Sáng kiến kinh nghiệm Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp lượng giác

MỤC LỤC
LỜI NÓI ĐẦU
 	Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức đại số đóng vai trò rất to lớn trong toán học. Tuy nhiên, để vận dụng chúng trong quá trình giải quyết một số vấn đề của toán học thì việc chứng minh tính đúng đắn của chúng là vô cùng quan trọng.
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức đại số như dụng các bất đẳng thức quen thuộc như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopski,, hay vận dụng định lí về dấu tam thức bậc hai, khảo sát hàm số,
Trong đề tài này, chúng tôi xin trình bày một cách nhìn khác về bất đẳng thức đại số, đó là cách nhìn dưới góc độ lượng giác. Phương pháp này được gọi là phương pháp lượng giác hóa. Với phương pháp này, chúng ta có thể chứng minh một số bất đẳng thức một cách hiệu quả hơn bằng cách thay đổi hình thức của bài toán chứng minh bất đẳng thức đại số trở thành bài toán chứng minh bất đẳng thức lượng giác.
Đề tài được chia làm 3 chương: 
Chương I: Một số tính chất cơ bản của hàm lượng giác
Chương II: Mối tương quan giữa các biểu thức đại số và biểu thức
 lượng giác
Chương III: Chứng minh bất đẳng thức đại số bằng phương pháp
 lượng giác 
 Và một số bài tập tự luyện.
Việc sai sót và hạn chế trong quá trình thực hiện đề tài là điều không thể tránh khỏi. Vì vậy, chúng tôi rất mong nhận được sự phản hồi và góp ý chân thành của độc giả. Xin chân thành cảm ơn.
Qui Nhơn, ngày 6 tháng 11 năm 2009
 Nhóm thực hiện đề tài
 CHƯƠNG I MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ BẢN 
 CỦA HÀM LƯỢNG GIÁC 
 I. Một số công thức lượng giác cơ bản
1. sin2x + cos2x = 1
2. tanx.cotx = 1 , x ≠ , k 
3. 1 + tan2x = , x ≠ + kπ, k 
4. 1 + cot2x = , x ≠ kπ, k 
5. sin2x = ; cos2x = 
6. sinx = ; cosx = ; tanx = , với t = tan 
 II. Tính chất 
1. Hàm số y = sinx và y = cosx xác định với mọi x Î và 
 , "xÎ 
 , "xÎ 
2. Nếu x Î [-1;1] thì tồn tại aÎ sao cho x = sina và tồn tại bÎ sao cho 
 x = cosb.
3. Nếu x Î [0;1] thì tồn tại a Î sao cho x = sina và tồn tại bÎ sao cho 
 x = cosb.
4. Với mỗi số thực x, có một số a Î sao cho x = tana.
5. Với mọi x, y thỏa x2 + y2 = 1 thì tồn tại a Î [0;2π] sao cho x = cosa và y = sina
CHƯƠNG II MỐI TƯƠNG QUAN GIỮA CÁC
 BIỂU THỨC ĐẠI SỐ VÀ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC
 Việc lượng giác hóa được tiến hành thông qua các dấu hiệu đặc biệt của các biến tham gia trong biểu thức, mà việc nắm bắt các dấu hiệu đó thông qua miền giá trị và các công thức lượng giác thông dụng. Sau đây chúng tôi xin đưa ra một số biểu thức đại số và biểu thức lượng giác tương ứng.
Biểu thức đại số
Biểu thức lượng giác tương ứng
Công thức lượng giác
x2 + y2
sin2t + cos2t
sin2t + cos2t = 1
x2 – y2
cos2t – sin2t
cos2t – sin2t = cos2t
2x2 – 1
2cos2t – 1
2cos2t – 1 = cos2t
1 – 2x2
1 – 2sin2t
1 – 2sin2t = cos2t
4x3 – 3x
4cos3t – 3cost
4cos3t – 3cost = cos3t
3x – 4x3
3sint – 4sin3t
3sint – 4sin3t = sin3t
1 + x2
1 + tan2t
1 + tan2t = 

x2 – 1

CHƯƠNG III CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
 BẰNG PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC
Dựa vào mối tương quan giữa bất đẳng thức đại số và bất đẳng thức lượng giác, chúng tôi xin trình bày một số hướng lượng giác hóa trong chứng minh bất đẳng thức đại số nhằm giúp độc giả có thể định hướng được phương pháp chứng minh bất đẳng thức đại số hiệu quả hơn.
I. Dạng 1: Sử dụng hệ thức sin2x + cos2x = 1
1. Phương pháp
a. Nếu bài toán có x2 + y2 = 1 thì ta đặt x = sinu và y = cosu, với uÎ[0;2π]
b. Nếu bài toán có x2 + y2 = r2 (r > 0) thì ta đặt x = rsinu và y = rcosu, với uÎ[0;2π]
c. Nếu hai biến tham gia có ràng buộc a2x2 + b2y2 = c2, a, b, c > 0, ta đặt 
 x = sinu và y = cosu , u[0;2π]	
2. Ví dụ minh họa 
Ví dụ 1 (Đề thi đại học năm 1972 – Khối A)
Cho 4 số thực u, v, x, y sao cho u2 + v2 = x2 + y2 = 1. Chứng minh rằng 
 ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤ 
Nhìn vào giả thiết “4 số thực u, v, x, y” rồi lại “u2 + v2 = x2 + y2 = 1”, chúng ta liên tưởng rất nhanh đến bất đẳng thức lượng giác “lợi hại” : sin2A + cos2A = 1. Và nảy ra ý định chuyển bài toán này qua lượng giác.
Cách 1: Đặt u = cosα, v = sinα với αÎ[0;2π]
 x = cosβ, y = sinβ với βÎ[0;2π]
Khi đó P = u(y – x) + v(x + y) = cosα(sinβ – cosβ) + sinα(cosβ + sinβ)
 = (sinαcosβ + cosαsinβ) – (cosαcosβ – sinαsinβ)
 = sin(α + β) – cos(α + β) = sin
Vì nên 
 Vẫn với ý nghĩ đưa về lượng giác nhưng ta tiến thêm một bước. Nhìn trong P ta thấy u và v đứng riêng lẻ, ta đặt chúng dưới dạng lượng giác một cách riêng lẻ, còn x và y đứng với nhau, có sự “gắn bó” hơn bởi các dấu + và - . Ta nảy ra ý nghĩ: cứ để sự “gắn bó” ấy mà chuyển qua lượng giác.
Nếu ta đặt và ta có ngay sin2α + cos2α = 1
Cách 2: Đặt u = cosβ, v = sinβ với βÎ[0;2π]
 , với αÎ[0;2π]
Ta cần chứng minh ≤ u(y – x) + v(x + y) ≤ 
 Hay 
Chuyển qua lượng giác ta phải chứng minh
 -1 ≤ cosβsinα + sinβcosα ≤ 1
 Û - 1 ≤ sin(α + β) ≤ 1 (hiển nhiên)
Vậy đẳng thức đã được chứng minh.
Ví dụ 2 [2] Cho a2 + b2 – 2a – 4b + 4 = 0. Chứng minh rằng
 A = ≤ 2
Nhận xét: Nhiều bài toán ta chưa thấy ngay yếu tố để chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận lợi cho quá trình giải.
Ta có a2 + b2 – 2a – 4b + 4 = 0
 (a – 1)2 + (b – 2)2 = 1
Đặt a – 1 = sint và b – 2 = cost, với tÎ[0;2π]
Khi đó A = = 
 = 2 = 2 ≤ 2
Ví dụ 3 [8] Cho a, b thỏa mãn 
Chứng minh rằng a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 1 
Nhận xét: Khác với các ví dụ trên, để giải quyết ví dụ này ta cần biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh về dạng lượng giác quen thuộc.
 a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 1 Û (a – 1)2 + (b + 1)2 1
Từ đó hình thành nên cách đặt
 với R ≥ 0
Ta có 
 Û 
 Û 1 = R
Suy ra (a – 1)2 + (b + 1)2 = R2 ≥ 1 
 Û a2 + b2 + 2(b – a) ≥ - 1 
Ví dụ 4[3] Cho x, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh 
 (1)
Nhận xét: x + y = 
Từ đó ta nảy ra cách đặt và với tÎ.
Khi đó,(1) trở thành:
 + + (
Ta có: ++(
Vì 0≤và 1+
Þ (đpcm)
II.Dạng 2: Sử dụng đánh giá 
1.Phương pháp:
 a) Nếu biến x tham gia có điều kiện 1 thì đặt 
 hoặc 
 b) Nếu biến x tham gia có điều kiện m (m≥0) thì đặt 
 hoặc 
2.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1[1] Chứng minh rằng 
Chứng minh 
Vì nên đặt x = cost, với . Khi đó
 = .
Ví dụ 2 [7] Chứng minh rằng A=
Chứng minh 
Vì nên 
Từ đó, đặt a – 2 = cost
Ta có A = 
 = 
Ví dụ 3 [2] Cho . Chứng minh (1)
Chứng minh 
Û ≤ 1
 Û (2)
Theo giả thiết,ta có Đặt ,với 0 ≤ u, v ≤ 
(2) trở thành 
 Û sinv.cosu + sinu.cosv ≤ 1
 Û sin(u+v) ≤ 1 (hiển nhiên)
Ví dụ 4 [4] Cho 4 số thực a, b, c, d thỏa mãn a = c
 Chứng minh rằng 
Chứng minh
 Điều kiện dể a, b xác định là -1 ≤ d ≤ 1, -1 ≤ c ≤ 1
 Þ≤ 1, ≤ 1
Đặt với 0 ≤ u, v ≤
Khi đó, ta có và 
Þ ≤ 1 (hiển nhiên)
III. Dạng 3: Sử dụng công thức 
1. Phương pháp:
a) Nếu xÎ và biểu thức cần chứng minh có chứa (1+ thì đặt x = tant,
 với tÎ()
b) Nếu xÎ và biểu thức cần chứng minh có chứa (+ thì đặt x = mtant,
 với tÎ()
c) Nếu hoặc bài toán có chứa biểu thức thì đặt x = 
 với tÎ[0,\{}
d) Nếu hoặc bài toán có chứa biểu thức thì đặt x = 
 với tÎ[0,\{}
2.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 [8] Chứng minh rằng A=≤ 2,
Chứng minh: Đặt a = với tÎ[0,\{}
Ta có A=
 = 2
Ví dụ 2 [2] Chứng minh rằng 
 , (1)
Chứng minh:
Đặt a = tanu, b = tanv, c = tanw, với – 
Ta có 
 = 
(1) trở thành:
Ta có 
 ≤ 
Do đó,
 (đpcm)
Ví dụ 3 [8] Chứng minh rằng 
Chứng minh 
Û
 Û (2)
Đặt 
(2) trở thành cosu.cosv + tanu.tanv.cosu.cosv
 Û cosu.cosv + sinu.sinv 1
 Û cos(u - v) ≤ 1 (hiển nhiên)
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi u = v Û 
Ví dụ 4 [3] Cho các số thực x,y không đồng thời bằng 0. Chứng minh rằng
 2
Chứng minh
 + Nếu y = 0 thì (1) đúng.
 + Nếu thì (1) Û (2)
 Đặt 
 (2) trở thành 
 Û 
 Û 1 (hiển nhiên)
Ví dụ 5[9] Cho a,b,c>0 thỏa mãn 
 Chứng minh rằng 
Chứng minh
Ta có =
Đặt = ; 0 < A, B < π
Từ giả thiết, ta có 6
Þ với A, B, C là 3 góc của một tam giác
Vậy =
 =sin =sin
 ==
IV. Dạng 4: Sử dụng công thức sin2t = 
1.Phương pháp:	
 Nếu bài toán có chứa biểu thức dạng thì đặt x = tant, với x
 Nếu bài toán có chứa biểu thức dạng thì đặt x = tant,với x
2.Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 [4] Chứng minh rằng , ta có
 (1)
Nhận xét (1) Û (2)
Các phân thức làm ta nhớ đến công thức nhân đôi biểu diễn của sinx và cosx theo tan.
Đặt a = tan với 
Þ = 
Với , ta có 
Suy ra đpcm.
Ví dụ 2 [4] Cho 0 < x, y, z < 1 và xy + yz + zx = 1. Chứng minh rằng
 (*)
Nhận xét: Các biểu thức làm ta liên tưởng đến công thức nhân đôi của hàm tan2u, tan2v, tan2w.
Đặt x = tanu; y = tanv; z = tanw; với 0 < u,v,w < (vì 0 < x, y, z < 1)
Ta có xy + yz + zx = 1 Þ tanu.tanv + tanv.tanw + tanw.tanu = 1
Þ u + v + w =
Þ 2u + 2v =
Þ tan2u + tan2v + tan2w = tan2u.tan2v.tan2w
Þ
Đặt S =
 P =
Ta có S = P
Theo Cauchy, ta có S ≥ 3P ≥ 3 Þ P ≥ 3Þ S ≥ 3đpcm)
V. Dạng 5: Đổi biến số đối với bất đẳng thức tam giác
1. Phương pháp
a) Nếu thì tồn tại ABC với 
b) Nếu thì tồn tại ABC với 
c) Nếu thì tồn tại ABC với 
 hoặc 
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1[6] Cho .Chứng minh rằng S= 
Chứng minh
 Đặt ; với u, v, w 
Do = x+y+z = 1 nên 
 Û
 Û = Û u + v + w =
Khi đó S =
 = =
 = 
 ≤ + = 
Ví dụ 2[9] Cho a, b, c > 0, ab + bc + ca =1. Chứng minh rằng
Nhận xét: + Đẳng thức liên quan : tan tan tan tan tan tan
 + Lượng giác hóa
Đặt a = tanvới A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC
Ta có =
Ví dụ 3 Cho a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc. Chứng minh rằng
 (1)
Nhận xét: Với a, b, c > 0 thỏa a + b + c = abc làm ta liên tưởng đến công thức 
tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC trong đó A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC.
Đặt a = tanA, b = tanB, c = tanC trong đó A, B, C là 3 góc của tam giác nhọn ABC.
Ta có = tanA.cosA = sinA
Tương tự = sinB ; = sinC
Û sinA + sinB + sinC luôn đúng với mọi tam giác ABC)
VI. Một số ví dụ đặc sắc 
Ví dụ 1[7] Gọi m, n, p là 3 nghiệm thực của phương trình ax3 + bx2 + cx – a = 0, a ≠ 0
Chứng minh rằng 
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Chứng minh
Theo định lí Viét ta có mnp = 1
Lấy α = 450, β = - 300, γ = 1650 thì α + β + γ = 1800
Và 
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với 
 Hay 2npcosα + 2pmcosβ + 2mncosγ (*)
Ta có 
 Û p2 + m2cos2β + sin2β + n2(cos2α + sin2α) ≥ 2mncosβ + 2npcosα – 2mncos(α + β)
 Û p2 + m2 + n2 ≥ 2mpcosβ + 2npcosα + 2mncosγ (Vì α + β + γ = 1800)
Bất đẳng thức (*) được chứng minh.
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
 Û 
Đặt ta có 
Suy ra m = ksinα = ; n = ksinβ = 
 p = ksinγ = 
Ví dụ 2[5] Chứng minh bất đẳng thức
Chứng minh
Với ta có bất đẳng thức sinα < α < tanα
Hay (1)
Dễ thấy các số ;  ; là n nghiệm của đa thức bậc n sau
Do đó tổng các nghiệm này là
 +  + = 
Vậy (2)
Suy ra 
Vậy = (3)
Từ (1), (2), (3) ta có 
Chia tất cả các số hạng của bất đẳng thức cho ta được
Nhận xét: Từ bất đẳng thức trên, cho n ta được
Vậy 
 BÀI TẬP THAM KHẢO
 Bài 1[2] Cho a2 + b2 = c2 + d2 = 1. Chứng minh rằng
– 2 ≤ (a – b)(c + d) + (a + b)(c – d) ≤ 2
Bài 2[2] Cho x, y thỏa mãn 3x + 4y = 7. Chứng minh rằng 
Bài 3[6] Chứng minh rằng 
Bài 4 [2] Chứng minh rằng 
 S = 
Bài 5[1] Chứng minh rằng 
Bài 6[4] Chứng minh rằng 
Bài 7[2] Chứng minh rằng với mọi a, b Î
Bài 8[2] Chứng minh rằng với mọi cặp số thực x, y ta đều có
Bài 9 [6] Cho 3 số thực x, y, z sao cho xyz > 0 và 3 số thực a, b, c sao cho 
 a + b + c ≤ , 
Chứng tỏ 
Dấu “=” xảy ra khi nào?
Bài 10[8] Cho x2 + y2 + z2 + 2xyz = 1, với x, y, z > 0. Chứng minh rằng
xyz b) xy + yz + zx ≤ 
Bài 11[8] Cho x + y + z = xyz và x, y, z > 0. Chứng minh rằng
Bài 12[8] Cho xy + yz + zx = 1 với x, y, z > 0. Chứng minh rằng 
Bài 13 (Đề thi toán Olyimpic 30-4,lần thứ 15-2009)
Chứng minh với mọi a, b, c > 0 ta có
Bài 14[8] Chứng minh rằng với mọi x,y thỏa mãn ta có
y
KẾT LUẬN
 Trong toàn bộ đề tài chúng tôi đã hệ thống lại một số bất đẳng thức đại số có thể dùng phương pháp lượng giác để chứng minh. Chúng tôi đã phân loại chúng theo từng dạng, trình bày cụ thể phương pháp để chứng minh và có những ví dụ minh họa kèm theo mỗi phương pháp. Những ví dụ đó được sắp xếp từ đơn giản đến phức tạp với lời giải khá chi tiết, đa dạng, bao quát mọi khía cạnh lí thuyết và dễ hiểu, có thể giúp bạn đọc nắm bắt nhanh và hiệu quả phương pháp lượng giác trong chứng minh bất đẳng thức đại số. Sau khi đọc đề tài, bạn đọc sẽ có thêm một phương pháp mới để chứng minh một số bài toán bất đẳng thức đại số một cách hiệu quả hơn.
 Tuy nhiên vì trong thời gian ngắn và kiến thức chưa sâu rộng nên có những bài toán bất đẳng thức dùng lượng giác hóa để chứng minh nhưng không theo một phương pháp đặt ẩn phụ cụ thể nào mà dựa vào những tính chất đặc biệt của các hàm số lượng giác và những yếu tố trong bài toán để chứng minh không được chúng tôi trình bày cụ thể và chi tiết trong đề tài này. Chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp, nhận xét của bạn đọc về nội dung đề tài.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1] Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Các phương pháp giải –Bằng phương pháp lượng giác hóa, NXB Hà Nội, 2006.
[2] Lê Hồng Đức(chủ biên), Đào Thiện Khải, Lê Bích Ngọc, Phương pháp giải toán Lượng giác hóa, Hàm số lượng giác, Hệ thức lượng, NXB ĐHSP, 2009.
[3] Vũ Thế Hựu, Phương pháp lượng giác hóa các bài toán, NXB GD, 2003.
[4] Võ Đại Mau, Tuyển tập 216 bài toán bất đảng thức, NXB Trẻ, 1996.
[5] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức-Định lí và áp dụng, NXB GD, 2003.
[6] Nguyễn Vũ Thanh, 263 bài toán bất đẳng thức chọn lọc, NXB GD, 1997.
[7] Hội Toán học Việt Nam, Tuyển tập 30 năm tạp chí toán học và tuổi trẻ, NXB GD, 1997.
[8] 
[9]