Sáng kiến kinh nghiệm Dùng phép thế lượng giác trong bất đẳng thức

2Dïng phÐp thÕ l−îng gi¸c trong bÊt ®¼ng thøc
I. Dïng c¸c hÖ thøc l−îng gi¸c c¬ b¶n
1 + tg2x =
1
cos2 x
; 1 + cotg 2x =
1
sin2 x
; sin2 x+ cos2 x = 1.
Vµo bµi to¸n cã c¸c biÓu thøc d¹ng x2 + a2,
√
x2 ± a2, √a2 − x2
1. Chøng minh r»ng c¸c bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi a, b
a)
∣∣∣(a2 − b2)(1− a2b2)
(1 + a2)2(1 + b2)2
∣∣∣ 
 1
4
;
b)
∣∣∣2(a+ b)(1− ab)
(1 + a2)(1 + b2)
∣∣∣ 
 1;
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ; α, β ∈
(
− π
2
;
π
2
)
. Khi ®ã
∣∣∣(a2 − b2)(1− a2b2)
(1 + a2)2(1 + b2)2
∣∣∣ = | sin(α + β) sin(α− β) cos(α− β) cos(α + β)
=
1
4
sin[2(α + β)] sin[2(α− β)] 
 1
4
2. Chøng minh r»ng nÕu |x| < 1 vµ 2 
 n ∈ N, th×
(1 + x)n + (1− x)n < 2n.
HD: §Æt x = cosα, α ∈ (0;π). Khi ®ã
(1 + x)n + (1− x)n = (1 + cosα)n + (1− cosα)n = 2n(cosn α
2
) + sinn α
2
)
< 2n(cos2 α
2
+ sin2 α
2
) = 2n
3. (Latvia-2002) Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m/n
1
1 + a4
+
1
1 + b4
+
1
1 + c4
+
1
1 + d4
= 1.
Chøng minh r»ng abcd  3.
2NguyÔn V¨n NhiÖm
22
HD: §Æt a2 = tgα, b2 = tgβ, c2 = tgγ, d2 = tgδ, víi α, β, γ, δ ∈ (0; π
2
).
Th× tõ gi¶ thiÕt ta cã
cos2 α+ cos2 β + cos2 γ + cos2 δ = 1
¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh nh©n vµ trung b×nh céng, ta cã:
sin2 α = 1− cos2 α = cos2 β + cos2 γ + cos2 δ  3 3
√
(cos2 β cos2 γ cos2 δ)2.
Chøng minh t−¬ng tù ta cã:
sin2 β  3 3
√
(cos2 α cos2 γ cos2 δ)2; sin2 γ  3 3
√
(cos2 α cos2 β cos2 δ)2;
sin2 δ  3 3
√
(cos2 α cos2 β cos2 γ)2.
Nh©n tõng vÕ c¸c bÊt ®¼ng thøc trªn, suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh.
4. Cho a, b, c, d lµ c¸c sè thùc tháa m/n
(1 + a2)(1 + b2)(1 + c2)(1 + d2) = 16.
Chøng minh r»ng: −3 
 ab++ac+ ad+ bc+ bd+ cd− abcd 
 5.
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ, d = tgδ, víi α, β, γ, δ ∈ (−π
2
;
π
2
).
P = ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd− abcd− 1
⇒ 4. cosα cos β cos γ cos δ = 1
vµ P = (b+ c)(a+ d)− (1− ad)(1− bc) = 4 sin(β + γ) sin(α + δ)
− 4 cos(α + δ) cos(β + γ) = −4 cos(α+ β + γ + δ)⇒ (®pcm).
5. (APMO-2004) Chøng minh r»ng víi mäi sè thùc d−¬ng a, b, c ta cã
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2)  9(ab+ bc+ ca).
HD: §Æt a =
√
2tgα, b =
√
2tgβ, c =
√
2tgγ; α, β, γ ∈ (0; π
2
).
§iÒu ph¶i chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi
4
9
 cosα cosβ cos γ(cosα cos β cos γ − cos(α + β + γ))
§¨t λ =
α + β + γ
3
. ¸p dông bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung
b×nh nh©n, bÊt ®¼ng thøc
cosx+ cos y
2

 cos
x+ y
2
víi x, y ∈ (0; π
2
), ta cã
cosα cosβ cos γ 

(cosα + cosβ + cos γ
3
)3

 cos3 λ.
23
Ta sÏ chøng minh bÊt ®¼ng thøc sau
4
9
 cos3 λ(cos3 λ− cos 3λ).(3)
mµ cos 3λ = 4 cos3 λ− 3 cosλ do ®ã (3)⇔ 4
27
 cos4 λ(1− cos2 λ).
MÆt kh¸c theo bÊt ®¼ng thøc gi÷a trung b×nh céng vµ trung b×nh nh©n, ta cã(cos2 λ
2
· cos
2 λ
2
· (1− cos2 λ)
) 1
3


1
3
(cos2 λ
2
+
cos2 λ
2
+ (1− cos2 λ)
)
=
1
3
.
II. BÊt ®¼ng thøc cã ®iÒu kiÖn rµng buéc d¹ng
a+ b+ c = abc, ab+ bc+ ca = 1
1. T×m mèi quan hÖ ®¹i sè gi÷a x, y, z trong c¸c tr−êng hîp sau biÕt r»ng:
a) tgx.tgy + tgy.tgz + tgz.tg x = 1.
§S: x+ y + z =
π
2
+ kπ, x, y, z 	= π
2
+ kπ.
b) tgx+ tgy + tgz = tgx.tgy.tgz.
§S: x+ y + z = kπ, x, y, z 	= π
2
+ kπ.
2. Cho 0 < x, y, z < 1 vµ xy + yz + zx = 1. Chøng minh r»ng:
x
1− x2 +
y
1− y2 +
z
1− z2 
3
√
3
2
.
3. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y, z tháa m/n xy + yz + zx = 1. Cmr:
x
1 + x2
+
y
1 + y2
+
z
1 + z2

2x(1− x2)
(1 + x)2
+
2y(1− y2)
(1 + y)2
+
2z(1− z2)
(1 + z)2
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ; α, β, γ ∈ (0; π
2
) ⇒ 2α + 2β + 2γ = π.
BÊt ®¼ng thøc ph¶i chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi
sin 2α + sin 2β + sin 2γ  (sin 4α + sin 4β + sin 4γ).
4. (HKong-94) Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y, z tháa m/n xy+yz+zx = 1. Cmr
x(1− y2)(1− z2) + y(1− z2)(1− x2) + z(1− x2)(1− y2) 
 4
√
3
9
.
24
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ; α, β, γ ∈ (0; π
2
)⇒ 2α + 2β + 2γ = π.
2.V T =
sin 2α cos 2β cos 2γ + sin 2β cos 2α cos 2γ + sin 2γ cos 2α cos 2β
cos2 α cos2 β cos2 γ
=
sin(2α + 2β + 2γ) + sin 2α sin 2β sin 2γ
cos2 α cos2 β cos2 γ
= 8tgαtgβtgγ 

8
√
3
9
.
5. Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y, z tháa m/n x+ y + z = xyz. Cmr:
xy + yz + zx  3 +
√
1 + x2 +
√
1 + y2 +
√
1 + z2.
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ; α, β, γ ∈ (0; π
2
)⇒ α + β + γ = π.
Ta cã V T = xy+yz+zx =
sinα sinβ cos γ + sinβ sin γ cosα + sin γ sinα cos β
cosα cosβ cos γ
=
cosα cosβ cos γ − cos(α+ β + γ)
cosα cosβ cos γ
= 1 +
1
cosα cosβ cos γ
VP = 3 +
1
cosα
+
1
cosβ
+
1
cos γ
. VËy bµi to¸n t−¬ng ®−¬ng víi
cosα cosβ + cosβ cos γ + cos γ cosα + 2 cosα cosβ cos γ 
 1.
BÊt ®¼ng thøc trªn ®−îc suy ra tõ hÖ thøc
cos2 α + cos2 β + cos2 γ + 2 cosα cosβ cos γ = 1.
III. BÊt ®¼ng thøc chøa rµng buéc d¹ng
a2 + b2 + c2 + 2abc = 1
1. T×m mèi quan hÖ ®¹i sè gi÷a x, y, z trong c¸c tr−êng hîp sau. BiÕt c¸c
sè d−¬ng x, y, z thuéc ®o¹n [0;
π
2
] tháa m/n:
cos2 x+ cos2 y + cos2 z + 2 cosx cos y cos z = 1. (1)
HD: (1)⇔ 4 cos x+ y + z
2
cos
x+ y − z
2
cos
x− y + z
2
cos
x− y − z
2
= 0.
Tõ ®ã suy ra x+ y + z = π.
2. Chøng minh r»ng:
25
a) cos(x+ y + z) = cosx cos y cos z − cosx sin y sin z − cos y sinx sin z −
cos z sinx sin y.
b) sin(x+ y + z) = sinx cos y cos z + sin y cosx cos z + sin z cosx cos y −
sinx sin y sin z.
3. (USA-2001) Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc kh«ng ©m tháa m/n
a2 + b2 + c2 + abc = 4.
Chøng minh r»ng: 0 
 ab+ bc+ ca− abc 
 2.
HD: • NÕu a, b, c > 1 th× a2 + b2 + c2 + abc > 4. M©u thuÉn.
• NÕu a 
 1 th× ab+ bc+ ca− abc  bc(1− a)  0.
B©y giê ta sÏ chøng minh ab+ bc+ ca− abc 
 2. §Æt a = 2p, b = 2q, c = 2r,
ta ®−îc p2 + q2 + r2 + 2pqr = 1. Suy ra a = 2 cosα, b = 2 cosβ, c = 2 cos γ
víi α, β, γ ∈ [0; π
2
] vµ α+β+γ = π. §iÒu ph¶i chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi
cosα cosβ + cosβ cos γ + cos γ cosα− 2 cosα cosβ cos γ 
 1
2
.
Kh«ng mÊt tæng qu¸t gi¶ sö
π
2
 α 
π
3
⇒ 1−2 cosα  0 vµ sö dông kÕt qu¶
cosβ+cos γ 

3
2
−cosα, 2 cosβ cos γ = cos(β−γ)+cos(β+γ) 
 1−cosα.
Ta cã cosα cosβ + cosβ cos γ + cos γ cosα− 2 cosα cosβ cos γ
= cosα(cosβ + cos γ) + cos β cos γ(1− 2 cosα)

 cosα(
3
2
− cosα) +
(1− cosα
2
)
(1− 2 cosα) = 1
2
.
4. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc d−¬ng cho tr−íc. T×m x, y, z d−¬ng tháa m/n:{
x+ y + z = a+ b+ c,
4xyz − (a2x+ b2y + c2z) = abc.
HD: GT⇒ a
2
yz
+
b2
zx
+
c2
xy
+
abc
xyz
= 4. §Æt x1 =
a√
yz
, y1 =
b√
zx
, z1 =
c√
xy
⇒ x2
1
+y2
1
+z2
1
+x1y1z1 = 4 (⇒ 0 < x1, y1, z1 < 2)⇒ ∆z1 = (4−x21)(4−y21).
26
§Æt x1 = 2 cosA, y1 = 2 cosB, z1 = 2 cosC (0 < A,B,C <
π
2
)
⇒ A+ B + C = π.
⇒ a = 2√yz cosA, b = 2√zx cosB, c = 2√xy cosC =
= 2(sinA sinB − cosA cosB)√xy, thay vµo x+ y + z = a+ b+ c. Suy ra:
(
√
x sinB −√y sinA)2 + (√x cosB +√y cosA−√z)2 = 0.
⇒ sinA√
x
=
sinB√
y
=
sinC√
z
⇔ sin
2A
x
=
sin2 b
y
=
sin2C
z
=
sin2A+ sin2B + sin2C
a+ b+ c
IV. Sö dông quan ®ång ph«i gi÷a
(−π
2
;
π
2
)
vµ tËp sè R, bëi hµm sè tgx
1. Cho 6 sè thùc ph©n biÖt. Chøng minh r»ng lu«n tån t¹i hai sè x vµ y trong
chóng sao cho
0 <
x− y
1 + xy


√
3
3
Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t ta gi¶ sö x1 < x2 < ... < x6, gi¶ sö xi = tgαi, víi
−π
2
< αi <
π
2
. Khi ®ã
0 <
xi − xj
1 + xixj
= tg(αi − αj).
Bëi v× 6 sè d−¬ng α2 − α1, α3 − α2, ..., α6 − α5, π + α1 − α6 cã tæng b»ng π
cho nªn tån t¹i mét trong chóng nhá h¬n hoÆc b»ng
π
6
vµ do ®ã tg cña nã
nhá h¬n hoÆc b»ng tg
π
6
=
√
3
3
.
Tæng qu¸t. Gi¶ sö n lµ sè nguyªn d−¬ng lín h¬n 2. H/y x¸c ®Þnh sè d−¬ng
Cn nhá nhÊt víi tÝnh chÊt sau: Cho n sè thùc kh¸c nhau bÊt k×, tån t¹i hai sè
x vµ y trong sè chóng sao cho
0 <
x− y
1 + xy

 Cn
§S: Cn = tg
π
n
.
PhÐp chän α2 − α1 = α3 − α2 = ..., αn − αn−1 = π + α1 − αn = π
n
chøng tá
27
gi¸ trÞ Cn = tg
π
n
lµ tèt nhÊt.
2. Chøng minh r»ng nÕu x, y, z > 0 vµ arctgx+ arctgy + arctgz < π th×
x+ y + z > xyz.
HD: §Æt arctgx = α, arctgy = β, arctgz = γ. Ta cã
x+ y + z − xyz = tgα + tgβ + tgγ − tgαtgβtgγ = sin(α + β + γ)
cosα cosβ cos γ
> 0
do 0 < α + β + γ < π vµ −π
2
< α, β, γ <
π
2
.
III. Bµi tËp
1. a) Cho x2 + y2 = u2 + v2 = 1. Chøng minh r»ng
|x(u+ v) + y(u− v)| 

√
2.
b) Chøng minh r»ng víi mäi x, ta cã
5
2


3 + 4x2 + 3x4
(1 + x2)2

 3.
2. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m/n x+ y + z = xyz. Cmr
a) (Korea-1998)
1√
1 + x2
+
1√
1 + y2
+
1√
1 + z2


3
2
.
b)
x√
1 + x2
+
y√
1 + y2
+
z√
1 + z2


3
√
3
2
.
3. a) Gäi f(x; y) =
|x− y|√
(1 + x2)(1 + y2)
. Chøng minh r»ng:
f(x; y) + f(y; z)  f(x; z), ∀x, y, z.
HD: §Æt x = tgα, y = tgβ, z = tgγ, vµ sö dông
| sin(α− γ)| 
 | sin(α− β)|+ | sin(β − γ)|
b) Chøng minh r»ng bÊt ®¼ng thøc sau ®óng víi mäi a, b∣∣∣(1− ab)2 − (a+ b)2
(1 + a2)(1 + b2)
∣∣∣ 
 1
28
4. Cho a, b, c lµ c¸c sè thùc. Chøng minh r»ng:
(a2 + 1)(b2 + 1)(c2 + 1)  (ab+ bc+ ca− 1)2.
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ. B§T cÇn chøng minh t−¬ng ®−¬ng víi:
1
cos2 α cos2 β cos2 γ

(− cos(α + β + γ)
cosα cosβ cos γ
)2
.
5. Cho c¸c sè thùc a, b, c thuéc kho¶ng (0; 1) sao cho ab+bc+ ca = 1. Cmr:
a
1− a2 +
b
1− b2 +
c
1− c2 
3
4
(1− a2
a
+
1− b2
b
+
1− c2
c
)
HD: §Æt a = tgα, b = tgβ, c = tgγ; α, β, γ ∈ (0; π
4
). B§T cÇn cm
⇔ tgα+ tgβ + tgγ  3(cotg γ + cotg β + cotg γ)
⇔ (tgα+ tgβ + tgγ)2  3(tgαtgβ + tgβtgγ + tgγtgα)
6. Cho x, y, z lµ c¸c sè thùc d−¬ng tháa m/n x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1.
Chøng minh r»ng:
a) xyz 

1
8
.
b) xy + yz + zx 

3
4
.
c) x2 + y2 + z2 
3
4
.
d) xy + yz + zx 
 2xyz +
1
2
.
e) (1 +
1
x
)(1 +
1
y
)(1 +
1
x
)  27.
7. Cho a, b, c > 0. Chøng minh r»ng:
2
√
ab+ bc+ ca 
√
3 3
√
(a+ b)(b+ c)(c+ a).
HD:
§Æt t =
√
ab+ bc+ ca; a1 =
a
t
, b1 =
b
t
, c1 =
c
t
. Suy ra a1b1+b1c1+ c1a1 = 1.
Ta cÇn chøng minh:
√
3 3
√
(a1 + b1)(b1 + c1)(c1 + a1)  2. Tõ gi¶ thiÕt
29
a1b1 + b1c1 + c1a1 = 1, suy ra tån t¹i A,B,C lµ ba gãc cña tam gi¸c nhän
sao cho; a1 = tg
A
2
, b1 = tg
B
2
, c1 = tg
C
2
Ta cã a1 + b1 =
cos C
2
cos a
2
cos B
2
, t−¬ng tù vµ thay vµo bÊt ®¶ng thøc cÇn chøng
minh sÏ t−¬ng ®−¬ng víi
cos
A
2
cos
C
2
cos
C
2


3
√
3
8
(®óng)
Chó ý. NÕu dïng bÊt ®¼ng thøc Bunhiacèpki më réng th× cã thÓ chøng minh
nh− sau:
Ta cã (a+ b)2(b+ c)2(c+ a)2 = (a2+2ab+ b2)(b2+2bc+ c2)(c2+2ca+ a2).
§Æt


x1 = a
2, y1 = 2ab, z1 = b
2 ,
x2 = c
2, y2 = b
2, z2 = 2bc,
x3 = 2ac, y3 = a
2, z3 = c
2,
th×
(x1+y1+z1)(x2+y2+z2)(x3+y3+z3) 
 ( 3
√
x1x2x3+ 3
√
y1y2y3+ 3
√
z1z2z3)
3 ⇒ (®pcm)
8. Cho a, b, c > 0; ab+ bc+ ca = 1. Chøng minh r»ng:
a) 2
(1− a2
1 + a2
)
+
1− b2
1 + b2
+
1− c2
1 + c2


9
8
.
b) 3
(1− a2
1 + a2
)
+ 2
(1− b2
1 + b2
)
+ 2
(1− c2
1 + c2
)


11
3
.
9. Cho a, b, c > 0; ab+ bc+ ca = 1 a+ b+ c+ abc > 2. Chøng minh r»ng:
1− a2
1 + a2
+
1− b2
1 + b2
+
1− c2
1 + c2


√
2.
HD: GT⇒ tån t¹i c¸c gãc A,B,C cña tam gi¸c ABC sao cho tgA
2
= a,
tg
B
2
= b, tg
C
2
= c. Còng tõ gi¶ thiÕt suy ra (1− a)(1− b)(1− c) 
 0⇒
1− a2
1 + a2
·1− b
2
1 + b2
·1− c
2
1 + c2
= cosA cosB cosC 
 0⇒ cosA+cosB+ cosC 
 √2
10. Gi¶ sö f(x) =
√
1 + x2 − x. H/y tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
f(x)f(y) + f(y)f(z) + f(z)f(x)
30
nÕu x, y, z lµ c¸c sè d−¬ng thay ®æi tháa m/n xy + yz + zx = 1.
Chó ý. NÕu bá gi¶ thiÕt x, y, z > 0 th× gi¸ trÞ biÓu thøc x¸c ®Þnh kh«ng duy nhÊt.
11 a) Cmr, trong sè 7 sè thùc x1, x2, ..., x7, tån t¹i hai sè xi vµ xj, sao cho
0 

xi − xj
1 + xixj


1√
3
.
b) Cho 4 sè d−¬ng. Chøng minh r»ng bao giê còng chän ®−îc 2 sè ai, aj, i 	= j
sao cho
0 

ai − aj
2 + ai + aj + aiaj
< 2−
√
3
HD: §Æt bi = 1 + ai > 1 vµ xÐt 4 sè bi, víi chó ý tg
π
12
= 2−√3.
12. Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña a hÖ sau cã nghiÖm:{
x2 + y2 = a2,
xy(2x2 − a2) = 2005.
13. XÐt a, b ∈ R sao cho: √1− x2|ax+ b| 
 1,∀|x| 
 1.
X¸c ®Þnh max |a|; max |b|; max |a+ b|; max |ax+ b|.
HD: §Æt x = sin t; t ∈ [−π
2
;
π
2
]⇒ cos t  0. GT⇒
{
| cos t(a sin t+ b)| 
 1,
| cos t(a sin t− b)| 
 1.
⇒ 2  cos t(|a sin t+ b|+ |a sin t− b|)  2 cos t|a|| sin t|.
Cho t =
π
4
, suy ra |a| 
 2⇒ max |a| = 2 khi b = 0.
ë gi¶ thiÕt cho x = 0⇒ |b| 
 1⇒ max |b| = 1 khi a = 0.
Cho x = ± 1√
2
, ta ®−îc


1√
2
| a√
2
+ b| 
 1,
1√
2
|−a√
2
+ b| 
 1,
⇒ |a|+√2|b| 
 2
⇒ |a+ b| 
 |a|+ |b| 
 |a|+√2|b| 
 2⇒ max |a+ b| = 2, khi a = 2, b = 0.
max |ax+ b| = max{|a+ b|; |a− b|} = |a|+ |b| 
 2
⇒ max |ax+ b| = 2, khi a = 2, b = 0, x = 1.
14. XÐt a, b, c ∈ R sao cho: √1− x2|ax2 + bx+ c| 
 1, ∀|x| 
 1.
31
a) X¸c ®Þnh max |a|, max |b|, max |c|, max |a+ b+ c|.
b) X¸c ®Þnh max |ax2 + bx+ c|, max |2ax+ b|, víi |x| 
 1.
HD:
Cho x = 0⇒ |c| 
 1⇒ max |c| = 1, khi khi a = b = 0.
∀|x| 
 1⇒


√
1− x2|ax2 + bx+ c| 
 1,
√
1− x2|ax2 − bx+ c| 
 1.
⇒ √1− x2(|ax2+c|+ |bx|) 
 1 (∗)
Tõ (*)⇒ √1− x2|ax2 + c| 
 1. cho x =
√
3
2
⇒ |3a
4
+ c| 
 2
⇒ |3a
4
| 
 2 + |c| 
 3⇒ |a| 
 4⇒ max |a| = 4, khi b = 0, c = −1.
Trong (*) thay x =
√
3
2
, ta ®−îc |3a
4
| +
√
3
4
|b| 
 2 (1) ⇒ |3a
4
| +
√
3
2
|b| 

2 + |c| 
 3.
Suy ra
1
4
|a|+
√
3
6
|b| 
 1 (2), tõ (1) vµ (2) céng l¹i ta ®−îc
3  |3a
4
+ c|+
√
3
2
|b|+ 1
4
|a|+
√
3
6
|b|  |3a
4
+ c+
1
4
a+ b|+
( 2√
3
− 1
)
|b|.
 |a+b+c| ⇒ max |a+b+c| = 3, x¶y ra ch¼ng h¹n khi a = 4, b = 0, c = −1.
max |2ax+ b| = max{|2a+ b|, |2a− b|} = 2|a|+ |b|. MÆt kh¸c tõ (2) suy ra
2|a|+ 4
√
3
2
|b| 
 8⇒ 2|a|+ |b| 
 8⇒ max |2ax+ b| = 8, x¶y ra ch¼ng h¹n
khi a = 4, b = 0, c = −1, x = 1.
32