Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số

1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.1 Bối cảnh:
	Năm học 2013-2014 là năm học tiếp tục thực hiện các cuộc vận động “ Học tập và làm theo tấm gương đạo đức Hồ Chí Minh”, cuộc vận động “ Hai không”; “ Mỗi thầy, cô giáo là một tấm gương đạo đức, tự học và sáng tạo” ; với chủ đề " Năm học đổi mới quản lý và nâng cao chất lượng giáo dục " cùng với phong trào xây dựng " Trường học thân thiện, học sinh tích cực ". Nghị quyết TW 2 khóa VIII đã khẳng định " Đổi mới mạnh mẽ phương pháp giáo dục và đào tạo, khắc phục lối dạy học truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp tư duy cho người học, từng bước áp dụng phương pháp tiên tiến, ứng dụng cộng nghệ thông tin vào quá trình dạy học ". Do đó trong quá trình dạy học đòi hỏi các thầy cô giáo phải tích cực học tập; không ngừng nâng cao năng lực chuyên môn; đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh; bồi dưỡng khả năng tự học, sáng tạo; khả năng vận dụng kiến thức vào thực tế; đem lại sự say mê, hứng thú học tập cho các em.
1.2 Lý do chọn đề tài:
 	Các vấn đề liên quan tới dãy số là một phần quan trọng của Đại số và Giải tích toán học. Song khái niệm dãy số học sinh mới chỉ được làm quen trong chương trình toán lớp 11 phần mở đầu của Giải tích toán học. Các dạng toán liên quan tới nội dung này thường là khó với các em.
 	Qua thực tế giảng dạy chương trình chuyên toán lớp 11 những năm qua, cũng như việc nghiên cứu nội dung thi học sinh giỏi các cấp, tôi nhận thấy một dạng toán khá cơ bản về dãy số là bài toán tìm số hạng tổng quát. Lý thuyết đại số và các bài toán về dãy số đã được đề cập hầu hết trong các giáo trình cơ bản của giải tích toán học.Các phương pháp tìm số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi gần như là bài toán được đề cập tới đầu tiên. Tuy nhiên với nhiều phương pháp khác nhau bài toán này thực sự không phải là dễ với học sinh.
Xuất phát từ các lí do trên tôi chọn đề tài: “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số và xây dựng bài toán về dãy số ”. Qua nội dung các ví dụ trong đề tài nhằm giúp các em học sinh lớp 11 có thêm kiến thức, phần nào đáp ứng được việc học chuyên đề lớp 11 chuyên toán cũng như việc ôn thi học sinh giỏi các cấp.
1.3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:
Đối tượng nghiên cứu:
	Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A1, 11A2.
Phạm vi nghiên cứu:
Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương III: Dãy số . Cấp số cộng và cấp số nhân” sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11 ban nâng cao.
1.4 Mục đích nghiên cứu:
	Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn Đại số và Giải tích 11 nói riêng.
1.5 Điểm mới trong kết quả nghiên cứu:
	Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc dập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó.
2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2.1 Cơ sở lý luận:
a) Phương pháp quy nạp toán học 
b) Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn
* Dãy số gọi là dãy số tăng nếu 
* Dãy số gọi là dãy số giảm nếu 
Vậy: Nếu suy ra là dãy số tăng
 Nếu suy ra là dãy số giảm
* Nếu tồn tại số sao cho thì bị chặn trên
* Nếu tồn tại số sao cho thì bị chặn dưới
* Nếu dãy số bị chặn trên và bị chặng dưới thì gọi là dãy só bị chặn
c) Cấp số cộng
* Dãy số là cấp số cộng với , trong đó là số không đổi gọi là công sai của cấp số cộng.
* Nếu dãy số là cấp số cộng thì 
* Nếu dãy số là cấp số cộng thì tổng
d) Cấp số nhân
* Dãy số là cấp số nhân với , trong đó là số không đổi gọi là công bội của cấp số nhân.
* Nếu dãy số là cấp số nhân thì 
* Nếu dãy số là cấp số nhân vơi thì tổng
e) Một số đinh lí về giới hạn
- Nếu thì 
- Nếu thì 
- Nếu các dãy số và thì 
- Nếu dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn 
 Nếu dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn.
2.2 Nội dung nghiên cứu của đề tài.
A. Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét
	Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp mét lµ ph­¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng :
trong ®ã a,b, lµ c¸c h»ng sè ,a # 0 vµ lµ biÓu thøc cña n cho tr­íc
D¹ng 1
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (1.1)
trong ®ã cho tr­íc 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng ®Ó t×m Khi ®ã (q lµ h»ng sè ) , trong ®ã q ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt 
Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh sè h¹ng tæng qu¸t cña cÊp sè nh©n, biÕt sè h¹ng ®Çu tiªn b»ng 1 vµ c«ng béi b»ng 2
Bµi gi¶i Ta cã 
 (1.2) 
Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm VËy . Tõ suy ra Do ®ã 
D¹ng 2
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (2 .1)
trong ®ã lµ ®a thøc theo n
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng ta t×m ®­îc Ta cã Trong ®ã lµ nghiÖm cña ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt (1.1) vµ lµ nghiÖm riªng tuú ý cña ph­¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt (2.1) VËy q lµ h»ng sè sÏ ®­îc x¸c ®Þnh sau 
Ta x¸c ®Þnh nh­ sau : 
NÕu th× lµ ®a thøc cïng bËc víi 
NÕu th× víi lµ ®a thøc cïng bËc víi 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh, ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®­îc c¸c hÖ sè cña 
Bµi to¸n 2: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
	 (2.2)
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã Thay vµo ph­¬ng tr×nh (2.2) ta ®­îc 
 (2.3) 
thay n=1vµ n=2 vµo (2.3) ta ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh sau 
Do ®ã 
Ta cã V× nªn 
VËy 
D¹ng 3
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (3.1)
trong ®ã lµ ®a thøc theo n
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng ta t×m ®­îc Ta cã Trong ®ã , c lµ h»ng sè ch­a ®­îc x¸c ®Þnh , ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau :
NÕu th× 
NÕu th× 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh (3.1) ®ång nhÊt c¸c hÖ sè ta tÝnh ®­îc c¸c hÖ sè cña . BiÕt tõ hÖ thøc , tÝnh ®­îc c
Bµi to¸n 3: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (3.2) 
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh (3.2) , ta thu ®­îc 
Suy ra Do ®ã v× nªn c=1 VËy 
D¹ng 4
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (4.1) 
Trong ®ã lµ ®a thøc theo n vµ 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Ta cã Trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt , lµ mét nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt , lµ nghiÖm riªng bÊt kú cña ph­¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt 
Bµi to¸n 4: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (4.2)
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm Ta cã trong ®ã 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh , ta ®­îc 
Cho n=1 , n=2 ta thu ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh 
VËy thay vµo ph­¬ng tr×nh Ta ®­îc 
VËy
Do ®ã . Ta cã nªn VËy 
B. Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai
	Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lµ ph­¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng 
trong ®ã a,b,c, , lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ lµ biÓu thøc cña n cho tr­íc
(NX: Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp hai lu«n cã hai nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i trong tr­êng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc ) 
D¹ng 1
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (5.1) 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng t×m Khi ®ã
NÕu lµ hai nghiÖm thùc kh¸c nhau th× , trong ®ã A vµ B ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt 
NÕu lµ hai nghiÖm kÐp th× , trong ®ã A vµ B ®­îc x¸c ®Þnh khi biÕt 
Bµi to¸n 5: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn sau
 	(5.1)
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm kÐp 
Ta cã 
 (5.2)
Cho n=0 , n=1 thay vµo (5.2) ta thu ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh 
VËy 
D¹ng 2
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (6.1)
trong ®ã a # 0, lµ ®a thøc theo n cho tr­íc
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng ®Ó t×m . Khi ®ã ta cã trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt vµ lµ mét nghiÖm tuú ý cña ph­¬ng tr×nh 
Theo d¹ng 1 ta t×m ®­îc , trong ®ã hÖ sè A, B ch­a ®­îc x¸c ®Þnh , ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau :
NÕu th× lµ ®a thøc cïng bËc víi 
NÕu lµ nghiÖm ®¬n th× lµ ®a thøc cïng bËc víi
NÕu lµ nghiÖm kÐp th× lµ ®a thøc cïng bËc víi,
Thay vµo ph­¬ng tr×nh , ®ång nhÊt c¸c hÖ sè, tÝnh ®­îc c¸c hÖ sè cña . BiÕt tõ hÖ thøc tÝnh ®­îc A, B
Bµi to¸n 6: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (6.2)
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm kÐp Ta cã trong ®ã 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh (6,2) , ta ®­îc 
Cho n=1 , n=2 ta thu ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh 
VËy 	
Do ®ã 
Mặt kh¸c 
VËy 
D¹ng 3
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (7.1) 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Gi¶i ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng ®Ó t×m Khi ®ã ta cã trong ®ã ®­îc x¸c ®Þnh nh­ d¹ng 1 vµ hÖ sè A vµ B ch­a ®­îc x¸c ®Þnh, ®­îc x¸c ®Þnh nh­ sau 
NÕu th× 
NÕu lµ nghiÖm ®¬n th× 
NÕu lµ nghiÖm kÐp th× 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh , dïng ph­¬ng ph¸p ®ång nhÊt thøc c¸c hÖ sè sÏ tÝnh ®­îc hÖ sè k . BiÕt tõ hÖ thøc tÝnh ®­îc A,B 
Bµi to¸n 7: T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm kÐp Ta cã trong ®ã 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh , ta ®­îc 
VËy . Do ®ã . (1) Thay vµo ph­¬ng tr×nh (1) ta thu ®­îc 
VËy 
D¹ng 4
 T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (8.1) 
trong ®ã a # 0 , lµ ®a thøc theo n vµ 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
	Ta cã trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh thuÇn nhÊt , lµ nghiÖm riªng tïy ý cña ph­¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt lµ nghiÖm riªng tïy ý cña ph­¬ng tr×nh kh«ng thuÇn nhÊt 
Bµi to¸n 8: ( §Ò thi OLYPIC 30 -4 To¸n 11 LÇn thø VIII- 2002 )
T×m tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
 (8.2)
Bµi gi¶i Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cã nghiÖm Ta cã 
trong ®ã
Thay vµo ph­¬ng tr×nh , ta ®­îc 
VËy
Do ®ã 
Thay vµo ph­¬ng tr×nh , ta ®­îc 
Do ®ã 
VËy 
 (8.3) 
Ta thay vµo (8.3) ta ®­îc hÖ ph­¬ng tr×nh 
VËy 
C. Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba
	Ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lµ ph­¬ng tr×nh sai ph©n d¹ng 
 (a.1)
trong ®ã a,b,c, d, ,, lµ c¸c h»ng sè , a # 0 vµ lµ biÓu thøc cña n cho tr­íc
(NX: Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba lu«n cã ba nghiÖm kÓ c¶ nghiÖm phøc, song néi dung cña ®Ò tµi chØ dõng l¹i trong tr­êng sè thùc , tøc lµ chØ xÐt nghiÖm thùc ) 
Ph­¬ng ph¸p gi¶i 
NghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba cã d¹ng , trong ®ã lµ nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh thuÇn nhÊt, lµ mét nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh tuyÕn tÝnh kh«ng thuÇn nhÊt 
XÐt ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng 
 (a.2)
X¸c ®Þnh c«ng thøc nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh sai ph©n tuyÕn tÝnh cÊp ba thuÇn nhÊt
NÕu (a.2) cã ba nghiÖm thùc ph©n biÖt th× 
NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 2 vµ mét nghiÖm ®¬n th× 
NÕu (a.2) cã mét nghiÖm thùc béi 3 th× 
X¸c ®Þnh nghiÖm riªng cña ph­¬ng tr×nh (a.1)
XÐt lµ ®a thøc cña n ta cã 
NÕu th× lµ ®a thøc cïng bËc víi 
NÕu (nghiÖm ®¬n ) th× , lµ ®a thøc cïng bËc víi 
NÕu (béi 2 ) th× lµ ®a thøc cïng bËc víi 
NÕu (béi 3) th× lµ ®a thøc cïng bËc víi 
XÐt ta cã 
NÕu th× 
NÕu (nghiÖm ®¬n ) th× 
NÕu (nghiÖm béi s ) th× 
Bµi to¸n 9: T×m d·y sè biÕt r»ng 
 (9.1) 
Bµi gi¶i XÐt ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng 
cã 3 nghiÖm thùc
VËy 
Cho n=1, n=2, n=3 vµ gi¶i hÖ ph­¬ng tr×nh t¹o thµnh, ta ®­îc 
VËy 
D. Bµi tËp ¸p dông
Bµi to¸n 10: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau 
 (10.1) 
Chøng minh sè lµ sè chÝnh ph­¬ng
Bµi gi¶i Ta cã 
	(10.2)
Trong (9.2) ta thay n bëi n-1, ta ®­îc 
	(10.3)
Trõ c¸c vÕ cña (10.1) cho (10.2) ta thu ®­îc 
 (10.4)
Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña (10.4) lµ 
cã nghiÖm lµ nghiÖm béi bËc ba
VËy nghiÖm tæng qu¸t cña ph­¬ng tr×nh (10.4) lµ 
Cho n=0, n=1, n=2 ta ®­îc 
Ta thu ®­îc vµ tõ ®ã ta cã 
§iÒu nµy chøng tá A lµ mét sè chÝnh ph­¬ng
Bµi to¸n 11: Cho d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau 
 (11.1) 
Chøng minh r»ng 
Bµi gi¶i XÐt d·y sè víi vµ 
 (11.2)
DÔ thÊy . Do ®ã chØ cÇn chøng minh
§Æt suy ra . NhËn xÐt r»ng 
 (11.3)
Ta l¹i cã 
 suy ra (11.4)
ThÕ (11.4) vµo (11.3) ta ®­îc 
Suy ra 
 (11.5)
Ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña (11.5) lµ 
 cã nghiÖm 
NghiÖm tæng qu¸t cña (11.1) lµ 
Ta cã 
Do ®ã ta nhËn ®­îc 
 	 (11.6) 
Tõ (11.6) ta suy ra 
Ta cÇn chøng minh 
Do 
Nªn . Tõ ®ã , ta cã , vµ khi ®ã 
VËy 
E. Bµi tËp t­¬ng tù
Bµi 1: X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau
Bµi 2: Cho d·y sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Chøng minh r»ng lµ mét sè lÎ
Bµi 3: Cho d·y sè x¸c ®Þnh bëi 
Chøng minh r»ng 
Bµi 4: Cho d·y sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Chøng minh r»ng lµ mét sè chÝnh ph­¬ng
Bµi 5: (TuyÓn tËp ®Ò thi Olympic 30 – 4 To¸n 11 LÇn thø VIII – 2002
NXB gi¸o dôc )
Cho d·y sè tho¶ m·n nh­ sau 
Chøng minh : 
( kÝ hiÖu chia hÕt )
Bµi 6: Cho d·y sè tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
Chøng minh r»ng tån t¹i c¸c h»ng sè nguyªn M sao cho c¸c sè ®Òu lµ sè chÝnh ph­¬ng
Bµi 7: ( B¸o To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ sè 356) 
Cho d·y sè ( i=1,2,3,4)®­îc x¸c ®Þnh bëi 
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 
Bµi 8: Cho d·y sè nguyªn d­¬ng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn 
T×m sè nguyªn d­¬ng h bÐ nhÊt cã tÝnh chÊt
F. X©y dùng bµi to¸n vÒ d·y sè truy håi
NhËn xÐt : Néi dung cña ®Ò tµi trªn gióp b¹n ®äc t×m ra c«ng thøc tæng qu¸t cña mét líp d·y sè cã tÝnh chÊt truy håi mét c¸ch chÝnh x¸c nhÊt, gióp c¸c ThÇy c« kiÓm tra kÕt qu¶ bµi to¸n theo c¸ch gi¶i kh¸c. Bªn c¹nh ®ã ta cã thÓ tiÕn hµnh x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n míi vÒ d·y sè. 
	D­íi ®©y lµ mét sè vÝ dô “ x©y dùng thªm c¸c bµi to¸n vÒ d·y sè cã tÝnh quy luËt ” chØ mang tÝnh chÊt tham kh¶o. T¸c gi¶ mong muèn b¹n ®äc t×m hiÓu vµ ph¸t triÓn réng h¬n c¸c bµi to¸n kh¸c vÒ d·y sè.
VÝ dô 1: XuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh 
	 (12.1)
ph­¬ng tr×nh (12.1) cã thÓ ®­îc coi lµ ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng h¹n d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau 
cã thÓ cho . Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau
Bµi to¸n 1: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh­ sau
X¸c ®Þnh c«ng thøc cña 
Bµi to¸n 2: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh­ sau
TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc 
VÝ dô 2: XuÊt ph¸t tõ ph­¬ng tr×nh 
	 (12.2)
ph­¬ng tr×nh (12.2) cã thÓ ®­îc coi lµ ph­¬ng tr×nh ®Æc tr­ng cña mét d·y sè cã quy luËt. Ch¼ng h¹n d·y sè ®­îc x¸c ®Þnh theo c«ng thøc sau 
cã thÓ cho khi ®ã vËn dông thuËt to¸n trªn x¸c ®Þnh ®­îc c«ng thøc tæng qu¸t cña d·y sè 
 Ta cã thÓ ph¸t biÓu thµnh c¸c bµi to¸n sau
Bµi to¸n 1: X¸c ®Þnh c«ng thøc cña d·y sè tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau
Bµi to¸n 2: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh­ sau
Chøng minh r»ng lµ mét sè chÝnh ph­¬ng	
Bµi to¸n 3: Cho d·y sè x¸c ®Þnh nh­ sau
X¸c ®Þnh sè tù nhiªn n sao cho 
2.3 Các biện pháp đã tiến hành để giải quyết vấn đề.
Để thực hiện đề tài này tôi đã tìm đọc rất nhiều tài liệu viết về vấn đề này, nghiên cứu lời giải cho từng dạng toán, lựa chọn bài tập phù hợp với từng nội dung để làm nổi bật được nội dung cần phân tích.
2.4. Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm.
Trong quá trình thực hiện đề tài với việc cho học sinh lên bảng làm một số bài tập người giáo viên có thể nắm bắt được tình hình tiếp thu bài học. Nhưng để có được sự kết luận toàn diện nên giữa học kì II năm học 2013 – 2014 khi học sinh đã học song các phần liên quan đến nội dung của bài viết này tôi đã cho các lớp 11A1, 11A2 làm bài kiểm tra 45 phút với đề bài tương tự phần khảo sát thực tiễn chỉ thay đổi về mặt số liệu để thuận tiện cho việc đối chiếu so sánh kết quả thu được. 
 Trong đó lớp 11A1 là lớp thực nghiệm trong quá trình triển khai đề tài còn lớp 11A2 là lớp đối chứng không tham gia trong việc triển khai đề tài. 
 Sau khi chấm bài kiểm tra tôi thu kết quả với mức điểm được tính phần trăm như sau: 
Lớp thực nghiệm 11A1(42 học sinh) 
Lớp đối chứng 11A2 (48 học sinh)
 Điểm
Lớp
1 1 – 2,5
3 3 – 4,5
5 – 6,5
7 – 8,5
9 9– 10
 Lớp 11A1
0%
2%
18%
20%
60%
 Lớp 11A2
4%
28%
52%
14%
2%

 Căn cứ vào kết quả kiểm tra. Đối chiếu so sánh kết quả làm bài của lớp thực nghiệm và lớp còn lại không được tham gia thực nghiệm ta thấy: Với các nội dung đã trình bày trong bài viết này đã giúp các em học sinh lớp 11 có cái nhìn bao quát về cách giải các bài toán về dãy số thuộc chương trình trung học phổ thông không chuyên giúp các em tự tin hơn khi đứng trước các bài toán về dãy số đồng thời góp phần làm cho học sinh thấy hứng thú hơn nữa với môn Toán vì trong đó thường có các phép thế tuyệt đẹp các suy luận rất rất logic.
3. KẾT LUẬN
3.1. Những bài học kinh nghiệm:
	Như đã nêu trên, muốn cho học sinh học tốt hơn đối với môn học này thì người giáo viên phải có một số kỹ năng sau: 
	* Kỹ năng nêu vấn đề và hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
	* Kỹ năng giúp học sinh biết tư duy, suy luận logíc.
	* Kỹ năng trình bày lời giải.
3.2. Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm:
	Ý nghĩa của sáng kiến kinh nghiệm là nhằm tạo ra động lực thúc đẩy học sinh tích cực học tập góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy của bản thân nói riêng và kết quả giáo dục của nhà trường nói chung.
3.3 Khả năng ứng dụng, triển khai:
	Khả năng ứng dụng của sáng kiến kinh nghiệm nối bậc ở phương pháp giảng dạy đó là phương pháp đặt vấn đề và phận tích hướng dẫn học sinh giải quyết vấn đề.
3.4 Những kiến nghị, đề xuất:
	Nhằm giúp cho học sinh học tốt hơn với môn học, bản thân có kiến nghị với phòng thiết bị, Ban giám hiệu, Sở giáo dục có kế hoạch mua bổ sung một số tài liệu tham khảo và thường xuyên tổ chức các buổi thảo luận chuyên đề toán học nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn.
Tiên Lữ, ngày 25 tháng 03 năm 2014
 	 Người Viết
 Đào Hữu Trang
Tµi liÖu tham kh¶o
Lª §×nh ThÞnh- Lª §×nh §Þnh , Ph­¬ng ph¸p sai ph©n. Nhµ xuÊt b¶n §¹i Häc Quèc Gia Hµ Néi 2004
TuyÓn tËp ®Ò thi OLYMPIC 30 – 4 M«n To¸n LÇn thø V, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc 
TuyÓn tËp ®Ò thi OLYMPIC 30 – 4 M«n To¸n LÇn thø VII-2002 , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc 
T¹p trÝ To¸n Häc vµ Tuæi TrÎ Sè 356 , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc 
TrÇn ChÝ HiÕu – NguyÔn Danh Phan TuyÓn chän c¸c bµi to¸n PTTH §¹i sè vµ gi¶i tÝch 11, Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc 
NguyÔn V¨n MËu , Mét sè bµi to¸n chän läc vÒ d·y sè , Nhµ xuÊt b¶n Gi¸o Dôc - 2003