Giáo trình Tuyển tập đề vào Lớp 10 chuyên Toán - Năm học 2020-2021

Tailieumontoan.com 
 
Tài liệu sưu tầm 
 TUYỂN TẬP ĐỀ VÀO LỚP 10 
CHUYÊN MÔN TOÁN 2020-2021 
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 
TRƯỜNG ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2020 
MÔN THI: TOÁN (cho tất cả các thí sinh) 
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề) 
Câu I. (4 điểm) 
1) Giải hệ phương trình : 
( )
2 2
3 2
7
9 70
x y xy
x xy x y
 + + =

= + −
2) Giải phương trình: ( )( )11 5 8 2 1 24 3 5 2 1x x x x− + − = + − − 
Câu II. (2 điểm) 
1) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn 2 2 2 216 99 9 36 13 26x y xy x y x y− + = + + + 
2) Với ,a b là những số thực dương thỏa mãn 
2 22 2 3 5 ;8 12 2 3 5 10a b a b a b ab≤ + ≤ + ≤ + + + 
Chứng minh rằng: 2 23 8 10 21a b ab+ + ≤ 
Câu III. (3 điểm) 
Cho tam giác ABC có BAC là góc nhỏ nhất trong ba góc của tam giác và nội tiếp đường 
tròn (O). Điểm D thuộc cạnh BC sao cho AD là phân giác .BAC Lấy các điểm ,M N
thuộc (O) sao cho đường thẳng ,CM BN cùng song song với đường thẳng AD 
1) Chứng minh rằng AM AN= 
2) Gọi giao điểm của đường thẳng MN với các đường thẳng ,AC AB lần lượt là , .E F
Chứng minh rằng bốn điểm , , ,B C E F cùng thuộc một đường tròn 
3) Gọi ,P Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng , .AM AN Chứng minh rằng 
các đường thẳng , ,EQ FP AD đồng quy. 
Câu IV. (1 điểm) 
Với , ,a b c là những số thực dương thỏa mãn 3.a b c+ + = Chứng minh rằng: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2 2 2 42 2 2
a a bc b b ca c c ab
b ab c c bc a a ca b
+ + +
+ + ≥
+ + +
ĐÁP ÁN 
Câu I. 
1) Giải hệ phương trình: 
( )
2 2
3 2
7 (1)
9 70 (2)
x y xy
x xy x y
 + + =

= + −
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Nếu ,x y= hệ phương trình trở thành 
2
3
73 7
3
8 0 0
x x
x x

 = = ± ⇔ 
=  =
(Vô nghiệm), do đó x y≠ 
Nhân cả hai vế của phương trình ( )1 với 0x y− ≠ ta có: 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 3 31 7 7 10 70x y x y xy x y x y x y x y x y⇔ − + + = − ⇔ − = − ⇔ − = −
Thế vào phương trình ( )2 ta có: 
( ) ( )
( )( ) ( )
( )
3 2 3 3 3 2 3
2 2
2 2
2 9 10 10 0
2 0 3
2 2 5 0
2 5 0 4
x xy x y x xy y
x y
x y x xy y
x xy y
⇔ = + − ⇔ + − =
− =
⇔ − + + = ⇔ 
+ + =
Ta có: ( )3 2x y⇔ = 
Thế vào phương trình (1) ta có: 2 2 2 2
1 2
4 2 7 7 7
1 2
y x
y y y y
y x
= ⇒ =
+ + = ⇔ = ⇔  = − ⇒ = −
( ) ( )
( ) ( )
22 2 2 2
2 2
4 2 4 0 2 4 0
2 0
2 2 0 0( )
0
x xy y y x y y
x y
x y y x y ktm
y
⇔ + + + = ⇔ + + =
+ =
⇔ + + = ⇔ ⇔ = = =
Vậy nghiệm của hệ phương trình là ( ) ( ) ( ){ }; 2;1 ; 2; 1x y ∈ − − 
2) Giải phương trình: ( )( )11 5 8 2 1 24 3 5 2 1x x x x− + − = + − − 
( )( ) ( )11 5 8 2 1 24 3 5 2 1 *x x x x− + − = + − − 
ĐKXĐ: 
5 0 1 5
2 1 0 2
x
x
x
− ≥
⇔ ≤ ≤ − ≥
Đặt : 
( )
( )
2
2
5 0 5
2 12 1 0
x a a a x
b xx b b
 − = ≥  = − ⇒ 
= −− = ≥ 
( )2 22 2 5 2 1 9a b x x⇒ + = − + − = 
Khi đó ta có:
2 2
11 8 24 3 (1)
2 9 (2)
a b ab
a b
+ = +

+ =
Giải phương trình ( )1 ta có: ( ) ( ) ( )1 11 3 24 8 11 3 24 8 *a ab b a b b⇔ − = − ⇔ − = − 
Với ( )11 1611 3 0 * 0
3 3
b b a− = ⇔ = ⇒ ⇔ = − (vô lý) 11
3
b⇒ = không là nghiệm của 
phương trình (*) 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
24 8 8 24
11 3 3 11
b ba
b b
− −
⇒ = =
− −
, Thay 
8 24
3 11
ba
b
−
=
−
vào ( )2 ta được: 
( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )( )( )
2
2
2 2 2 2
2 4 3 2 2
4 3 2 4 3 2
3 2
8 242 2 9
3 11
2 64 384 576 9 66 121 9 9 66 121
128 768 1152 9 66 121 81 594 1089 0
9 66 168 174 63 0 3 22 56 58 21 0
1 3 19 37 21 0 1 1 3 3 7 0
b b
b
b b b b b b b
b b b b b b b
b b b b b b b b
b b b b b b b b
− ⇔ + = − 
⇔ − + + − + = − +
⇔ − + + − + − + − =
⇔ − + − + = ⇔ − + − + =
⇔ − − + − = ⇔ − − − − =
2 1 11 0 1 2 1 1 1( )
3 0 3 2 1 3 2 1 9 5( )
3 7 0 7 7 49 292 1 2 1 ( )
3 3 9 9
xb b x x tm
b b x x x tm
b b x x x tm
   
− =   − = = − = =
   ⇔ − = ⇔ = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =   
    − = = − = − = =   
   
Vậy phương trình có tập nghiệm 
291; ;5
9
S  =  
 
Câu II. 
1) Tìm ,x y nguyên dương thỏa mãn: 2 2 2 216 99 9 36 13 26x y xy x y x y− + = + + + 
( ) ( ) ( )( )
2 2 2 2
2 2 2 2
22 2
16 99 9 36 13 26
20 99 9 36 36 13 26
20 100 1 3 2 13 2 *
x y xy x y x y
x y xy x xy y x y
x y xy x y x y
− + = + + +
⇔ + + = + + + +
⇔ + + − = + +
Đặt 
( )
( )
2 0
10 10
x y a a
xy b b
+ = >

+ = >
( ) 2 2* 1 9 13b a a⇒ ⇔ − = + 
( )
( )( )
2 2
2
22 2
13 169 1699 2.3 . 1
6 36 36
13 1333 18 13 36 133
6 36
18 6 13 18 6 13 133 (1)
a a b
a b a
a b a b
⇔ + + − = −
 ⇔ + − = ⇔ + − = 
 
⇔ − + + + =
Ta lại có : , 0 18 6 13 18 6 13 0a b a b a b> ⇒ + + > − + > 
Lại có 133 133.1 19.7= = 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
( )
11
( )18 6 13 0 18 6 120 3
18 6 13 1 18 6 12 191
18 6 13 19 18 6 32 6 ( )
18 6 13 7 18 6 6 25
18
b
tma b a b a
a b a b
aa b a b
ktm
a b a b b
 =
 + + =  + =  =  − + = − = −    ⇒ ⇔ ⇔ ⇔ =  + + = + =     − + = − = −     = −
( )
( )( )
2
3 2 3 22 3 3 2
3 2 110 11 1 2 3 1 0
3 2
3 2 1( )1 ( )
2 1 1 0 1( )2
1
x y x yx y x y
y yxy xy y y
x y
x y x tm
y ktm
y y y tm
y
= − = −+ = = −  
⇒ ⇔ ⇔ ⇔   − =+ = = − + =  
= −
= − =⇔ ⇔ ⇔=  − − = = 
 =
Vậy phương trình có nghiệm ( ) ( ); 1;1x y = 
2) Với ,a b là những số thực dương thỏa mãn ( )2 2 3 5 1 ;a b≤ + ≤ 
2 28 12 2 3 5 10a b a b ab+ ≤ + + + . Chứng minh rằng ( )2 23 8 10 21 2a b ab+ + ≤ 
Giải 
( ) ( )( ) ( )2 8 12 2 3 10 5 10a b a b a b a b⇔ + ≤ + + + ≤ + + 
3 7 10.a b⇔ + ≤ Mặt khác 2 3 5a b+ ≤ 
Dự đoán dấu " "= xảy ra 1a b⇔ = = 
Ta có: 
( )
( ) ( )2 23 8 10 3 4 . 2
I
a b ab a b a b+ + = + +

Áp dụng bất đẳng thức 
( )2
4
A B
AB
+
≤ , ta có: 
( ) ( ) ( ) ( )
29 12 7 14
21. 3 3 4 . 7 2
4
a b a b
I a b a b
+ + +
= + + ≤       
( ) ( ) ( )
2
216 2621. 8 13
4
a b
I a b
+
⇒ ≤ = + 
Ta biểu diễn 8 13a b+ theo 3 7a b+ và 2 3a b+ bằng cách đồng nhất hệ số 
Xét ( ) ( )8 13 3 7 2 3a b x a b y a b+ = + + + 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
2 2
2 2
8 13 3 2 . 7 3 .
2
3 2 8 5
7 3 13 17
5
2 17 2 1721. 8 13 . 3 7 . 2 3 .10 .5 21
5 5 5 5
21.
a b x y a x y b
xx y
x y y
I a b a b a b
I
⇔ + = + + +
 =+ = ⇔ ⇔ + =  =

   ⇒ ≤ + = + + + ≤ + =     
⇒ ≤
Dấu " "= xảy ra 1a b⇔ = = 
Câu III. 
1) Chứng minh rằng AM AN= 
Ta có: NBA DAB= (so le trong do / / )BN AD 
KQ
P
F
E
N
M
D
O
A
B
C
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
 ( )DAB DAC gt= ; DAC ACM= (so le trong do / / )CM AD 
 NBA MCA sd AN sd AM⇒ = ⇒ = (trong một đường tròn, hai góc nội tiếp bằng nhau thì 
chắn hai cung bằng nhau). 
Vậy AM AN= (trong một đường tròn, hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau) 
2) Chứng minh rằng 4 điểm , , ,B C E F cùng thuộc một đường tròn. 
Ta có: ( )12AEF sd AN sdCM= + (góc có đỉnh ở bên trong đường tròn) 
 ( )12 sd AM sdCM= + 
1
2
sd AC ABC= = (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn) 
Vậy tứ giác BCEF là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện 
bằng nhau) hay , , ,B C E F cùng thuộc một đường tròn. 
3) Chứng minh các đường thẳng , ,EQ FP AD đồng quy 
Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác ,AHN cát tuyến EKQ , ta có: 
. . 1 . 1EN KH QA EN KH
EH KA QN EH KA
= ⇒ = (do Q là trung điểm của ( )AN gt nên )QA QN= 
( )EN KA I
EH KH
⇒ = 
Gọi { }' .AD PE K∩ = Ta đi chứng minh 'K K≡ 
Áp dụng định lý Mê-lê-na-uýt trong tam giác ,AHM cát tuyến PKF ta có: 
' '. . 1 . 1
' '
FM K H PA FM K H
FH K A PM FH K A
= ⇒ = (Do P là trung điểm của ( )AM gt nên )PA PM= 
( )'
'
FM K A II
FH K H
⇒ = 
Ta sẽ chứng minh ( )*EN FM FM FH FM FH HM
EH FH EN EH EN EH HN
−
= ⇔ = = =
−
(tính chất dãy tỉ số 
bằng nhau) 
Vì / / / /BN AD CM nên áp dụng định lý Ta – let ta có: HM DC
HN DB
= 
Lại có : 
DC AC
DB AB
= (định lý đường phân giác), do đó: ( )1HM AC
HN AB
= 
Xét AEF∆ và ABC∆ có: ( ),AEF ABC cmt BAC= chung 
( ) ( ). 2AC AFAEF ABC g g
AB AE
⇒∆ ∆ ⇒ = 
Từ (1) và (2) ( )3HM AF
HN AE
⇒ = 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Tiếp tục áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác AEF ta có: ( )4AF HF
AE HE
= 
Từ (3) và (4) ta suy ra ,HM HF
HN HE
= do đó ( )* được chứng minh, tức là ( )EN FM III
EH FH
= 
Từ ( ) ( ) ( ), ,I II III suy ra '
'
KA K A
KH K H
= , do đó 'K K≡ 
Vậy , ,EQ FP AD đồng quy tại K 
Câu IV. 
Với , , 0, 3a b c a b c> + + = ta có: 
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2 2 2 22 2 2
2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2
a a bc b b ca c c ab a a bc b b ca c c ab
P
b ab c c bc a a ca b ab ab c bc bc a ca ca b
+ + + + + +
= + + = + +
+ + + + + +
Áp dụng BĐT 
( )22 2 2 a b ca b c
x y z x y z
+ +
+ + ≥
+ +
ta có: 
( )
( )
( )
( )
2 22 2 2 2 2 2
22 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c abc a b c abc
P P
a b b c c a abc a b c ab bc ca
+ + + + + +
≥ ⇒ ≥
+ + + + + + +
Đặt ,
a b c p
ab bc ca q
abc r
+ + =
 + + =
 =
áp dụng BĐT Schur ta có: ( )29 4r p q p≥ − 
( ) ( )9 3 4 9 3 4 9abc ab bc ca abc ab bc ca⇒ ≥ + + − ⇔ ≥ + + −   
Khi đó ta có: 
( )
( )
22 2 2
2
4 9a b c ab bc ca
P
ab bc ca
 + + + + + − ≥
+ +
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
22
2
2 22
2 2
2 9
3 2 9 4
4
a b c ab bc ca
P
ab bc ca
ab bc ca ab bc ca
P P
ab bc ca ab bc ca
 + + + + + − ≥
+ +
 + + + − + + ≥ ⇒ ≥ =
+ + + +
Dấu " "= xảy ra 1a b c⇔ = = = 
Vậy 4( )P dfcm≥ 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 
CỘNG HÒA XA HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM 
Độc lập – Tự do – Hạnh phúc 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
Bài 1. (2,0 điểm) 
Cho biểu thức 
4 8 1 2:
42 2
x x xP
xx x x x
   −
= + −   
−+ −   
với 0; 4; 9x x x> ≠ ≠ 
a) Rút gọn biểu thức P 
b) Tìm m sao cho ( )3 . 1m x P x− > + đúng với mọi giá trị 9x > 
Bài 2. (3,0 điểm) 
a) Trong hệ trục tọa độ Oxy cho hai đường thẳng ( )1 : 5 9d y x= + và 
( ) ( )22 : 4 3d y m x m= − + (m là tham số). Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng 
1d và 2d là song song. 
b) Cho phương trình: ( )2 2 1 2 5 0x m x m− − + − = (m là tham số). Tìm các giá trị của 
m để phương trình trên có 2 nghiệm 1 2,x x thỏa mãn: 
( )( )21 1 22 2 1 2 0x mx m x− + − − ≤ 
c) Hai ô tô cùng khởi hành một lúc trên quãng đường từ A đến B dài 120km . Vì mỗi 
giờ ô tô thứ nhát chạy nhanh hơn ô tô thứ hai là 10km nên đến B trước ô tô thứ hai 
là 0,4 giờ. Tính vận tốc mỗi ô tô, biết rằng vận tốc của mỗi ô tô là không đổi trên cả 
quãng đường .AB 
Bài 3. (1,5 điểm) 
Bác An muốn làm một cửa sổ khuôn gỗ, phía trên có dạng nửa hình tròn, phía 
dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng : đường kính của nửa hình tròn cũng là 
cạnh phía trên của hình chữ nhật và tổng độ dài các khuôn gỗ (các đường in 
đậm vẽ trong hình bên, bỏ qua độ rộng của khuôn gỗ) là 8 .m Em hãy giúp bác 
An tính độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa sổ có diện tích lớn nhất 
Bài 4. (3,0 điểm) 
 Cho đường tròn ( )O và một điểm nằm ngoài đường tròn. Kẻ tiếp tuyến AB với 
đường tròn ( )O (B là tiếp điểm) và đường kính .BC Trên đoạn thẳng CO lấy điểm I ( I
khác C và O). Đường thẳng IA cắt ( )O tại hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E). Gọi H
là trung điểm của đoạn thẳng DE 
a) Chứng minh . .AB BE BD AE= 
b) Đường thẳng d đi qua điểm E song song với ,AO d cắt BC tại điểm .K Chứng 
minh / /HK CD 
c) Tia CD cắt AO tại điểm ,P tia EO cắt BP tại điểm .F Chứng minh tứ giác BECF
là hình chữ nhật 
Bài 5. (0,5 điểm) Tìm các số thực , ,x y z thỏa mãn các điều kiện sau: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
0 , , 1
3
1 1 1
x y z
x y z
y zx z xy x yz x y z
< ≤

 + + = + + + + + + + + 
ĐÁP ÁN 
Bài 1. 
a) Rút gọn biểu thức P 
Với 0, 4, 9x x x> ≠ ≠ ta có: 
( )( ) ( )
4 8 1 2 4 8 1 2: :
42 2 2 2 2 . 2
x x x x x xP
xx x x x x xx x x x
      − −   = + − = + −       −+ − + − + −       
( )
( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( ) ( )
4 2 8 1 2 2 28 4 8: .
1 2 42 2 2 2 2
2 4 . 2 .8 4 4.
3 32 2 2 . 3
x x x x x x xx x xP
x xx x x x x x
x x x x xx x x
x xx x x x
− + − − − −− +
= =
− − +− + − − +
− ++
= = =
− −− + + −
 Vậy 
4
3
xP
x
=
−
. 
b) Tìm m sao cho ( )3 . 1m x P x− > + đúng với mọi giá trị 9x > 
Điều kiện: 9.x > 9,x∀ > Ta có: 
( ) ( )
( )
43 . 1 3 . 1
3
14 1 4 1 1 4 1
xm x P x m x x
x
mx x m x m
x
− > + ⇔ − > +
−
⇔ > + ⇔ − > ⇔ − >
Vì 9x > nên 1 1
9x
< 
Do đó 
14 1 , 9m x
x
− > ∀ > thì 
14 1
9
m − ≥ 10 54
9 18
m m⇔ ≥ ⇔ ≥ 
Vậy 
5
18
m ≥ 
Bài 2. 
a) Tìm các giá trị của m để hai đường thẳng 1 2,d d song song 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Ta có hai đường thẳng ( )1 : 5 9d y x= + và ( ) ( )22 : 4 3d y m x m= − + song song 
2 2 34 5 9
33
3 9 3
3
m
m m
mm
m m
m
 =
 − = = ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ = −= −  ≠ ≠   ≠
Vậy 3m = − thì đường thẳng 1d và 2d song song. 
b) Tìm m để ( )( )21 1 22 2 1 2 0x mx m x− + − − ≤ 
Xét phương trình: ( )2 2 1 2 5 0x m x m− − + − = , ta có: 
( )
( ) ( )
2 2
22
' 1 2 5 2 1 2 5
4 4 2 2 2 0
m m m m m
m m m m
∆ = − − + = − + − +
= − + + = − + > ∀
⇒Phương trình đã cho luôn có hai 
nghiệm phân biệt 1 2,x x với mọi m 
Áp dụng hệ thức Vi et ta có: 1 2
1 2
2 2
2 5
x x m
x x m
+ = −
 = −
Vì 1x là nghiệm của phương trình đã cho nên ta có: 
( )
( )
2 2
1 1 1 1 1
2 2
1 1 1 1 1 1
2 1 2 5 0 2 2 2 5 0
2 2 1 2 4 0 2 2 1 2 2
x m x m x mx x m
x mx m x x mx m x
− − + − = ⇔ − + + − =
⇔ − + − + − = ⇔ − + − = − −
Theo đề bài ta có: 
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )
( )
2
1 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2
2 2 1 2 0 2 2 2 0
2 2 0 2 4 0
2 5 2 2 2 4 0 2 1 4 4 0
32 1 4 4 0 2 3
2
x mx m x x x
x x x x x x
m m m m
m m m m
− + − − ≤ ⇔ − − − ≤
⇔ − − ≥ ⇔ − + + ≥
⇔ − − − + ≥ ⇔ − − + ≥
⇔ − − + ≥ ⇔ − ≥ − ⇔ ≤
Vậy 
3
2
m ≤ thỏa mãn điều kiện bài toán 
c) Tính vận tốc mỗi ô tô 
Gọi vận tốc của ô tô thứ nhất là ( )( )/ 10x km h x > 
⇒Thời gian ô tô thứ nhất đi hết quãng đường AB là 120 ( )h
x
Vận tốc của ô tô thứ nhất lớn hơn vận tốc của ô tô thứ hai là 10 /km h⇒Vận tốc của ô tô 
thứ hai là : 10( / )x km h− 
⇒Thời gian của ô tô thứ hai đi hết quãng đường AB là : 120 ( )
10
h
x −
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Vì ô tô thứ nhất đến B trước ô tô thứ hai là 
20,4
5
h h= nên ta có phương trình: 
( ) ( )
( )( )
2 2
2 2
120 120 2 5.120 5.120. 10 2 10
10 5
600 600 6000 2 20 2 20 6000 0
10 3000 0 60 50 3000 0
60 0 60( )
60 50 0
50 0 50
x x x x
x x
x x x x x x
x x x x x
x x tm
x x
x x
− = ⇔ − − = −
−
⇔ − + = − ⇔ − − =
⇔ − − = ⇔ − + − =
− = = 
⇔ − + = ⇔ ⇔ + = = − 
Vậy vận tốc của ô tô thứ nhất là 60 /km h và vận tốc của ô tô thứ hai: 60 10 50( / )km h− = 
Bài 3. Tính độ dài cạnh và diện tích lớn nhất 
Gọi đường kính của nửa hình tròn là ( )( )0 8x m x< < ⇒ Bán kính của nửa đường tròn 
( )
2
x m 
Khi đó cạnh phía trên của hình chữ nhật: ( )x m 
Gọi cạnh còn lại của hình chữ nhật là ( )( )0 8y m y< < 
Độ dài nửa đường tròn phía trên: ( )1
2 2
xx mππ = 
Khi đó ta có tổng độ dài các khuôn gỗ: 2 8 1 2 8
2 2
x x y x yπ π + + = ⇔ + + = 
 
22 8 1 4
2 4
y x y xπ π +   ⇔ = − + ⇔ = −   
   
Diện tích của cửa số: 
2 21
2 2 8
x xS xy xyππ  = + = + 
 
x
y
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
2 2
2
2 2
2 2
2 2
2
2 24 4
8 4 8 4
1 44 4
8 2 8
4 32 4 16 16 16. . 2 .
8 4 8 4 4 4
4 16 32 32.
8 4 4 4
x xS x x S x x
S x x S x x
S x x S x x
S x
π π π π
π π
π π
π π π π
π
π π π
 +  +   ⇔ = + − ⇔ = + −        
+ ⇔ = − + + ⇔ = − + 
 
 + +     ⇔ = − − ⇔ = − − + −     + + + +       
+  ⇔ = − − + ≤ + + + 
Dấu " "= xảy ra 16 160 ( )
4 4
x x tm
π π
⇔ − = ⇔ =
+ +
( )4 16 4 22 16 4 16 4 8 84 . ( )
4 4 4 4 4
y tm
π ππ π π
π π π π
+ − ++ + − −
⇒ = − = = =
+ + + +
Vậy khi cửa sổ có diện tích lớn nhất thì độ dài cạnh trên của hình chữ nhật là: 
16
4
m
π +
và 
cạnh bên của hình chữ nhật là 
8 ( )
4
cm
π +
Bài 4. 
a) Chứng minh . .AB BE BD AE= 
d
F
P
Q
K
H
D
E
C
B
OA
I
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Xét ABD∆ và AEB∆ có: Achung; ABD AEB= (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và 
dây cung cùng chắn )BD ( . )ABD AEB g g⇒∆ ∆ 
AB BD
AE BE
⇒ = (hai cặp cạnh tương ứng tỉ lệ ) . . ( )AB BE BD AE dfcm⇒ = 
b) Chứng minh / /HK CD 
Vì H là trung điểm của ( )DE gt nên OH DE⊥ (tính chất đường kính và dây cung) 
0 090 90OHD OHA⇒ = ⇒ = 
Xét tứ giác OBAH có : 0 090 ( ); 90OHA cmt OBA= = (do AB là tiếp tuyến của ( ))O 
0 0 090 90 180OHA OBA OBAH⇒ + = + = ⇒ là tứ giác nội tiếp 
 OAH OBH⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OH) 
Mà OAH HEK= (so le trong do / / )d OA 
 OBH HKE HBK⇒ = = ⇒Tứ giác BEKH là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề 
nhau cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau). 
 HKB HEB DEB⇒ = = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )HB 
Mà DEB DCB= (hai góc nội tiếp cùng chắn )BD HKB DCB⇒ = (hai góc nội tiếp cùng 
chắn cung ( ))BD HKB DCB DEB⇒ = = . Lại có hai góc này ở vị trí đồng vị bằng nhau 
/ / ( )HK CD dfcm⇒ 
c) Chứng minh BECF là hình chữ nhật 
Kẻ tiếp tuyến AQ với đường tròn ( ) ( )O Q B≠ 
Xét tứ giác OBAQ có: 0 0 090 90 180OBA OQA OBAQ+ = + = ⇒ là tứ giác nội tiếp (Tứ 
giác có tổng hai góc đối bằng 0180 ) 
 OBQ OAQ PAQ⇒ = = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )OQ 
Lại có: OBQ CBQ CDQ= = (hai góc nội tiếp cùng chắn cung )CQ 
 ( )PAQ CDQ OBQ⇒ = = ⇒Tứ giác APDQ là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có góc ngoài 
bằng góc trong tại đỉnh đối diện) ADP AQP⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn )AP 
Mà ADP CDE= (đối đỉnh) CDE CBE⇒ = (hai góc nội tiếp cùng chắn )CE 
 ( )1AQP CBE⇒ = 
Xét ABP∆ và AQP∆ có: ;APchung BAP QAP= (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau); 
AB AQ= ( tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) ( . . )ABP AQP c g c⇒∆ = ∆ 
 (2)ABP AQC⇒ = (hai góc tương ứng) 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Từ (1) và (2) ( )CBE ABP AQP⇒ = = 
090CBE CBF ABP CBF EBF ABC⇒ + = + ⇒ = = 
 EBF⇒ là góc nội tiếp chắn nửa đườn tròn (O) nên EF là đường kính của ( )O 
O⇒ là trung điểm của EF 
Xét tứ giác BECF có hai đường chéo ,BC EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường 
BECF⇒ là hình bình hành. Lại có: 090 ( )EBF cmt= nên BECF là hình chữ nhật 
( )dfcm 
Bài 5. 
Ta có: 
21 1x x
xy y
 ≤ ⇒ ≤

≤
( )
2 2
2
1 1
1 1 1 1
1 1
1
1
x xy y x xy zx y zx
x xy xz y zx y xz x x y z
x
y xz x y z
⇒ + ≤ + ⇒ + + ≤ + +
⇒ ≥ ⇒ ≤
+ + + + + + + +
⇒ ≤
+ + + +
Chứng minh tương tự ta có: 
1 1;
1 1
y z
z xy x y z x yz x y z
≤ ≤
+ + + + + + + +
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức ta được : 
3
1 1 1
x y z
y xz z xy x yz x y z
+ + ≤
+ + + + + + + +
Dấu " "= xảy ra 1x y z⇔ = = = 
Vậy có duy nhất 1 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán ( ) ( ); ; 1;1;1x y z = 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH 
TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU 
HỘI ĐỒNG TUYỂN SINH LỚP 10 
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 
Năm học 2020 – 2021 
Môn thi: TOÁN (không chuyên) 
Thời gian làm bài 120 phút, không kể giao đề 
Câu 1. (1,0 điểm) Cho ba biểu thức 
( )
( ) ( )
( )( )
3 3
2
1 18 ,
4 3 13 1
x xx xM N
x xx
+ − −−
= =
− ++ +
và 
2
xP
x
=
+
a) Tìm tất cả các số thực x thỏa mãn 4M x= − 
b) Trong trường hợp các biểu thức ,M N và P xác định, rút gọn biểu thức 
Q MN P= + 
Câu 2. (3,0 điểm) 
a) Giải phương trình ( )4 2 3 34 5 0
1
x xx x
x
 − + +
+ − = 
− 
b) Cho hai số thực ,m n thỏa mãn hai đường thẳng ( ) :d y mx n= + và 
( )1 : 3 2d y x m n mn= + + − cắt nhau tại điểm ( )3;9 .I Tính giá trị của mn và 
m
n
c) Cho hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 28( )cm và nội tiếp đường tròn ( )C có 
bán kính 5( ).R cm= Tính diện tích hình chữ nhật ABCD 
Câu 3. (2,0 điểm) Gọi ( ) ( ),P d lần lượt là các đồ thị của hàm số 2y x= và 2 3y mx= + 
a) Chứng minh rằng đường thẳng ( )d luôn cắt parabol ( )P tai hai điểm phân biệt 
( )1 1,A x y ( )2 2, ,B x y với mọi số thực .m Tính 1 2y y+ theo m 
b) Tìm tất cả các số thực m sao cho 1 2 1 2 1 24 4 3y y x x x x− = − + 
Câu 4. (1,0 điểm) Một kho hàng nhập gạo (trong kho chưa có gạo) trong 4 ngày liên tiếp 
và mỗi ngày (kể từ ngày thứ hai) đều nhập một lượng gạo bằng 120% lượng gạo đã nhập 
vào kho ngày trước đó. Sau đó, từ ngày thứ năm kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại 
xuất một lượng gạo bằng 
1
10
lượng gạo kho ở ngày trước đó. Hãy tính lượng gạo kho 
hàng nhập ngày thứ nhất trong mỗi trường hợp sau : 
a) Ngày thứ ba, sau khi nhập xong thì trong kho có 91tấn gạo 
b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ năm và thứ sáu là 50,996 tấn gạo, 
Câu 5. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( )T có tâm O, có ,AB AC= và 
090 .BAC > Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng .AC Tia MO cắt đường tròn ( )T tại 
điểm .D Đường thẳng BC lần lượt cắt các đường thẳng AO và AD tại các điểm ,N P 
a) Chứng minh rằng tứ giác OCMN nội tiếp và 4.BDC ODC= 
b) Tia phân giác của BDP cắt đường thẳng BC tại điểm .E Đường thẳng ME cắt 
đường thẳng AB tại điểm .F Chứng minh rằng CA CP= và ME DB⊥ 
c) Chứng minh rằng tam giác MNE cân. Tính tỉ số DE
DF
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
ĐÁP ÁN 
Câu 1. 
a) Tìm x khi 4M x= − 
Xét biểu thức 
( )2
8
3 1
x xM
x
−
=
+ +
 (ĐKXĐ: 0)x ≥ 
Ta có: 
( )
( )
( )
( )( )
( )( )
3
3
2 2
2 2 2 48
3 2 13 1 3 1
2 2 4
2
2 4
x x x xx xM
x xx x
x x x
x
x x
− − + +−
= = =
+ + ++ + + +
− + +
= = −
+ +
Khi đó 4M x= − 
( ) ( )( )
( )( )
2
22 4 2 2 2 2
2 0
2 2 1 0 4( )
1 0( )
x x x x x x
x
x x x tm
x VN
⇔ − = − = − ⇔ − = − +
 − =
⇔ − + − = ⇔ ⇔ =
+ =
Vậy 4x = thì 4M x= − 
b) Tính .Q M N P= + 
ĐKXĐ: 
0
4
x
x
≥
 ≠
Ta có: 2,
2
xM x P
x
= − =
+
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )( )
( )
( )( )
( )
( )( )
2 23 3 1 1 1 1 1 11 1
4 3 1 4 3 1
2 2 1 1 2 1 2 3 1 2
4 3 1 4 3 1 4
x x x x x xx x
N
x x x x
x x x x x x
x x x x x
 + − + + + + − + −+ − −   = =
− + − +
+ + + − + − + +
= = =
− + − + −
( ) 2. 2 . 4 2
2 1
2 2
xQ M N P x
x x
x
x x
⇒ = + = − +
− +
= + =
+ +
Vậy 1Q = 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Câu 2. 
a) Giải phương trình ( )4 2 3 34 5 0
1
x xx x
x
 − + +
+ − = 
− 
ĐKXĐ: 
3 0 3
0
0 0
1
11 0
x x
x
x x
x
xx
+ ≥ ≥ −
≥ ≥ ⇔ ≥ ⇔   ≠  ≠− ≠ 
. Ta có: 
( ) ( )
( )
4 2
4 2
4 5 0 13 34 5 0
1 3 3 0 2
x xx xx x
x x x
 + − = − + +
+ − = ⇔  
− − + + =  
Xét phương trình ( ) 4 21 : 4 5 0x x+ − = 
Đặt ( )2 0t x t= ≥ , phương trình (1) trở thành: 
( ) ( )
( )( )
2 2
2
4 5 0 5 5 0 1 5 1 0
1( )
1 5 0 1 1( )
5( )
t t t t t t t t
t tm
t t x x tm
t ktm
+ − = ⇔ − + − = ⇔ − + − =
=
⇔ − + = ⇔ ⇔ = ⇔ = ± = −
Xét phương trình (2): 3 3 0 3 3x x x x− + + = ⇔ + = − với 0, 1x x≥ ≠ 
( )2 2 2
3 0 3 3
3 6 9 7 6 03 3
x x x
x x x x xx x
− ≥ ≤ ≤ ⇔ ⇔ ⇔  
+ = − + − + =+ = −  
( ) ( ) ( )( )2
3 33
1 6 1 0 6 1 06 6 0
3 3
16 6( )
1 1( )
x xx
x x x x xx x x
x x
xx x ktm
x x tm
≤ ≤≤  
⇔ ⇔ ⇔  − − − = − − =− − + =  
≤ ≤ 
 ⇔ ⇔ ⇔ == =  
  = =  
Kết hợp với điều kiện xác định 1x⇒ = không thỏa mãn. 
Vậy { }1S = ± 
b) Hai đường thẳng :d y mx m= + và 1 : 3 2d y x m n mn= + + − cắt nhau tại điểm 
( )3;9 .I Tính .m n và m
n
Vì { }1d d I∩ = nên 
1
I d
I d
∈
 ∈
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
9
9 3 9 4 4
9 3 3 2 6 3 2 9 36 3. 2
4 4
99
44
35 3
54 4
mm m m
m n mn m n mn n n
mm
nn
 == + =  ⇒ ⇔ ⇔  = + + − = + −   = + −

 ==  ⇔ ⇔ 
  = −= −
  
Vậy 
9 3 27. .
4 5 20
m n − = − = 
 
và 
9 3 9 5 15: .
4 5 4 3 4
m
n
−   = − = = −   
   
c) Hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 28( )cm và nội tiếp đường tròn (C) có bán 
kính ( )5 .R cm= Tính diện tích tứ giác ABCD 
Theo bài ra ta có: Hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng 28( )cm nên có nửa chu vi bằng 
14( )cm . Đặt ( )AB x cm= .(ĐK: ( )0 14) 14x CD x cm< < ⇒ = − 
Gọi ,O AC BD= ∩ Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD 
Hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn có bán kính ( )5R cm= 
( ) ( )5 2 10OA cm AC OA cm⇒ = ⇒ = = 
Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABC ta có: 
C
B
O
A
D
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
( )
( ) ( )
( )( )
22 2 2 2 2 2 2
2 2
2
14 10 28 196 100
2 28 98 0 14 48 0
6 8 48 0 6 8 6 0
6 0 6
6 8 0 ( )
8 0 8
AB BC AC x x x x x
x x x x
x x x x x x
x x
x x TM
x x
+ = ⇒ + − = ⇔ + − + =
⇔ − + = ⇔ − + =
⇔ − − + = ⇔ − − − =
− = = 
⇔ − − = ⇔ ⇔ − = = 
Với ( ) ( )6 6 , 8x AB cm BC cm= ⇒ = = ⇒Diện tích hình chữ nhật ABCD là 
26.8 48( )S cm= = 
Với ( ) ( )28 8( ), 6 8.6 48ABCDx AB cm BC cm S cm= ⇒ = = ⇒ = = 
Vậy diện tích hình chữ nhật ABCD bằng 248cm 
Câu 3. 
Gọi ( ) ( ),P d lần lượt là đồ thị của các hàm số 2y x= và 2 3y mx= + 
a) Chứng minh đường thẳng ( )d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt ( )1 1;A x y và 
( )2 2;B x y và tính 1 2y y+ theo m 
Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị ( )P và ( )d ta có: 
( )2 22 3 2 3 0 *x mx x mx= + ⇔ − − = 
Phương trình ( )* có ( )2' 3 0m m∆ = + > ∀ ⇒Phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân 
biệt 1 2,x x với mọi m 
Hay với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt ( )1 1;A x y và 
( )2 2;B x y 
Ta có ( ),A B d∈ nên: 1 1
2 2
2 3
2 3
y mx
y mx
= +
 = +
Áp dụng hệ thức Viet vào phương trình ( )* ta có: 1 2
1 2
2
3
x x m
x x
+ =
 = −
. Khi đó ta có: 
( )1 2 1 2 1 2
2
2 3 2 3 2 6
2 .2 6 4 6
y y mx mx m x x
m m m
+ = + + + = + +
= + = +
Vậy 21 2 4 6y y m+ = + 
b) Tìm m sao cho 1 2 1 2 1 24 4 3y y x x x x− = − + 
Với mọi m thì đường thẳng ( )d luôn cắt ( )P tại hai điểm phân biệt ( )1 1;2 3A x mx + và 
( )2 2;2 3B x mx + . Áp dụng hệ thức Vi et− ta có: 1 2
1 2
2 (1)
3 (2)
x x m
x x
+ =
 = −
Theo dề bài ta có: 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
( )
( )( )
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 1 2 2
1 2
1 2
1 2
4 4 3 2 3 4 2 3 4 3.( 3)
2 3 8 12 4 9 2 8 4 0
12 1 0
2 1 4 0 2
4 0 4
y y x x x x mx mx x x
mx mx x x mx x mx x
m m
m x x
x x x x
− = − + ⇔ + − + = − + −
⇔ + − − = − − ⇔ − − + =
− = = ⇔ − − = ⇔ ⇔ − = =
Với 1 24 ,x x= thay vào ( )2 ta có: 224 3x = − ⇒Phương trình vô nghiệm 
Vậy 
1
2
m = thỏa mãn yêu cầu bài toán 
Câu 4. 
a) Ngày thứ ba nhập xong thì có trong kho 91 tấn gạo 
Gọi lượng gạo trong kho hàng nhập ngày thứ nhất là x (tấn ) (ĐK: 0)x > 
Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ hai là : .120% 1,2x x= (tấn) 
Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ ba là : 1,2 .120% 1,44x x= (tấn) 
Sau ngày thứ ba, lượng gạo có trong kho là : 1,2 1,44 3,64x x x x+ + = (tấn) 
Vì ngày thứ ba, sau khi nhập xong thì trong kho có 91 tấn nên ta có phương trình: 
913,64 91 25
3,64
x x= ⇔ = = (tấn ) (thỏa mãn) 
Vậy nếu ngày thứ 3, sau khi nhập xong, trong kho có 91 tấn gạo thì lượng gạo kho hàng 
nhập ngày thứ nhất là 25 tấn. 
b) Tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ 5, thứ 6 là 50,966 tấn 
Lượng gạo kho hàng nhập ngày thứ tư là 1,44 .120% 1,728x x= (tấn) 
Sau ngày thứ tư, lượng gạo có trong kho là : 1,2 1,44 1,728 5,368x x x x x+ + + = (tấn) 
Từ ngày thứ 5 kho ngừng nhập và mỗi ngày kho lại xuất một lượng gạo bằng 
1
10
lượng 
gạo trong kho ở ngày trước đó nên: 
Số gạo xuất trong ngày thứ 5 là : 
1 .5,368 0,5368
10
x x= (tấn) 
Số gạo còn lại sau ngày thứ 5 là : 5,368 0,5368 4,8312x x x− = (tấn) 
Số gạo xuất trong ngày thứ 6 là : 
1 .4,8312 0.48312
10
x x= (tấn) 
Vì tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ 5, thứ 6 là 50,996 tấn nên ta có phương trình: 
0,5368 0,48312 50,966 1,01992 50,966 50( )x x x x tm+ = ⇔ = ⇔ = 
Vậy nếu tổng số gạo đã xuất trong các ngày thứ 5, thứ 6 là 50,996 tấn thì lượng gạo kho 
hàng nhập ngày thứ nhất là 50 tấn. 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Câu 5. 
a) Chứng minh OCMN là tứ giác nội tiếp và 4BDC ODC= 
*) Ta có : ( )AB AC gt A= ⇒ thuộc đường trung trực của BC 
OB OC= (cùng bằng bán kính) O⇒ thuộc trung trực của BC 
Khi đó ta có OA là trung trực của BC 090OA BC ONC⇒ ⊥ ⇒ = 
Vì M là trung điểm của AC (gt) nên OM AC⊥ (quan hệ vuông góc giữa đường kính và 
dây cung) 090ONC⇒ = 
Xét tứ giác OCMN có 090 ( ),ONC OMC cmt= = suy ra OCMN là tứ giác nội tiếp (Tứ 
giác có 2 đỉnh kề một cạnh cùng nhìn cạnh đối dưới các góc bằng nhau) 
*)Xét ACD∆ có ( )DM AC do OM AC DM⊥ ⊥ ⇒ là đường cao đồng thời là đường 
trung tuyến suy ra ACD∆ cân tại D nên DM cũng là đường phân giác của ADC 
 2 (1)ADC ODC⇒ = 
IF
E P N
D
M
A
O
B C
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
Ta có : ( )AB AC gt= nên sd AB sd AC= (trong một đường tròn hai dây bằng nhau căng 
hai cung bằng nhau) ADB ADC⇒ = (trong 1 đường tròn, hai góc nội tiếp chắn hai cung 
bằng nhau thì bằng nhau) 
AD⇒ là phân giác của 2 (2)BDC BDC ADC⇒ = 
Từ (1) và (2) suy ra 4. ( )BDC ODC dfcm= 
b) P