Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh Lớp 12 giải một số bài toán cực cải trị hình học trong hình tọa độ không gian

HƯỚNG DẪN HỌC SINH
GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH HỌC
TRONG HÌNH TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN
Phân 1 : ĐẶT VẤN ĐỀ
 I . Lý do chọn đề tài : 
 Trong việc dạy học toán ta luôn coi mục đích chủ yếu của bài tập toán là hình thành và phát triển tư duy toán học , tạo cho học sinh vốn kiến thức và vận dụng kiến thức vào thực tiễn . Vì vậy việc xây dựng và hình thành cho học sinh phương pháp giải từng dạng toán là hết sức cần thiết .
 Trong các đề thi tốt nghiệp trung học phổ thông hay thi tuyển sinh vào các trường Đại học , Cao đẳng ,Trung học chuyên nghiệp thường xuất hiện các bài toán về phương pháp tọa độ trong không gian . Có thể nói rằng toán về phương pháp tọa độ trong không gian rất đa dạng phong phú . Cực trị hình học trong phương pháp tọa độ trong không gian là một dạng toán khó đòi hỏi học sinh vừa phải biết tư duy hình học vừa phải biết kết hợp sử dụng phương pháp tọa độ trong không gian 
 Trong năm học 2012- 2013 được phân công giảng dạy lớp 12 trước khi dạy chương phương pháp tọa độ trong không gian bản thân tôi luôn trăn trở :
 làm thế nào để khi học sinh đọc đề thi thấy xuất hiện câu cực trị hình học trong không gian nhưng học sinh không cảm thấy sợ .Với suy nghĩ như vậy tôi đã chuẩn bị một chuyên đề xem như một đề tài cải tiến phương pháp dạy học : 
“ Hướng dẫn học sinh giải một số bài toán cực cải trị hình học trong hình tọa độ không gian “
 II Phạm vi ứng dụng 
 Đề tài được áp dụng vào giảng dạy tại lớp 12B, 12	E trường THPT Ba Đình năm học 2012- 2013
Phần 2 GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ :
 A . Cơ sở lý luận:
 Trong chương trình hình học 12 phương pháp tọa độ trong không gian tập trung chủ yếu vào các dạng toán xác định tọa đô điểm thỏa mãn điều kiện cho trước, lập phương trình đường thẳng ,mặt phẳng .vì vậy việc cung cấp nội dung phương pháp là hết sức cần thiết
 B . Cơ sở thực tiễn : 
 Đối với học sinh : Khi chưa cải tiến phương pháp mỗi lớp chỉ được 10/45 em tập trung làm bài tập dạng này 
 Đối với giáo viên : Sách giáo khoa hầu như bỏ qua dạng bài tập này, một số tài liệu cũng có điểm qua nhưng không có tính chất hệ thống .
Bài toán 1 : TÌM TOẠ ĐỘ ĐIỂM THỎA MÃN HỆ THỨC.
Dạng1: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng sao cho:
 T = aMA2 + bMB2 + cMC2 lớn nhất (nhỏ nhất)
Cách giải: 
Gọi G là điểm thỏa mãn : 
T được biểu diễn:
 = + a.GA2 + b.GB2 + c.GC2
+) Nếu a + b + c > 0 ta có Tmin MGmin M là hình chiếu của G lên (P)
+) Nếu a + b + c < 0 ta có Tmax MGmin M là hình chiếu của G lên (P)
Các ví dụ:
Ví dụ 1: 
a, Trong không gian với hệ Oxyz cho mặt phẳng : x –y – 2z = 0 và điểm A(1; 3; 1); B(3; 2; 2); C(1; 1; -1). 
Tìm điểm M sao cho T = MA2 + 2MB2 + MC2 nhỏ nhất.
b, Trong không gian với hệ Oxyz cho : x – y + 2z = 0 và các điểm A(1; 2; -1); B(3; 1; -2); C(1; -2; 1). Tìm M sao cho P = MA2 - MB2 - MC2 lớn nhất.
Lời giải: 
a. Giả sử G thỏa mãn: 
T = MA2 + 2MB2 + MC2 = 
= 4MG2 + GA2 + 2GB2 + GC2
Vì G, A, B, C cố định nên T nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của G trên mặt phẳng .
Gọi d là đường thẳng qua G và vuông góc với 
	Tọa độ của M là nghiệm của hệ: 
b. Gọi G là điểm thỏa mãn: 
MA2 - MB2 - MC2 = 
 = -MG2 + GA2 – GB2 – GC2
Vì G, A, B, C cố định nên P lớn nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất M là hình chiếu vuông góc của G lên (P) M(2; -2; -2)
Ví dụ 2:
Trong không gian với hệ Oxyz, cho ba điểm A(3; 1; 1); B(7; 3; 9); C(2; 2; 2) và mặt phẳng (P) có phương trình: x + y – z + 3 = 0. Tìm trên (P) điểm M sao cho nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi I là điểm thỏa mãn 
Ta có 
 = 
Do đó, nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu của I trên (P).
Dạng 2: Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho (MA + MB )min, maxP
A
M
B
Cách giải
* Tìm sao cho MA + MB min
+ Nếu A, B khác phía đối với (P).
MA + MBmin khi M, A, B thẳng hàng 
+ Nếu A, B cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P)
Có MA + MB = MA1 + MB
P
A
M
B
A1
Do A1 và B khác phía đối với (P) nên (MA + MB) min
(MA1 + MB) min
 khi và chỉ khi M, A1, B thẳng hàng 
* Tìm sao cho max
+ Nếu A, B khác phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P), ta có:
 = 
max = A1B 
P
A
M
B
A1
 M, A1, B thẳng hàng 
Từ đó tìm được toạ độ điểm M.
+ Nếu A, B cùng phía đối với (P)
max = AB
 thẳng hàng 
Ví dụ 1: 
Cho A(1; 1; 2); B(2; 1; -3) và mặt phẳng (P): 2x + y -3z – 5 = 0. 
Tìm điểm M thuộc (P) sao cho (MA + MB) nhỏ nhất.
Lời giải:
Xét vị trí tương đối của A, B đối với mặt phẳng (P) ta có: 
tA.tB = (2.1 + 1 – 3.2 + 5).(2.2 + 1 – 3.(-3) -5) = -72 < 0. Vậy A, B khác phía đối với (P).
Đường thẳng AB qua A(1; 1; 2) và nhận làm véc tơ chỉ phương, suy ra AB có phương trình: 
Gọi N là giao điểm của AB và (P), suy ra tọa độ điểm N là nghiệm của hệ:
Ta chứng minh MA + MB nhỏ nhất khi và chỉ khi MN
Thật vậy, lấy M ta có MA + MB 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi MN. Vậy 
Ví dụ 2:
A
B
M
A1
	Cho A(-7; 4; 4); B(-6; 2; 3) và mặt phẳng (P): 3x – y -2t + 19 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho AM + BM nhỏ nhất.
Lời giải:
	Xét vị trí tương đối của A, B đối với 
mặt phẳng (P) ta có: tA.tB = 98 > 0
Suy ra A, B cùng phía đối với (P).
Gọi A1 là điểm đối xứng với A qua (P)
MA + MB = MB + MA1
Mà MB + MA1 BA1
 MB + MA1min = BA1 B, M, A1 thẳng hàng.
Hay 
Lập phương trình đường thẳng BA1, giải hệ tìm được toạ đội điểm M
Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho A(1; 2; 3); B(4; 4;5). Viết phương trình đường thẳng AB, tìm giao điểm P của đường thẳng AB và (Oxy). 
A
B
Q
P
Chứng minh rằng: Với mọi Q biểu thức có giá trị lớn nhất khi Q P.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng AB: 
Giao điểm của đường thẳng AB với (Oxy)
 là nghiệm của hệ: 
 biểu thức có giá trị lớn nhất khi Q P. Thật vậy, ta có tA.tB = 4 > 0, suy ra A, B cùng phía đối với (Oxy). Với ba điểm Q, A, B ta có: . Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, Q, B thẳng hàng
Ví dụ:
Trong không gian Oxyz cho A(-3; 5; -5); B(5; -3; 7) và mặt phẳng (P):
 x + y + z = 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Lời giải:
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra H có toạ độ là H(1; 1; 1).
Tam giác MAB có trung tuyến MH nên MA2 + MB2 = 2MH2 + 
Do đó MA2 + MB2 min 
là hình chiếu của H trên (P)
P(P) có véc tơ pháp tuyến là và O
Mà 
Vậy M(0;0;0) thì MA2 + MB2 nhỏ nhất, khi đó MA2 + MB2 = OA2 + OB2 = 142 Bài tập áp dụng: 
1. Trong không gian với hệ Oxyz cho tam giác ABC với A(1; 2; 5); 
B(1; 4; 3); C(5; 2; 1) và mặt phẳng (P): x – y – z – 3 = 0. Gọi M là điểm thay đổi trên (P). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức MA2 + MB2 + MC2
2. Trong không gian Oxyz cho A(1; 2; 3); B(3; 4; -1) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x + y + 2z + 9 = 0. Tìm toạ độ điểm M thuộc (P) sao cho :
 MA2 + MB2 nhỏ nhất.
3. Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); (0; 1; 0); C(1; 0; -2). Tìm điểm M trên mP(P): x + y + z + 1 = 0 sao cho tổng MA2 + 2MB2 + 3MC2 có giá trị nhỏ nhất.
4. Trong không gian Oxyz cho A(-1; 3; -2); B(-3; 7; -18) và mp(P): 
2x – y + z + 1 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
5. Cho A(1; 2; 2); B(5; 4; 4) và mp(P): 2x + y – z + 6 = 0. Tìm điểm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 nhỏ nhất.
Dạng 3:
Trong không gian với hệ Oxyz cho hai điểm A, B và đường thẳng (d). Tìm điểm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất, lớn nhất
Cách giải:
Tìm điểm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất 
Bước 1: Tìm toạ độ các điểm A1, B1 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của A, B lên (d).
A
B
A1
A2
B1
N
(d)
Bước 2: Tính các độ dài AA1, BB1 từ đó tìm được điểm N chia véc tơ theo tỷ số ( Gọi N là điểm chia theo tỷ số )
Bước 3: Chứng minh (MA + MB) min 
khi và chỉ khi M trùng với N
Thật vậy: Gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng (B; (d)),
A2, B khác phía đối với (d) và thoả mãn:
 A2, N, B thẳng hàng.
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ: Cho A(1; 1; 0); B(3; -1; 4) và đường thẳng (d): 
Tìm điểm M trên (d) sao cho MA + MB nhỏ nhất.
Lời giải:
Đường thẳng (d) có phương trình tham số là: x = -1 + t; y = 1 – t; 
z = -2 + 2t, 
+, Gọi A1 là hình chiếu vuông góc của A lên d, suy ra A1 thuộc d 
Vì 
Vậy A1(0; 0; 0) và 
+, Gọi B1 là hình chiếu vuông góc của B lên d
Vì 
A
B
N
A2
M
B1
d
A1
Vậy, điểm Nchia véc tơ theo tỉ số = -1
+, Ta chứng minh (MA + MB) min 
Thật vậy, gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng 
xác dịnh bới B và d (A2 và B khác phía đối với d)
 thoả mãn AA1 = A2A1; 
 thẳng hàng
Vậy MA + MB = MA2 + MB 
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ:
Trong hệ Oxyz cho các điểm A(1; 5; 0); B(3; 3; 6) và đường thẳng 
Một điểm M that đổi trên . Xác định vị trí của M để chu vi tam giác MAB đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
2PABM = AB + MA + MB 
 có véc tơ chỉ phương: 
+, A1 là hình chiếu của A trên 
AA1 
+, B1 là hình chiếu của B trên 
BB1 nên 
+, Gọi N là điểm chia theo tỉ số - (N nằm giữa A1 và B1)
 (N là trung điểm của A1B1)
+, Ta chứng minh MA + MB min 
A
B
M
B1
A1
A2
N
Thật vậy, gọi A2 là điểm thuộc mặt phẳng xác định bởi (B; ()), A2 và B khác phía đối với và thoả mãn 
 A2, N, B thẳng hàng.
Vậy MA + MB + MA2 + MB 
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ:
Trong không gian với hệ Oxyz cho A(2; 0; 3) ; B(2; -2; -3)
:. Chứng minh A, B và () cùng nằm trong một mặt phẳng. Tìm điểm M thuộc đường thẳng sao cho MA4 + MB4 đạt giá trị nhỏ nhất.
Lời giải:
Phương trình đường thẳng AB:
Phương trình 
Gọi I là giao điểm của AB và ta có: 
)
Vậy AB và () cắt nhau tại I nên A, B và đồng phẳng.
Có: 
là trung điểm của AB , IA + IB = AB
Khi đó MA4 + MB4 
Suy ra MA4 MB4 nhỏ nhất khi M 
Bài toán 2: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG .
 Dạng 1 : Cho hai điểm phân biệt A và B. Viết phương trình mặt phẳng () chứa B và cách A một khoảng lớn nhất.
Cách giải:
Gọi H là hình chiếu của A lên (P), 
khi đó tam giác ABH vuông tại H
max = AB 
Khi đó (P) là mặt phẳng đi qua B và vuông góc với AB.
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm B(1; 2; -1) và cách gốc toạ độ một khoảng lớn nhất.
Lời giải:
Gọi H là hình chiếu của A trên mp(P) cần tìm, khi đó 
max = OB
Vậy mp(P) đi qua B(1; 2; -1) và nhận làm véc tơ pháp tuyến.
Vậy mp(P) có phương trình: 1(x – 1) + 2(y – 2) – 1(z + 1) = 0
Dạng 2: Cho điểm A và đường thẳng không đi qua A. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa sao cho khoảng cách từ A đến mp(P) là lớn nhất.
P
A
H
K
Cách giải: 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên mp(P), 
K là hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng 
max = AK 
Vậy mp(P) cần tìm là mặt phẳng chứa và vuông góc
 với AK. Hay (P) chứa và vuông góc với mp(AK;)
Ví dụ:
Cho ba điểm A(1; 1; 1); B(2; 1; 0); C(2; 0; 2). Viết phương trình mặt phẳng đi qua hai điểm B, C và cách điểm A một khoảng lớn nhất.
Lời giải: Mặt phẳng cần tìm chứa BC và vuông góc với mp(ABC). Ta có . Toạ độ véc tơ pháp tuyến của mp(ABC) là
. Suy ra mp() có một véc tơ pháp tuyến là . 
Vậy phương trình mặt phẳng () là -5(x – 2) + 2(y – 1) + Z = 0 
hay -5x + 2y + z + 8 = 0.
Dạng 3 : Cho đường thẳng d và điểm A không thuộc d . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với d và khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất . 
Cách giải : 
Bước 1 : Gọi I là hình chiếu vuông góc của A trên d . Tìm được tọa độ điểm I .
Bước 2 : Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) .Ta có IH IA Suy ra 
IHmax = IA khi và chỉ khi H A .Vậy (P) đi qua A và nhận làm vec tơ pháp tuyến . 
Bước 3 : Viét phương trình mặt phẳng (P) .
Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ O xyz choA(10;2;-1) và đường thẳng d có phương trình : . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A , song song với d và khoảng cách từ d tới (P) lớn nhất .
 Lời giải: Áp dụng phương pháp giải trên ta tìm được phương trình mặt phẳng (P) là : 7x + y -5z -77 = 0 .
 Dạng 4: Cho hai đường thẳng 1, 2 phân biệt và không song song với nhau. Viết phương trình mặt phẳng () chứa 1 và tạo với 2 một góc lớn nhất.
Lời giải: Vẽ một đường thẳng bất kỳ 3 song song với 2 và cắt 1 tại K. Gọi A là điểm cố định trên 3 và H là hình chiếu của A trên mp(). Ta có góc giữa 2 và () chính là góc AKH. Kẻ AT
Khi đó tam giác HKT vuông tại T, nên cos AKH = (không đổi)
Vậy góc AKH lớn nhất khi và chỉ khi HK = KT hay .
Góc lớn nhất đó chính bằng góc AKT = (1, 2).
Khi đó mặt phẳng () cần tìm có véc tơ chỉ phơng là 
Do đó véc tơ pháp tuyến của mp() là 
Ví dụ: Cho hai đường thẳng . Viết phương trình mặt phẳng () chứa 1 và tạo với 2 một góc lớn nhất.
Lời giải: Ta tháy hai đường thẳng trên phân biệt và không song song với nhau. Theo kết quả bài toán trên thì do , suy ra 
Do đó véc tơ pháp tuyến của mp() là 
Vậy phương trình mp() là -2x -2(y - 1) + 2z = 0 hay x + y - z - 1 = 0.
 Dạng 5 : Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc nhỏ nhất.
Cách giải:
Bước 1: Gọi M(x0; y0; x0) thuộc (d); mặt phẳng (P) chứa (d) nên điểm M thuộc (P)
Phương trình mp(P): A(x – x0) + B(y – y0) + c(z – z0) = 0 (A2 + B2 + C2 )
Bước 2: mp(P) có véc tơ pháp tuyến: 
(Q) có véc tơ pháp tuyến: 
Gọi là góc giữa (P) và (Q). Ta có 
Bước 3: (P) chứa (d) nên biểu thị sự liên quan giữa A, B, C. Tìm giá trị lớn nhất của cos .
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) chứa đường thẳng (d):
và tạo với mp(Q): 2x – y – 2z – 2 = 0 một góc nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải: 
Áp dụng kết quả bài toán trên tìm được 
= Suy ra cos lớn nhất bằng 
Vậy mp(P) có phương trình x + y – z + 3 = 0.
Bài tập áp dụng:
1. Trong không gian với hệ Oxyz cho điểm A(2; 5; 3), đường thẳng d: . Viết phương trình mp(P) chứa (d) sao cho khoảng cách từ A đến (P) lớn nhất.
2. Cho d1: . và d2: .
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d1 đồng thời tạo với d2 một góc nhỏ nhất.
3. Trong không gian với hệ Oxyz cho d: . Viết phương trình mp(P) chứa d và tạo với mp(Oxy) một góc nhỏ nhất.
Bài toán 3 : VIẾT PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG.
Dạng 1: Cho mặt phẳng () và điểm A thuộc (), điểm B khác A. Tìm đường thẳng nằm trong () đi qua A và cách B một khoảng nhỏ nhất.
Cách giải: Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên ,ta thấy d(B; ) = BH 
P
A
H
B
H
Vậy khoảng cách đó lớn nhất khi và chỉ khi . 
Khi đó là đường thẳng qua A có một véc tơ 
chỉ phương là . Gọi T là hình chiếu 
của B trên () , ta thấy .
Vậy khoảng cách BH nhỏ nhất bằng BT khi và chỉ khi hay đường thẳng đi qua A và T.
để viết phơng trình đường thẳng ta có hai cách :
+, Tìm hình chiếu vuông góc T của B trên , từ đó viết phương trình đường thẳng đi qua A và T.
+, Tìm toạ độ một véc tơ chỉ phương của đường thẳng : 
Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1;1;1) vuông góc với đường thẳng và cách điểm B(2;0;1) một khoảng lớn nhất.
Lời giải: Gọi () là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với ’.
Khi đó đường thẳng nằm trong mặt phẳng () đi qua A và cách B một khoảng lớn nhất. 
Theo bài toán trên, ta có 
Vậy phương trình đường thẳng là
Dạng 2: Cho mặt phẳng và điểm A thuộc , đường thẳng d không song song hay nằm trên . Tìm đường thẳng nằm trong đi qua A và tạo với đường thẳng d góc bé nhất, lớn nhất.
Cách giải: Vẽ đường thẳng qua A song song với d. Trên đường thẳng này lấy điểm B khác A cố định. Hình chiếu vuông góc của B trên và theo thứ tự là H và K.
P
A
H
K
A
d
Ta có: (d, ) = BAH; sin(d, ) = 
Vậy (d, ) nhỏ nhất khi và chỉ khi ,
 hay chính là đường thẳng AK.
Ta thấy một véc tơ chỉ phương của là ,
 còn đường thẳng tạo với d góc lớn nhất bằng 900 
và có véc tơ chỉ phương là .
Dạng 3 : Cho mặt phẳng và điểm A thuộc ,đường thẳng d không song song với , không nằm trên , không đi qua A. Tìm đường thẳng nằm trong mặt phẳng đi qua A sao cho khoảng cách giữa và đường thẳng d là lớn nhất.
P
B
H
C
A
d
d’
Cách giải: 
Gọi d’ là đường thẳng qua A và song song với d và B là giao điểm của d với mp. 
Gọi H là hình chiếu vuông góc của B trên
 mặt phẳng (d’,). Khoảng cách giữa d và bằng BH. 
Gọi C là hình chiếu vuông góc của B trên d’.
Ta thấy ,nên BH lớn nhất khi và chỉ khi 
Khi đó đường thẳng có một véc tơ chỉ phương . Có thể thay véc tơ bằng , trong đó T là hình chiếu vuông góc của A trên d.
Bài tập áp dụng:
1. Trong không gian với hệ Oxyz viết phương trình đường thẳng d1 qua A(1; 1; 2) và vuông góc với d2: đồng thời tạo với trục Oz góc nhỏ nhất.
2. Trong không gian với hệ Oxyz, cho d1: và hai điểm A(1; 1; 0); B(2; 1; 1). Viết phương trình đường thẳng d2 đi qua A và vuông góc với d1 sao cho khoảng cách từ điểm B đến đường thẳng d2 lớn nhất.
Phần 3 : KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC VÀ BÀI HỌC KINH NGHIỆM
1 Kết quả : 
Khi chưa thực hiện đề tài này tôi cảm thấy học sinh hay vướng mắc khi giải các bài toán về cực trị hình học trong không gian .Sau khi nghiên cứu và thực hiện giảng dạy theo đề tài này đã gây được hứng thú học tập cho học sinh và giúp học sinh giải nhiều bài khó .đây là dạng toán thường xuất hiện trong các đề thi đại học ,cao đẳng và trung học chuyên nghiệp .Giải quyết được dạng bài tập này giúp học sinh rèn luyện khả năng tư duy cho học sinh ,phát huy tỉnh tích cực sáng tạo trong học toán và hơn nữagiúp học sinh hệ thống kiến thức và phương pháp giải để học sinh tự tin hơn khi bước vào các kỳ thi
Thực tế khi thực hiện đề tài này chất lượng học sinh được nâng lên rõ rệt 
Lớp
Số HS
Điểm 8-10
Điểm 6.5 đến dưới 8
Điểm 5 đến 6.5
Điểm 2 đến dưới 5
Điểm dưới 2
12 B
45
6
13.3
13
28.9
22
48.9
4
9.8
0
0
12E
45
8
17.8
15
33.3
19
42.2
3
6.7
0
0
2 . Bài học kinh nghiệm : 
Việc lựa chọn phương pháp , hệ thống kiến thức và rèn cho học sinh khả năng tư duy là hết sức cần thiết .
Trong thực tế nhiều học sinh tiếp thu phương pháp rất nhanh nhưng việc trình bày chưa chặt chẽ vì vậy giáo viên cần sửa cho học sinh một cách tỉ mỉ .
Trên đây là mộy số kinh nghiệm được rút ra từ thực tế giảng dạy môn toán lớp 12 năm học 2012-2013 .Trong khuôn khổ có hạn của đề tài không tránh khỏi những thiếu sót , rất mong các cấp lãnh đạo các bạn đồng nghiệp trao đổi góp ý để đề tài được đầy đủ hơn, góp phần vào việc nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn toán ở trường THPT nói chung ,trường THPT Ba Đình nói riêng . 
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ
Thanh Hóa, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác.
 Mai Thị Mơ