Sáng kiến kinh nghiệm Một vài mệnh đề về hàm số

S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
1 
PHẦN MỞ ĐẦU 
1.LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI. 
Trong quá trình học toán, làm toán và dạy toán khối 12 tôi nhận thấy các bài 
toán về câu hỏi phụ của hàm số luôn là những bài toán hay và thường xuyên 
xuất hiện trong các đề thi tốt nghiệp cũng như các đề thi đại học. Rất nhiều học 
sinh khi học hết chương trình rồi nhưng vẫn chưa thể tổng hợp được các phương 
pháp làm bài, cũng như không thể làm được bài tập về câu hỏi phụ của hàm số 
mặc dù bài tập không hề khó. Chính vì lý do như vậy mà tôi chọn đề tài này với 
hy vọng rằng trong các năm tiếp theo của sự nghiệp dạy học tôi sẽ giúp cho học 
sinh khi học phần hàm số có thể tổng hợp được phương pháp làm bài và có thể 
định hướng nhanh khi gặp một bài tập liên quan đến câu hỏi phụ của hàm số . 
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU: 
Giúp học sinh tổng hợp được các kiến thức liên quan tới hàm số , nhận dạng 
nhanh về bài tập câu hỏi phụ của hàm số và từ đó định hướng được cách giải và 
tự tin hơn khi gặp phải các bài toán hàm số. 
3.NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU: 
Nghiên cứu các mệnh đề về hàm số và định hướng cách làm bài tập liên quan tới 
hàm số. 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
2 
4.ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: 
Chỉ nghiên cứu các các mệnh đề về hàm số có trong chương trình toán 12 và đưa 
ra các dạng bài tập liên quan tới hàm số có thể có trong đề thi đại học giúp cho 
những học sinh yêu thích môn toán có nhiều kiến thức cơ bản và nâng cao về 
dạng toán câu hỏi phụ của hàm số. 
5.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: 
+) Đưa ra các mệnh đề về hàm số và chứng minh các mệnh đề đó. 
+) Từ các mệnh đề đó đưa ra cách giải bài tập . 
+) Giải các bài tập đó dựa vào cách chứng minh mệnh đề. 
+)Giới thiệu một số bài toán về hàm số. 
PHẦN NỘI DUNG 
Một số mệnh đề về hàm số. 
Mệnh đề 1: Đồ thị hàm số ( )3 2. . . 0y a x b x c x d a= + + + ≠ cắt trục ox tại 3 điểm 
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng thì phương trình hoành độ có 3 
nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là 
3
b
x
a
−
= . 
Chứng minh: Gọi 1 2 3, ,x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với 
trục hoành, thì 1 2 3, ,x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 3 22x x x⇒ + = (1) 
Mặt khác 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm của phương trình hoành độ : 
3 2
. . . 0a x b x c x d+ + + = 
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: 1 2 3 bx x x
a
−
+ + = (2) 
Thay (1) vào (2) ta được : 2 3
b
x
a
−
= . (Điều phải chứng minh ) 
Chú ý :Trong mệnh đề trình bày ở trên chỉ là điều kiện cần để đồ thị hàm số bậc 
ba cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng vì 
vậy khi làm bài tập ta cần kiểm tra điều kiện đủ bằng việc thay giá trị của tham 
số tìm được vào hàm số và thử lại. 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
3 
Bài tập áp dụng. 
Bài 1: Cho ( ) ( )3 2 23 2 4 9y x mx m m x m m Cm= − + − + − . Tìm m để (Cm) cắt Ox 
tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
Giải: Gọi 1 2 3, ,x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục 
hoành, thì 1 2 3, ,x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 3 22x x x⇒ + = (1) 
Mặt khác 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm của phương trình hoành độ : 
( )3 2 23 2 4 9 0x mx m m x m m− + − + − = 
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: 1 2 3 3x x x m+ + = (2) 
Thay (1) vào (2) ta được : 2x m= . 
Vậy ta có ( ) ( ) ( )3 3 2 22 0 3 2 4 9 0y x y m m m m m m m= = ⇔ − + − + − = 
2 00
1
m
m m
m
=
⇔ − = ⇔ 
=
Thử lại: +)Với 30m y x= ⇒ = Đồ thị hàm số 3y x= cắt Ox tại 1 điểm 
 0m⇒ = loại 
 +)Với 3 21 3 6 8m y x x x= ⇒ = − − + 
 Xét phương trình hoành độ : 3 23 6 8 0x x x− − + = 
2
1
4
x
x
x
= −
⇔ =

 =
Vì x = -2; x =1; x =4 theo thứ tự lập thành cấp số cộng . vậy m =1 thỏa mãn . 
Kết luận : m =1 là giá trị cần tìm. 
Bài 2 : Cho ( )3 23 9y x x x m Cm= − − + Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm có 
hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
Giải: Gọi 1 2 3, ,x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục 
hoành, thì 1 2 3, ,x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng 1 3 22x x x⇒ + = (1) 
Mặt khác 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm của phương trình hoành độ : 
3 23 9 0x x x m− − + = 
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: 1 2 3 3x x x+ + = (2) 
Thay (1) vào (2) ta được : 2 1x = . 
Vậy ta có ( ) ( )2 1 0 1 3 9 0 11y x y m m= = ⇔ − − + = ⇔ = 
Thử lại: 
 +)Với 3 211 3 9 11m y x x x= ⇒ = − − + 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
4 
 Xét phương trình hoành độ : 3 23 9 11 0x x x− − + = 
 ( )( )2
1 2 3
1 2 11 0 1
1 2 3
x
x x x x
x
 = −

⇔ − − − = ⇔ =

= +
Nhận thấy : 1 2 3; 1; 1 2 3x x x= − = = + theo thứ tự lập thành cấp số cộng 
vậy m =11 thỏa mãn . 
Kết luận : m =11 là giá trị cần tìm. 
 Mệnh đề 2: Đồ thị hàm số ( )3 2. . . 0y a x b x c x d a= + + + ≠ cắt trục ox tại 3 điểm 
phân biệt có hoành độ lập thành cấp số nhân thì phương trình hoành độ có 3 
nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm là 3 dx
a
−
= . 
Chứng minh: : Gọi 1 2 3, ,x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 
với trục hoành, thì 1 2 3, ,x x x theo thứ tự lập thành cấp số nhân 
2
1 3 2.x x x⇒ = (1) 
Mặt khác 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm của phương trình hoành độ : 
3 2
. . . 0a x b x c x d+ + + = 
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: 1 2 3. . dx x x
a
−
= (2) 
Thay (1) vào (2) ta được : 3 32 2
d d
x x
a a
− −
= ⇔ = . (Điều phải chứng minh ) 
Chú ý :Trong mệnh đề trình bày ở trên chỉ là điều kiện cần để đồ thị hàm số bậc 
ba cắt trục hoành tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân vì 
vậy khi làm bài tập ta cần kiểm tra điều kiện đủ bằng việc thay giá trị của tham 
số tìm được vào hàm số và thử lại. 
Bài tập áp dụng. 
Bài 3. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 23 1 5 4 8y x m x m x Cm= − + + + − .Tìm m để hàm số 
cắt Ox tại 3 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 
Giải: Gọi 1 2 3, ,x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục 
hoành, thì 1 2 3, ,x x x theo thứ tự lập thành cấp số nhân 
2
1 3 2.x x x⇒ = (1) 
Mặt khác 1 2 3, ,x x x là 3 nghiệm của phương trình hoành độ : 
( ) ( )3 23 1 5 4 8 0x m x m x− + + + − = 
Theo định lý viet cho phương trình bậc ba ta có: 1 2 3. . 8x x x = (2) 
Thay (1) vào (2) ta được : 32 28 2x x= ⇔ = . 
Vậy ta có : 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
5 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 0 8 4 3 1 2 5 4 8
4 2 0 2
y x y m m
m m
= = ⇔ − + + + −
⇔ − = ⇔ =
Thử lại: 
 +)Với 3 22 7 14 8m y x x x= ⇒ = − + − 
 Xét phương trình hoành độ : 3 2
1
7 14 8 0 2
4
x
x x x x
x
=

− + − = ⇔ =

 =
Nhận thấy : 1; 2; 4x x x= = = theo thứ tự lập thành cấp số nhân. 
vậy m =2 thỏa mãn . 
Kết luận : m =2 là giá trị cần tìm. 
Mệnh đề 3 : Đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực tiểu (nếu có ) của đồ thị 
hàm bậc ba ( ( )3 2. . . 0y a x b x c x d a= + + + ≠ )là phần dư của phép chia y cho y′ . 
Chứng minh:Xét hàm số ( )3 2. . . 0y a x b x c x d a= + + + ≠ 
 TXĐ: D = R 
23 . 2 .y a x b x c′ = + + 
Giả sử hàm số có cực đại, cực tiểu, khi đó phương trình 0y′ = có 2 nghiệm phân 
biệt là 1 2;x x 
 Gọi điểm cực đại là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu là T( )2 2;x y 
Ta luôn có ( ) ( ) ( ). . . *y y x x m x nα β′= + + + 
 ( .m x n+ chính là phần dư của phép chia y cho y’) 
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : ( )1 1. 1y m x n= + 
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : ( )2 2. 2y m x n= + 
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực 
tiểu của hàm số là .y m x n= + .(Điều phải chứng minh) 
Chú ý :Khi làm bài tập viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, điểm 
cực tiểu của hàm số bậc 3 ta cần tìm điều kiện của tham số để hàm số có cực 
đại, cực tiểu trước.sau đó mới vận dụng cách làm của mệnh đề để làm bài. 
Bài tập áp dụng : 
Bài 4. Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x Cm= + − + − . 
a.Tìm m để hàm số (Cm) có cực đại ,cực tiểu . 
b.Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của (Cm). 
c.Tìm m để điểm cực đại, điểm cực tiểu của (Cm) nằm trên đường thẳng 
( ) : 4d y x= − 
Giải : 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
6 
a.Xét hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x= + − + − 
 TXĐ: D = R 
 ( ) ( )26 6 1 6 1 2y x m x m m′ = + − + − 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình 0y′ = có hai 
nghiệm phân biệt 
( ) ( )26 6 1 6 1 2 0x m x m m⇔ + − + − = có hai nghiệm phân biệt 
( ) ( )2 1 1 2 0x m x m m⇔ + − + − = có hai nghiệm phân biệt 
( ) ( ) ( )2 2 11 4 1 2 0 3 1 0
3
m m m m m⇔ ∆ = − − − > ⇔ − > ⇔ ≠ 
Kết luận: Vậy 1
3
m ≠ thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu. 
b. Ta có : ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )2. 2 1 3 1 . 1 1 2 *y y x x m m x m m m′= + − − − + − − 
Với 1
3
m ≠ thì (Cm) có cực đại, cực tiểu. 
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu của (Cm) là 
T ( )2 2;x y 
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : ( ) ( )( ) ( )21 13 1 . 1 1 2 1y m x m m m= − − + − − 
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : ( ) ( )( ) ( )22 23 1 . 1 1 2 2y m x m m m= − − + − − 
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực 
tiểu của hàm số (Cm) là ( ) ( )( ) ( )23 1 . 1 1 2y m x m m m= − − + − − ∆ 
c.Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có ( )( )( )
23 1 4
1 1 2 0
m
d
m m m

− − = −∆ ≡ ⇔ 
− − =
 ( )( )
29 6 3 0
1
1 1 2 0
m m
m
m m m
− − =
⇔ ⇔ =
− − =
 (thỏa mãn) 
Kết luận: m = 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Bài 5: Cho hàm số ( )3 2 7 3y x mx x Cm= + + + . 
Tìm m để đường thẳng qua điểm cực đại, điểm cực tiểu của của hàm số (Cm) 
vuông góc với đường thẳng : 3 7y x∆ = − . 
Giải: Xét hàm số 3 2 7 3y x mx x= + + + 
 TXĐ: D = R 
23 2 7y x mx′ = + + 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình 0y′ = có hai 
nghiệm phân biệt 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
7 
23 2 7 0x mx⇔ + + = có hai nghiệm phân biệt 
2 2121 0
21
m
m
m
 >
′⇔ ∆ = − > ⇔ 
< −
Ta có : ( ) ( ) ( )21 2 7. 21 . 3 *3 9 9 9
m my y x x m x ′= + + − + − 
 
Với 
21
21
m
m
 >

< −
 thì (Cm) có cực đại, cực tiểu. 
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu của (Cm) là 
T ( )2 2;x y 
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : ( ) ( )21 12 721 . 3 19 9
my m x= − + − 
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : ( ) ( )22 22 721 . 3 29 9
my m x= − + − 
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực 
tiểu của hàm số (Cm) là ( ) ( )22 721 . 39 9
my m x d= − + − 
Để thỏa mãn yêu cầu bài toán ta phải có 
( )2 22 45 3 1021 .3 19 2 2d m m m∆ ⊥ ⇔ − = − ⇔ = ⇔ = ± (thỏa mãn) 
Kết luận: 3 10
2
m = ± thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Bài 6:Tìm m để hàm số ( )3 2 23y x x m x m Cm= − + + có điểm cực đại, điểm cực 
tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng ( ) : 2 5 0x y∆ − − = . 
Giải: Xét hàm số 3 2 23y x x m x m= − + + 
 TXĐ: D = R 
2 23 6y x x m′ = − + 
Hàm số có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi phương trình 0y′ = có hai 
nghiệm phân biệt 
2 23 6 0y x x m′⇔ = − + = có hai nghiệm phân biệt 
29 3 0 3 3m m′⇔ ∆ = − > ⇔ − < < 
Ta có : ( ) ( ) ( )221 1 2. 3 . *3 3 3 3
my y x x m x m ′= − + − + + 
 
Với 3 3m− < < thì (Cm) có cực đại, cực tiểu. 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
8 
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu của (Cm) là 
T ( )2 2;x y 
Thay tọa độ của Đ vào (*) ta được : ( ) ( )221 12 3 . 13 3
my m x m= − + + 
Thay tọa độ của T vào (*) ta được : ( ) ( )222 22 3 . 23 3
my m x m= − + + 
Từ (1) và (2) ta suy ra phương trình đường thẳng qua điểm cực đại ,điểm cực 
tiểu của hàm số (Cm) là ( ) ( ) ( )222 3 . 13 3
my m x m d= − + + 
+) Gọi I là trung điểm của ĐT ta có 1 2 2 1
2 2I
x x
x
+
= = = (Vì 1 2;x x là 2 nghiệm 
của phương trình y’=0 ,theo định lý viet ta có 1 2 2x x+ = ) 
Mặt khác ( ) ( )22 2 22 3 . 2 1; 23 3I I
mI d y m x m m m I m m∈ ⇒ = − + + = + − ⇒ + − 
Điểm cực đại, điểm cực tiểu của (Cm) đối xứng nhau qua 1 5:
2 2
y x∆ = −
( )2 2
2
2
2 13 . 1 03 2 0
1 5 02
2 2
md m
m
I m m
m m

− = −∆ ⊥ = 
⇔ ⇔ ⇔ =  
∈∆ + =  + − = −

 (thỏa mãn) 
Kết luận: 0m = thỏa mãn yêu cầu bài toán. 
Mệnh đề 4: Đồ thị hàm trùng phương ( )( )4 2. . 0y a x b x c a= + + ≠ cắt trục 
hoành tại 4 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì điều kiện là 
phương trình trung gian ( )2. . 0a t b t c+ + = có 2 nghiệm dương phân biệt và 
nghiệm lớn bằng 9 lần nghiệm nhỏ. 
Chứng minh: Gọi 1 2 3 4, , ,x x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số 
với trục hoành, thì 1 2 3 4, , ,x x x x là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ 
giao điểm : 4 2. . 0a x b x c+ + = 
Xét phương trình: ( )4 2. . 0 1a x b x c+ + = 
Đặt 2x t= điều kiện ( )0t ≥ 
Ta có phương trình : ( )2. . 0 2a t b t c+ + = 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm 
phân biệt lớn hơn 0 
Gọi hai nghiệm của phương trình (2) là : 1 2;t t (giả sử 1 20 t t< < ) 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
9 
Khi đó ta có 
2
11
2
2 2
x tx t
x t x t
 = ±=
⇔ 
=  = ± 
Như vậy theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có : 1 2 2 1 3 1 4 2, , ,x t x t x t x t= − = − = = 
Mà 1 2 3 4, , ,x x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng 
4 3 3 2 2 1 2 13 9x x x x t t t t⇒ − = − ⇔ = ⇔ = (Điều phải chứng minh) 
Chú ý :Khi làm bài tập tìm tham số để đồ thị hàm trùng phương cắt trục hoành 
tại 4 điểm có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng thì lên vận dụng cách 
chứng minh mệnh đề trên để làm bài, cần chú ý tìm điều kiện để phương trình 
hoành độ có 4 nghiệm phân biệt. 
Bài tập áp dụng : 
Bài 7. Cho hàm số ( ) ( )4 22 1 2 1y x m x m Cm= − + + + .Tìm m để đồ thị hàm số 
(Cm) cắt Ox tại 4 điểm phân biệt có hoành độ theo thứ tự lập thành cấp số cộng. 
Giải : Gọi 1 2 3 4, , ,x x x x lần lượt là hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số với trục 
hoành, thì 1 2 3 4, , ,x x x x là 4 nghiệm phân biệt của phương trình hoành độ giao 
điểm : ( )4 22 1 2 1 0x m x m− + + + = 
Xét phương trình: ( ) ( )4 22 1 2 1 0 1x m x m− + + + = 
Đặt 2x t= điều kiện ( )0t ≥ 
Ta có phương trình : ( ) ( )2 2 1 . 2 1 0 2t m t m− + + + = 
Để phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ⇔ phương trình (2) có 2 nghiệm 
phân biệt lớn hơn 0 
 ( )2 2 1 . 2 1 0t m t m⇔ − + + + = có 2 nghiệm phân biệt 1 2;t t lớn hơn 0 
( )
( )
2 2
1 2
1 2
1 2 1 0 0
12 1 0 1 0
2
1. 2 1 0
2
m m m
S t t m m m
P t t m
m

 ′∆ = + − − >  >
 
⇔ = + = + > ⇔ > − ⇔ − < ≠ 
 
= = + >  > −

(giả sử 1 20 t t< < ) 
Khi đó ta có 
2
11
2
2 2
x tx t
x t x t
 = ±=
⇔ 
=  = ± 
Như vậy theo thứ tự từ nhỏ đến lớn ta có : 1 2 2 1 3 1 4 2, , ,x t x t x t x t= − = − = = 
Mà 1 2 3 4, , ,x x x x theo thứ tự lập thành cấp số cộng 
4 3 3 2 2 1 2 13 9x x x x t t t t⇒ − = − ⇔ = ⇔ = 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
10
Mặt khác theo viet ta có: 
( )( )1 2
1 2
2 1
*
. 2 1
S t t m
P t t m
= + = +

= = +
Thay 2 19t t= vào (*) ta được 
( ) ( )
( )
1 1
2
21
1
110 2 1
5
9 2 1 9 2 1
m
t m t I
t m t m II
+
= + = 
⇔ 
= +  = +
Thay (I) vào (II) ta được 
( )
2
2
2
19 2 1 9 1 50 25
5
9 32 16 0
4
4
9
m
m m m
m m
m
m
+ 
= + ⇔ + = + 
 
⇔ − − =
=
⇔
 = −

 Với 44;
9
m m= = − đều thỏa mãn điều kiện 
Kết luận: Vậy tìm được hai giá trị thỏa mãn là : 44;
9
m m= = − 
Mệnh đề 5: Cho hàm số ( )( )
f x
y
g x
= . Giả sử hàm số có điểm cực trị là 0 0( ; )M x y 
Khi đó tại điểm 0 0( ; )M x y ta có 
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
f x f x
g x g x
′
=
′
(với ( ) ( )0 00; 0g x g x′≠ ≠ ) 
Chứng minh : Xét hàm số ( )( )
f x
y
g x
= 
 Điều kiện : ( ) 0g x ≠ 
Ta có ( ) ( ) ( ) ( )( )2
. .f x g x g x f x
y
g x
′ ′−
′ = 
Nếu 0 0( ; )M x y là điểm cực trị của hàm số thì 
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
0 0 0 0
0 2
0
. .
0 0
f x g x g x f x
y x
g x
′ ′−
′ = ⇔ = 
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0. . 0f x g x g x f x′ ′⇔ − = (Vì ( )0 0g x ≠ ) 
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 0. .f x g x g x f x′ ′⇔ = 
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
f x f x
g x g x
′
⇔ =
′
 (Vì ( ) ( )0 00; 0g x g x′≠ ≠ )( Điều phải chứng minh) 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
11
Hệ quả: Đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của hàm số 
( )
2
1
1 1
ax
. 0bx cy a a
a x b
+ +
= ≠
+
 là 
1 1
2ax
a
by
a
= + . 
(Cách chứng minh hệ quả tương tự như chứng minh mệnh đề 5) 
Chú ý : Khi làm bài tập viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại và 
điểm cực tiểu của hàm số phân thức hữu tỷ,ta cần chú ý tìm điều kiện để hàm số 
có cực đại , cực tiểu. Sau đó cần đưa ra mệnh đề 5 và chứng minh mệnh đề sau 
đó áp dụng vào bài tập. 
Bài tập áp dụng : 
Bài 8. Cho hàm số 
2 2 2
1
x x my
x m
− + +
=
+ −
(Cm) .Viết phương trình đường thẳng đi 
qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của (Cm). 
 Giải: Xét hàm số : 
2 2 2
1
x x my
x m
− + +
=
+ −
 TXĐ: { }\ 1D R m= − 
 Có ( )( )
2
2
2 1 3
1
x m x m
y
x m
+ − −
′ =
+ −
Hàm số có cực đại, cực tiểu 0y′⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 1 m≠ − 
( )
( )
2
2
2 1 3
0
1
x m x m
x m
+ − −
⇔ =
+ −
 có 2 nghiệm phân biệt 1 m≠ − 
 ( )2 2 1 3 0x m x m⇔ + − − = có 2 nghiệm phân biệt 1 m≠ − 
( )
( ) ( )( )
2 2
2 2
1 3 0 1 0
1 01 2 1 1 3 0
m m m m
m R
m mm m m m
 ′∆ = − + > + + >
⇔ ⇔ ⇔ ∀ ∈ 
− − − ≠
− + − − − ≠ 
Bổ đề: Cho hàm số ( )( )
f x
y
g x
= . Giả sử hàm số có điểm cực trị là 0 0( ; )M x y 
Khi đó tại điểm 0 0( ; )M x y ta có 
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
f x f x
g x g x
′
=
′
(với ( ) ( )0 00; 0g x g x′≠ ≠ ) 
(Chứng minh như đã trình bày ở mệnh đề 5) 
m R∀ ∈ thì hàm số (Cm) luôn có cực đại, cực tiểu 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
12
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu của (Cm) là T( )2 2;x y 
Áp dụng bổ đề trên ta có : 
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
1 1 1
1
2
2 2
2 2 2
2
2 2 2. 2 1
1
2 2 2. 2 2
1
x x my y x x
x m
x x my y x x
x m
− + +
= = = − + −

− + +
= = = −
 + −
Từ (1) và (2) ta suy ra đường thẳng qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của (Cm) 
là : 2. 2y x= − . 
Bài 9: Tìm m để hàm số : ( )
2 3
4
x x my Cm
x
− + +
=
−
 có 4CĐ CTy y− = 
Giải: Xét hàm số : 
2 3
4
x x my
x
− + +
=
−
 TXĐ: { }\ 4D R= 
 Có ( )
2
2
8 12
4
x x my
x
− + − −
′ =
−
Hàm số có cực đại, cực tiểu 0y′⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 4≠ 
 ( )
2
2
8 12 0
4
x x m
x
− + − −
⇔ =
−
 có 2 nghiệm phân biệt 4≠ 
2 8 12 0x x m⇔ − + − − = có 2 nghiệm phân biệt 4≠ 
16 12 0 4
4
16 32 12 0 4
m m
m
m m
′∆ = − − > < 
⇔ ⇔ ⇔ < 
− + − − ≠ ≠ 
 Bổ đề : Cho hàm số ( )( )
f x
y
g x
= . Giả sử hàm số có điểm cực trị là 0 0( ; )M x y 
Khi đó tại điểm 0 0( ; )M x y ta có 
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
f x f x
g x g x
′
=
′
(với ( ) ( )0 00; 0g x g x′≠ ≠ ) 
(Chứng minh như đã trình bày ở mệnh đề 5) 
Với 4m < thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu 
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu của (Cm) là T( )2 2;x y 
Áp dụng bổ đề trên ta có : 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
13
( )
( )
2
1 1
1 1 1
1
2
2 2
2 2 2
2
3 2. 3
4
3 2. 3
4
CĐ
CT
x x my y y x x
x
x x my y y x x
x
− + +
= = = = − +
−

− + +
= = = = − +

−
Vậy ( ) ( )1 2 2 1 2 14 2 3 2 3 4 2 4 2CĐ CTy y x x x x x x− = ⇔ − + − − + = ⇔ − = ⇔ − = 
( ) ( ) ( )2 22 1 1 2 1 24 4 . 4 *x x x x x x⇔ − = ⇔ + − = 
Mặt khác 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình 
2 8 12 0x x m− + − − = . Theo định 
lý Viet ta có 1 2
1 2
8
. 12
x x
x x m
+ =

= +
Thay vào (*) ta được: 
( )64 4 12 4 16 4 4 3m m m− + = ⇔ − = ⇔ = (Thỏa mãn điều kiện 4m < ) 
Kết luận: 3m = là giá trị cần tìm. 
Bài 10: Tìm m để hàm số : ( ) ( )
2 21 4 2
1
x m x m m
y Cm
x
− + − + −
=
−
 có cực trị và 
( ).CĐ CTy y nhỏ nhất . 
Giải: Xét hàm số : ( )
2 21 4 2
1
x m x m m
y
x
− + − + −
=
−
 TXĐ: { }\ 1D R= 
 Có ( )
2 2
2
2 3 3
1
x x m my
x
− + − +
′ =
−
Hàm số có cực đại, cực tiểu 0y′⇔ = có 2 nghiệm phân biệt 1≠ 
 ( )
2 2
2
2 3 3 0
1
x x m m
x
− + − +
⇔ =
−
 có 2 nghiệm phân biệt 1≠ 
2 22 3 3 0x x m m⇔ − + − + = có 2 nghiệm phân biệt 1≠ 
2 2
2 2
1 3 3 0 3 2 0
1 2
1 2 3 3 0 3 2 0
m m m m
m
m m m m
′∆ = − + − > − + − > 
⇔ ⇔ ⇔ < < 
− + − + ≠ − + ≠ 
 Bổ đề : Cho hàm số ( )( )
f x
y
g x
= . Giả sử hàm số có điểm cực trị là 0 0( ; )M x y 
Khi đó tại điểm 0 0( ; )M x y ta có 
( )
( )
( )
( )
0 0
0 0
f x f x
g x g x
′
=
′
(với ( ) ( )0 00; 0g x g x′≠ ≠ ) 
(Chứng minh như đã trình bày ở mệnh đề 5) 
Với 1 2m< < thì hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
14
Gọi điểm cực đại của (Cm) là: Đ( )1 1;x y ; điểm cực tiểu của (Cm) là T( )2 2;x y 
Áp dụng bổ đề trên ta có : 
( ) ( )
( ) ( )
2 2
1 1
1 1 1
1
2 2
2 2
2 2 2
2
1 4 2
2. 1
1
1 4 2
2. 1
1
CĐ
CT
x m x m m
y y y x x m
x
x m x m m
y y y x x m
x
− + − + −
= = = = − −
−

− + − + −
= = = = − −

−
 Mặt khác 1 2;x x là hai nghiệm của phương trình 
2 22 3 3 0x x m m− + − + = . 
Theo định lý Viet ta có 1 2
2
1 2
2
. 3 3
x x
x x m m
+ =

= − +
Vậy ( )( ) ( )( ) ( )21 2 1 2 1 2. 2. 1 2. 1 4. . 2 1 1CĐ CTy y x m x m x x m x x m= − − − − = − + + + + 
( ) ( ) ( )
2
22 2 7 4 44. 3 3 4 1 1 5 14 9 5
5 5 5
m m m m m m m
 
= − + − + + + = − + = − − ≥ − 
 
xẩy ra khi 7
5
m = . 
Kết luận:Với ( )7 1;2
5
m = ∈ thì ( ).CĐ CTy y nhỏ nhất và giá trị nhỏ nhất bằng 45− 
Mệnh đề 6: Cho hàm số phân thức ( )( )
f x
y
g x
= .Tiếp tuyến của hàm số tại một 
điểm bất kỳ thuộc đồ thị hàm số cắt hai đường tiệm cận tạo thành một tam giác 
có diện tích không đổi. 
(Trong chương trình sách toán 12(chương trình nâng cao)chỉ xét hai loại hàm 
số phân thức là hàm bậc nhất trên bậc nhất và hàm bậc hai trên bậc nhất vì vậy 
tác giả xin được không trình bày phần chứng minh mệnh đề này mà chỉ đi vào 
xét bài tập cụ thể về hai loại hàm số đã nói ở trên) 
Bài tập áp dụng : 
Bài 11. Cho hàm số ( )2 1
1
xy C
x
+
=
−
.Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp tuyến 
của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là giao 
điểm của hai tiệm cận. Chứng minh rằng IABS∆ có giá trị không đổi khi M di 
chuyển trên (C). 
Giải :Xét hàm số 2 1
1
xy
x
+
=
−
TXĐ: { }\ 1D R= 
Đạo hàm ( )2
3
1
y
x
−
′ =
−
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
15
Tiệm cận đứng: ( )11x = ∆ 
Tiệm cận ngang : ( )22y = ∆ 
Gọi ( )2 1; 1
1
aM a a
a
+  ≠ 
− 
 là 1 điểm bất kỳ thuộc (C). 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: ( ) ( ) ( )2
3 2 1
11
ay x a
aa
− +
= − + ∆
−
−
+)Gọi 1A = ∆ ∩ ∆ ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ 
( ) ( )
( ) ( )
2
1 1
2 23 2 1 1;2 2 111 1
x x
a
a Aay x a ay
aa a
= =
+  
− + ⇔ ⇒  +  
= − +
−=   
−
−
−
+)Gọi 2B = ∆ ∩ ∆ ⇒ tọa độ B là nghiệm của hệ 
( ) ( )
( )
2
2
2 1
3 2 1 2 1;2
211
y
x a
a B ay x a y
aa
=
= −
− + ⇔ ⇒ − 
= − + =
−
−
+) ( )1 2 1;2I I= ∆ ∩ ∆ ⇒ 
Có 
6 60;
1 1
IA IA
a a
 
= ⇒ = 
− − 



 ( )2 2;0 2 1IB a IB a= − ⇒ = −

 
Vì 1 2 IAB∆ ⊥ ∆ ⇒ ∆ vuông tại I 
1 1 6
. . . .2. 1 6
2 2 1IAB
S IA IB a
a
∆⇒ = = − =
−
Vậy 6IABS∆ = là số không đổi. (Điều phải chứng minh ) 
Bài 12 Cho hàm số ( )
2 2 2
1
x xy C
x
− +
=
−
.Gọi M là điểm bất kỳ thuộc (C) .Tiếp 
tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận của (C) tại hai điểm phân biệt A,B. Gọi I là 
giao điểm của hai tiệm cận. Chứng minh rằng IABS∆ có giá trị không đổi khi M di 
chuyển trên (C). 
Giải : Có 
2 2 2 11
1 1
x xy x
x x
− +
= = − +
− −
TXĐ: { }\ 1D R= 
Đạo hàm ( )2
11
1
y
x
′ = −
−
Tiệm cận đứng: ( )11x = ∆ 
Tiệm cận xiên : ( )21y x= − ∆ 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
16
Gọi ( )1; 1 1
1
M a a a
a
 
− + ≠ 
− 
 là 1 điểm bất kỳ thuộc (C). 
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là: 
( ) ( ) ( )2
1 11 1
11
y x a a
aa
 
= − − + − + ∆  
−
− 
+)Gọi 1A = ∆ ∩ ∆ ⇒ tọa độ A là nghiệm của hệ 
( ) ( )2
1 1
21;1 1 21 1 1
1 11
x x
A
y x a a ay
a aa
=
=
     ⇔ ⇒   
= − − + − + −=     
− −− 
+)Gọi 2B = ∆ ∩ ∆ ⇒ tọa độ B là nghiệm của hệ 
( ) ( )
( )
2
1
2 1
2 1;2 21 11 1 2 2
11
y x
x a
B a a
y x a a y a
aa
= −
= − 
  ⇔ ⇒ − − 
= − − + − + = −    
−
− 
+) ( )1 2 1;0I I= ∆ ∩ ∆ ⇒ 
Có 
2 20;
1 1
IA IA
a a
 
= ⇒ = 
− − 



 ( )2 2;2 2 2 2. 1IB a a IB a= − − ⇒ = −

 
Gọi α là góc giữa 1 : 1 0x∆ − = và 2 : 1 0x y∆ − − = 
Ta có   01 1cos cos 45
2 2
AIB AIBα = ⇒ = ⇒ = 
 01 1 2 1 2 2
. . .sin . .2 2. 1 .sin 45 . .2 2. 1 . 2
2 2 1 2 1 2IAB
S IA IB AIB a a
a a
∆ = = − = − =
− −
Vậy 2IABS∆ = là số không đổi. (Điều phải chứng minh ) 
Bài tập giới thiệu 
Bài 1: Cho ( ) ( )3 2 23 2 4 9y x mx m m x m m Cm= − + − + − Tìm m để (Cm) cắt Ox 
tại 3 điểm theo thứ tự lập thành CSC. 
Bài 2 : Cho ( )3 23 9y x x x m Cm= − − + Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm theo 
thứ tự lập thành CSC. 
Bài 3: Cho ( )3 2 33 4y x mx m Cm= − + Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = x tại 
3 điểm theo thứ tự lập thành CSC. 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
17
Bài4: Cho ( ) ( )3 22 1 9y x m x x Cm= − + − Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 3 điểm theo 
thứ tự lập thành CSC. 
Bài 5: Cho ( )3 22 3 1y x x C= − + Tìm điều kiện của a,b để (C) cắt đường thẳng 
ax+by = tại A,B,C phân biệt sao cho AB = BC. 
Bài 6: Cho ( )3 22 3 9 1y x x x C= − − + Tìm điều kiện của a,b để (C) cắt đường 
thẳng ax+by = tại A,B,C phân biệt sao cho AB = BC. 
Bài7: Cho ( ) ( ) ( )3 21 1 2 1y x m x m x m Cm= − + − − + − Tìm m để (Cm) cắt Ox tại 
3 điểm theo thứ tự lập thành CSC. 
Bài 8:Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 23 1 5 4 8y x m x m x Cm= − + + + − Tìm m để hàm số cắt 
Ox tại 3 điểm lập thành CSN. 
Bài 9:Cho hàm số ( ) ( )3 22 2 7 1 54y x mx m x Cm= + − − − Tìm m để hàm số cắt 
Ox tại 3 điểm lập thành CSN. 
Bài 10:Cho hàm số ( ) ( )3 23 2 2 9 192y x m x mx Cm= + + + + Tìm m để hàm số cắt 
Ox tại 3 điểm lập thành CSN. 
Bài 11:Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 28 5 1 4 4 3 216y x m x m x Cm= − + + − − Tìm m để hàm 
số cắt Ox tại 3 điểm lập thành CSN. 
Bài 12: Cho hàm số ( ) ( )3 22 3 1 6 1 2y x m x m m x= + − + − .Tìm m để hàm số có 
cực đại ,cực tiểu nằm trên đường thẳng 4y x= − . 
Bài 13: Cho hàm số 3 2 7 3y x mx x= + + + .Tìm m để đường thẳng qua CĐ,CT 
của hàm số vuông góc với đường thẳng 3 7y x= − . 
Bài 14: Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 3 2 1y x m x m m x m m= − − + − + − − .Tìm m để 
hàm số có đường thẳng qua CĐ,CT tạo với đường thẳng 1 5
4
y x−= + một góc 
045 
Bài 15: Cho hàm số ( ) ( )3 2 2 3 23 3 1y x mx m x m m Cm= − + + − + − 
 a.Khảo sát vẽ đồ thị hàm số khi m = 1. 
 b.Tìm k để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt 
3 2 3 23 3 0x x k k− + + − = 
 c.Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT của (Cm). 
Bài 16: Tìm m để hàm số 3 2 23y x x m x m= − + + có CĐ,CT đối xứng nhau qua 
đường thẳng ( ) : 2 5 0x y∆ − − = . 
Bài 17:Cho hàm số ( ) ( )3 2 22 3 3 1 12 1y x m x m m x= − + + + + . Tìm m để hàm số 
có CĐ,CT .Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT của hàm số đó. 
www.VNMATH.com
S¸ng kiÕn kinh nghiÖm : Mét vµi mÖnh ®Ò vÒ hµm sè 
Gi¸o Viªn:NguyÔn Kh¾c Thµnh Tr−êng THPT Thñy S¬n 
18
Bài 18: Cho hàm số ( ) ( ) ( )3 2 23 1 2 7 2 2 2y x m x m m x m m= − + + + + − + . Tìm m 
để hàm số có CĐ,CT .Viết phương trình đường thẳng qua CĐ,CT của hàm số 
đó. 
Bài 19: Tìm m để hàm số 3 2 33 4y x mx m= − + có CĐ,CT đối xứng nhau qua 
đường thẳng ( ) : 0x y∆ − = . 
Bài 20: Tìm m để hàm số ( ) ( )3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x= − + + + + có CĐ,CT đối 
xứng nhau qua đường thẳng ( ) : 2y x∆ = + . 
Bài 21: Cho hàm số ( )3 23 2 1 3y mx mx m x m= − + + + − .Tìm m để hàm số có 
CĐ,CT. Chứng minh rằng đường thẳng qua CĐ,CT luôn đi qua 1 điểm cố định. 
Bài 22:Cho hàm số ( ) ( )3 2 22 1 4 33y x m x m m x= + + + + + 
 a.Tìm m để hàm số có CĐ,CT. 
 b.Tìm m để hàm số đạt cực trị tại ít nhất 1 điểm >1. 
 c.Gọi hoành độ các cực trị là x1;x2 tìm max của ( )1 2 1 22A x x x x= − + . 
Bài 23: Tìm m để hàm số 3 21 1
3
y x mx x m= − − + + có khoảng cách giữa CĐ,CT 
là min. 
Bài 24: Tìm m để hàm số ( ) ( )3 21 11 3 2
3 3
y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại 
x1;x2 thỏa mãn x1+2x2=1. 
Bài 25: Tìm m để hàm số 3 21 1
3
y x mx mx= − + − đạt cực trị tại x1;x2 thỏa mãn 
1 2 8x x− ≥ 
Bài 26: Tìm m để hàm số ( ) ( ) ( )3 2 2 22 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + đạt 
cực trị tại x1;x2 thỏa mãn ( )1 2
1 2
1 1 1
2
x x
x x
+ = + . 
Bài 27:Tìm m để hàm số 3 23
2
my x x m= − + có các điểm CĐ và CT nằm về 2 
phía của đường thẳng y x= . 
Bài 28: Cho hàm số ( ) ( )4 22 1 2 1y x m x m Cm= − + + + .Tìm m để hàm số cắt Ox 
tại 4 điểm lập thành CSC. 
Bài 29: Cho hàm số ( )4 2 1y x mx m Cm= − + − .Tìm m để hàm số cắt Ox tại 4 
điểm lập thành CSC. 
Bài 30: Cho hàm số ( )
2 3 2 1
1
mx mx m
y
x
+ + +
=
−
 tìm m để hà