Sáng kiến kinh nghiệm Hướng dẫn học sinh học tốt phần phương trình lượng giác

SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM
MOÂN TOAÙN 
ÑEÀ TAØI:HƯỚNG DẪN HỌC SINH HỌC TỐT PHẦN 
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
SÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO BÌNH PHÖÔÙC
TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG
GV : TRAÙC THÒ HUYØNH LIEÂN
 A/ PHAÀN MÔÛ ÑAÀU
I/ LYÙ DO CHOÏN ÑEÀ TAØI :
 Lượng giác là một bộ phận trong chương trình Toán phổ thông, công thức lượng giác tương đối nhiều và khó nhớ, nếu chỉ học thuộc lòng công thức thì học sinh rất dễ nhầm lẫn.Mặt khác trong tất cả các đề thi Đại học, cao đẳng đều có ít nhất một câu giải phương 
trình lượng giác và câu này học sinh dễ lấy điểm nếu các em biết cách học và cách nhớ.
 Theo tôi khi dạy phần lượng giác thì giáo viên cần thực hiện những công việc sau:
 1/ Giúp học sinh hiểu, thuộc và chứng minh được các công thức lượng giác.
 2/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản để chứng minh một đẳng thức lượng giác
 hay rút gọn một biểu thức lượng giác.
 3/ Giúp học sinh một số nhận xét cơ bản khi nhìn phương trình đã cho biết sử dụng công thức nào để đưa phương trình đó về dạng phương trình đã biết cách giải.
 4/ Giúp học sinh nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.
 Nội dung đề tài này tôi chỉ gợi ý một vài cách nhớ công thức lượng giác và một
 số phương pháp giải phương trình lượng giác vi tôi nhận thấy công thức lượng giác học 
sinh thường không nhớ và đa số học sinh rất e ngại phương trình lượng giác có điều kiện. 
Vì vậy đeå giuùp caùc em hoïc sinh ñaït ñieåm tối ña phần lượng giác trong các kỳ thi toâi 
maïnh daïn vieát ñeà taøi naøy.
 Tôi raát mong nhaän ñöôïc yù kieán ñoùng goùp chaân thaønh cuûa quí thaày coâ cuøng 
ñoàng nghieäp ñeå baøi vieát ñöôïc toång quaùt hôn, hay hôn. 
II/ NỘI DUNG :
 Bài viết gồm các phần sau:
 1/ Cách học và ghi nhớ công thức lượng giác.
 2/ Bài toán tìm ngọn cung khi biết cung và tìm cung khi biết ngọn cung.
 3/ Một số phương pháp biến đổi phương trình lượng giác.
 4/ Cách nhận và loại nghiệm của phương trình lượng giác có điều kiện.
 Đồng Xoài, ngày 21 tháng 2 năm 2011
 Giáo viên
 TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
B/ PHAÀN NỘI DUNG
 I/ CÁCH HỌC VÀ GHI NHỚ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
 1/HEÄ THÖÙC CÔ BAÛN :( phần này ta ghi nhớ từ định nghĩa giá trị lượng giác )
 1/ sin2x + cos2x = 1 2/ tanx = 
 3/ cotx = 4/ tanx . cotx = 1
 5/ 1 + tan2x = 6/ 1 + cot2x = 
Khi dạy định nghĩa giá trị lượng giác góc , giáo viên lưu ý tọa độ điểm ngọn cung M là (x;y) và sin= y, 
cos= x, tan= , cot= 
Từ đó giáo viên cho học sinh tìm toạ độ điểm ngọn cung M ở một vài vị trí đặc biệt, ví dụ : = 1500 ; = -3900, = ,
Sau đó giáo viên hướng dẫn học sinh tìm hiểu công thức 1,2,3 từ định nghĩa , công thức 4,5,6 học sinh phải chứng minh được, xem như một ví dụ để giáo viên đi đến dạng toán chứng minh một đẳng thức lượng giác.
 2 /CUNG LIEÂN KEÁT : ( để học thuộc công thức này trước hết các em phải thuộc định nghĩa các
 cung đối , bù ,phụ , hơn kém Sau đó thuộc phần cách nhớ và áp dụng vào bài tập)
 Hai cung ñoái nhau laø x vaø – x Hai cung buø nhau laø x vaø - x
cos( - x) = cosx 
 cos ( - x) = - cosx
sin ( - x) = sinx
 sin ( - x) = - sinx 
 tan(- x) = - tanx tan ( - x) = - tanx
 cot (- x) = - cotx cot ( - x) = - cotx
 Hai cung phuï nhau laø x vaø – x Hai cung hôn keùm nhau laø x vaø + x
 cos( - x) = sinx cos ( + x) = - cosx
 sin (- x) = cosx sin ( + x) = - sinx
tan ( + x) = tanx
cot ( + x) = cotx
 tan(- x) = co tx 
 cot (- x) = tanx 
 Hai cung hôn keùm nhau laø x vaø + x
CAÙCH NHÔÙ : Giáo viên đóng khung những trường hợp đặc biệt và ghi nhớ trường hợp đặc biệt đó , trường hợp nào không được nhắc đến thì thêm dấu trừ vào 
 cos ñoái , sin buø , phuï cheùo 
 Hôn keùm ta coù tang vaø cotang
 Hôn keùm , cheùo , sin moät mình
 cos( + x) = - sinx 
sin (+ x) = cosx 
 tan(+ x) = - co tx 
 cot(+ x) = - tanx 
 3/COÂNG THÖÙC COÄNG :(phần này các em học thuộc cách ghi nhớ , lưu ý ta luôn viết cung a 
CAÙCH NHÔÙ : 
 cos thì cos cos , sin sin 
 Sin thì sin cos , cos sin ñi cuøng 
 Cos ñoåi , sin khoâng 
 trước , cung b sau theo đúng thứ tự ) 
 cos(a – b ) = cosa.cosb + sina.sinb 
 cos(a + b ) = cosa.cosb - sina.sinb 
 sin ( a + b) = sina.cosb +sinb .cosa
 sin ( a – b) = sina.cosb – sinb .cosa
 tan ( a – b) = 
 tan ( a + b) = 
 cot ( a + b) = ( công thức tan ( a b) và cot( a b) học sinh tự chứng minh) 
 cot ( a – b) = 
 4/COÂNG THÖÙC NHAÂN: ( phần này các em tự chứng minh , xem như bài tập)
 cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2sin2a cos3a = 4 cos3a – 3cosa
 sin 2a = 2 sina.cosa sin 3a = 3sina – 4sin3a
 tan 2a = tan3a = 
 5/COÂNG THÖÙC HAÏ BAÄC NAÂNG CUNG 
 cos2 a = sin2a = tan2a = 
 6/COÂNG THÖÙC TÍNH sina , cosa , tana THEO t = tan 
 sina = , cosa = , tan a = 
 7/COÂNG THÖÙC BIEÁN ÑOÅI : ( phần này các em học thuộc cách nhớ cho công thức biến tổng thành 
 tích , sau đó suy ngược lại công thức biến tích thành tổng )
CAÙCH NHÔ : Ù 1/ Cos coäng cos baèng hai cos cos 
 Cos tröø cos baèng tröø hai sin sin 
 Sin coäng sin baèng hai sin cos 
 Sin tröø sin baèng hai cos sin 
2/ cos nhaân cos baèng cuûa cos coäng cos 
 Sin nhaân sin baèng tröø cuûa cos tröø cos 
 Sin nhaân cos baèng cuûa sin coäng sin 
 BIEÁN TÍCH THAØNH TOÅNG :
 cosa.cosb = 
 sina.sinb = 
 sina.cosb = 
 BIEÁN TOÅNG THAØNH TÍCH
 cosa + cosb = 2 
 cosa - cosb = - 2 
 sina + sinb = 2 
 sina - sinb = 2 
CAÙCH NHÔÙ : tang mình coäng vôùi tang ta 
 Baèng sin hai ñöùa chia cos ta cos mình 
 tan a + tanb = 
 tan a - tanb = 
 II/ BÀI TOÁN TÌM NGỌN CUNG KHI BIẾT CUNG 
 Ví dụ :Tìm số ngọn cung của cung x :
 1/ x = 
 2/ x = 
 3/ x = 
 Giải: 
y
 Phương pháp: Vì k Z nên ta lần lượt chọn các giá trị k = 0,1,2,...sau đó biểu diễn ngọn cung trên đường tròn lượng giác đến khi ngọn cung vừa biểu diễn trùng với ngọn cung đầu tiên thì ta dừng laị , đếm số ngọn cung đã biểu diễn trên đường tròn lượng giác và kết luận.
M()
1/ Khi k = 0 thì x = ngọn cung của x nằm ở M ()
O
 Khi k == 1 thì x = ngọn cung của x quay lại M ()
x
Kết luận : x = chỉ có 1 ngọn cung nằm ở M ()
y
O
x
N
M()
2/ Khi k = 0 thì x = ngọn cung của x nằm ở M ()
 Khi k = 1 thì x = ngọn cung của x nằm ở N
(N là điểm đối xứng của M qua O)
 Khi k == 2 thì x = ngọn cung của x quay lại M ()
Kết luận : x = có 2 ngọn cung nằm ở M và N.
O
x
N
M()
P
Q
3/ Khi k = 0 thì x = ngọn cung của x nằm ở M ()
Khi k = 1 thì x = ngọn cung của x nằm ở P 
Khi k = 2 thì x = ngọn cung của x nằm ở N
(N là điểm đối xứng của M qua O)
Khi k = 3 thì x = ngọn cung của x nằm ở Q
(Q là điểm đối xứng của N qua O)
Khi k = 4 thì x = ngọn cung của x quay lại M ()
Kết luận : x = có 4 ngọn cung nằm ở đỉnh hình vuông MNPQ nội tiếp trong đường tròn lượng giác.
Tổng quát: 
Nếu x = ( k,n Z) thì x có n ngọn cung nằm ở đỉnh đa giác đều n cạnh nội tiếp trong đường tròn lượng giác.
III/ BÀI TOÁN TÌM CUNG KHI BIẾT NGỌN CUNG 
Phương pháp: Để viết được cung x ta càn nhớ phần tổng quát ở bài toán tìm ngọn cung khi biết cung , do đó ta nhóm những ngọn cung nào tạo thành một đa giác nội tiếp trong đường tròn lượng giác lại và viết thành một cung, còn các ngọn cung khác nếu không gom lại được thì ta viết riêng
A
M()
N
P
Q
A/
y
x
O
Ví dụ : Cho cung x có các ngon cung nằm trên đường tròn lượng giác như hình vẽ .Hãy tìm cung x ?
Bốn đỉnh M,N,P,Q tạo thành một hình vuông nội tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom chung, hai đỉnh A, A/ đối xứng nhau qua O nên ta viết chung thành một cung được 
Vậy các cung x ở hình 1 là 
Hình 1
M()
A
A/
N
B
B/
y
x
O
Bốn đỉnh A,B,A/,B/ tạo thành một hình vuông nội tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta gom chung, Hai đỉnh M,N hợp với đỉnh B/ tạo thành tam giác đều nội tiếp trong đường tròn luợng giác nên ta viết chung thành một cung được.Vậy các cung x ở hình 2 là 
Hình 2
PHÖÔNG PHAÙP THU GOÏN NGHIEÄM : 
1/ Neáu vôùi thì ta ghi x = ( k , h , l )
2/ Neáu vôùi m ngoïn cung cuûa (1) hôïp vôùi n ngoïn cung cuûa (2) laäp thaønh moät ña giaùc ñeàu coù m + n caïnh thì ta ghi x = (k , h , l,n , m )
3/ Neáu vôùi m ngoïn cung cuûa (1) laø taäp hôïp con cuûa n ngoïn cung cuûa (2) 
thì ta ghi x = (k , h,n , m )
IV/ MỘT VÀI PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Phương pháp 1: Biến đổi phương trình đã cho về dạng tích số :
1/ Khi hai veá phöông trình coù nhöõng thöøa soá gioáng nhau vaø coù chöùa x thì ta phaûi chuyeån veà moät veá vaø ñöa veà phöông trình tích .
Ví duï 1: Giải phương trình : sinx ( 2 cosx +1 ) = cos2x.sinx 
Giải : sinx ( 2 cosx -1 ) = cos2x.sinx sinx ( cos2x – 2cosx – 1 ) = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : ( k )
2/ Neáu caùc goùc trong phöông trình coù daïng u , 2u ,... thì ta thöôøng duøng coâng thöùc nhaân ñoâi hoaëc coâng thöùc haï baäc naâng cung ñeå ñöa veà phöông trình chæ theo moät goùc 
Ví duï2 : Giải phương trình : sin 2x = 2 cos2x 
Giải : sin 2x = 2 cos2x 2 sinx cosx - 2 cos2x = 0 2cosx ( sinx – cosx ) = 0 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : ( k,h )
hoặc sin 2x = 2 cos2x sin2x = 1 + cos2x sin2x – cos2x = 1
Ví duï2 : Giải phương trình : cos4x - sin4x + cos4x = 0 
Giải : cos4x - sin4x + cos4x = 0 (cos2x + sin2x)( cos2x – sin2x) + cos4x = 0 
 cos2x + cos4x = 0
 2cos3x.cosx = 0 
3/ Neáu trong phöông trình coù chöùa cos2x , sin2 x thì ta duøng coâng thöùc haï baäc naâng cung 
Ví duï 3: Giải phương trình : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x 
Giải : sin2 x + sin2 2x = sin2 3x + sin24x 
 cos2x + cos4x = cos6x + cos8x
 2 cos3x cosx = 2 cos7x cosx
 cosx ( cos7x – cos3x) = 0
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : ( k,h )
4/ Neáu trong phöông trình coù daïng toång thì ta bieán thaønh tích hoaëc ngöôïc laïi 
Ví duï 4: Giải phương trình : sinx + sin 2x + sin 3x = 0 
Giải : sinx + sin 2x + sin 3x = 0 ( sin3x + sinx) + sin2x = 0 
 2sin2x cosx + sin2x = 0
 sin2x ( 2 cosx + 1) = 0 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : ( k,h )
Ví duï 5: Giải phương trình : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x 
Giải : Cosx cos7x = cos 3x cos 5x 
 cos6x = cos2x 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : ( k )
Bài tập : Giaûi caùc phöông trình sau :
1) 2) 
3) 
5) 6) 
7) 8/ sin3 x + cos3 x = sinx – cos x 
9/ 9 – 13 cosx = - 10/ 3( sinx – cos x) + sin 2x = 3 
11/ sin2 x – 6 sinx cosx + cos2 x = - 2 12 / cos 3x – cos 2x = sin 3x 
13/ 14/ sin 5x – sinx = 
15/ ( cosx + sinx )(1 – sinx ) = cos 2x 16/ cos4 x – cos 2x + 2 sin6 x = 0 
17/ cosx - cos 2x = sin 3x 18/ cos2 2x + 2cos2 x = 1
Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ để đưa phương trình đã cho về dạng phương trình đại số 
1/ Coù theå đặt aån phuï t = tan 
Ví duï 1: Giải phương trình : 6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x 
( hoặc t = tanx )
Giải: Điều kiện : x ( k )	
6tan2 x – 2cos2 x = cos 2x 6tan2 x = 2cos2x + 1
nên ta đặt aån phuï t = tan x 
Khi đó phương trình (1) trở thành : 6t2 = 2 ( ) + 16t4 + 7t2 – 3 = 0
 tan2x = 
 ( h )
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là x = ( h )
2/ Biến đổi phương trình đã cho về dạng có những biêu thức đồng dạng để từ đó ta đặt được ẩn phụ 
Ví duï 2: Giải phương trình: tanx + tan2x + tan3x + cot2x + cot3x = 6 (1) 
Giải: Điều kiện : x ( k )	
(1) ( tanx + cotx ) + ( tan2x+ cot2x ) +( tan3x+ cot3x ) = 6
Đặt t = tanx + cotx = , vì nên 
tan2x+ cot2x = t2 – 2 , tan3x+ cot3x = t3 – 3t
Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 +t2 – 2t – 8 = 0 
 = 2 sn2x = 1 x = ( h ) ( thỏa đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : x = ( h ) 
3/ Phương trình có chứa đồng thời thì ta đặt t = sinx cosx
Ví duï3 :Giải phương trình: sin3x + cos3x = 2 ( sinx + cosx) – 1 (1)
Giải: 
Đặt t = sinx + cosx = sin () . Điều kiện : t 
sin3x + cos3x = ( sinx + cosx)3 – 3sinxcosx( sinx + cosx) = t3 – 3t ( )
Khi đó phương trình (1) trở thành: t3 – 3t ( ) = 2t – 1 2t3 – 3t( t2 – 1) = 4t – 2
 t3 + t – 2 = 0 
 sin () = 
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : ( k )
4/ Phương trình có dạng : a (tan2x + cot2x ) + b( tanx – cotx) + c = 0 
Ta đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + 2
Ví duï 4:Giải phương trình: (tan2x + cot2x ) + 2 ( - 1) ( tanx – cotx) – 4 - 2 = 0 (1) 
Giải: 
Điều kiện : x ( k )
Đặt t = tanx – cotx tan2x + cot2x = t2 + 2
Khi đó phương trình (1) trở thành: ( t2 + 2) + 2 ( - 1)t – 4 - 2 = 0 
 t2 + 2 ( - 1)t – 4 = 0 
* t = -2 tanx – cotx = -2 tan2x + 2tanx – 1 = 0 
 ( k, h )( thỏa đk)
 * t = tanx – cotx = = = 
 cot2x = - = cot ( - )
 2x = - + l x = - ( l )( thỏa đk)
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là : và x = - ( k, h, l )
Bài tập:A/ Giải các phương trình sau:
1/ 2/ 
3/ 4/ 
5/ cos3x + cos2x – cosx – 1 = 0 6/ 
7/ 8/ 
9/ 2 + cosx = 2tan 10/ cotx = tanx + 2 tan2x 
11/ 1 + tanx = 2sinx 12/ sin( 2x - ) = 5 sin( x - ) + cos 3x
13/ sin( ) = 14/ 2cos( x + ) = sin3x – cos3x
B/ Tìm m để phương trình : có đúng ba nghiệm thuộc ( - )
C/ Tìm m để phương trình : cos2 x + 2 ( 1 – m)cosx + 2m – 1 = 0 có 4 nghiệm thuộc [0; 2]
D/ Tìm m để phương trình : tan4x + ( 2m – 1)tan3x + ( m2 – 2m) tan2x – ( m2 – m + 1) tanx – m + 1 = 0 
có 4 nghiệm thuộc khoảng ( - )
E/ Cho phương trình : 2( + cos2x ) + m ( - cosx) = 1 (1)
 a/ Giải phương trình khi m = 9
 b/ Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( 0;)
F/ Cho phương trình : 4tan2x + + 5 = 0 (1)
 a/ Giải phương trình khi m = - 1
 b/Tìm m để phương trình (1) có nghiệm thuộc khoảng ( - )
G/ Cho phương trình : sin3x – cos3x = m (1)
 a/ Giải phương trình khi m = 1
 b/ Tìm m để phương trình (1) có đúng 3 nghiệm thuộc đoạn [ 0 : ] 
H/ Cho phương trình : 4 ( cosx – sinx ) + sin2x = m (1)
 a/ Giải phương trình khi m = - 1
 b/Tìm m để phương trình (1) vô nghiệm 
5/ Phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm :
Khi giải một phương trình lượng giác nào đó mà quá trình giải cuối cùng dẫn đến việc phải tìm giao của hai tập hợp T1, T2, vấn đề đặt ra là làm sao một học sinh trung bình có thể tìm T1T2 được dễ dàng .Thông thường ta có hai cách làm :
C1: Dùng đường tròn lượng giác 
C2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định 
a/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh từ việc giải phương trình lượng giác không mẫu mực:
Ví dụ 5: Giải phương trình: (1)
Phân tích:
Phương pháp bình phương hay đặt ẩn phụ đều khó khăn. Ta giải phương trình (1) bằng phương pháp đánh giá miền giá trị 2 vế làm xuất hiện bất đẳng thức đối lập.
Giải: VT (1) 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
VT (1) = 2( 1 + 2sin22x) 2 vì sin22x 0
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 + 2sin22x = 1 sin2x = 0
Vậy (1) (*)
Để giải hệ (*) ta có nhân xét:
M()
A
A/
N()
B
B/
x
O
y
Ta có thể tìm nghiệm mỗi phương trình của (*). Nếu nghiệm tìm được đơn giản, ta tìm trên đường tròn lượng giác các điểm ngọn cung thuộc các tập nghiệm mỗi phương trình. Chọn lấy những điểm ngọn chung từ đó tìm được nghiệm của hệ cũng là nghiệm của phương trình ban đầu. Với ý tưởng đó ta dùng C1
Ta có (*) 
(cần lưu ý với học sinh là các tham số nguyên 
trong mỗi phương trình là khác nhau)
Trên đường tròn lương giác các điểm ngọn cung 
thuộc tập nghiệm của mỗi phương trình được biểu thị lần 
lượt bởi các dấu (.) chấm tròn và (□) ô vuông trên hình vẽ.
Chỉ có 1 điểm ngọn chung tại A.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: (k )
Ta cũng có thể chọn giao của hai nghiệm bằng cách tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định. Thật vậy:(*) 
Hệ có nghiệm chung nếu : 
 ( nên rút theo vì hệ số đi với 1 nhỏ hơn)
Do 
Thay vào tập nghiệm đầu tiên của hệ ta có nghiệm của phương trình (1) là 
Ví dụ 6: Giải phương trình: (1)
Giải:
Ta có: (1) (sin4x.cosx + sinx.cos4x) – 2( sin24x + cos24x) + cos4x = 0 sin5x + cos4x = 2 (2)
M()
A
A/
P()
B
B/
x
O
N()
Q()
y
Do VT (2) 
Vậy (2) 
Cách 1:
Ta có (*) 
Biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm 
của hai phương trình trên đường tròn lượng giác chúng 
có 1 điểm ngọn chung là B.
Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: 
Nhận xét: Ta nghĩ tới C1 khi việc biểu diễn các điểm ngọn cung thuộc tập nghiệm mỗi phương trình trên đường tròn lưỡng giác là ít vị trí. Trong trường hợp số điểm ngọn của chúng có quá nhiều vị trí và phức tạp thì ta sẽ nghĩ tới C2. Bây giờ ta dùng C2 để chọn nghiệm thử
Cách 2:
Hệ có nghiệm chung nếu : 
Do 
Từ đó thay vào tập nghiệm thứ 2 nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 7: Giải phương trình: sin4x.cos16x = 1 (1)
Phân tích: Có thể biến đổi tích thành tổng hay đánh giá miền giá trị các vế. Mỗi nhận xét cho ta cách giải riêng. Tuy nhiên việc biến đổi tích thành tổng cho lời giải ngắn gọn hơn.
Cách 1: Biến tích thành tổng
Ta có: (1) sin20x – sin12x = 2 
Hệ có nghiệm chung nếu : 
Do 
Thay vào tập nghiệm thứ 2 của hệ phương trình. nghiệm của phương trình (1) là: 
Cách 2: Đánh giá miền giá trị hai vế:
Ta có: Từ (1) (1’)
Do 
Vậy (1’) 
Mặt khác do: sin4x.cos16x = 1 > 0 nên sin4x và cos16x cùng dấu
Do đó (2)
Từ (1) (2) nhưng nếu (2) thỏa thì (1) cũng thỏa. Vậy (1) (2)
a/ (a) (ta giải hệ (a) bằng hai cách để thấy rõ ưu điểm của mỗi cách)
Cách 1: Biểu diễn nghiệm mỗi phương trình trên đường tròn lương giác 
Ta có (a) M()
A
A/
B
B/
x
O
N
P
Q
Biểu diễn các điểm ngọn cung của hai phương trình 
trên đường tròn lượng giác. Có 4 điểm ngọn cung trùng 
nhau là M,N,P,Q.
Vậy nghiệm của hệ (a) là: 
Cách 2: Tìm nghiệm nguyên của phương trình vô định:
Hệ có nghiệm chung nếu : 
Thay vào tập nghiệm phương trình thứ 2 của hệ, nghiệm phương trình đã cho là:	
b/ 
Hệ có nghiệm chung nếu : Vô lí vì VT chẵn, VP lẻ 
 Hệ (b) vô nghiệm
Kết luận: Vậy nghiệm phương trình là 
b/ Việc chọn nghiệm phương trình được nảy sinh do giải phương trình lượng giác chứa tang, cotang hoặc có chứa ẩn số ở mẫu:
Ví dụ 8: Giải phương trình: (1)
Phân tích: Nguyên tắc giải phương trình loại này là: 
Đặt điều kiện cho bài toán có nghĩa.
Sau đó, giải phương trình và kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa điều kiện đặt ra hay không? 
Kết luận nghiệm.
Giải:Điều kiện: 
Với điều kiện (1) (2)
Nhận xét:
1 + tan2x.tan3x 0 vì nếu: 1 + tan2x.tan3x = 0 tan2x = tan3x (VT=0 VP=0)
 vô lý
Vậy (2) 
 Ta kiểm tra nghiệm tìm được có thỏa các điều kiện hay không? 
a/ Điều kiện (a) bị vi phạm nếu : (vô lý vì)
Vậy x = thỏa điều kiện (a) 
b/ Điều kiện (b) bị vi phạm nếu : = ( 2m + 1)k = 2m + 1 là số nguyên lẻ
Vậy điều kiện (b) thỏa nếu k = 2n , khi đó nghiệm pt là x = 
c/ Điều kiện (c) bị vi phạm nếu : = ( 2h + 1)10n = 6h + 3 ( vô lý vì n, h Z)
Vậy x = thỏa điều kiện (c) .Kết luận nghiệm của phương trình đã cho là : x = 
Ví dụ 9: Giải phương trình: , với (1)
Giải: 
Điều kiện : 
Với điều kiện trên thì tan5x=tan3x5x = 3x + l x = 
Điều kiện (a) bị vi phạm nếu sao cho k = 2l + 
Vì k,l là số nguyên nên = m là số nguyên l = 2m + 1
Suy ra điều kiện (a) không bị vi phạm nếu l = 2nnghiệm x = n
Điều kiện (b) bị vi phạm nếu sao cho n = 6n = 2h + 1 ( vô lý)
Vậy nghiệm x thỏa điều kiện (a) và (b) là x = n
Do 2 , Vì n nên ta chọn n = 1 
Vậy phương trình có nghiệm x = 
Ví dụ 10: Giải phương trình: (1) 
Giải: 
 Điều kiện : 
Với điều kiện trên thì (1) 
 sin4x = cosx = sin ()
a/ Nghiệm vi phạm điều kiện nếu k = l + 
Do k,l Z nên = m l = 4m + 1
Vậy là nghiệm Thay l vào k ta có k = 5m + 1 
của (1) với k 5m + 1
b/ Nghiệm vi phạm điều kiện nếu :1 + 4k = 3l l = k + 
Do k,l Z nên = n k = 3n – 1
Vậy là nghiệm của (1) với k 3n – 1
Kết luận: Nghiệm của (1) là ( k,m,n Z )
Ví dụ 11: Giải phương trình: cosx.cos2x.cos4x.cos8x = (1) 
c/ Việc chọn nghiệm được nảy sinh do biến đổi phương trình ban đầu về phương trình hệ quả 
Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tích các cos mà góc sau gâp đôi góc trước nên ta thường nhân hai vế của (1) cho sin góc nhỏ nhất.
Giải:
a/ Xét sinx = 0 x = l không thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx 0 x l .Nhân hai vế của (1) cho sinx :
(1) sinx cosx.cos2x.cos4x.cos8x = sinx
 sin2x.cos2x.cos4x.cos8x = sinx
 sin4xcos4x.cos8x = sinx
 sin8xcos8x = sinx sin16x = sinx (2)
Ta phải loại bỏ các nghiệm x = l vì (2) là phương trình hệ quả của (1)
a/ Nghiệm x = = l k = = 7l + 
Do k,l Z nên = m Z l = 2m , suy ra k = 15m 
Vậy x = là nghiệm của phương trình (1) với k 15m
b/ Nghiệm x = = l k = 8l + 	
Do k,l Z nên = n Z l = 2n + 1 , suy ra k = 17n + 8
Vậy x = là nghiệm của phương trình (1) với k 17n + 8
Kết luận : Nghiệm của phương trình (1) là : 
Ví dụ 12: Giải phương trình: cos2x + cos4x + cos6x + cos8x + cos10x = - (1) 
Phân tích : vế trái của (1) là biểu thức có dạng tổng các cos mà các góc tạo thành một câp số cộng với 
công sai d = 2x.Thường để rút gọn ta nhân hai vế cho sin
Giải: 
a/ Xét sinx = 0 x = n không thỏa phương trình (1)
b/ Xét sinx 0 x n .Nhân hai vế của (1) cho sinx , ta có : 
(1) sinxcos2x + sinxcos4x + sinxcos6x + sinxcos8x + sinxcos10x = -sinx
 [(sin3x – sinx)+( sin5x – sin3x)+(sin7x – sin5x)+( sin9x – sin7x)+( sin11x – sin9x)] = -sinx
 sin11x – sinx = -sinx sin11x = 0 x = 
Nghiệm x = vi phạm điều kiện nếu k,l Z sao cho : = n k = 11.n
Vậy nghiệm của phương trình (1) là : x = với k 11.n ( k, n Z)
MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH TỰ LUYỆN
Giải các phương trình : 1/ cos2x + cosx = 2 ĐHTM 97 ĐS : x = 8n
 2/ sin3x( cosx – 2sin3x) + cos3x(1 + sinx – 2cos3x) = 0 ĐS : ptvn
 3/ sinx( cos - 2sinx) + cosx( 1 + sin - 2cosx) = 0 ĐS : x = 2 + 8n
 4/ sinx.sin2x.cos(3x + ) = 1 ĐS : ptvn
 6/ cos2x + cos4x + cos6x = cosx.cos2x.cos3x + 2 ĐS : x = k
 5/ sinx.cos4x.cos8x = 1 ĐS : x = + k2
 7/ sin2000x + cos2000x = 1 TTĐTCBYT tp HCM 1999
 8/ ĐS : 
 9/ tan2x.tan7x = 1 ĐS : x = 
C/ TÀI LIỆU THAM KHẢO
 1/ Bộ đề thi Đại Học của Bộ Giáo Dục 
 2/ Các đề thi Đại Học những năm vừa qua 
 3/ Sách chuyên đề lượng giác của Lê Hồng Đức, Phan Huy Khải
 4/ Tạp chí Toán học tuổi trẻ
D/ PHAÀN KEÁT LUAÄN
 Keát quaû thöïc hieän :
 Nội dung đề tài này,tôi đã áp dụng dạy cho học sinh lớp 10 , 11 trong thời gian 14 tiết, trong đó 8 tiết đầu tôi dạy và khắc sâu phần công thức lượng giác, sau đó huớng dẫn cho học sinh những phương pháp cơ bản để giải phương trình lượng giác , phần này tôi dạy cho các học sinh từ trung bình yếu trở lên, phần phương trình lượng giác có nhận loại nghiệm tôi dạy cho học sinh khá giỏi với thời gian 6 tiết.Khi toâi daïy cho hoïc sinh vaán ñeà naøy, toâi thaáy caùc em raát thích thuù, khi gaëp moät ñeà baøi töông töï caùc em ñaõ vaän duïng caùch giaûi moät caùch linh hoaït, coù khi cuøng moät ñeà caùc em laïi giaûi ñöôïc nhieàu caùch khaùc nhau. Tôi hy vọng với nội dung đề tài này tôi sẽ giúp ích được cho học sinh một số kinh nghiệm học công thức và phương pháp giải phương trình lượng giác để các em hiểu sâu và nắm bắt được vấn đề, qua đó các em sẽ yêu thích môn Toán hơn, sẽ tự tin hơn trong phòng thi và kết quả các kỳ thi sẽ đạt cao hơn.
 Kết quả cá nhân đạt được trong các năm gần đây
NAÊM HOÏC MOÂN TOAÙN ÑIEÅM TÖØ 5 – 10 ÑIEÅM TÖØ 8-10 HOÏC SINH GIOÛI KHEN THƯỞNG
 3 KHOÁI SL % SL % TOAÙN 
2006-2007 182 104 57,1 18 17,3 2 Bằng khenUBND TỈNH 
2007-2008 217 198 91,2 21 9,6 Giấy khen SỞ GD-BP
2008-2009 192 178 92,7 20 10,4 4 CSTĐCS- SỞ GD-BP
2009=2010 202 191 94,5 24 11,8 6 CSTĐCS-Bằng khenBỘ GD
Kieán nghò :
Nhieäm vuï haøng ñaàu cuûa ngöôøi giaùo vieân daïy Toaùn laø laøm sao cho hoïc sinh yeâu thích moân Toaùn, chaêm chuù nghe giaûng trong giôø daïy cuûa mình vaø ñaït keát quaû cao trong caùc kyø thi. Hieän nay coù raát nhieàu hoïc sinh caûm thaáy moân Toaùn tröøu töôïng, khoù hieåu, không nhớ được công thức, ít lieân quan ñeán ñôøi soáng thöïc taïi. Do ñoù khi tröïc tieáp giaûng daïy moân Toaùn toâi luoân coá gaéng tìm phöông phaùp hay ñeå caùc em tieáp caän vaán ñeà cuûa Toaùn hoïc deã daøng hôn. Saùng kieán treân laø moät phaàn nhoû trong suy nghó cuûa toâi, toâi hy voïng quí thaày coâ cuõng nhö 
toâi tìm kieám nhieàu phöông phaùp hay, tröïc quan, deã hieåu ñeå hoïc sinh cuûa chuùng ta 
ngaøy caøng gioûi hôn, thi ñaäu nhieàu hôn nöõa.
Dù đã cố gắng rất nhiều trong việc phân tích các ví dụ nhưng cũng khó tránh khỏi những 
sai sót.Raát mong nhaän ñöôïc yù kieán ñoùng goùp cuûa quí thaày coâ ñeå baøi vieát ñöôïc hoaøn
 haûo hôn.
NHAÄN XEÙT VAØ ÑAÙNH GIAÙ CUÛA TOÅ TOAÙN
NHAÄN XEÙT VAØ ÑAÙNH GIAÙ CUÛA HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC 
TRÖÔØNG THPT HUØNG VÖÔNG
NHAÄN XEÙT VAØ ÑAÙNH GIAÙ CUÛA HOÄI ÑOÀNG KHOA HOÏC 
SỞ GIÁO DỤC BÌNH PHƯỚC