Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp hướng dẫn học sinh học tốt quan hệ vuông góc trong hình học không gian

SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO BÌNH PHÖÔÙC
TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG
SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
MOÂN TOAÙN 
ÑEÀ TAØI:MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP
HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT QUAN HỆ VUÔNG GÓC TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN
GV : TRAÙC THÒ HUYØNH LIEÂN
NAÊM HOÏC 2011 - 2012
 A/ PHAÀN MÔÛ ÑAÀU
 I/ LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI :
 Trong quá trình dạy toán ở bậc THPT tôi nhận thấy đa số học sinh rất e ngại bài
 toán hình học không gian, tình trạng này có nhiều lý do :
 1/ Để học tốt phân môn HHKG đòi hỏi người học phải có tư duy nhại bén, óc
 tưởng tượng phong phú, phải nắm được các qui ước vẽ hình. Nhưng hiện nay đa số
 học sinh lại lười tư duy, ít suy nghĩ, bài toán nào hơi khó là bỏ qua không kiên trì 
 tìm kiếm phương pháp giải.
 2/ Phân môn HHKG được học phần cơ bản ở lớp 11 và phần tổng hợp ở lớp 12.
 Do đó đa số học sinh không chú ý, không nắm vững vấn đề cốt lõi của chương trình
 lớp 11, không rèn luyện kỹ năng giải toán từ lớp 11 nên khi lên lớp 12 hầu hết các 
 em đều sợ phần HHKG này.
 Mặt khác trong đề thi tốt nghiệp THPT và đề thi ĐH luôn có một bài toán HHKG
 ở phần bắt buộc,vì vậy đeå giuùp caùc em hoïc sinh làm tốt hơn bài toán HHKG trong
 các kỳ thi toâi maïnh daïn vieát ñeà taøi naøy.Nội dung đề tài này tôi chỉ gợi ý một vài
 dạng toán chủ lực và phương pháp giải để từ đó học sinh vận dụng vào giải đề
 toán trong các kỳ thi.
 Tôi raát mong nhaän ñöôïc yù kieán ñoùng goùp chaân thaønh cuûa quí thaày coâ cuøng
 ñoàng nghieäp ñeå baøi vieát ñöôïc toång quaùt hôn, hay hôn
 II/ NỘI DUNG :
 Bài viết gồm các phần sau:
 1/ Cách xác định đoạn vuông góc hạ từ một điểm đến một mặt phẳng. Từ dạng
 toán này học sinh tính được khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, khoảng
 cách từ một đường thẳng đến một mặt phẳng song song với nó, khoảng cách giữa 
 hai mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau, tính góc 
 giữa đường thẳng và mặt phẳng.
 2/ Cách vẽ mặt phẳng qua M vaø song song với hai đường thẳng a và b cho trước, 
 tìm thieát dieän.
 Từ dạng toán này học sinh vẽ được maët phaúng qua M và song song với maët phaúng 
 cho trước, vẽ được maët phaúng qua M và vuông góc với đường thẳng a cho trước,
 vẽ được maët phaúng chöùa ñöôøng thaúng a vaø vuông góc với maët phaúng cho trước.
 Đồng Xoài, ngày 26 tháng 1 năm 2012
 Giáo viên
 TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
B/ PHAÀN NOÄI DUNG
 Dạng 1 : Caùch xaùc ñònh ñoïan vuoâng goùc haï töø ñieåm M ñeán maët phaúng ()
 TH1 : Ta có định lý : « Neáu từ M coù caùc ñoïan xieân daøi baèng nhau thì hình chieáu cuûa chuùng 
 phải baèng nhau và ngược lại », căn cứ vào định lý này ta xác định chân đường vuông góc hạ từ 
 điểm M 
 TH2 : Neáu từ M khoâng coù caùc ñoïan xieân daøi baèng nhau thì : 
 + Choïn maët phaúng qua Mvaø ()
 + Tìm c = ()
 + Töø M haï ñöôøng vuoâng goùc MH ñeán ñöôøng giao tuyeán c 
 Ứng dụng 1 : Khoảng cách từ điểm M đến maët phaúng (): là độ dài MH
Ví duï 1: Cho hình choùp S.ABC coù ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a , SA = SB = SC = 
a/ Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) ?
b/ Tính goùc giöõa SA vaø maët phaúng ( ABC) ?
S
A
B
C
H
 Giải:
 Nhận xét:Do SA = SB = SC nên bài toán này thuộc TH1
 Gọi H là hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC)
 Do SA = SB = SC nên HA = HB = HC
 H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
 Do tam giác ABC đều nên H là trọng tâm tam giác ABC
 d( S, (ABC)) = SH
 Ta có HA = 
 Xét tam giác SAH: 
 VSABC = = 
 b/ 
 cos= 
 Từ cách xác định ở TH1 ta đi đến một nhận xét cho hình chóp đa giác đều:
 “ Trong hình chóp đa giác đều thì hình chiếu vuông góc của đỉnh trên mặt phẳng đáy phải trùng với 
 tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy”
Ví duï 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng a,Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD 
 Nhận xét Vì S.ABCD là hình chóp đều nên hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABCD) phải trùng với 
 tâm đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .Từ đó ta có cách vẽ hình như sau:
 * Bước 1: Vẽ hình vuông ABCD, lấy giao điẻm hai đường chéo là O
 * Bước 2: Từ O dựng đường vuông góc với mặt phẳng (ABCD), chọn đỉnh S khác O trên đường 
 vuông góc này 
 * Bước 3: Nối S với các đỉnh A, B, C, D ta được hình chóp S.ABCD
S
A
B
C
D
O
 Giải:
 Vì S.ABCD là hình chóp đều nên SO (ABCD) với O = ACBD
 VSABCD = 
 SABCD = a 2
 Xét tam giác SAO vuông tại O có SA = a, 
 OA = 
 Vậy 
Ví duï 3: Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB ^ (BCD) 
vµ AB = a. TÝnh kho¶ng c¸ch:
 1) Tõ D ®Õn (ABC) 2) Tõ B ®Õn (ACD)
A
B
C
D
M
H
K
 Giải:
 1/ Nhận xét : ta cần xác định đoạn vuông góc hạ từ D 
 đến mặt phẳng ( ABC)
 DB = DC = a, DA = a( xét tam giác ABD vuông tại B)
 ta tìm hai mặt phẳng vuông góc nhau trong đó có một 
 mặt phẳng đi qua D
 Ta có : 
 AB (BCD) (ABC)(BCD) 
 Mà (ABC)(BCD) = BC
 Kẻ DH BC DH ( ABC)
 Vậy khoảng cách từ D đến (ABC) là DH = a
 ( do DH là đường cao trong tam giác đều BCD)
 2/ Tính d( B,(ACD))?
 Cách 1 : Gọi M là trung điểm CD, ta có :
 (ACD)(ABM)
 Mà (ABM)(ACD) = AM
 Kẻ BK AM BK ( ACD)
 Vậy khoảng cách từ B đến (ACD) là BK
 Xét tam giác ABM vuông tại B
 d( B,(ACD)) = BK = 
 Cách 2 : Nhận xét : ta có BA = BC = BD = a nếu K là hình chiếu vuông góc của B trên (ACD) 
 thì KA = KC = KD K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ACD
 Do AC = AD = a nên K nằm trên AM, tính BK = 
 Ứng dụng 2 : Khoảng cách từ đường thẳng a đến maët phaúng () song song với a
Ví duï 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, 
SA ^ (ABCD), SA = h. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. TÝnh kho¶ng c¸ch:
 1) Tõ B ®Õn (SCD) 2) Tõ O ®Õn (SCD) 
 3)Giữa SC và BD 4) Giữa AB và SC 
 Giải:
S
B
A
D
C
O
K
I
H
E
 1/ Tính d(B,(SCD)) ?
 Nhận xét : Từ B ta không có các đoạn xiên bằng nhau đến 
 mặt phẳng (SCD) và cũng không tìm được một mặt phẳng chứa 
 B và vuông góc với (SCD), nhưng B nằm trên cạng AB và 
 AB//CD nên AB//(SCD)
 Do đó d(B,(SCD)) = d(AB,(SCD))= d(A,(SCD))
 Ta có : 
 Mà (SAD)(SCD) = SD
 Kẻ AH SD AH ( SCD)
 Vậy khoảng cách từ B đến (SCD) là AH
 Xét tam giác SAD vuông tại A
 AH = 
 2/ Tính d(O,(SCD)) ?
 Nhận xét : OI//SA và OI = SA với I là trung điểm SC
 OK//AD và OK = AD với K là trung điểm CD
 (OIK) //(SAD)
 CD(SAD) nên CD (OIK)(SCD) (OIK)
 Mà (OIK)(SCD) = IK
 Kẻ OEIK OE ( SCD)
 Vậy khoảng cách từ O đến (SCD) là OE
 Xét tam giác OIK vuông tại O
 OE = 
 Ứng dụng 3 :Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b là độ dài
 đoạn vuông góc chung của a và b hoặc bằng khoảng cách từ đường thẳng a 
 đến một mặt phẳng chứa đường b và song song với đường a 
 Caùch tìm ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa hai ñöôøng thaúng cheùo nhau a vaø b :
 +Choïn maët phaúng 
 +Töø ñieåm M thích hôïp treân ñöôøng a haï 
 +Töø H döïng a/ // a 
 +Töø I döïng IJ // MH ( J naèm treân ñöôøng a)
 IJ laø ñoïan vuoâng goùc chung cuûa a vaø b 
 THÑB : Neáu a cheùo b vaø a vuoâng goùc vôùi b thì :
 + Choïn maët phaúng 
 + Tìm H laø giao ñieåm cuûa a vaø (
 +Töø H döïng HI vuoâng goùc vôùi b IH laø ñoïan vuoâng goùc chung cuûa a vaø b 
S
B
A
D
C
O
K
I
H
E
 Giải tiếp ví dụ 3:
 3/ Tính khoảng cách giữa SC và BD
 Ta có 
 Như vậy BD và SC là hai đường thẳng chéo nhau nhưng 
 vuông góc với nhau, hình chiếu vuông góc của B trên mặt 
 phẳng (SAC) là điểm O
 Ta có : BO (SAC). Từ O dựng OH SC 
 OH là đoạn vuông góc chung của SC và BD
 Xét tam giác SAC có OH // AE và OH = 
 Vậy khoảng cách giữa SC và BD là OH = 
 4/ Tính khoảng cách giữa AB và SC
 Ta có AB // (SCD) nên d ( AB,SC) = d( AB, (SCD)) = d( A, (SCD))
 Vì CD (SAD) (SCD) (SAD) 
 , kẻ AI SD AI (SCD)
 Xét tam giác SAD : 
 Vậy d ( AB,SC) = d( A, (SCD)) = AI = 
 Ứng dụng 4:xác định và tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng 
 Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)thì :
 Bước1:Xác định giao điểm cuả a và (P) , giả sử là điểm A
   Bước2:Trên a chọn điểm M khác điểm A, từ M ta xác định đoạn vuông góc MH 
 đến mặt phẳng (P)
 Bước3:Xác định hình chiếu của a trên mặt phẳng (P)là b, từ đó xác định góc 
 giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P)
Ví duï 4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a, 
SA ^ (ABCD), SA = a. Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Tính góc tạo bởi 
a/ SD và (ABCD) b/ SC và (SAB) c/ SB và (SAC)
S
B
A
D
C
O
 Giải:
 a/ Nhận xét : SD và (ABCD) có điểm chung là D, chọn điểm S
 Từ S ta có SA ^ (ABCD)
 SD là đường xiên có hình chiếu trên (ABCD) là AD 
 Xét tam giác SAD vuông tại A
 tan= 
 b/ Nhận xét : SC và (SAB) có điểm chung là S, chọn điểm C
 Từ C ta tìm đường vuông góc với mặt phẳng (SAB)
 Ta có 
 SC là đường xiên có hình chiếu trên (SAB) là SB
 Xét tam giác SBC vuông tại B có SB = 
 c/ Nhận xét : SB và (SAC)có điểm chung là S, chọn điểm B
 Từ B ta tìm đường vuông góc với mặt phẳng (SAC)
 Ta có 
 SB là đường xiên có hình chiếu trên (SAC) là SO
 Xét tam giác SBO vuông tại O
Ví duï 5: Cho h×nh chãp đều S.ABCD cã đường cao SO = h, tạo với mặt bên (SCD) một góc 300. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
S
A
B
C
D
O
K
H
 Giải:
 Nhận xét:Ta cần xác định góc 300 là góc giữa SO với mặt phẳng (SCD)
 SO và (SCD)có điểm chung là S, chọn điểm O
 Từ B ta tìm đường vuông góc với mặt phẳng (SAC)
 Từ O ta không có các đoạn xiên bằng nhau nên ta cần tìm một mặt
 phẳng chứa O và vuông góc với (SCD) 
 Gọi K là trung điểm CD
 Ta có 
 Kẻ OH 
 SO là đường xiên có hình chiếu trên (SCD) là SH
 Xét tam giác SOK ta có 
 Vậy 
 Dạng 2: Vẽ mặt phẳng thỏa điều kiện về song song hay vuông góc
 Trong dạng toán này ta chỉ cần nắm vững một dạng cơ bản là veõ maët phaúng () qua M vaø () // a , 
 () // b , các dạng khác ta đều đưa về dạng cơ bản để vẽ .Phương pháp này giúp học sinh học tốt hơn vì 
 không cần phải nhớ nhiều, ngoài ra dạng cơ bản được hình thành từ một định lý rất quen thuộc với các em 
 trong bài đường thẳng song song với mặt phẳng , đó là định lý “ Nếu một đường thẳng a song song với 
 một mặt phẳng (P) thì bất kỳ mặt phẳng (Q) nào chứa a và cắt (P) theo một giao tuyến b thì b//a”
 Dạng cơ bản: Veõ maët phaúng () qua M vaø () // a , () // b .tìm thieát dieän ?
 Phương pháp: +Choïn maët phaúng (qua M vaø (chöùa ñöôøng thaúng a 
 .Vaäy a// c 
 + laøm töông töï cho ñöôøng thaúng b 
Ví duï 1: Cho h×nh chãp S.ABCD có ®¸y ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mÆt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Òu; SC = SD = . M lµ ®iÓm trªn c¹nh AD. MÆt ph¼ng (P)qua M song song với AB và SC cắt BC , SB, SA lần lượt tại tại N, P, Q
a/Chøng minh MQ//SD
b/ Tứ giác MNPQ hình gì?
c/ §Æt AM = x . TÝnh diÖn tÝch tø gi¸c MNPQ theo a vµ x. T×m x ®Ó diÖn tÝch nµy nhá nhÊt
 Giải: Nhận xét:Để vẽ được mặt phẳng (P) trước hết ta chọn một mặt phẳng chứa M và AB 
 hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (ABCD) thỏa điều kiện chứa M và AB , nên ta sử dụng (P)//AB
 a/Chøng minh MQ//SD
 * 
 Nhận xét:Lúc này ta có hai điểm M, N nằm trong (P), tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa
 M hay N và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SBC) thỏa điều kiện chứa N và SC , 
 nên ta sử dụng (P)//SC
S
A
B
C
D
M
N
P
Q
 *
 Nhận xét:Lúc này ta có ba điểm M, N,P nằm trong (P),
 tiếp tục ta chọn một mặt phẳng chứa một trong ba điểm M, N,
 P và chứa AB hoặc SC, ở đây ta thấy mặt phẳng (SAB) thỏa 
 điều kiện chứa P và AB , nên ta sử dụng (P)//AB
 * 
 Bây giờ ta chứng minh MQ//SD
 Do 
 Mà 
 Ta lại có 
 b/ Tứ giác MNPQ hình gì?
 Ta có 
 Mặt khác SC = SD nên 
 Vậy tứ giác MNPQ là hình thang cân
 c/ Tính diện tích MNPQ?
 với QK là đường cao của hình thang MNPQ
 Ta có MN = AB = a
 Xét tam giác SBC có NP//SC nên 
 Xét hình vuông ABCD có MN//AB nên 
 Suy ra 
 Xét tam giác SAB có PQ//AB nên 
 Xét tam giác SAD có MQ//SD nên 
 Suy ra 
 Kẻ đường cao QK của hình thang MNPQ, ta có MK = 
 Xét tam giác MQK : QK = với MQ = NP
 Vậy 
 */ Tìm x để diện tích MNPQ là nhỏ nhất ?
 Ta có 
 Theo bất đẳng thức Cô Si ta có 
 .Dấu « = » xảy ra khi 2a – x = x x = a, khi đó M trùng D
 Vấn đề : Veõ maët phaúng () qua M và ()//ø.tìm thieát dieän ?
 Phương pháp : + Söû duïng tính chaát : quay veà daïng cơ bản
Ví duï 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành với AB = a, AD = 2a, tam giác SAB vuông cân tại A.M là điểm trên cạnh AD sao cho AM = x 
(0< x< a). Mặt phẳng (P) qua M song song với mặt phẳng (SAB) cắt BC, SC, SD lần lượt tại N, P, Q
a/ Tứ giác MNPQ hình gí?
b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x.
 Giải : 
 a/ Do (P) //( SAB) nên (P)//SA, (P)//SB và (P)//AB
 *
S
A
B
C
D
M
N
P
Q
 *
 *
 Vì MN//AB, AB//CD nên MN//CD, suy ra 
 suy ra MN//PQ
 Mặt khác 
 Vậy tứ giác MNPQ là hình thang vuông
 b/ Tính diện tích MNPQ theo a và x.
 . Ta có MN = AB = a
 Xét tam giác SAD có MQ//SA nên 
 Xét tam giác SCD có PQ//CD nên 
 Xét tam giác SAD có MQ//SA nên 
 Suy ra 
 Vậy 
 Vấn đề : Veõ maët phaúng () qua M vaø ():
 Ta có định lý:, căn cứ vào định lý trên ta có phương pháp vẽ mặt phẳng như sau:
 Phương pháp: + Tìm ba , c a
 + Neáu b khoâng qua M thì b// (),neáu b qua M thì b 
 +Làm tương tự cho đường thẳng c
 + quay về dạng cơ bản
Ví duï 3: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang vu«ng t¹i A vµ B víi 
AB = BC = a, AD = 2a, SA ^ (ABCD) vµ SA = 2a. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh AB; (a) lµ mÆt ph¼ng qua M vu«ng gãc víi AB. §Æt x = AM (0 < x < a).
 a) T×m thiÕt diÖn cña h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (a). ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
 b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
 Giải :
 Nhận xét : Trước hết ta phải xác định mặt phẳng(a ) Muốn vậy ta tìm hai đường thẳng không
 cùng phương và vuông góc với AB
 Ta có 
 Mặt khác 
 Vậy mặt phẳng (a) là mặt phẳng đi qua M và song song với hai đường thẳng BC và SA
S
A
B
C
D
M
N
P
Q
I
E
 *
 *
 *
 .Suy ra thiÕt diÖn tạo bởi h×nh chãp S.ABCD víi mÆt ph¼ng (a)là MNPQ
 Ta có 
 Mặt khác: 
 Vậy MNPQ là hình thang vuông
 b/ 
 Xét hình thang ABCD , gọi I là trung điểm AD, E là giao điểm của MN và CI
 MN = ME + EN , ME = a = AI = ID = CI
 Xét tam giác CID: , mà 
 MN = 2a – x
 Xét tam giác SAB: 
 Xét tam giác SBC: 
 Xét tam giác SAB:
 Suy ra 
 Vậy 
 Vấn đề : Veõ maët phaúng () chöùa ñöôøng thaúng a vaø ():
 Ta có định lý:, căn cứ vào định lý trên ta có phương pháp vẽ mặt phẳng 
 như sau: Phương pháp: + Tìm b
 + Neáu b vaø a coù ñieåm chung thì b 
 + Neáu b vaø a khoâng coù ñieåm chung thì b// ()
 + quay veà daïng cơ bản
Ví duï 4: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh vu«ng c¹nh a; SA ^ (ABCD) vµ 
SA = a. Gäi (a) lµ mÆt ph¼ng chøa AB vµ vuông góc với (SCD).
 a) X¸c ®Þnh râ mÆt ph¼ng (a). mÆt ph¼ng (a) c¾t h×nh chãp S.ABCD theo thiÕt diÖn lµ h×nh g×?
 b) TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
 Giải :
 Nhận xét : Để xác định mặt phẳng(a )ta tìm đường thẳng vuông góc với
S
A
B
C
D
H
K
 mặt phẳng (SCD)
 Ta có 
 Suy ra 
 Vậy mặt phẳng (a) chính là mặt phẳng (ABH)
 Do AB//CD nên (ABH)// CD
 Ta có 
 AH (SCD) AH KH
 Vậy thiết diện tạo bởi (a) và hình chóp S.ABCD là hình thang vuông ABKH
 b/ TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn.
 Xét tam giác SAD :
 SA 2 = SH.SD
 Xét tam giác SCD :
 Vậy = 
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN
 Bµi 1: Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a, mÆt bªn (SAB) ^ ®¸y vµ SA = SB = b. 
 TÝnh kho¶ng c¸ch:
 a) Tõ S ®Õn (ABCD)
 b) Tõ trung ®iÓm I cña CD ®Õn (SHC), H lµ trung ®iÓm cña AB.
 c) Tõ AD ®Õn (SBC).
 Bµi 2: Cho tø diÖn ABCD cã BCD lµ tam gi¸c ®Òu c¹nh a, AB ^ (BCD) vµ AB = a. TÝnh kho¶ng c¸ch:
 a) Tõ D ®Õn (ABC)
 b) Tõ B ®Õn (ACD)
 Bµi 3: Cho hình choùp S.ABC coù ABC laø tam giaùc vuoâng taïi A , SA = SB = SC = , BC = a
 a/ Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) ?
 b/ Tính goùc giöõa SA vaø maët phaúng ( ABC) ?
 Bµi 4: Hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình thoi caïnh a , goùc A baèng 600 ,
 SA = SB = SD = 
 a/ Tính khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABCD) vaø ñoä daøi caïnh SC ?
 b/ Chöùng minh (SAC) ( ABCD) vaø SB BC ?
 c/ Goïi laø goùc giöõa hai maët phaúng (SBD) vaø (ABCD) , tính tan?
 Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b. MÆt bªn 
 SAD lµ tam gi¸c ®Òu, (P) lµ mÆt ph¼ng qua ®iÓm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC,
 mặt phẳng (P) c¾t CD; SC; SB lÇn l­ît t¹i I; J; K
 a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n
 b, TÝnh diÖn tÝch thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM. 
 Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD. Gäi M vµ N lµ hai ®iÓm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mÆt ph¼ng qua MN
 vµ song song víi SA
 a, T×m c¸c giao tuyÕn cña (P) víi (SAB) vµ (SAC)
 b, X¸c ®Þnh thiÕt diÖn cña h×nh chãp c¾t bëi mp(P)
 c, T×m ®iÒu kiÖn cña M; N ®Ó thiÕt diÖn lµ h×nh thang
 Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iÓm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ 
 mÆt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD
 a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®­êng th¼ng cè ®Þnh
 b, T×m c¸c giao ®iÓm H vµ K cña (P) víi SB vµ SD. Chøng minh lµ mét h»ng sè
 c, ThiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mp(P) cã thÓ lµ h×nh thang ®­îc hay kh«ng
 Bµi 8: Cho tø diÖn ®Òu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iÎm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC sao 
 cho AM=CP=x (0 < x < a). Mét mÆt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diÖn theo mét 
 thiÕt diÖn
 a, Chøng minh thiÕt diÖn lµ h×nh thang c©n
 b, TÝnh x ®Ó diÖn tÝch thiÕt diÖn nhá nhÊt
 BAØI 9 : Töù dieän SABC coù , AB = 2a , BC = a, SA ( ABC), SA = a.Goïi M laø 
 trung ñieåm cuûa AB .
 a/ Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SBC) vaø (ABC) ?
 b/ Tính ñöôøng cao AK cuûa tam giaùc AMC ?
 c/ Tính goùc giöõa hai maët phaúng (SMC) vaø (ABC) ?
 d/ Tính khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng (SMC) ?
 BAØI 10 : Cho hình choùp S.ABCD coù ñaùy ABCD laø hình vuoâng caïnh a, SA=SB=SC=SD= a
 Goïi I vaø K laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AD vaø BC .
 a/ Chöùng minh raèng (SIK) (SBC) ?
 b/ Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AD vaø SB ?
 BAØI 11 : Cho hình laäp phöông ABCD.A/B/C/D/ 
 a/ Chöùng minh raèng BC/ (A/B/CD)
 b/ Tính ñoâ daøi ñoïan vuoâng goùc chung cuûa AB/ vaø BC/
 c/ Tính goùc giöõa hai ñöôøng thaúng : AB/ vaø BC/ , AC/vaø CD/
C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1/ Sách giáo khoa hình học lớp 11 nâng cao
 2/ Dạy và học với máy tính HHKG lớp 11 và 12
 3/ Tuyển tập các bài toán HHKG của Lê hoành Phò 
 4/ Phương pháp giải toán HHKG của trường chuyên Lê Hồng Phong
D/ PHAÀN KEÁT LUAÄN
 Keát quaû thöïc hieän :
 Nội dung đề tài này,tôi đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 11 trong thời gian 14 tiết, trong 
 đó 8 tiết đầu tôi dạy và khắc sâu phần tính khoảng cách và tính góc, thời gian 6 tiết sau đó tôi 
 hướng dẫn cho học sinh phương pháp vẽ 4 dạng mặt phẳng trong quan hệ song song và vuông 
 góc , phần này tôi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên.Khi toâi daïy cho hoïc sinh vaán 
 ñeà naøy, toâi thaáy caùc em raát thích thuù, khi gaëp moät ñeà baøi töông töï caùc em ñaõ vaän duïng caùch 
 giaûi moät caùch linh hoaït. Tôi hy vọng với nội dung đề tài này tôi sẽ giúp ích được cho học sinh một
 số kinh nghiệm học hình học không gian thuần tuý để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua 
 đó các em sẽ giải được đề bài HHKG tổng hợp, các em sẽ tự tin hơn trong phòng thi và kết quả các 
 kỳ thi sẽ đạt cao hơn.
 Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây
NAÊM HOÏC MOÂN TOAÙN ÑIEÅM TÖØ 5 – 10 ÑIEÅM TÖØ 8-10 HOÏC SINH GIOÛI KHEN THƯỞNG
 3 KHOÁI SL % SL % TOAÙN 
2006-2007 182 104 57,1 18 17,3 2 Bằng khenUBND TỈNH 
2007-2008 217 198 91,2 21 9,6 Giấy khen SỞ GD-BP
2008-2009 192 178 92,7 20 10,4 4 CSTĐCS- SỞ GD-BP
2009-2010 202 191 94,5 24 11,8 6 CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD
2010-2011 198 193 97.6 38 19.2 CSTĐCS-Giấy khen SỞ GD-BP
 Kieán nghò :
 Nhieäm vuï haøng ñaàu cuûa ngöôøi giaùo vieân daïy Toaùn laø laøm sao cho hoïc sinh yeâu thích moân 
 Toaùn, chaêm chuù nghe giaûng trong giôø daïy cuûa mình vaø ñaït keát quaû cao trong caùc kyø thi. Hieän 
 nay coù raát nhieàu hoïc sinh caûm thaáy moân Toaùn tröøu töôïng, khoù hieåu, không nhớ được công thức
 ít lieân quan ñeán ñôøi soáng thöïc taïi. Do ñoù khi tröïc tieáp giaûng daïy moân Toaùn toâi luoân coá gaéng 
 tìm phöông phaùp hay ñeå caùc em tieáp caän vaán ñeà cuûa Toaùn hoïc deã daøng hôn. Saùng kieán treân laø 
 moät phaàn nhoû trong suy nghó cuûa toâi, toâi hy voïng quí thaày coâ cuõng nhö toâi tìm kieám nhieàu
 phöông phaùp hay, tröïc quan, deã hieåu ñeå hoïc sinh cuûa chuùng ta ngaøy caøng gioûi hôn, thi ñaäu 
 nhieàu hôn nöõa.
 Dù đã cố gắng rất nhiều trong việc phân tích các ví dụ nhưng cũng khó tránh khỏi những 
 sai sót.Raát mong nhaän ñöôïc yù kieán ñoùng goùp cuûa quí thaày coâ ñeå baøi vieát ñöôïc hoaøn haûo hôn.
NHAÄN XEÙT VAØ ÑAÙNH GIAÙ CUÛA TOÅ TOAÙN
NHAÄN XEÙT VAØ ÑAÙNH GIAÙ CUÛA HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC 
TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG
NHAÄN XEÙT VAØ ÑAÙNH GIAÙ CUÛA HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC 
SỞ GIÁO DỤC BÌNH PHƯỚC