Sáng kiến kinh nghiệm Các phương pháp tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
MÔN TOÁN
ĐỀ TÀI: CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT –GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 
SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO BÌNH PHƯỚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG XOÀI
GV : TRÁC THỊ HUỲNH LIÊN
NĂM HỌC 2006 - 2007
A/ PHẦN MỞ ĐẦU
I/ LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Trong quá trình giảng dạy cho các em học sinh nhất là học sinh lớp 12, khi dạy bài “GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT” các em thường đặt vấn đề là:“Có bao nhiêu cách tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một biểu thức”. Thực tế vấn đề GTLN-GTNN các em đã bắt đầu học từ chương trình lớp 8, lớp 9 và trong chương trình ở bậc THPT.
Các bài toán tìm GTLN-GTNN rất phong phú và đa dạng, nó mang một nội dung vô cùng sâu sắc trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: đi tìm cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất  trong một bài toán, để dần hình thành cho học sinh một thói quen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó cho cuộc sống sau này .
II/TÍNH CẤP THIẾT KHI CHỌN ĐỀ TÀI:
Các bài toán tìm GTLN-GTNN có một vị trí xứng đáng trong chương trình học và dạy ở các trường phổ thông. Các bài toán này đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức và vận dụng một cách hợp lý, nhiều khi khá độc đáo. Do đó các em học sinh thường gặp nhiều khó khăn trong việc đi tìm lời giải, các em không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức nào trong chương trình đã học ?
Mặt khác trong các đề thi tốt nghiệp THPT, đề thi Đại Học và đề thi HSG thì bài toán tìm GTLN-GTNN rất thường xuyên xuất hiện, thí sinh khi làm các bài thi này thường rất lúng túng trong việc tìm lời giải .
Để giúp các em bớt gặp khó khăn cũng như có cách nhìn chung về vấn đề tìm GTLN-GTNN, bài viết sau đây nhằm mục đích hệ thống lại các phương pháp tìm GTLN-GTNN của một hàm số hay một biểu thức.
Tác giả rất mong nhận được ý kiến đóng góp chân thành của quí thầy cô cùng đồng nghiệp để bài viết được tổng quát hơn, hay hơn. 
 Đồng Xoài, ngày 28 tháng 3 năm 2007
 Giáo viên
 TRÁC
NỘI DUNG I : ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍNH CHẤT CỦA GTLN-GTNN
1/ ĐỊNH NGHĨA:
a/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT:
Cho hàm số f(x) có miền xác định D.Ta nói M là giá trị lớn nhất của f(x) trên miền D ,nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
1/ f(x) 
2/ 
Ký hiệu: M = f(x)
b/ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT:
Cho hàm số f(x) có miền xác định D.Ta nói m là giá trị nhỏ nhất của f(x) trên miền D ,nếu như đồng thời thỏa mãn hai điều kiện sau:
1/ f(x) 
2/ 
Ký hiệu: m = f(x)
Chú ý: Khi nói đến GTLN-GTNN của một hàm số , bao giờ ta cũng xem nó xác định trên tập hợp nào .Cùng một hàm số , nhưng nếu xác định trên tập khác nhau , thì nói chung GTLN –GTNN tương ứng là khác nhau.
2/ CÁC TÍNH CHẤT CỦA GTLN-GTNN CỦA HÀM SỐ :
Sau đây là môt số tính chất cơ bản của GTLN-GTNN để học sinh tham khảo cũng như có thể xem là những ví dụ cho các bài toán về GTLN-GTNN mà trong sách giáo khoa chưa đề cập .
a/ Tính chất 1: Giả sử AB, khi đó ta có : 
*/ 
**/ 
b/ Tính chất 2: Giả sử D = D1D2, khi đó ta có:
*/ 
**/ 
c/ Tính chất 3: Nếu f(x) 0 , khi đó ta có:
*/ 
**/ 
d/ Tính chất 4: 
*/ 
**/ 
e/ Tính chất 5: 
f/ Tính chất 6: Nếu đặt M = và m = thì:
NỘI DUNG 2: HỆ THỐNG LẠI CÁC PHƯƠNG PHÁP TÌM GTLN-GTNN
PHƯƠNG PHÁP 1: ĐƯA VỀ DẠNG BÌNH PHƯƠNG
KIẾN THỨC CẦN NHỚ: A20, dấu bằng xãy ra khi A = 0
1/ KIẾN THỨC Ở CẤP 2:
Ví dụ 1: Với giá trị nào của x thì biểu thức : y = x2 – 2x + 5 có giá trị nhỏ nhất (SGK lớp 8)
Ở cấp 2 nhìn chung các bài toán thường giải bằng cách đưa về dạng bình phương , chẳng hạn ta nhắc lại một số dạng sau đây :
Giải :
 Hàm số y = x2 – 2x + 5 xác định 
Ta có : y = x2 – 2x + 5 = (x – 1)2 + 44 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x – 1 = 0 
Ví dụ 2: Với giá trị nào của x thì biểu thức : y = 18 – 6x – x2 có giá trị lớn nhất(SGK lớp 8)
Vậy = 4 khi x = 1
Giải: 
Hàm số y = 18 – 6x – x2 xác định 
Ta có y = 27 – (x +3)2 27 
Dấu “=” xãy ra khi và chỉ khi x+3 = 0 
Vậy = 27 khi x = -3
2/ KIẾN THỨC Ở CẤP 3: Sang cấp 3 cũng bằng phương pháp bình phương ta cũng có thể giải các bài toán sau:
Ví dụ 3: Gọi là một góc cố định cho trước .Tìm giá trị nhỏ nhất của
 hàm số : y = tan2(x+ ) + tan2(x - )
Giải: 
Ta có : y = [tan(x+ ) +tan(x - )]2+ [tan(x+ ) -tan(x - )]2
 =
 = 
 = 
Nhận xét: 
+ Tử số đạt giá trị nhỏ nhất khi sin 2x = 0 , khi đó cos 2x = 1
+ Mẫu số đạt giá trị lớn nhất bằng (1 + cos 2)2 nếu cos 20 khi cos 2x = 1
và bằng (-1 +cos 2)2 nếu cos 20 khi cos 2x = -1
Vậy :i/ Nếu cos 20 thì miny = 
 ii/ Nếu cos 2< 0 thì miny = 
Ví dụ 4:Cho tam giác ABC .Tìm giá trị lớn nhất của:
 P = cosB + 3( cosA + cosC)
Giải: 
Ta có : P = cosB + 6coscos= cosB + 6 sincos
 = (1 – 2 sin2) + 6 sincos
 + 6 sin + 
 Suy ra : maxP = khi 
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của
 f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) với x;y
Giải: Ta có :
f(x,y) = cosx + cosy – cos(x+y) = 2coscos - 2 cos2 + 1
= -2 [cos2- coscos ] +1
 = -2[cos2- 2.coscos + ] + + 1
 = -2(cos - cos)2 + + 1
Suy ra f(x,y) 
Dấu “=” xãy ra khi 
Mặt khác x;y thì cosx; cosy; - cos(x+y)
Dấu “=” xãy ra khi 
Vậy max f(x,y)= khi 
 min f(x,y) = -3 khi 
PHƯƠNG PHÁP 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Bất đẳng thức Cauchy:
Nếu a1, a2 ,a3 ,, an là các số không âm, ta có : 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a1 = a2 = a3 = .. = an
2/ Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Nếu a1, a2 ,a3 ,, an và b1 ,b2 , b3 , .. ,bn là 2n số tùy ý , ta có :
(a12 +a22 +a32 +.+an2)(b12 + b22 + b32 +..+ bn2)(a1b1 + a2b2 +.+anbn)2
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 
(với quy ước rằng trong phân số nếu bi = 0 thì ai = 0)
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = xét trên miền D = [1;5]
Giải: 
Dựa vào tính chất sau đây của bất đẳng thức: 
Nếu a,b thì a
Theo tính chất 3 : Nếu f(x) , khi đó ta có ;
1/ 
2/ 
Ta thấy hàm số f(x) = , nên sử dụng tính chất 3 ta có :
 f 2(x) = 4 + 2
Từ đó ta có : 
Vậy 
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
f 2(x) = 4 + 2
Mặt khác f2(3)=8
Vậy 
Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số :f(x) = x100 – 10x10 + 10 với x R
Giải: Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy , ta có :
 x 100 += 10x10
Suy ra :x100 – 10x10 + 9 
Mặt khác f(1) = 1
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm gtnn của P = tgA + tgB + tgC
Vậy 
Giải : 
Ta có A + B + C = 
Aùp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tgA , tgB , tgC, ta có :
P = tgA + tgB + tgC 
Dấu “=” xảy ra khi tgA = tgB = tgC
Vậy min P = 3 khi tam giác ABC là tam giác đều
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của y = trên (0;1)
Giải : 
y = = = 2 + = 3 + 
 Vì x (0;1) > 0
Theo bất đẳng thức Cauchy , ta có :
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy khi 
Ví dụ 5: Ba đại lượng biến thiên x , y , z luôn thỏa mãn điều kiện :
xy+yz+zx = 4.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = x4 + y4 + z4.
Giải: 
Aùp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki, ta có :
16 = (xy + yz + zx)2(x2 + y2 + z2)(y2 + z2 + x2) = (x2 + y2 + z2 )2
Suy ra : x2 + y2 + z2 
Cũng theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
16 (12+12+12)(x4+y4+z4)=3(x4+y4+z4)
Suy ra :x4+y4+z4 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 
Vậy min A = khi x = y = z = 
Ví dụ 6: Tìm gtln của hàm số : y = sinx + 
Giải: 
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có :
Sinx + 
Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Vậy y = sinx + 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy : max y = 3 khi 
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = 
Giải : + Tập xác định của hàm số là : D = [2;4]
Theo bất đẳng thức Bunhiacopxki , ta có : 
y = 1. 
Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy = 2 khi x = 3
Nhận xét : Ở ví dụ 7 ta chỉ cần tìm giá trị lớn nhất nên ta có thể sử dụng bất đẳng thức để tìm , nhưng nếu cũng với hàm số y = ta cần tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất thì cách làm gọn nhất là sử dụng đạo hàm để tìm miền giá trị của hàm số từ đó ta tìm được GTLN và GTNN của hàm số .
Phương pháp sử dụng miền giá trị của hàm số là một phương pháp rất hay , rất thuận lợi cho học sinh trong việc đi tìm GTLN –GTNN 
PHƯƠNG PHÁP 3 : SỬ DỤNG MIỀN GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ :
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/Cho hàm số y = f(x) xác định trên D , có miền giá trị T
y0 T phương trình y0 = f(x) có nghiệm xD
 ( dấu “=” xảy ra được)
Khi đó và 
2/ Phương trình : asinx + bcosx = c có nghiệm khi và chỉ khi a2 + b2 c2
Như vậy để tìm GTLN –GTNN của hàm số theo phương pháp này ta quy về việc tìm điều kiện để một phương trình ( có thêm điều kiện phụ ) có nghiệm.
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :y = 
Giải:
+ Tập xác định D = R.Gọi T là tập giá trị của hàm số 
Gọi y0 T phương trình y0 = có nghiệm xR
 phương trình :y0x2 + (y0 – 2)x + 4y0 + 1= 0 (1) có nghiệm xR
Ta xét hai trường hợp :
Nếu y0 = 0 thì (1) - 2x + 1 = 0 
Nếu y0 0 thì (1) có nghiệm 
Kết hợp hai trường hợp ta có pt (1) có nghiệm 
Ví dụ 2: Xác định các tham số a và b sao cho hàm số : y = đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và đạt giá trị nhỏ nhất bằng -1 
Vậy và 
Giải:+ Tập xác định D = R
Có nghiệm xR
Có nghiệm xR
Có nghiệm xR
Có nghiệm xR
Vậy yêu cầu bài toán 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :y = 
Giải:
Vì phương trình : sinx + cosx – 2 = 0 vô nghiệm nên tập xác định D = R
Gọi T là tập giá trị của hàm số 
Gọi y0 T phương trình y0 = có nghiệm xR
Vậy : 
PHƯƠNG PHÁP 4: SỬ DỤNG TAM THỨC BẬC HAI
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Để tìm GTLN-GTNN của hàm số bậc hai : ax2+bx +c = 0 ( a0) trên [] ta có nhận xét sau: đồ thị của hàm số là Parabol có hoành độ đỉnh là x0 = -
Ta xét hai trường hợp :
1/ a>0: * Nếu x0 thì 
 * Nếu x0 thì và
2/ a < 0: * Nếu x0 thì 
Ví dụ 1: Giả sử (x,y) là nghiệm của hệ phương trình :
Xác định a để tích xy là nhỏ nhất ?
 * Nếu x0 thì và
Giải : 
Đặt S = x + y và P = xy
Ta có : S = 2a – 1 , x2 + y2 = S2 – 2P = a2 + 2a – 3 
Suy ra P = 
Điều kiện để hệ có nghiệm là : S2 – 4P 0 
Bây giờ ta tìm a để P = đạt giá trị nhỏ nhất trên [2-
Ta có hoành độ đỉnh parabol : a0 = 1 < 2 - 
Parabol có bề lõm quay lên , do đó minP đạt được khi a = 2-
Vậy với a = 2- thì xy đạt giá trị nhỏ nhất 
Ví dụ 2: Tìm tham số a để giá trị nhỏ nhất của hàm số : 
 y = 4ax + lớn hơn 2
Giải:
Ta có : y = 
Khi đó miny = min 
Vậy : min y > 2 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = 
Giải : 
Đặt u = với x R thì -1 khi đó 
y = cos u + cos2u + 1 = cos u + 2cos2u
Đặt t =cosu 
Khi đó y = 2t2 + t có đồ thị là parabol với hoành độ đỉnh : t0 < - < cos1
Vậy : max y = y(1) = 3 tại x = 0, Min y = y(cos1) = 2 cos21 + cos1 tại x = 
PHƯƠNG PHÁP 5: DÙNG ĐẠO HÀM:
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Trong chương trình lớp 12 , ở phần đạo hàm chúng ta đã sử dụng tính đơn điệu và cực trị của hàm số để tìm GTLN-GTNN.
Đặc biệt nếu D = [a;b] và hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (a;b) thì 
với x0 , x1 , lànghiệm của pt y/= 0 
Ở đây ta xét thêm một số bài toán tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp đạo hàm.
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = trên (0;1)
Nhận xét:Ví dụ 1 ta đã giải bằng pp sử dụng bất đẳng thức , nhưng đối với học sinh yếu thì các em không sử dụng bất đẳng thức thành thạo .
Mặt khác ở chương trình lớp 12 các em đã học đạo hàm và biết cách lập bảng biến thiên ,do đó khi giải ví dụ 1 thì phương pháp đạo hàm chiếm ưu thế hơn vì mọi học sinh đều có thể giải được 
Giải : Ta xét hàm số trên khoảng (0;1)
y/ = , y/ = 0 
 x - -1- 0 -1+ 1 + 
 y/ + 0 - - 0 + +
 + +
 y 
 3+2 
BBT:
Vậy : 
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x) = xét trên miền D = [1;5]
Nhận xét: Ví dụ 2 ta cũng đã giải bằng phương pháp bất đẳng thức , bây giờ ta giải ví dụ này theo phương pháp đạo hàm để thấy tính ưu việt của phương pháp đạo hàm.
Giải: Tập xác định : D = [1;5]
f/(x) = 
f/(x) = 0 
 x - 1 3 5 +
 f/(x) + 0 - 
 f(x) 2
2 2
BBT:
Suy ra :
Vậy: , 
Ví dụ 3:Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :y = sinx + 3 sin 2x
Giải: Miền xác định: D = R
y/ = cosx + 6cos 2x = 12cos2x + cosx – 6
y/ = 0 
1/ Với cosx = thì sinx = 
2/ Với cosx = - thì sinx = 
Vậy : 
Chú ý : Trong các ví dụ sau nếu xét hàm số đã cho theo biến x thì ta khó xét tính đơn điệu của hàm số , nhưng nếu đặt ẩn phụ t thì ta có thể đưa hàm số trên về dạng hàm số theo biến t quen thuộc với học sinh lớp 12 vì đó là một trong các dạng hàm số mà các em đã khảo sát và vẽ đồ thị trong chương trình lớp 12.
Ví dụ 4:Với giá trị nào của x ,hàm số sau đạt giá trị nhỏ nhất:
 y = lg2x + 
Giải:
Miền xác định D = (0;+)
Đặt t = lg2x , t 0.Khi đó y = t + 
y/ = 1 - 
Do đó hàm số luôn đồng biến trên [0;+)
Suy ra y(t) 
Vậy : 
Giải: Hàm số xác định với mọi x R
Đặt t = sinx , t 
Khi đó y = xác định trên 
y/ = , y/ = 0 
y(0) = 1 , y(1) = , y(-1) = 0
Vậy : (kZ)
 (kZ)
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 
Giải:
Hàm số xác định với mọi x 0
Đặt t = x + , điều kiện : 
Khi đó y = t2 – 2t + 3 = g(t) y/ = 2t – 2 = 0 
BBT:
 x - -2 1 2 +
 y/ - - 0 + +
 + +
 y 
 11 3
Vậy:
Ví dụ 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y= 
Nhận xét : Ở bài toán này nếu ta giải theo phương pháp miền giá trị của hàm số thì ta không thể chỉ ra được x bằng bao nhiêu khi hàm số đạt GTLN ,
GTNN.Như vậy ta không trả lời được đúng yêu cầu của đề bài .Vì vậy ở bài này ta phải giải bằng cách đặt ẩn phụ.
Giải:
Đặt t = tg , vì nên 
Khi đó : cosx = 
Suy ra y = 
y/ = 
 x - - 2 +
 y/ - 0 + 0 -
 1 2 
 y 
 1
BBT:
Vậy: với 
 với 
Ví dụ 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y= 
Giải:
Hàm số có chu kỳ T = 2
Vì y 0 và tính chất chẵn , lẻ của hàm số sinx , cosx nên ta chỉ cần xét hàm số 
y= trên miền xác định D = [0;]
Đặt t = cosx + sinx = 
Vì 
Ta có : y2 = t + 
y/ (t) = 1 + 
Do đó với t thì hàm số y= là hàm đồng biến
Vậy : 
PHƯƠNG PHÁP 6: PHƯƠNG PHÁP ĐỒ THỊ VÀ HÌNH HỌC
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
Trong tất cả các đường gấp khúc nối hai điểm A , B cho trước thì đường thẳng nối hai điểm A , B có độ dài nhỏ nhất .
Trong một tam giác , tổng hai cạnh luôn lớn hơn cạnh thứ ba .
Cho điểm M ở ngoài một đường thẳng d cho trước , khi đó độ dài đoạn vuông góc kẻ từ M xuống d ngắn hơn mọi đường xiên kẻ từ M xuống cùng đường thẳng ấy .
Trong các tam giác cùng nội tiếp một đường tròn thì tam giác đều có chu vi và diện tích lớn nhất.
Trong thực tế phương pháp tìm GTLN-GTNN bằng phương pháp hình học , chúng ta cũng đã làm quen rất nhiều ở cấp 2 , chẳng hạn : “ Trong các tam giác có cùng cạnh đáy và cùng diện tích , tam giác nào có chu vi nhỏ nhất”hay “ Chứng minh rằng trong các tam giác có cùng cạnh đáy và cùng diện tích , tam giác cân có bán kính đường tròn nội tiếp lớn nhất.”
Như vậy nếu như một bài toán nào đó tìm GTLN-GTNN bằng một phép biến đổi nào đó có thể quy về sự kiện hình học mà bằng phương pháp đồ thị và hình học ta có thể dễ dàng giải được thì chúng ta sử dụng phương pháp này .
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :
 y= f(x)= trên miền xác định D = R
B
A D C 
Giải: 
Ta viết f (x) = 
Khi đó : f(3) = 4
Dựng tam giácABC vuông tại A, AC = 5 , AB =
Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD = 1.
Theo định lý Pitago, ta có :
BC = 
 BD = 
Trong tam giác BCD ta luôn có: BC – BD < DC
Tức là : < 4
Vậy : f(x) < 4 , , f(3) = 4 .Từ đó suy ra : 
Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số:
f(x) = trên miền xác định D = R
y
 - B
 - C
 O x
 A -
Giải :
 Ta có : 
f(x) = 
=
Xét các điểm A(- , B( và C (0;x) trên mặt phẳng tọa độ Oxy.
Từ (1) ta có : f(x) = CA + CB 
Rõ ràng : CA + CB AB với AB = 
Vậy : f(x) 2 
Dấu “=” xảy ra ba điểm A , B , C thẳng hàng 
Vậy : 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
f(x,y) = 4x + 3y có miền xác định D = 
Giải: 
Nếu (x,y) D ta có : x2 + y2 +16 = 8x + 6y 
Vậy D chính là đường tròn tâm O1( 4; 3), bán kính R = 3
M
M2
M1
O
O1
3
4
x
Khi (x,y) D ta có : f(x,y) = 4x + 3y = 
Xét điểm M(x;y) trên D .Nối OO1 cắt đường tròn D tại M1 , M2.
Khi đó : 
Vì x2 + y2 = OM2 nên từ (1) ta suy ra :
 và 
PHƯƠNG PHÁP 7: PHƯƠNG PHÁP VECTƠ
KIẾN THỨC CẦN NHỚ:
1/ Các đẳng thức vectơ:
Trong không gian n chiều , cho hai vectơ : 
Khi đó : * 
 * 
 * với k
 * 
 * 
 * 
 2/ Các bất đẳng thức : 
 * 
 * 
 * 
Dạng 1: sử dụng bất đẳng thức : 
Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = 
Giải:
Xét hai vectơ: và 
Mặt khác : 
Do 
Dấu “=” xảy ra cùng phương với 
Vậy : max y = khi 
Ví dụ 2: Cho x2 + y2 = 1.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = 
Giải: 
Xét hai vectơ : 
và 
Mặt khác : 
Do 
Dấu “=” xảy ra cùng phương với 
Vậy : max A = 1 khi 
Ví dụ 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :A = sinx.siny.sinz +cosx.cosy.cosz
Giải:
Xét hai vectơ: và 
 = sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz
 = 
Do sinx.siny.sinz + cosx.cosy.cosz 
Dấu “=” xảy ra 
Vậy : max A = 1
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y= sinx + 
Giải:
Xét hai vectơ : 
Mặt khác : 
Do sinx + 
Dấu “=” xảy ra cùng hướng
Ví dụ 5: Gọi là ba góc tạo bởi đường chéo của hình hộp chữ nhật với ba cạnh phát xuất từ một đỉnh và .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = 
Vậy : max y= 3 khi x=
Giải:
Xét hai vectơ :
 và 
Mặt khác : = 
Do 
Dấu “=” xảy ra cùng hướng
Vậy : max A = 
Dạng 2: Sử dụng bất đẳng thức : 
Nhận xét chung : Phân tích đề bài một cách khéo léo để chọn tọa độ vectơ thích hợp thì giải được bài toán nhẹ nhàng 
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số : y = 
Giải:
Nhận xét : x2 – 2x + 5 = (1 – x)2 +22 , x2 + 2x + 5 = (x+1)2 +22 
Suy ra ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho y bằng tổng độ lớn của hai vectơ đó. 
Xét hai vectơ: 
Mà :
Do : 
Dấu “=” xảy ra cùng hướng
 Vậy : min y = 2 khi x = 0
Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
 A = 
Giải:
Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho A bằng tổng độ lớn của hai vectơ đó 
Xét hai vectơ: 
Mà : 
Aùp dụng bất đẳng thức : 
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 3 : Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : A = 
Vậy : min A = 2 khi 
Giải:
Nhận xét : Ta chọn ba vectơ có tọa độ thích hợp sao cho A bằng tổng độ lớn của ba vectơ đó 
Xét ba vectơ :
Mà : 
Aùp dụng bất đẳng thức : 
Dấu “=” xảy ra 
Ví dụ 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
A = 
Vậy : min A = khi 
Giải:
Xét ba vectơ : 
Mà : 
 Aùp dụng bất đẳng thức : 
Dấu “=” xảy ra cùng hướng 
Vậy : min A = 5 khi 
Ví dụ 5: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số : y = 
Nhận xét : Ta chọn hai vectơ có tọa độ thích hợp sao cho y bằng giá trị tuyệt đối của hiệu độ lớn của hai vectơ đó 
Giải:
Xét hai vectơ :
Mà : 
Aùp dụng bất đẳng thức : 
 Dấu “=” xảy ra cùng hướng 
Ví dụ 6: Cho n số thực : a1, a2 , ., an. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : 
A = 
Vậy : max y = khi 
Giải:
Xét ( n + 1 ) vectơ : 
Khi đó : 
Aùp dụng bất đẳng thức : 
Dấu “=” xảy ra cùng hướng 
Vậy : min A = ( n +1 )
 NỘI DUNG 3: MỘT SỐ ĐỀ THI ĐỂ HỌC SINH THAM KHẢO
Đề 1: Cho ba số dương a, b, c thỏa abc = 1 .Tìm giá trị nhỏ nhất của :
 P = 
Đề 2: Cho f(x) = cos22x + 2(sinx + cosx)3 – 2sin 2x + m
Tính theo m giá trị lớn nhất của f(x) .Từ đó tìm m sao cho f2(x) 
Đề 3: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = 2sin8x + cos42x 
Đề 4: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = x + (Khối B : 2003)
Đề 5: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = x6 + 4(1 – x2)3 ( dự bị khối B : 2003)
Đề 6: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = sin5x + cosx ( dự bị khối A : 2003)
Đề 7: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = trên đoạn [-1; 2] (Khối D : 2003)
Đề 8: Tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của hàm số :
 y = trên đoạn [1 ; e2] ( Khối B : 2004)
Đề 9: Gọi (x;y) là nghiệm của hệ phương trình : với m là tham số .Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : A = x2 + y2 -2x khi m thay đổi .
(dự bị khối A:2004)
Đề 10: Cho hàm số f(x) = ex – sinx + .Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x).
Chứng minh rằng phương trình f(x) = 3 có đúng ba nghiệm .
(dự bị khối B:2004)
III/ PHẦN KẾT LUẬN
Các bài toán về GTLN-GTNN là các bài toán rất phong phú , đa dạng , do đó đòi hỏi người giải phải biết cách nhìn , nhiều bài toán có được lời giải hoặc lời giải hay là nhờ việc khai thác đúng đắn các đặc điểm về dạng của bài toán .
Nhìn về lượng và chất thì bài tập trong sách giáo khoa rất ít , không đủ cho các em học sinh rèn luyện .Do đó bài viết này là cầu nối giúp các em nhìn vấn đề một cách hệ thống hơn , khái quát hơn , làm hành trang cho các em trong các kỳ thi .
Khi tôi dạy cho học sinh chuyên đề này , tôi thấy các em rất thích thú , khi gặp một đề bài tương tự các em đã vận dụng cách giải một cách linh hoạt , có khi cùng một đề các em lại giải được nhiều cách khác nhau .Mặt khác trong các dạng toán luyện thi các em rất thường xuyên đụng đến bài toán tìm GTLN-GTNN ( ví dụ : tìm tham số m để phương trình có nghiệm, tìm m để hàm số f(x) đơn điệu trên khoảng (a;b),)khi đó chuyên đề này rất hữu ích cho các em và các em đã giải các bài toán luyện thi đạt kết quả tốt .
IV/ TÀI LIỆU THAM KHẢO:
1/ Sách giáo khoa Giải Tích 12 của Ngô Thúc Lanh
2/ Sách Giải Tích nâng cao của Phan Huy Khải 
3/ Chuyên đề khảo sát hàm số của Ngô Tấn Lực 
4/ Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của Nguễy văn Nho 
5/ Các phương pháp và kỹ thuật đặc biệt giải toán THPT của Nguyễn văn Quí
6/ Các bài toán về phương pháp vectơ của Nguyễn Mộng Hy
NHẬN XÉT VÀ ĐÁNH GIÁ CỦA TỔ TOÁN