Sáng kiến kinh nghiệm Dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng phát huy tính sáng tạo

MỤC LỤC
 Trang
MỞ ĐẦU 2
Chương I: TDST-Tiềm năng nội dung lượng giác trong việc 5
 bồi dưỡng TDST.
 §1: Tư duy sáng tạo 5
 § 2: Tiềm năng nội dung lượng giác trong việc bồi dưỡng TDST. 7
 § 3: Thực tiễn dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng 24
 phát huy tính sáng tạo.
Chương II: Phương hướng và biệm pháp cơ bản dạy học giải bài 28
 tập lượng giác theo định hướng bồi dưỡng TDST.
 § 1: Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức 28
 § 2: Khắc phục ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí khi hướng 35
 dẫn học sinh giải bài tập lượng giác.
 § 3: Sáng tạo bài toán mới từ bài toán ban đầu. 42
Chương III: Thực nghiệm 51 
KẾT LUẬN CHUNG 55
 MỞ ĐẦU 
 I. LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
 Rèn luyện năng lực sáng tạo (NLST), tư duy độc lập linh hoạt là một trong những mục tiêu của quá trình dạy học. Cùng với việc cung cấp những kiến thức, kỹ năng cơ bản việc rèn luyện cho học sinh NLST là cần thiết.Đặc biệt trong bộ môn toán, phát huy NLSTcủa học sinh là sự tích hợp của tính tích cực và độc lập trong nhận thức, là sự phối hợp thống nhất giữa sự chỉ đạo của giáo viên với năng lực giải quyết vấn đề của học sinh nhằm đạt mục đích dạy học.
 Năng lực toán học nói chung, năng lực sáng tạo nói riêng chỉ có thể hình thành và phát triển trong hoạt động. Học toán ở phổ thông chính là học các hoạt động toán học, trong đó hình thức hoạt động toán học chủ yếu của học sinh là giải bài tập toán 
 Nội dung dạy học lượng giác góp phần trang bị cho học sinh không chỉ các khái niệm, quy tắc, công thức biến đổi mà còn cả kỹ năng và phương pháp học toán. Hệ thống tri thức đó không chỉ có trong các bài giảng lí thuyết mà còn trong các bài tập tương ứng. Bài tập lượng giác vừa là mục đích vừa là phương tiện làm cho học sinh nắm vững kiến thức cơ bản, rèn luyện kỹ năng (kỹ năng tính toán, kỹ năng suy luận toán học, kỹ năng toán học hóa các tình huống thực tế,), góp phần phát triển năng lực toán học cho học sinh. Vì vậy tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải bài lượng giác có vài quyết định đối với chất lượng học tập nội dung này nói riêng và chất lượng dạy học toán nói chung. Dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo (TDST) là thiết thực góp phần thực hiện xu hướng đổi mới phương pháp dạy học: Tích cực hóa học tập của học sinh. 
 Bài tập lượng giác chiếm một phần không nhỏ tronng nội dung dạy học lượng giác. Ngoài việc củng cố lí thuyết, rèn luyện các thao tác biến đổi linh hoạt thì bài tập lượng giác còn được dùng làm công cụ hữu hiệu trong việc giải quyết một số bài toán đại số, hình học phẳng
 Trong thực tiễn việc dạy học giải lượng giác theo định hướng phát huy sáng tạo chưa được chú trọng, hiệu quả dạy học giải lượng giác nói chung, bồi dưỡng sáng tạo thông qua dạy nói riêng chưa cao.
 Với tất cả lý do trên, việc xem xét nghiên cứu vấn đề: “ Dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng phát huy tính sáng tạo” là vấn đề cần thiết, có ý nghĩa thực tiễn sâu sắc.
 II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
 Nghiên cứu đề xuất các phương hướng và biện pháp cơ bản dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo.
 III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU:
 Nghiên cứu tiềm năng nội dung lượng giác bồi dưỡng tư duy sáng tạo và thực tiễn bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải bài tập lượng giác.
 Nghiên cứu phương hướng và biện pháp cơ bản bồi dưỡng tư duy sáng tạo thông qua dạy học giải bài tập lượng giác.
 Tổ chức thực nghiệm: Kiểm nghiệm tính khả thi của biện pháp đề xuất.
 IV. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
 Nghiên cứu lý luận:
 Điểm lại 1 số vấn đề chung về tư duy sáng tạo và nội dung dạy học ở trường phổ thông.
 Điều tra quan sát:
 Tiến hành tìm hiểu thực trạng dạy và học giải bài tập lượng giác ở nhà trường phổ thông, vấn đề dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng phát huy tính sáng tạo thông qua trao đổi với giáo viên, học sinh và quan sát dự giờ.
Thực nghiệm sư phạm:
 Thực nghiệm kiểm nghiệm tính khả thi của biện pháp đề xuất.
 V. CẤU TRÚC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:
 Mở đầu:
 Chương I: Tư duy sáng tạo- Tiềm năng nội dung lượng giác bồi dưỡng tư duy sáng tạo.
 § 1: Tư duy sáng tạo.
 § 2: Tiềm năng nội dung lượng giác bồi dưỡng tư duy sáng tạo.
 § 3: Thực tiễn việc dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng phát huy tính sáng tạo.
 Chương II: Phương hướng và biện pháp cơ bản dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng bồi dưỡng tư duy sáng tạo.
 § 1: Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức.
 § 2: Khắc phục ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lý khi dạy học giải bài tập lượng giác.
 § 3: Sáng tạo bài toán mới từ bài toán ban đầu.
 Chương III: Thực nghiệm sư phạm:
 I. Mục đích thực nghiệm
 II. Nội dung thực nghiệm 
 III Tổ chức thực nghiệm
 IV. Kết luận 
 Kết luận
Chương I:
TƯ DUY SÁNG TẠO – TIỀM NĂNG NỘI DUNG LƯỢNG GIÁC
TRONG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO
§ 1: TƯ DUY SÁNG TẠO
 1. Tư duy sáng tạo.
 Theo định nghĩa của từ điển thì tư duy sáng tạo là tìm ra cái mới, cách giải quyết mới, không gò bó, phụ thuộc vào cái đã có. Nội dung sáng tạo gồm có: tính chất mới và có lợi ích.
 Sáng tạo thường được nghiên cứu trên nhiều bình diện, như một quá trình sáng tạo phát hiện ra cái mới, như một kiểu tư duy, như một năng lực của con người và thậm chí một hiện tượng tồn tại trong sự tiến hóa của tự nhiên.
 Theo các nhà tâm lý, giáo dục thì sáng tạo là một thành phần không thể thiếu được trong thành phần cấu trúc cơ bản của tài năng.
 Mô hình cấu trúc tài năng bao gồm 3 thành phần: Thông minh, sáng tạo, niềm say mê.(H.1)
 I: Thông minh 
 C: Sáng tạo
 M : Sự thúc đẩy ( hiểu là niềm say mê)
 G: Năng khiếu, tài năng
 H.1
 2. Các thành phần của tư duy sáng tạo:
 2.1.Tính mềm dẻo.
 - Dễ dùng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác.
 - Suy nghĩ không dập khuôn.
 - Nhận ra vấn đề mới, chức năng mới của đối tượng trong điều kiện quen thuộc.
 2.2. Tính nhuần nhuyễn.
 - Khả năng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau.
 - Khả năng xem xét đối tượng dưới những khía cạnh khác nhau.
 2.3. Tính độc đáo.
 - Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới.
 - Nhìn ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau.
 - Khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những giải pháp khác.
 2.4. Tính hoàn thiện.
 - Khả năng lập kế hoạch, phối hợp các ý nghĩa và hành động, phát triển ý tưởng, kiểm tra và chứng minh ý tưởng.
 2.5. Tính nhạy cảm.
 - Là năng lực nhanh chóng phát hiện ra vấn đề, mâu thuẫn, sai lầm, sự thiếu logic do đó nảy sinh ra ý muốn cấu trúc lại hợp lý, hài hòa, tạo ra cái mới.
 - Ngoài 5 thành phần cơ bản trên đây còn có những yếu tố quan trọng khác như: tính chính xác, năng lực định giá trị
 - Tuy nhiên có thể thấy rằng 3 yếu tố : tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo là 3 yếu tố cơ bản trong thành phần của tư duy sáng tạo. Vì lý do này, chúng tôi chỉ đề cập đến 3 yếu tố trong nhiều yếu tố đặc trưng của tư duy sáng tạo.
§2: TIỀM NĂNG NỘI DUNG LƯỢ NG GIÁC TRONG VIỆC BỒI DƯỠNG TDST
 Trong chương trình toán phổ thông, bài tập lượng giác rất đa dạng,phong phú bao gồm các bài tập có nhiều cách giải, bài tập có nội dung biến đổi ,bài tập khác kiểu,bài tập mang tính chất đặc thù,bài tập không mẫu mực .Tuy nhiên dựa trên cơ sơ phân tích khái niệm TDST cùng những yếu tố đặc trưng nó, có thể phân thành ba dạng bài tập sau:
 - Các bài tập chủ yếu bồi dưỡng tính mềm dẻo của TDST .Đặc trưng của các bài tập này là: dễ dàng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác ,suy nghĩ không đập khuôn, khả năng nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, khả năng nhận thấy chức năng mới của đối tượng. Chúng ta kí hiệu các bài tập này là: A1,A2,A3,A4.
 - Các bài tập chủ yếu nhằm bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn của tư duy sáng tạo với các đặc trưng: khả năng tìm ra nhiều giải pháp trên nhiều góc độ khác nhau ,khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau. Kí hiệu các bài tập này là B .
 - Các bài tập bồi dưỡng tính độc đáo. Những bài toán này giúp học sinh có khả năng tìm ra những mối quan hệ trong những sự vật bên ngoài tưởng như không có quan hệ với nhau và khả năng tìm ra được nhiều giải pháp lạ tuy đã biết phương thức giải quyết khác. Chúng ta kí hiệu các bài tập này là C.
Các bài tập bồi dưỡng tính mềm dẻo
Bài tập nhiều cách giải (A1).
 Bài tập có nhiều cách giải là bài tập có những đối tượng, những quan hệ có thể xem xét ở nhiều khía cạch khác nhau.
 Tác dụng của dạng bài này nhằm rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác, rèn luyện khả năng nhìn một đối tượng toán học dưới nhiều khía cạnh khác nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết cách giải khác.
 Ví dụ 1: Giải phương trình 
 Cách 1: Do 
 Vậy phương trình : 
Cách 2: 
 Cách 3:
 Cách 4:
 Cách 5:
 Cách 6:
 Cách 7:
 Đặt sin2x=X 
 Cos2x=Y Khi đó :
 (1) có dạng 
 Từ đây ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình ban đầu.
 Trong các giải trên công thức sin2x+cos2x=1 được sử dụng một cách linh hoạt 
 Như vậy,bằng sự phân tích triệt để quan hệ có trong bài và các quan hệ đã biết về hàm số lượng giác sinx, cosx ta tìm được ít nhất 7 cách giải. Mỗi cách giải trên củng cố, khắc sâu một tri thức nhất định,một phương pháp giải phương trình đã biết. Nhờ vậy kỹ năng biến đổi lượng giác được rèn luyện tốt hơn, linh hoạt hơn.
 Căn cứ vào mỗi cách giải trên ta có thể giới thiệu cho từng đối tượng học sinh tương ứng.
 Ví dụ 2:
 Chứng minh với mọi tam giác ta có:
 Việc giải bài toán này có thể có các cách làm sau:
 Cách 1: 
 A
 B C
 H.2
 Trên các cạnh AB,BC,CA lần lượt lấy các vectơ đơn vị 
 Ta luôn có:
 (đpcm)
 Cách 2:
 (2)
 (hiển nhiên)
 Cách 3:
 (2)
 Đặt 
 ( luôn đúng)
 Vì VT: là tam thức bậc hai có 
 và hệ số cuả là -2<0
 Vậy : 
 Cách 4:
 Ta có :
 Xét hàm số 
 Bảng xét dấu f(x):
x
 0 

 + 0 _

 1 1 
 
 Dựa vào bảng xét dấu của f(x) ta thấy f(x) đạt giá trị lớn nhất là: với 
 Do C là góc của tam giác 
 Kết hợp (*) ta có 
 Ta thấy,mỗi cách giải là một cách, một phương pháp tiếp cận tìm lời giải bài toán dựa trên cơ sở kiến thức đã biết. Muốn tìm được nhiều cách giải khác nhau của một bài toán đòi hỏi học sinh phải huy động nhiều tri thức liên quan, biết nhìn vấn đề dưới nhiều khía cạch khác nhau, biết vận dụng linh hoạt nhiều kiến thức đã học vào giải quyết bài toán . Với kiến thức lớp 10 có thể giải được bài toán theo cách 1,2 và 3. Sau khi học phần hàm số lớp 12 ta có thể giới thiệu cho học sinh cách làm thứ 4. Mặt khác, từ mỗi lời giải ta đều có thể suy ra mệnh đề đúng:
 Tam giác ABC đều khi và chỉ khi . Tuy nhiên với cách làm 2,3,4 thì rõ ràng hơn.
 1.2 .Bài tập có nội dung biến đổi (A2).
 Bài tập này gồm hai phần, phần thứ nhất là bài toán (a),sau đó biến đổi vài yếu tố của (a) để tạo bài toán mới , nhìn bề ngoài thì hình như ít quan trọng những lại làm thay đổi cách nhìn đối với (a). Loại bài tập này có tác dụng chuyển từ hoạt động tư duy này sang hoạt động tư duy khác, chống sức ỳ của tư duy.
 Ví dụ 1: Cho A,B,C là 3 góc của một tam giác. Chứng minh rằng:
 a). 
 b). có một góc vuông .
 Lời giải:
 a) 
 b) Để giải b, thực chất là ta đi giải bài toán a, sau đó dựa vào kết quả bài toán a, biểu diễn sau đó nhờ giả thiết của b, ta có ngay kết quả cần chứng minh. Cụ thể có lời giải sau:
 Dựa vào a, có: 
 (1)
 có một góc vuông.
 Ví dụ 2:Tính tổng:
 a).
 b). 
 Lời giải:
 a). 
 Hoặc do: 
 là 3 nghiệm của phương trình cos3x=
 Mặt khác: 
 Đặt cosx=t . Khi đó là 3 nghiệm phương trình: 
 Áp dụng định lí Vi-et đối với tổng các nghiệm của phương trình bậc 3 ta có:
 b). Do và các góc bù với các góc .
 Vì vậy : 
 1.3. Bài tập khác kiểu :
 Loại bài tập này có ít nhất hai trong ba bài cùng kiểu, bài còn lại khác kiểu .
 Tác dụng của chúng nhằm rèn luyện khả năng chuyển từ hoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác .
 Ví dụ : Giải phương trình:
 a) . (1)
 b). (2)
 c). (3)
 Lời giải:
 a). 
 Cách khác: luôn là nghiệm của phương trình (1)
 Vậy phương trình có nghiệm (l)
 khi đó . Nhân cả 2 vế của (1) với ta được phương trình tương đương: 
 (1) 
 =0
 b). Tương tự câu a
 c). Khi giải a và b đều sử dụng công thức đổi tổng thành tích hoặc nhân hai vế với biểu thức thích hợp sau đó sử dụng công thức đổi tích thành tổng, biến đổi đưa về phương trình tích đơn giản 
 Với bài toán c, giống a ,b về mặt hình thức tuy nhiên do hệ số của sinx, sin2x,sin3x,sin4x tăng dần từ 1 đến 4, vế phải lại là 10 =1+2+3+4. Nên tiến hành biến đổi như sau: 
 (3)
 Từ (1’) suy ra cosx=0 , do đó sin2x=0 mâu thuẫn với (2’) nên hệ phương trình vô nghiệm (3) vô nghiệm .
 1.4. Bài tập có tính chất đặc thù (A4)
 Là loại bài tập có số liệu cụ thể, có cách giải riêng do tính cá biệt của nó
 Tác dụng của loại bài tập này là chống suy nghĩ dập khuôn, áp dụng công thức, thuật toán một cách máy móc.
 Ví dụ 1: Giải phương trình:
 (1)
 Lời giải:
 (1) 
 Vậy nghiệm phương trình là 
 Nhờ việc phát hiện đặc thù các số hạng, học sinh đưa phương trình về dạng . Lúc này phương trình đã được đưa về dạng quen thuộc : phương pháp tổng các bình phương 
 Ví dụ 2: 
 Giải phương trình : 
 Lời giải:
 Điều kiện : 
 (2) 
 Với bài này nếu không nhìn đúng đặc điểm riêng mà cứ máy móc biểu diễn hàm tan, cot theo sin và cos rồi quy đồng ,biến đổi đưa về mặt phương trình cùng ẩn sẽ rất phức tạp và khó giải.
 Việc giải các bài toán mang tính chất đặc thù tạo cho học sinh thói quen biết nghiên cứu những điều kiện cụ thể của bài toán trước khi áp dụng các thuật toán tổng quát, có tác dụng lớn trong việc rèn luyện sự suy nghĩ linh hoạt sáng tạo.
 2. Bài tập bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn 
 2.1 . Bài tập câm (B)
 Bài tập câm chủ yếu dùng sơ đồ, hình vẽ, kí hiệu .,lời văn đóng vai trò thứ yếu. Bài tập câm là sự kết hợp chặt chẽ của sự trừu tượng hóa , khái quát hóa và cụ thể hóa 
 Loại bài tập này có tác dụng rèn khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau rèn luyện khả năng trừu tượng hóa, khái quát hóa.
Bài tập câm thường là những bài tập củng cố khái niệm, quy tắc, tìm tòi phát hiện kiến thức mới.
 Ví dụ 1: Giải phương trình:
 Lời giải:
 Ta có 
 Như vậy x là nghiệm hệ
 Từ lời giải bài toán, trên cơ sở của lời giải là tính chất cơ bản của lũy thừa và tính chất bị chặn của các hàm Sinx, Cosx ta có thể có được một số hướng phát triển bài toán:
Nếu thay hằng số (2014) – số mũ của hàm sin và cos bởi biến số (n) khi đó ta có:
 Bài toán 1: Giải phương trình: 
 Trong trường hợp đặc biệt của n (n chẵn ,n lẻ )thì chúng ta lại có các bài toán mới:
 Bài toán 2: Giải phương trình :
Thay số mũ của hàm sin và cos bởi các số khác nhau ta có bài toán tiếp theo.
 Bài toán 3: Giải phương trình : 
Nếu ở bài toán 1,2,3 vế phải của phương trình là hằng số a>1 thì các phương trình đó đều vô nghiệm. Từ đó ta có bài toán sau:
 Bài toán 4: Chứng minh rằng các phương trình sau vô nghiệm 
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta có: 
 Lời giải đã được trình bày ở mục 1.2 – Bài tập có nội dung biến đổi phần a của ví dụ 1
 - Xuất phát từ đặc điểm bài toán và từ tính chất cơ bản: 
 có thể đề xuất bài toán sau :
 Bài toán 1: Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:
 - Mặt khác ta thấy rằng nếu: 
 a) ABC có ba góc nhọn , nghĩa là cosA,cosB , cosC có giá trị dương, điều đó xẩyra khi và chỉ khi cosA.cosB.cosC >0
 b) ABC vuông, nghĩa là cosA=0 hoặc cosB=0 hoặc cosC=0 điều này xảy ra khi và chỉ khi cosA.cosB.cosC =0
 c) Tương tự ABC có một góc tù khi và chỉ khi cosA.cosB.cosC <0
 Vì vậy từ kết quả bài toán 1 và từ nhậ xét trên chúng ta có các bài toán mới 
 Bài toán 2: A,B,C là ba góc của một tam giác 
 Đặt Chứng minh rằng:
 a). T > 2 ABC nhọn 
 b). T = 2 ABC vuông
 c). T < 2 ABC tù 
 Tiếp đó nhờ nhận xét A<B<C là 3 góc của tam giác suy ra 0< sinA,sinB,sinC 1
 Có kết quả tiếp theo 
 Bài toán 3:
 Chứng minh rằng nếu tam giác ABC không tù thì . Ngoài ra, từ bài toán ban đầu. Nếu sử dụng định lí hàm số cosin sẽ cho ta một bài toán đại số biểu thị mối quan hệ giữa các cạnh của tam giác .
 3- Các dạng bài tập bồi dưỡng tính độc đáo.
 3.1. Bài tập không mẫu mực (C)
 Các bài tập này không thể áp dụng thuật toán hay công thức để giải. Tác dụng của bài tập này rèn luyện khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới, khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng như không có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ tuy đã biết những phương thức giải quyết khác .
 Ví dụ : Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 
 Lời giải :
 Xét biểu thức M + 1, ta có: 
 Đặt X=cosC . Khi đó (1’) có dạng:
 Xét phương trình (2) ta có : 
 Do (2) có nghiệm X=cosC 
 M=3
 đều 
 Vậy giá trị lớn nhất của M là 3, đạt được khi tam giác ABC đều .
 Việc xét biểu thức M+1 là nhận xét độc đáo xuất phát từ việc liên tưởng tới công thức: 
 Việc phân chia bài tập lượng giác thành các dạng trên chỉ có tính chất tương đối vì mỗi bài tập đều có tác dụng về nhiều mặt và có chức năng khác nhau. Ở đây tôi chỉ dựa trên nét đặc trưng thể hiện ở yếu tố này nổi bật hơn yếu tố khác để phân chia.
 Ngoài các dạng bài tập đã nêu thì nội dung lượng giác còn là một công cụ giải toán hữu hiệu.
 4-Ứng dụng lượng giác và giải toán 
 Trong một số bài toán đại số (giải phương trình, hệ phương trình, bất phương trình, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất .) việc chuyển đổi sang bài toán lượng giác, rồi dùng kiến thức lượng giác để giải sẽ ngắn ngọn hơn, tránh được rườm rà .khi sử dụng công cụ lượng giác vào giải toán, lời giải thể hiện được tính linh hoạt trong việc nhìn nhận vấn đề, đồng thời thể hiện tiềm năng rất lớn của nội dung lượng giác.
 Ví dụ 1: Giải hệ : 
 Lời giải :
 Nhận xét thấy bộ 3 số (0,0,0)là một nghiệm của hệ. Ngoài ra cả 3 số x,y,z,đều khác .Vì nếu giả sử x= khi đó phương trình đầu của hệ không thỏa mãn .
 Với x,y,z
 Sự có mặt của vế phải trong mỗi phương trình của hệ khiến ta liên tưởng đến công thức lượng giác: 
 Vì vậy nếu đặt x=tan
 Từ đó 
 chọn n sao cho tan )
 Nghiệm hệ phương trình là :
 Từ lời giải bài toán có thể suy ra cách giải của một loạt các bài toán đại số được thiết lập từ công thức: hoặc 
 Chẳng hạn : Giải hệ :
 ( Từ Đặt )
 Ví dụ 2: Cho x,y,u,v sao cho :
 Chứng minh rằng: 
 Lời giải:
 Từ giả thiết ta liên tưởng đến công thức cơ bản . Như vậy, nếu chuyển bài toán này sang lượng giác ta có lời giải sau:
 Đặt 
 Vì 
 (đpcm).
 Ở các ví dụ trên, việc sử dụng công cụ lượng giác để giải, khiến lời giải của bài toán ngắn gọn, sáng sủa dễ hiểu lại rất độc đáo.
 §3: THỰC TIỄN VIỆC DẠY HỌC GIẢI BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC 
 THEO ĐỊNH HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH SÁNG TẠO 
 Việc dạy học giải bài tập lượng giác theo định hướng phát huy tính sáng tạo có nhiều thuận lợi :
 Trước hết, yêu cầu bồi dượng phát triển năng lực trí tuệ, bồi dưỡng TDST cho học sinh thông qua dạy học toán nói chung, dạy học giải bài tập lượng giác nói riêng được ghi trong mục tiêu dạy học.
 Sau đó phải kể đến nội dung ,phương pháp, hình thức bài tập lượng giác rất phong phú trong các sách giáo khoa, sách tham khảo
 Tuy nhiên qua tham dò thực tế tôi thấy, việc dạy học giải bài tập lượng giác, đặc biệt dạy theo định hướng phát huy tính sáng tạo của học sinh còn tùy thuộc nhiều vào quan niệm, cách suy nghĩ, cách làm và tiềm lực của mỗi giáo viên. Vì vậy hiệu quả dạy học giải bài tập lượng giác nói chung, bồi dưỡng TDST thông qua dạy nội dung này nói riêng chưa cao.
 Trong giờ học không phải mọi giáo viên và học sinh đều hoạt động thực sự tích cực. Quan sát một số gườ dạy tôi thấy giáo viên chưa chú ý đến việc bồi dưỡng TDST cho học sinh. Thầy giáo thường cố gắng giải thích, chứng minh, trình bày lời giải bài toán mà ít khi chú ý tới việc khai thác, mở rộng bài toán, tìm tòi nhiều lời giải. Vì vậy đã bỏ lỡ rất nhiều cơ hội bồi dưỡng, phát huy tính sáng tạo và hứng thú học tập toán học.
 Chẳng hạn trong giờ tự chọn của lớp 10A3 trường THPT Yên Mỹ. Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán:
 “ Chứng minh rằng mọi tam giác ABC ta luôn có :
 ”
 Giáo viên mới chỉ chú ý tới kỹ năng giải bài tập lượng giác : chứng minh đồng nhất theo biểu thức lượng giác và kỹ năng biến đổi đồng nhất , chưa chú ý tới việc khai thác bồi dưỡng TDST của học sinh . Với bài toán đã cho sau khi có lời giải giáo viên có thể đưa ra một số kết quả mới nhờ sử dụng kết quả của bài toán này ( xem phần 1.2, bài 2 – chương I).
Hoặc trong giờ chữa bài tập của lớp 11A9 trường THPT Yên Mỹ với bài toán : giải phương trình (1) (ĐS và giải tích 11) tôi thấy học sinh biến đổi đưa về cách làm quen thuộc là dùng ẩn phụ t= sinx+cosx . Giáo viên đã không yêu cầu hoặc hướng dẫn học sinh tìm lời giải khác. Với bài toán này có thể hướng dẫn học sinh giải theo cách sau:
 Do: 
 Giải hệ này ta tìm được nghiệm 
 Từ lời giải này giáo viên có thể hướng dẫn học sinh tìm tòi và có những phát hiện mới. Học sinh sẽ nhận thấy có thể áp dụng lời giải trên để giải mọi phương trình dạng hoặc chứng minh mọi phương trình dạng đều vô nghiệm.Việc chú ý mở rộng , khai thác kết quả bài toán vừa nhằm khắc sâu kiến thức đã học vừa cung cấp cho học sinh kiến thức mới, cung cấp phương pháp giải cho một loạt các bài toán liên quan, rèn luyện thành nếp TDST. Tuy nhiên có rất ít giáo viên chú ý đến điều này.
 Nguyên nhân thực trạng này phải kể đến:
 Thứ nhất, do quan niệm về việc theo định hướng phát huy tính sáng tạo còn nhiều hạn chế vì vậy nhiều giáo viên đã không khai thác tiềm năng nội dung lượng giác bồi dưỡng TDST cho học sinh.
 Tiếp theo phải kể đến năng lực nghề nghiệp của một giáo viên còn chưa cao, việc phát hiện ra tiềm năng của bài tập toán nói chung, bài tập lượng giác nói riêng còn hạn chế .
 Bên cạnh đó , số đông học sinh cũng chỉ dừng lại ở mức độ thụ động , suy nghĩ dập khuôn , áp dụng công thức , thuật toán còn may móc nên khi gặp những bài tập khác kiểu không với các dạng bài tập đã học thì tỏ ra lúng túng , không biết biến đổi bài toán để đưa về dạng quen thuộc đã biết cách giải .
 Quan sát , nghiên cứu vở bài tập về nhà của học sinh khối 10 tôi thấy với bài toán: 
 Tính tổng : 
 ( Xem phần 1.2 – Bài 2 – Chương I )
 Hầu hết học sinh đều giải bài toán như sau:
 Sau đó giải câu b tương tự câu a , không học sinh nào phát hiện ra các điểm riêng dễ nhận thấy của bài toán .Các góc bù với các góc từ đó tính được B dựa vào tổng A , hoặc với phần a không học sinh nào nhận thấy hay từ đó có lời giải theo hướng khác , rất độc đáo là phương pháp chung để tính tổng một số biểu thức khác .
 Trong bài kiểm tra học kì I của học sinh khối 11 tôi thấy có bài toán : “ Giải phương trình : 6tanx +5cot3x =tan2x ”.
 Quan sát tổng kết bài làm của học sinh của hai lớp 11A3 và 11A9 tôi thu được kết quả sau :
Kết quả \ Lớp 
 11A9
 11A3
Tổng số bài kiểm tra (SBKT)
 45
 50
SBKT không làm được 
 32
 33
SBKT có lời giải đúng 
 13
 17
 Mặc dù , đặc điểm riêng của bài toán rất dễ nhận thấy , chỉ cần tách tanx sang vế phải và áp dụng các công thức biến đổi lượng giác sẽ cho kết quả bài toán nhưng chỉ có một số ít học sinh phát hiện ra đặc điểm này . Phần lớn học sinh đều tìm cách biến đổi tanx, tan2x, cot3x theo hàm sin và hàm cos sau đó quy đồng và cố gắng đưa về phương trình một ẩn của sinx hoặc cosx . Những phương trình đó lại quá phức tạp nên không tìm ra kết quả bài toán
 Kết quả khảo sát cho thấy, kỹ năng giải toán của học sinh còn hạn chế,suy nghĩ còn dập khuôn, máy móc chưa thể hiện được sự linh hoạt trong nhìn nhận bài toán.
 Trước tình trạng nêu trên, trước tiềm năng nội dung lượng giác và mục tiêu dạy học toán nói chung, bồi dưỡng TDST qua việc dạy học giải bài tập lượng giác nói riêng thì tăng cường, bồi dưỡng TDST qua việc dạy học giải bài tập lượng giác là vấn đề mang tính lí luận và thực tiễn sâu sắc.
CHƯƠNG II
PHƯƠNG HƯỚNG VÀ BIỆM PHÁP CƠ BẢN DẠY HỌC
GIẢI BÀI TẬP LƯỢNG GIÁC THEO ĐỊNH HƯỚNG BỒI DƯỠNG TDST
 Việc rèn luyện giải bài toán bao gồm hai nội dung chủ yếu:
 1- Rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán
 2- Rèn luyện việc giải toán .
 Khi đã có đường lối giải thì việc giải hoàn chỉnh một bài toán là cả một quá trình rèn luyện gồm nhiều khâu, từ việc nắm vững các kiến thức cơ bản về nội dung lí luyết và các phương pháp thực hành đến việc luyện tập thành thạo các quy trình và các thao tác cơ bản, có tính chất kỹ thuật. Kết quả mỗi bài toán được biểu hiện ở lời giải đúng và đầy đủ . Như vậy việc rèn luyện giải toán có vai trò quan trọng. Tuy nhiên, vẫn phải xem xét việc rèn luyện khả năng tìm lời giải các bài toán có tính chất quyết định trong toàn bộ công việc luyện giải vì các lí do sau:
 Dù có kỹ thuật cao, có thành thạo trong việc thực hiện các thao tác và phân tích nhưng khi chưa có phương hướng tốt thì chưa thể có lời giải hoặc có lời giải tốt.
 Công việc tìm phương hướng giải bài toán là công việc mang tính sáng tạo.
 Việc coi trọng rèn luyện phương hướng giải bài toán của bài tập chính là cơ sở quan trọng cho việc rèn luyện khả năng làm việc độc lập – sáng tạo.
 Tôi chỉ đề cập đến vấn đề rèn luyện việc tìm lời giải các bài toán. Trong nội dung này tôi đề cập đến một số ít vấn đề:
 Bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức; khắc sâu ảnh hưởng tiêu cực của thói quen tâm lí khi hướng dẫn học sinh giải toán; sáng tạo bài toán mới từ bài toán ban đầu.
$1. BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC HUY ĐỘNG KIẾN THỨC
 Trong việc rèn luyện kỹ năng tìm lời giải bài toán thì năng lực huy động kiến thức giải các bài tập có vai trò quan trọng. Việc bồi dưỡng năng lực định hướng, năng lực huy động kiến thức khi giải các bài tập lượng giác liên quan tới nhiều năng lực khác nhau.
 1.Đặt bài toán cần giải trong mối quan hệ biện chứng với bài toán khác nhằm tạo năng lực liên tưởng cho học sinh.
 Đứng trước một bài toán hay một vấn đề cần giải quyết, người làm toán thường tự
đặt câu hỏi:
Bài toán này có giống ( tương tự ) với bài toán nào đã biết không ?. Có thể sử dụng phương pháp hay kết quả của bài toán đó để giải không ?
Có phải là trường hợp riêng của bài toán đã biết nào không .
Bài toán này có trường hợp riêng nào ? Có thể giải các trường hợp riêng đó không ? Từ đó có thể giải được các bài toán ban đầu không?
 Ví dụ 1: Chứng minh rằng nếu A,B,C là 3 của một tam giác thì:
 Nhận xét : 
 Vì A,B,C là 3 góc của một tam giác nên: 
 Bài toán khái quát : “Chứng minh rằng ,nếu thì :
 ”. Để giải bài toán này ta xét bài toán đơn giản hơn: 
 “ Cho x,y là hai góc không âm , không vượt qua 1800 thì : 
 Ta luôn có 
 Vì 
 Áp dụng kết quả này cho các góc (A,B);(C,D); 
 (*)
 (**)
 Mặt khác : 
 Từ (*), (**),(***) ta có :
 Ở đây 
 Chọn (rõ ràng )
 Vì bài toán ban đầu là trường hợp đặc biệt của bài toán này nên ta cũng có ngay kết quả của bài toán ban đầu hoặc cũng có thể chỉ ra lời giải bài toán ban đầu như cách giải của bài toán khái quát. Như vậy, để tìm lời giải cho bài toán ban đầu ta đã sử dụng linh hoạt các bài toán phụ đặc biệt hóa khái quát hóa.
 Trong thực tế việc tìm được một bài toán phụ, bài toán liên quan không khó khăn ngay cả với người ít kinh nghiệm. Tuy nhiên để có được một bài toán phụ, bài toán liên quan hữu ích cho việc tìm lời giải bài toán cũng như việc rèn luyện năng lực giải toán không phải là đơn giản. Trước hết mỗi bài toán liên quan phải giải được, lời giải càng đơn giản càng tốt, lời giải của bài toán ban đầu có thể tìm được nhờ sử dụng phương pháp giải hay kết quả hoặc chỉ có thể là các bước giải của bài toán phụ.
 Ví dụ 2: Chứng minh rằng nếu A,B,C là 3 góc nhọn của một tam giác thì:
 Do các số mũ của sinA, sinB, sinC không là số cụ thể nên việc biến đổi rất khó khăn. Từ kết luận của bài toán làm người giải toán có liên tưởng đến các kết quả đã biết:
 nếu tam giác ABC nhọn 
 nếu tam giác ABC tù
 Từ đó ta suy nghĩ phải so sánh: với ; với ; với .
 Lời giải bài toán như sau:
 Do A,B,C là 3 góc tam giác nên 
 Do đó : 
 Và ; ; 
 Mặt khác : 
 Từ giả thiết tam giác ABC nhọn suy ra 
 Vậy 
 Như vậy , một trong những thao tác quan trọng dẫn đến thành công trong việc tìm đường lối giải toán là nghĩ đến bài toán liên quan , các bài toán có tính chất gần giống với bài toán ta đang cần giải ( có thể là bài toán con ,bài toán tương tự , bài toán đặc biệt , bài toán khái quát .) . Bằng việc phân tích sử dụng lời giải của các bài tập liên quan với bài toán đã cho ,chúng ta sẽ có nhiều cơ hội thuận lợi để tìm ra đường lối giải của các bài toán đã cho.
 Một trong những thao tác quan trọng trong việc bồi dưỡng năng lực huy động kiến thức khi giải toán đó là biết đặt bài toán trong mối quan hệ biện chứng với bài toán khác tạo năng lực liên tưởng cho học sinh . Các bước giải bài toán theo hướng này được tiến hành như sau :
 B1: Phát biểu bài toán liên quan ( tương tự , khái quát , đặc biệt )
 B2: Giải bài tập liên quan.
 B3: Sử dụng phương pháp hoặc kết quả bài toán liên quan vào giải bài tập ban đầu .
 2.Chú trọng khai thác mạch kiến thức theo hướng từ định nghĩa, khái niệm, định lí toán học, các công thức, quy tắc đến hệ thông các bài tập gốc cần thiết và đến các bài toán nâng cao.
 Khi tìm phương pháp giải cho một bài toán, người làm toán phải phân tích đặc điểm của bài toán, các yếu tố chính của bài toán và liên tưởng tới những khái niệm, định lí, quy tắc. Xem vấn đề đó, tình huống đó ( hoặc chỉ giả thiết, kết luận )có phù hợp với giả thiết hoặc kết luận của định lí, quy tắc nào đó đã biết. Từ đó áp dụng định nghĩa, định lí, bài tập gốc có liên quan đó. 
 Con đường huy động kiến thức theo mạch này nhằm khám phá các ứng dụng khác nhau của định nghĩa, định lí, và quy tắc bài toán về hệ các bài toán gốc.
 Ví dụ 3: 
 Từ tính chất cung bù nhau của hàm và công thức tính tan của một tổng ta có bài tập cơ bản sau : “ Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có tanA+tanB+tanC=tanA.tanB.tanC”
 Từ bài tập “gốc” này ta có thể đề xuất một loạt các bất đẳng thức của hàm tan đối với các góc trong tam giác : 
 CMR: Nếu tam giác ABC nhọn thì:
 Ví dụ 4: Cho tam giác ABC thỏa mãn :
 Hãy khảo sát dạng của tam giác .
 Lời giải:
 Bài tập liên quan tới các góc của tam giác với đòi hỏi nhận dạng tam giác nên tri thức ban đầu được huy động phải là định lí , định nghĩa về mối quan hệ giữa các góc trong tam giác với các cạnh : định lí hàm số sin , cosin  Mặt khác mối quan hệ giữa các góc trong tam giác mô tả bởi điều kiện (1) và (2) cho thấy khả năng không sử dụng các định lí n