Sáng kiến kinh nghiệm Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng

MỤC LỤC
Nội dung
Trang 
Mở đầu
2
Chương 1: Cơ sở lý luận
3
 1. Bất đẳng thức Cauchy
3
 2 . Hệ quả bất đẳng thức Cauchy 
3
Chương 2: Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy 
4
I. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh bất đẳng thức
4
II. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải phương trình, bất phương trình
8
III. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào tìm GTLN- GTNN
13
 1. Kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Cauchy
13
 2. Ứng dụng vào tìm GTLN- GTNN
17
 IV. Ứng dụng bất đẳng thức Cauchy vào chứng minh tính chất nghiệm
20
Kết luận
21
Tài liệu tham khảo
22

MỞ ĐẦU
LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : 
Bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức khó nhất của toán học phổ thông mà học sinh cần phải nắm được, bởi ứng dụng của bất đẳng thức xuyên suốt chương trình toán học THPT. Đặc biệt phải kể đến mảng ứng dụng , bởi lí do đó nên tôi chọn đề tài : “ Bất đẳng thức Cauchy và một số ứng dụng ’’. Đề tài cũng giúp tôi hiểu sâu hơn về phương pháp dậy bài tập bất đẳng thức cho học sinh.
MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU :
Để cho học sinh thấy được vai trò bất đẳng thức Cauchy trong giải quyết bài toán. Yêu cầu đạt đến đối với học sinh là thấy rõ, hiểu và biết cách vận dụng bất đẳng thức Cauchy trong thực hành giải toán.
ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU : 
Đối tượng nghiên cứu của đề tài là vận dụng bất đẳng thức Cauchy vào giải quyết một số bài toán liên quan trong các đề thi HSG và tuyển sinh ĐH.
NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU : 
Đưa ra những cơ sở lí luận về bất đẳng thức Cauchy . Từ đó mô tả phân tích để tìm ra biện pháp dậy cho học sinh cách vận dụng vào giải toán.
CÁC PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CHÍNH : 
Với nền tảng cơ sở lí luận về phương pháp dạy toán học , thì đòi hỏi phương pháp phân tích sản phẩm , tổng kết kinh nghiệm để út ra được lí thuyết cho chính bản thân người dạy.
KẾT CẤU CỦA ĐỀ TÀI : 
Đề tài gồm 2 chương :
Chương 1 :	Cơ sở lí luận .
 Chương 2 :	Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy.
Chương 1 : Cơ sở lí luận 
1.BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
 Cho .Ta có : , (1)
 Dấu xảy ra 
 CM
Với ta có : ( luôn đúng).
Giả sử (1) đúng với , tức là :.Ta chứng minh (1) cũng đúng với . Thật vậy , giả sử 
Đặt , .
Vì 
Do đó : 
 (đúng).
Dấu xảy ra 
 Vậy theo nguyên lý quy nạp toán học bất đẳng thức (1) đúng .
Với thì hiển nhiên bất đẳng thức (1) đúng.
2. HỆ QUẢ BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY
 + Hệ quả 1: 
 Nếu thì xảy ra 
 + Hệ quả 2: 
 Nếu thì xảy ra 
Chương 2 :	Một số ứng dụng của bất đẳng thức Cauchy.
I.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CHỨNG MINH BĐT
Bài toán 1 (BĐT Bernoulli)
 Cho khi đó :
, ta có: (2). Dấu xảy ra hoặc .
, ta có : (3). Dấu xảy ra hoặc .
 CM
 . Trước hết ta chứng minh 
 + Với thì bđt (2) hiển nhiên đúng .
 + Với , đặt Khi đó ta có : 
Dấu xảy ra 
 + Với , giả sử là số vô tỷ tùy ý . Khi đó vì là tập trù mật trong nên tồn tại dãy số hữu tỷ mà . 
Với mọi n , ta có : chuyển qua giới hạn ta có : 
 hay Như vậy BĐT (2) được chứng minh trọn vẹn.
 + Với , thì bđt (3) hiển nhiên đúng.
 + Với , đặt 
Ta có : 
Dấu xảy ra 
 Giả sử là số vô tỷ tùy ý , vì trù mật trong nên hữu tỷ , mà .
 ta có : . Chuyển qua giới hạn , thì được : 
 hay 
Như vậy bđt (3) được chứng minh hoàn toàn.
Bài toán 2 : Cho Ta có : 
 (4) . Dấu xảy ra 
CM
Đặt 
, thì BĐT (4) hiển nhiên đúng.
, áp dụng BĐT cauchy cho 1 số và số ta được :
Do đó : .
 . Dấuxảy ra ( đpcm) .
Chú ý : + Ta có thể chứng minh BĐT (4) nhờ BĐT Bernoulli như sau :
Đặt . Khi đó : (4) .
, ta có : 
Do đó : 
Dấu “ = ” xảy ra 
 + Nếu thay điều kiện bằng điều kiện thì cách chứng minh thứ 2 hợp lí hơn.
 + Các BĐT (2), (3) , (4) đều có thể chứng minh bằng đạo hàm.
Bài toán 3: Cho và . Chứng minh rằng: 
 . Dấu “ = ” xảy ra 
CM
 Áp dụng BĐT CauChy cho số , ta có :
 Tương tự ta có : 
 và 
Cộng vế với vế 3 bất đẳng thức trên và rút gọn ta được điều phải chứng minh.
MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ:
Cho ,. Đặt . Chứng minh rằng :.
Cho Chứng minh rằng :
 , trong đó .
Cho . Chứng minh rằng :
 ,, trong đó (chẵn).
Cho . Chứng minh rằng :
 , trong đó .
 Chú ý : Với việc sử dụng hằng đẳng thức sau :
 .Ta sẽ có một lời giải bằng BĐT Cauchy thật đẹp cho bài 4 .
 5. Cho Chứng minh rằng nếu thỏa mãn điều kiện , thì ta có : .
II. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT , BPT ,HPT, HBPT.
 1. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI PT, BPT. 
 Ví dụ 1. Giải pt sau :
 .
 Lời giải
 Điều kiện Ta có : 
Vậy là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
 Ví dụ 2 . Giải phương trình sau :
lời giải
Do không là nghiệm của pt , nên chia cả 2 vế cho ta được :
 Dấu “ = ’’ xảy ra 
 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 
 Ví dụ 3 . Tìm nghiệm x, y của bất phương trình sau :
 ( 1 )
Lời giải
Đặt Khi đó phương trình( 1) trở thành : ( 2 ) 
 Giả sử là nghiệm của BPT (2) , điều này cũng có nghĩa là nghiệm của BPT (1)
 Tức là : ( * )
Mặt khác theo BĐT Bernoulli , ta lại có : 
mâu thuẫn với ( *).
Vậy BPT đã cho vô nghiệm.
 Ví dụ 4 . Chứng minh rằng các BPT sau không có nghiệm nguyên dương:
 a) ( 1 )
 b) ( 2 )
Lời giải
a) Từ ( 1 ) suy ra . Giả sử là một nghiệm của BPT (1) , tức là :
 (*)
Theo BĐT Bernoulli , ta có : 
Và . 
Do đó : 
Mâu thuẫn (*) suy ra điều giả sử là sai. Vậy BPT (1) vô nghiệm.
 b) làm tương tự ý a .
2.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO GIẢI HPT, HBPT
 Ví dụ 1. Giải hệ phương trình sau :
Lời giải
 Điều kiện 
 Từ (1) (4)	
 Từ (2) (5)
Dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời . 
Thay vào (1) thoả mãn (3) .
Vậy HPT đã cho có nghiệm duy nhất là 
Nhận xét : 
Thay vì lý luận dấu “ = ’’ ở (4) và (5) xảy ra đồng thời , ta có thể làm như sau : 
 Từ (4) và (5) (6) thế vào (3) ta được : (7)
 Từ (2), (6),(7) và theo định lí Vi-ét thì x, y,z là 3 nghiệm của phương trình sau : 
Với cách làm ở trên thì phương trình (3) là không cần thiết .
Ta cũng có thể trình bày lời giải bài toán trên theo cách sau : 
 Vì vai trò là như nhau. Không mất tính tổng quát ta giả sử
 Ta có . 
 . 
Dấu xảy ra Thế vào (2) ta được thoả 
mãn phương trình (1). Vậy là nghiệm của hệ đã cho.
 Bình luận : Với cách làm trên ta thấy phương trình (1) chỉ cần thay bằng giả thiết là đủ.
 Ví dụ 2 . Tìm m để hệ sau có nghiệm dương :
Lời giải
Giả sử hệ có nghiệm nguyên dương , tức là :
Ta có : 
Mặt khác : 
Từ (4) và (5) suy ra .
Với , thì ta có :
 là 3 nghiệm (phân biệt hoặc trùng nhau) của phương trình sau : 
Vậy với , thì ycbt được thoả mãn.
Ví dụ 3. Tìm a,b thoả mãn : 
Lời giải
Từ (1) ta có : 
Do a,b 
Từ (2) ta có : 
Giả sử , từ (3) suy ra 
Với , thì từ (4) 
 (mâu thuẫn (3) ) 
Với , từ (4) suy ra kết hợp với (3) ta được 
Dễ dàng kiểm tra thấy chỉ có cặp (1 ; 9) là thoả mãn.
Vậy nghiệm của hệ BPT đã cho là 
Ví dụ 4 . Tìm nghiệm dương của HBPT sau :
Lời giải
Áp dụng BĐT cauchy ta có : 
Tương tự , ta có :
 và 
Do đó : +
. 
Từ (2) và (3) suy ra . Dấu “ = “ xảy ra . Vậy nghiệm của HBPT đã cho là : 
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ.
1.Tìm thoả mãn : 
2.Giải phương trình sau : 
 3.Tìm GTLN của tham số a để BPT sau có ít nhất một nghiệm :
 .
4.Giải các HPT , HBPT sau :
a) 
b) 
 
c) 

d) 
e) 
f) 

III. ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO TÌM GTLN - GTNN .
1.KỸ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BĐT CAUCHY
 Giả sử ta cần chứng minh, BĐT sau :
 hoặc 
1.1. Trường hợp 1 : là một biểu thức đối xứng của các .Ta dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) xảy khi . Kiểm tra lại dự đoán nếu đúng thì kết hợp với điều kiện xảy ra dấu “ = ’’ trong BĐT cauchy , ta sẽ tìm được các hằng số trong các đánh giá giả định. Từ đó đưa ra lời giải của bài toán .
Ví dụ 1: 
 Cho Chứng minh rằng :
Lời giải 
Dự đoán khi . Do đó ta cần chọn sao cho :
 Từ đó ta có lời giải sau :
Dấu “ = ” xảy ra khi (đpcm).
Ví dụ 2 :
 Cho . Chứng minh rằng :
 Trước tiên ta xét đánh giá giả định sau : 
 (*)
 Mặt khác , ta lại có : 
 Do đó (*) luôn đúng nếu ta chọn được thoả mãn :
 Khi này , ta có lời giải sau : 
 Ta có : , 
 và .
 Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được ĐPCM 
Ví dụ 3 : Cho . Chứng minh rằng : 
Trước tiên ta dự đoán dấu “ = ” xảy ra khi .
Khi đó . Do đó :
Tương tự ta có : và 
Cộng vế với vế 3 BĐT trên ta được:
1.2. Trường hợp 2 : Trong biểu thức các không có tính đối xứng . Khi này việc dự đoán dấu “ = ’’ trong BĐT (*) cho một lớp bài toán là rất khó. Kết quả của việc này chủ yếu dựa vào kinh nghiệm và trực quan toán học của mỗi người làm toán.
Ví dụ 1 : Cho Chứng minh rằng :
 Trước tiên , ta dự đoán , khi và thoả mãn 
Biểu diễn S dưới dạng sau :
Như vậy ta cần chọn các số thoả mãn các điều kiện sau đây : 
Thế (1),(2),(3) vào (4) ta được :
Ta cần chọn sao cho thay vào (5) thì ta khai căn được ở các biểu thức có chứa dấu căn. Dễ thấy đáp ứng được yêu cầu đó. Khi này ta có một lời giải đẹp như sau : 
LG
 Ta có : 
Dấu “ = “ xảy ra 
Ví dụ 2 : Cho Chứng minh rằng :
Trước tiên ta dự đoán , khi và .
Ta biểu diễn P dưới dạng sau :
Như vậy , ta cần chọn thoả mãn các điều kiện sau : 
Thay (2) vào (3) ta được : 
Dễ thấy thoả mãn (4) , thay vào (1) ta được .
Khi này , ta có lời giải sau :
 Dấu đẳng thức xảy ra khi 
2. ỨNG DỤNG VÀO TÌM GTLN - GTNN . 
Ví dụ 1 : Cho Tìm GTNN của biểu thức sau :
LG
 Do không có mối quan hệ ràng buộc nào . Nên để tìm MinS ta có 2 cách sau .
Cách 1 . Sử dụng BĐT Cauchy ngược ta có : 
 Ta có : 
 . Do đó :
Vậy , khi 
Cách 2 . Sử dụng BĐT Cauchy thuận ta có :.
 Ta có 
 . Do đó, ta có kết quả như cách 1.
Ví dụ 2 : Cho Tìm GTLN của :
 .
LG
 Nhận xét : Rõ ràng với điều kiện đã cho thì Mặt khác , theo hệ quả của BĐT cauchy thì Vậy ta cần chọn sao cho : 
Dễ dàng thấy Khi đó ta có lời giải sau :
Vậy , khi 
Ví dụ 3 : Cho Trong tất cả các nghiệm dương của phương trình : 
 . Hãy chỉ ra nghiệm với tổng :
 nhỏ nhất với .
Lời giải
 Đặt .
Theo BĐT cauchy , ta có : 
 Và 
Do đó : 
 .
Vậy 
Dấu “ = “ xảy ra 
 (*)
 Vậy , đạt được khi có (*).
MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :
Cho . Tìm GTLN của : .
Tìm giá tị nhỏ nhất của hàm số: 
Với . Tìm GTLN của .
Cho Tìm GTLN của .
Tìm GTLN , GTNN của hàm số : .
IV.ỨNG DỤNG BĐT CAUCHY VÀO CM TÍNH CHẤT NGHIỆM 
Ví dụ 1 : Chứng minh rằng nếu phương trình (1) có nghiệm dương , thì ().
Lời giải
Giả sử là nghiệm của (1) thì ta có : 
 Dấu “ = ” xảy ra 
 Nhưng không thoả mãn (1) . Do đó 
Ví dụ 2 : Chứng minh rằng phương trình :
 không thể có 4 nghiệm không âm.
Lời giải
 Giả sử phương trình đã cho có 4 nghiệm 
Theo định lý Vi-et ta có : 
Mặt khác theo BĐT Cauchy , ta lại có : 
 ( vô lý ).
Vậy điều giả sử là sai , tức là phương trình đã cho không thể có 4 nghiệm không âm 
Ví dụ 3 : Cho , và có n nghiệm thực . Chứng minh rằng 
Lời giải
 Vì và 1 > 0 nên trong n nghiệm của không có nghiệm nào dương . Giả sử đó là . Khi này có dạng :
 ( với )
Theo định lý Vi-et thì .
Áp dụng BĐT Cauchy ta được :
KẾT LUẬN 
 Như chúng ta đã biết, bất đẳng thức Cauchy là một bất đẳng thức khá nổi tiếng bởi phạm vi ứng dụng rộng rãi của nó. Ngoài việc được vận dụng để chứng minh các bất đẳng thức đại số thì bất đẳng thức Cauchy còn được sử dụng trong các các bài chứng minh bất đẳng thức lượng giác hay các bài toán cực trị hình học. Tuy nhiên, do thời gian nghiên cứu không nhiều nên trong chuyên đề này những vấn đề thú vị đó vẫn chưa được đề cập đến. 
 Trên đây là một số kinh nghiệm có được trong quá trình dạy hoc, tìm tòi tự bồi dưỡng nghiệp vụ chuyên môn. Các ví dụ được sưu tầm và chọn lọc kĩ lưỡng từ đề thi đại học các năm và đề thi học sinh giỏi các tỉnh trong cả nước. Mặc dù đã cố gắng song kinh nghiệm còn rất khiêm tốn. Mong nhận được sự góp ý chân thành của quý thầy cô và các bạn động nghiệp về cả nội dung và hình thức trình bày để chuyên đề được hoàn thiện hơn.
 Tôi xin chân thành cảm ơn !
Mê Linh , ngày 10 tháng 05 năm 2011
Giáo viên
 Trần công Văn
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Bất đẳng thức ( Phan Đức Chính).
Chuyên đề bất đẳng thức và ứng dụng trong đại số (Nguyễn Đức Tấn).
Báo toán học và tuổi trẻ.
Báo toán tuổi thơ.