Sáng kiến kinh nghiệm Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số

Mục lục
	 Trang 
A. phần Mở đầu 2 
	 i. Lý do chọn đề tài 2 
	 II. Mục đích sáng kiến kinh nghiệm 3
	 III. Nhiệm vụ nghiên cứu 3
	 	IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 3
	 v. Phương pháp nghiên cứu. 4
B. NộI DUNG
Chương 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị 
Chương 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học 
C. KếT LUậN Và KHUYếN NGHị 
D. TàI LIệU THAM KHảO 
A PHầN Mở đầu
I. Lý do chọn đề tài:
 	Trong chương trình toán THPT cực trị là phần hấp dẫn, lôi cuốn tất cả những người học toán và làm toán. Các bài toán này rất phong phú và đa dạng .
Vì vậy, các bài toán cực trị của hàm số thường xuyên có mặt trong các kì thi tốt nghiệp THPT cũng như trong các kì thi học chọn sinh giỏi quốc gia, quốc tế và các đề thi vào các trường CĐ, ĐH .
	Để giải quyết nó đòi hỏi người học toán và làm toán phải linh hoạt và vận dụng một cách hợp lý trong từng bài toán. Tất nhiên đứng trước một bài toán cực trị thì mỗi người đều có một hướng xuất phát riêng của mình. Nói như vậy có nghĩa là có rất nhiều phương pháp để đi đến kết quả cuối cùng của bài toán cực trị. Điều quan trọng là ta phải lựa chọn phương pháp nào cho lời giải tối ưu của bài toán. Thật là khó nhưng cũng thú vị nếu ta tìm được đường lối đúng đắn để giải quyết nó .
	Dạy học sinh học toán không chỉ cung cấp những kiến thức cơ bản, những dạng bài tập vận dụng trong sách giáo khoa, sách tham khảo mà điều quan trọng là hình thành cách tư duy trong suy luận toán học của mỗi học sinh thông qua các phương pháp giải toán, từ đó giúp các em có năng lực tư duy logic, độc lập sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo trong học tập và phát triển nhân cách của học sinh.
Vì vậy, để giúp các em tự tin hơn trong việc học toán, tôi xây dựng đề tài : “Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số”. 
	Từ đó giúp những người học toán và làm toán có thêm công cụ để giải quyết các bài toán cực trị .
II. Mục đích sáng kiến kinh nghiệm
-Giúp cho học sinh có cái nhìn khái quát về các phương pháp tìm cực trị của hàm số, từ đó hình thành nên các phương pháp giải toán.
-Góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộ môn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh. Góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ học sinh khá, giỏi về bộ môn Toán ở trường THPT.
-Góp phần hình thành lòng say mê, sự hào hứng học tập môn Toán, từ đó hình thành và phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh.
- Ngoài ra, đề tài còn có thể là một tài liệu tham khảo bổ ích cho các bạn đồng nghiệp trong việc bồi dưỡng HSG, luyện thi ĐH, CĐ.
III. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Để đạt tốt kết quả của đề tài, người nghiên cứu phải làm được những yêu cầu sau:
Phải nắm thật vững những vị trí, mục tiêu, đặc điểm và hệ thống chương trình toán học ở bậc THPT.
Có cái nhìn khái quát về lý thuyết của bài toán cực trị của hàm nhiều biến ở bậc đại học áp dụng vào toán học THPT dưới góc nhìn toán học sơ cấp. Từ đó góp phần giúp giáo viên THPT hiểu được bản chất của vấn đề, để áp dụng vào từng đối tượng học sinh một cách có hiệu quả nhất.
Nâng cao dần trình độ học toán và làm toán của học sinh THPT đáp ứng được nhu cầu của xã hội trong thời kỳ CNH, HĐH đất nước.
IV. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng “Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số” ở trường THPT.
Phạm vi nghiên cứu là học sinh khối lớp 10 trường THPT Yên Lãng
Sáng kiến kinh nghiệm gồm 2 chương
 Chương 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị.
 Chương 2: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học. 
 Trong các chương thì sau phần trình bày lý thuyết là một số bài tập đưa ra nhằm minh họa cho lý thuyết đã đưa ra ở trên .	
V. Phương pháp nghiên cứu.
- Nghiên cứu cơ sở lý luận và thực tiễn dạy học “Một số phương pháp giải bài toán cực trị của hàm số” trong chương trình toán học THPT.
- Nghiên cứu những khó khăn của học sinh trong việc giải bài toán cực trị của hàm số, từ đó tìm ra hướng giải quyết.
Đề tài được tiến hành nghiên cứu, thực nghiệm ở các lớp 10 trường THPT Yên Lãng. Đặc biệt ở các lớp chọn, lớp chuyên đề. Đề tài còn là một tài liệu rất tốt cho các bạn học sinh khối 12 chuẩn bị thi vào ĐH, CĐ và luyện thi học sinh giỏi .
B. NộI DUNG
	 Chương 1: Giải bài toán cực trị của hàm số bằng miền giá trị
1.1 Phương pháp chung 
 Muốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên miền D ta làm như sau :
 Gọi y0 là một giá trị tuỳ của hàm số trên D điều đó có nghĩa là hệ sau đây có nghiệm 
 Tuỳ từng dạng bài của hệ mà ta có điều kiện có nghiệm thích hợp. Trong nhiều trường hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và rút gọn sẽ đưa về dạng) (1.3)
Vì y0 là một giá trị bất kì của f(x), nên từ (1.3) thu được 
 Như vậy để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số nếu dùng phương pháp này, ta quy về việc tìm điều kiện để một phương trình (thêm điều kiện phụ) có nghiệm .
1.2. Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp
Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất như sau:
Bài tập 1.1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
Lời giải đúng:
 Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số. Khi đó phương trình sau có nghiệm 
	 	 (1.4)
Do nên từ (1.4) 
 	 (1.5)
 * thì vậy (1.5) hiển nhiên có nghiệm tức là f(x) nhận giá trị với mọi giá trị 
 * thì (1.5) là phương trình bậc hai đối với x. Do đó 
(1.5) có nghiệm khi và chỉ khi .
Kết hợp cả hai trường hợp ta được 	 (1.6)	 
Lớp 10A1 có 18/45 học sinh cho lời giải đúng, 15 học sinh có lời giải sai và 12 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A2có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai và 11 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A4 có 10/46 học sinh cho lời giải đúng, 26 học sinh có lời giải sai và 10 học sinh không có lời giải.
Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất hàm số ở mức độ trung bình khá và chỉ một số học sinh có lời giải đúng. Những học sinh có lời giải sai là do tính nhầm và một số không định hướng đựơc cách giải.
Để khắc phục những sai lầm trên ta làm như sau :
Bước 1: Nêu phương pháp chung để làm bài toán cực trị của hàm phân thức.
Bước 2: Cung cấp cho học sinh cách giải và biện luận phương trình bậc 2
Bước 3: Cung cấp cho học sinh cách giải bất phương trình bậc 2.
Bước 4: Cung cấp cho học sinh cách giải bài toán so sánh nghiệm .
Bước 5: Phân tích những sai lầm gặp phải khi gặp mỗi dạng toán.
Sau khi đưa ra các nhận xét trên và cho học sinh làm bài tâp 1.2 ta thu được kết quả ở các lớp như sau:
Bài tập 1.2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
 với 
Bài giải
Lấy thuộc miền giá trị của hàm số khi đó để sao cho phương trình có nghiệm có nghiệm
TH1: y0 = 1 x=0
TH2: 
Vậy .Từ đó suy ra 
max Y = khi ; minY=3-2 khi .
Kết quả thu được ở các lớp như sau:
Học sinh còn lúng túng khi coi y là hằng số x là biến số. Thứ hai, khi nhân 2 vế đưa về phương trình bậc 2. Tìm điều kiện có nghiệm của phương trình học sinh ở lớp 10A2, 10A4 còn lúng túng.
Tất cả các lời giải sai đều mắc phải một trong các nhận xét trên. Ngoài ra học sinh còn không chỉ ra max, min đặt tại đâu. Các học sinh không có lời là do không biết cách biện luận phương trình bậc 2.
 Lớp 10A1 có 35 học sinh cho lời giải đúng, 10 học sinh có lời giải sai. (77,8%-22,2%)
Lớp 10A2 có 28 học sinh có lời giải đúng( 62.2%); 12 lời giải sai (26,7%) và 5 học sinh không có lời giải. (11,1%)
Lớp 10A4 có 25 học sinh cho lời giải đúng(54,3%), 14 học sinh có lời giải sai (30,4%) và 7 học sinh không có lời giải(15,3%).
Bài toán 2 là một bài toán tương tự bài toán 1, sau khi được hướng dẫn phương pháp tìm cực trị đã có nhiều học sinh làm được, bên cạnh đó còn nhiều học sinh làm sai và không biết làm.
Nhận xét: Phương pháp miền giá trị có thể áp dụng để tìm Ymax, Ymin các phân thức có dạng với 
Từ những phân tích trên cho học sinh làm một số bài tập áp dụng như sau:
Bài tập 1.3: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải
 Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x). Khi đó phương trình sau có nghiệm 
 ẩn x 	 (1.7)
	(1.7) 	 (1.8)
 * Nếu y0 = 3 khi đó phương trình (1.8) trở thành vậy (1.8) có nghiệm
x = 0.
 * Nếu khi đó phương trình (1.8) có nghiệm hệ sau có nghiệm 
Ta có . . Khi đó theo định lý Viet ta có . Vậy các nghiệm của ( 1.9) cùng dấu, từ đó để hệ (1.9), (1.10) có nghiệm thì điều kiện là :
 .
Kết hợp cả hai trường hợp, phương trình (1.8) có nghiệm 
Như vậy ta được 
Nhận xét: Khi cho học sinh làm bài tập trên ta cần lưu ý như sau:
 Hàm phân thức trên có dạng trùng phương bậc 4 nên nghiệm của phương trình điều kiện phải dương.
Bài 1.4 ( ta mở rộng của bài 1.3) Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0,2] .
Nhận xét: Bài tập tập này có dạng miền xác định D = [0,2].
Bài giải
Lấy thuộc miền giá trị của hàm số khi đó để sao cho phương trình 
 có nghiệm 
 (1.11)
có nghiệm trong đoạn [0,2] .Bài toán quay trở về tìm tham số y0 để pt (1.11) có nghiệm trong đoạn [0,2]. Ta có các trường hợp sau:
 f(x)=
TH1: a = 0 hay y0 = 1 khi đó x=0 → y0=1 thoả mãn.
TH2: 
 TH2.1: f(0)=2(y0-1), f(2)=10y0-2
 TH2.2: 
 Vậy miền giá trị của hàm số là 
Ymax=1 đạt được khi x = 0 , Ymin = 3-2 đạt được khi x=
Bài tập 1.5 : Cho hàm số . 
 Tìm p, q để .
Bài giải
 Gọi y0 là giá trị tuỳ ý của hàm số, khi đó phương trình 
	 	 (1.12)
có nghiệm ẩn x .
Phương trình (1.12) 	 (1.13)
 * Nếu y0 = 1 thì (1.13) có nghiệm khi hoặc p = 0 và q = 1 	
 * Nếu thì phương trình ( 1.13) có nghiệm khi 
 . (1.14)
Xét phương trình (1.15)
Gọi t1, t2 là nghiệm của phương trình (1.15) thì nghiệm của bất phương trình 
(1.14) theo ẩn y0 là .
Kết hợp cả hai trường hợp thì ta thấy phương trình (1.13) có nghiệm khi
 trong đó t1, t2 là hai nghiệm của phương trình (1.15).
Từ đó . Như vậy bài toán trở thành: Tìm p ,q để phương trình (1.15) có hai nghiệm 9 và -1. Theo định lý Viet điều đó xảy ra khi 
 . 
Vậy hai cặp giá trị cần tìm là .
Bài tập 1.6 : Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
 trên miền 
Bài giải 
 Gọi t0 là một giá trị bất kì của hàm số f (x,y) trên miền D. Điều đó chứng tỏ hệ phương trình sau đây (ẩn x,y ) có nghiệm 
Để (1.17) có nghiệm ẩn x thì ta phải có điều kiện là 
 (1.18)
Với điều kiện (1.18 ) gọi x0 là nghiệm của (1.17) suy ra thay vào (1.16) ta được (1.19)
Do với nên hiển nhiên với điều kiện (1.18) thì (1.19) có nghiệm, nghĩa là (1.18) là điều kiện để hệ (1.16),(1.17) có nghiệm. Như vậy 
Bài tập tương tự dành cho học sinh về tự làm ( có hướng dẫn) 
Bài 1.7 Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số 
Hướng dẫn : Làm tương tự bài 1.3(Đs :)
Bài 1.8 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 
Hướng dẫn:
Do nên ta đặt với 
Khi đó ta có ,với 
( Đ/s :ymax= khi t=0 x=-3 ; ymin= khi t=1 x=1 )
Bài 1.9 :Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số A=
Hưóng dẫn: Đăt t= khi đó .( Đ/s:Amax=,Amin=)
Bài 1.10 : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 
Xét trên miền 
Hướng dẫn : Ta cũng giả sử t0 là giá trị tuỳ ý của hàm số f(x,y). Điều đó có nghĩa là hệ sau đây ( ẩn x, ẩn y) có nghiệm 
 Từ đây ta tìm miền giá trị t0 của từng hệ như vậy bài toán quay về dạng bài 1.6 và ta áp dụng nguyên lý phân rã để tìm tìm giá trị lớn nhất của hàm số .
Chương 2 : Giải bài toán cực trị của hàm số bằng phương pháp hình học
2.1 Cơ sở lý thuyết
 Bất đẳng thức tam giác 
1.Với 3 điểm A, B , C bất kì ta luôn có :
+ 
( Dấu đẳng thức xảy ra B nằm trong đoạn AC ).
+ 
(Dấu đẳng thức xảy ra C nằm ngoài đoạn AB ).
 Cách áp dụng :
+ Đưa hàm số đã cho về dạng : 
 (a, b là các hăng số )
+Sau đó định hệ trục toạ độ, chọn 3 điểm A , B , C có toạ độ xác 
định và cuối cùng sử dụng hai bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số .
2. .
2.2 Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn và giải pháp
Để thực hiện đề tài này tôi cho các lớp trên làm một số bài toán về cực trị và được kết quả như sau:
Bài 2.1. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 
Bài giải
Ta có: 
Trong mặt phẳng tọa độ , xét các điểm: 
Khi đó ta có 
, ta luôn có bất đẳng thức: 
Dấu “=” xảy ra , ta thấy 
Hay 2 
Vậy: 
Nhận xét: 
Lớp 10A1 có 15/45 học sinh cho lời giải đúng, 28 học sinh có lời giải sai và 12 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A2 có 10/45 học sinh cho lời giải đúng, 25 học sinh có lời giải sai và 15 học sinh không có lời giải.
Lớp 10A4 có 2/46 học sinh cho lời giải đúng, 24 học sinh có lời giải sai và 20 học sinh không có lời giải.
Bài toán 1 là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của hàm căn thức mức độ khá và đa số học sinh chưa có lời giải đúng. Những học sinh có lời giải sai là do tính nhầm hoặc chưa hình dung ra phương pháp giải.
Để khắc phục những sai lầm trên ta làm như sau:
	Bước 1: Cung cấp cho học sinh phương pháp tìm cực trị bằng phương pháp hình học.( Như phần lý thuyết đã cung cấp).
	Bước 2:Phân tích cho học sinh khi nào thì áp dụng phương pháp tìm cực trị bằng hình học vào đại số( Khi biểu thức trong căn có dạng tổng bình phương).
Bước 3: áp dụng một số bất đẳng thức hình học.
Bước 4: Học sinh phải nắm vững phần phương pháp toạ độ trong hình học phẳng.
 Bước 5: Thông qua cách làm của học sinh phân tích một số sai lầm gặp phải khi làm dạng toán này.
Sau khi giáo viên hướng dẫn cho học sinh làm bài tập sau:
Bài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
, với 
Lời giải đúng:
Ta có thể viết: 
 .
Với hai điểm trên mặt phẳng toạ độ, 
ta có:
Trên mặt phẳng toạ độ , đặt:
 Khi đó ta có: 	 
Vậy: .
, luôn có bất đẳng thức: 
. Mặt khác, giả sử cắt tại . 
Ta có: . Như vậy, nếu đặt thì Do đó: 
Sau khi hướng dẫn học sinh và cho làm bài tập 2 được kết quả như sau:
Lớp 10A1 có 40 học sinh cho lời giải đúng (88,9%),5 học sinh có lời giải sai. (11,2%)
Lớp 10A2 có 37 học sinh có lời giải đúng (82,2%); 8 lời giải sai (17,8%) 
Lớp 10A4 có 30 học sinh cho lời giải đúng (65,2%), 11 học sinh có lời giải sai (23,9%) và 5 học sinh không có lời giải (10,9%).
Như vậy sau khi hướng dẫn phương pháp tìm cực trị bằng phương pháp hình học đa số học sinh đã biết vận dụng và làm được bài tập.
Với phương pháp trên, sai lầm chủ yếu của học sinh mắc phải là không biết dụng đưa bài toán đại số về bài toán hình học. Một số học sinh còn lúng túng khi đặt các toạ độ tương ứng để đưa về bài toán độ độ dài trong tam giác.
Từ những phân tích trên ta cho học sinh áp dụng làm một số bài tập vận dụng như sau:
Bài 2.3 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
Lời giải đúng:
Ta có: 
 .
Với , dựng vuông tại . Trên cạnh , ta lấy điểm sao cho . Theo đính lý Pitago, ta có: 
Trong , ta luôn có 
Vậy là thì . khi .
Suy ra .	
Nhận xét: Bài toán trên là dạng hiệu của hai biểu thức, ta áp dụng hiệu của hai cạnh luôn nhỏ hơn cạnh thứ 3. 
Bài 2.4 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhỏ nhất của hàm số . Xét trên miền 
Bài giải
, ta có 
Vậy là những điểm nằm trên đường tròn có tâm , bán kính . Khi đó , ta có: 
Nối cắt đường tròn tại . Khi đó , ta có: 
Mặt khác, ta có: 
Suy ra: 
Vậy: 
Bài 2.5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
 trên miền 
Bài giải
 Ta có thể viết lại hàm như sau 
 thì điểm nằm trên đường tròn tại gốc O bán kính trong hệ trục toạ độ Oxy , xét điểm P( 1; 2). Vậy P (1; 2) cũng nằm trên đường tròn D.
Khi đó, ta có:
 với 
Do nội tiếp đường tròn 
Mặt khác, một tam giác nội tiếp đường tròn nếu tam giác đó là tam giác đều thì tam giác đó có chu vi lớn nhất.
 đều nội tiếp đường tròn có bán kính thì cạnh có độ dài:
Vậy: 
Bài 2.6. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số: 
Xét trên miền 
Bài giải
, ta có: 
 thì tập hợp những điểm M(x,y) nằm 
trên đường tròn tâm O(0;0), bán kính R = 1;
 Tập hợp các điểm N(z,t) nằm trên parabol: v=u2+3
Khi đó, ta có: 
Vậy: min MN2 = M0N0 = 4 ,
Với M0(0;1) ; N0(0;3)
Do đó, ta có :
Bài 2.7. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số:
f(x,y,z) = x (1 – y) +y(1 – z) + z( 1- x)
Xét trên miền 
Bài giải
Dựng đều với cạnh bằng 1 khi đó:.
Trên AB, BC, CA ta lần lượt đặt các đoạn:
AM = x ; BN = z ; CP = y
Do nên M có thể trùng A hoặc B
N có thể trùng B hoặc C
P có thể trùng C hoặc A
Lúc này, ta có:
 	
Hoàn toàn tương tự, ta có: 
Mặt khác, ta có: 
 . Do đó 
Bài tập tương tự cho học sinh về nhà làm: ( có hướng dẫn)
Bài 2.8 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số : 
Xét trên miền : 
 ( Đs )
Bài 2.9 Cho hàm số 
Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm 
Hướng dẫn Hàm số được viết lại dưới dạng 
Sau đó trong hệ trục toạ độ ta chọn các điểm , áp dụng bất đẳng thức trong tam giác .Suy ra giá trị nhỏ nhất của 
 ( Đs )
Bài 2.10 Cho hàm số .Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Hướng dẫn : Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm 
áp dụng bất đẳng thức tam giác . Từ đó suy ra giá trị nhỏ nhất .
( Đs )
Bài 2.11 Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Hướng dẫn : Ta viết lại hàm .
Trong hệ toạ độ Oxy, xét các điểm 
áp dụng bất đẳng thức tam giác 
( Đs )
Bài 2.12 Cho hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Hướng dẫn : Ta viết lại hàm .
Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm 
áp dụng bất đẳng thức tam giác suy ra giá trị nhỏ nhất.
( Đs )
Bài 2.13 Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Hướng dẫn : Ta viết lại hàm 
Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm 
áp dụng bất đẳng thức tam giác suy ra giá trị nhỏ nhất.
( Đs )	
Bài 2.14 Cho hàm số Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số .
Hướng dẫn : Ta viết lại 
Trong hệ toạ độ Oxy , xét các điểm 
áp dụng bất đẳng thức tam giác suy ra giá trị nhỏ nhất.
C. Phần kết luận và khuyến nghị
Kết luận và đánh giá cơ bản.
Sau khi tổ chức dạy học theo phương phỏp đề xuất trên ở các lớp 10A1 n=45 học sinh, lớp 10A2 n=45 học sinh, lớp 10A4 n=46 học sinh (HS)
Qua các số liệu trên ta thấy khi dạy học sinh có cái nhìn khái quát hoá dạng toán cực trị học sinh hiểu bài và vận dụng làm bài tập tốt hơn, điển hình là đầu điểm cao cũng nhiều hơn.
Nội dung của SKKN này được tác giả vùi công nghiên cứu trao đổi thông qua quá trình học cao học, giảng dạy tại trường THPT Yên Lãng và sự trao đổi giúp đỡ của đồng nghiệp ban bè, sử dụng một số kiến thức toán học cao cấp như giải tích lồi, các phương pháp tìm cực trị của hàm nhiều biến được ứng dụng vào giải toán THPT và kiến thức toán học sơ cấp. Và đã mang lại một số kết quả tích cực đáng khích lệ.
	Nội dung của sáng kiến kinh nghiệm đã trình bày một cách có hệ thống kiến thức cụ thể chi tiết những dạng toán cơ bản về các phương pháp tìm cực trị ở chương trình toán THPT.
Thông qua SKKN này học sinh đã tự tin hơn rất nhiều khi học toán từ đó tạo tính ham học, sáng tạo trong quá trình học và tư duy toán.
2.Khuyến nghị:
	Cần nâng cao tư duy học toán của học sinh thông qua các phương pháp giải có tính hệ thống.
	Cần giúp học sinh có các nhìn khái quát nhất thông qua các phương pháp giải, đưa ra các nhận xét có tính chính xác, phù hợp từ đó hình thành nên tính tự giác, tích cực, chủ động học tập của học sinh.
	Cần xây dựng hệ thống các phương pháp giải, các dạng bài tập tương ứng.
	Kiến thức trên chỉ được áp dụng cho học sinh khá giỏi. Giảng dạy ở các lớp mũi nhọn của trường.
SKKN này có thể được áp dụng rộng rãi để bồi dưỡng học sinh giỏi toán, luyện thi ĐH, CĐ.
	Chúng ta đã biết các bài toán tìm cực trị là các bài toán rất phong phú và đa dạng. Đòi hỏi vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vì vậy đây là nội dung rất đáng lo ngại của người học toán và làm toán.Trong SKKN này tôi đã đưa ra một số công cụ để giải quyết bài toán tìm cực trị của hàm số. Mặc dù bài toán cực trị có rất nhiều phương pháp giải nhưng do khuôn khổ của SKKN và do năng lực của bản thân còn nhiều hạn chế nên SKKN của tôi vẫn chưa nêu hết được đầy đủ và hệ thống các phương pháp để giải chúng .
	Tôi kính mong các đồng nghiệp đóng góp ý kiến để SKKN của tôi được hoàn thiện hơn . 
Tôi xin chân thành cảm ơn !
 Mê Linh, ngày 20/05/2010
 Người thực hiện
 Th.s Nguyễn Duy Trường
D. Tài liệu tham khảo
 1.Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải , Giải tích lồi, Nxb khoa học và kĩ thuật ,
Hà Nội.
 2. Phan Huy Khải (2002), Các bài toán cực trị của hàm số, Nxb Hà Nội .
 3 .Võ Giang Mai, Võ Khắc Thường, Lê Quang Tuấn, ứng dụng các tính chất của hàm số để giải bài toán: Bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất, Nxb Thanh Hoá.
 4. Tạp chí toán học và tuổi trẻ(NXBGD)