Chọn giá trị đặc biệt(giá trị mà làm cho phương trình đơn giản) của một số thay vào phương trình.Khi đó phương trình trở về các dạng trên.Ở đây chúng tôi không đi sâu về dạng này vì không phục vụcho chương sau.
Chương III
SỰ KẾT HỢP GIỮA PHƯƠNG PHÁP BIẾN THIÊN HẰNG SỐ VỚI
 ĐỊNH LÝ LAGRANGE VÀ ĐIỀU KIỆN CẦN VÀ ĐỦ
¶Dạng 1: (1).
Trong đó hoặc k=1, h(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b]
Cách giải: (1) 
 *Điều kiện cần : Xét hàm số : 
Từ (1) ta có f(a)=f(b) (2)
Lấy đạo hàm của hàm f(t) trên (a,b) ta được : .
Theo định lý lagrange, 
 Û (3)
 *Điều kiện đủ: Thay các giá trị ở (3) vào (1) để chọn nghiệm.
Chú ý: Xét các trường hợp của k.
*Ví dụ1 : Giải phương trình sau
 (1)
Giải: 
Giả sử là nghiệm của phương trình (1),Tức là 
 (2)
Xét hàm số .Đk: 
Từ (2) ta có f(7)=f(2) .Tính .Theo định lý lagrange, sao cho 
Thử lại ta thấy cả hai nghiệm trên đều thỏa phương trình . 
Vậy x=1 và x=3 là nghiệm .
 ¶ Dạng 2: (1) trong đó 00, b>a, h(x) xác định liên tục trên 
Cách giải: (1) (2)
*Điều kiện cần: Xét hàm số trên [a,b].
Từ (2) Û f(a)=f(b) Û f(a) –f(b)=0
Ta có 
Theo định lý Lagrange, 
*Điều kiện đủ: Thử lại nghiệm .
*Ví dụ 1: [4] Giải phương trình : (1)
Giải: Giả sử là nghiệm của (1).Khi đó 
 (2)
Xét hàm số . Từ (2) ta có f(5)=f(4)
 Vì hàm f(t) liên tục trên R nên f(t) liên tục trên [4,5] có đạo hàm trên (4,5).
Ta có .Theo định lý lagrange sao cho 
Thay x=1 và x=5 vào phương trình (1) thỏa mãn
Kết luận: x=1 và x=5 là nghiệm của phương trình. 	
¶ Dạng 3: , trong đó b+d=a, 00, h(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b] giải tương tự dạng 2.
¶ Bài tập đề nghị:
Giải các phương trình sau:
1/ 2/ 
3/ 4/ 
5/ 6/ 
Tài liệu tham khảo
1)Lê Hồng Đức(chủ biên),Lê Bích Ngọc,Lê Hữu Trí,Phương pháp giải toán đại số,NXB Hà Nội năm 2000.
2)Lê Hồng Đức(chủ biên), Phương pháp giải toán đại số(phương trình-bất phương trình & hệ chứa giá trị tuyệt đối),NXB Đại học sư phạm 2004.
3)Trần Phương(chủ biên),Lê Hồng Đức, Phương pháp giải toán đại số(phương trình và bất phương trình),NXB Hà Nội 2002.
4)WWW.violet.com.vn
MỤC LỤC
Lời nói đầu Trang 1 
Chương I: Phương pháp biến thiên hăng số............ 2
Chương II: Phương pháp điều kiện cần và đủ.............13
 Phương pháp chung 13
 Các dạng toán..13
 Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có 
 nghiệm duy nhất ..13
 Dạng 2: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có 
 nghiệm .Với Df là tập xác định của f(x)20
 Dạng 3:Tìm m để phương trình f(x)=0 tương đương với 
 một bất phương trình nào đó..25
 Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để pt có với mọi giá 
 trị của tham số...30
Chương III: Sự kết hợp giữa phương pháp biến thiên hằng số với định
 lý lagrange ; điều kiện cần và đủ.....31
 Dạng 1:.....31
 Dạng 2:..32
 Dạng 3:...33
Kết luận ...34