Giáo trình Tuyển tập đề thi học kì I môn Toán Lớp 8 Hà Nội

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
TUYỂN TẬP ĐỀ HỌC KÌ 1 
MÔN TOÁN LỚP 8 HÀ NỘI 
Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 
1 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẬN BA ĐÌNH 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KIỂM TRA HỌC KÌ I 
Năm học: 2016 – 2017 
Môn: TOÁN 8 
Thời gian làm bài: 90 phút 
(Không kể thời gian giao đề) 
Bài 1 (2 điểm) Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 26 3x xy− 
b) 2 2 6 9x y x− − + 
c) 2 5 6x x+ − 
Bài 2 (1 điểm) Thực hiện phép tính 
a) 2( 2) ( 3)( 1)x x x+ − − + 
b) 3 2( 2 5 10) : ( 2)x x x x− + − − 
Bài 3 (2,5 điểm) Cho biểu thức 
5
4
xA
x
−
=
−
 và 
2
2
5 6 2 2 50
2 5 2 10
x x x xB
x x x x
+ − − −
= − −
− −
 (ĐK: 0; 5; 4x x x≠ ≠ ≠ ) 
a) Tính giá trị của A khi 2 3 0x x− = . 
b) Rút gọn B . 
c) Tính giá trị nguyên của x để :P A B= có giá trị nguyên. 
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm 
E đối xứng với điểm D qua điểm O. 
a) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật 
b) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE 
c) Cho AB = 10cm, BC = 12cm, tính diện tích tam giác OAD. 
d) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là 
hình thang cân. 
Bài 5 (0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau, biết abc= 2016 
2bc 2016 2b 4032 3acP
3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 4032 2016a
− −
= − +
− + − + − + 
HƯỚNG DẪN GIẢI 
Bài 1 (2 điểm) Hãy phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
a) 26 3x xy− 
b) 2 2 6 9x y x− − + 
c) 2 5 6x x+ − 
Hướng dẫn 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
2 
a) ( )26 3 3 2x xy x x y− = − 
b) ( ) ( )( )22 2 2 2 26 9 6 9 3 3 3x y x x x y x y x y x y− − + = − + − = − − = − − − + 
c) ( ) ( ) ( )( )2 25 6 6 6 1 6 1 1 6x x x x x x x x x x+ − = − + − = − + − = − + 
Bài 2 (1 điểm) Thực hiện phép tính 
a) 2( 2) ( 3)( 1)x x x+ − − + 
b) 3 2( 2 5 10) : ( 2)x x x x− + − − 
Hướng dẫn 
a/ 2( 2) ( 3)( 1)x x x+ − − + 
2 2
2 2
2 2
2 2
4 4 ( 3 3)
4 4 ( 2 3)
4 4 2 3
( ) (4 2 ) (4 3)
6 7
x x x x x
x x x x
x x x x
x x x x
x
= + + − + − −
= + + − − −
= + + − + +
= − + + + +
= +
b/ 3 2( 2 5 10) : ( 2)x x x x− + − − 
3 2
2
2
2
( 2 ) (5 10) : ( 2)
( 2) 5( 2) : ( 2)
( 2)( 5) : ( 2)
5
x x x x
x x x x
x x x
x
 = − + − − 
 = − + − − 
= − + −
= +
Bài 3 (2,5 điểm) Cho biểu thức 
5
4
xA
x
−
=
−
 và 
2
2
5 6 2 2 50
2 5 2 10
x x x xB
x x x x
+ − − −
= − −
− −
 (ĐK: 0; 5; 4x x x≠ ≠ ≠ ) 
a) Tính giá trị của A khi 2 3 0x x− = . 
b) Rút gọn B . 
c) Tính giá trị nguyên của x để :P A B= có giá trị nguyên. 
Hướng dẫn 
a) ( )2
0 0 (
3 0 3 0
3 0 3 ( )
x x
x x x x
x x TM
= = 
− = ⇔ − = ⇔ ⇔ − = = 
loaïi)
Thay 3x = vào biểu thức A ta có: 3 5 2 2
3 4 1
A − −= = =
− −
Vậy với 3x = thì 2A = 
b) 
2
2
5 6 2 2 50
2 5 2 10
x x x xB
x x x x
+ − − −
= − −
− −
(ĐK: 0; 5; 4x x x≠ ≠ ≠ ) 
( )
( )( ) ( )
( )
( )
2
2
2 2 2
5 6 2 2 50
2 5 2 5
5 5 2 6 2 2 50
2 5
25 2 12 2 2 50
2 5
x x x xB
x x x x
x x x x x x
B
x x
x x x x xB
x x
+ − − −
= + −
− −
+ − + − − + +
=
−
− + − − + +
=
−
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
3 
( )
( )
( )
2
2
10 25
2 5
5
2 5
5
2
x xB
x x
x
B
x x
xB
x
− +
=
−
−
=
−
−
=
Vậy 5
2
xB
x
−
= 
c) 
5
4
xA
x
−
=
− 
5
2
xB
x
−
= 
5 5 5 2 2 8: : . 2
4 2 4 5 4 4
x x x x xP A B
x x x x x x
− − −
= = = = = +
− − − − −
với 0; 5; 4x x x≠ ≠ ≠ 
8 82
4 4
P Z Z Z
x x
∈ ⇔ + ∈ ⇔ ∈
− −
(vì 2 Z∈ ) 
{ }4 1; 2; 4; 8x⇔ − ∈ ± ± ± ±Ö(8) = 
Lập bảng giá trị 
4x − 8− 4− 2− 1− 0 1 2 4 8 
x 4− 0 2 3 4 5 6 8 12 
KH ĐK TM Loại TM TM Loại Loại TM TM TM 
Vậy để :P A B= có giá trị nguyên thì { }4;2;3;6;8;12x∈ − . 
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A, đường cao AD, O là trung điểm của AC, điểm 
E đối xứng với điểm D qua điểm O. 
e) Chứng minh tứ giác AECD là hình chữ nhật 
f) Gọi I là trung điểm của AD, chứng tỏ I là trung điểm của BE 
g) Cho AB = 10cm, BC = 12cm, tính diện tích tam giác OAD. 
h) Đường thẳng OI cắt AB tại K. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác AEDK là 
hình thang cân. 
Hướng dẫn 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
4 
a) O là trung điểm AC nên OA=OC 
Vì E đối xứng với D qua O nên OE=OD 
Tam giác ABC cân tại A, đường cao AD nên AD BC⊥ 090ADC⇒ = 
Tứ giác AECD có OA=OC; OE=OD ⇒ AECD là hình bình hành, mà 090ADC = 
⇒AECD là hình chữ nhật 
b) AECD là hình chữ nhật ⇒AE//DC;AE=DC 
⇒AE//BD 
Tam giác ABC cân tại A, đường cao AD⇒AD đồng thời là đường trung tuyến ⇒
1
2
BD DC BC= = , mà AE=DC ⇒BD=AE 
Tứ giác AEDB có AE//BD; AE=BD nên AEDB là hình bình hành ⇒hai đường chéo AD,BE 
cắt nhau tại trung điểm mỗi đường mà I là trung điểm của AD⇒ I là trung điểm của BE 
c) Xét tam giác ADC có AI=ID; OA=OC ⇒OI là đường trung bình ⇒
1 1 1. 3
2 2 2
OI DC BC= = = 
Tam giác ABC cân tại A ⇒AB=AC =10 cm 
Xét tam giác ADC vuông tại D, theo định lý Pytago: 
2 2 2
2 2 2
2
10 6
64
8
AC AD CD
AD
AD
AD cm
= +
= +
=
=
21 1. .4.8 16cm
2 2OAD
S OI AD= = = 
d) Xét tam giác ABC có O là trung điểm AC; OI //BC nên OK //BC ⇒K là trung điểm AB 
mà D là trung điểm BC nên KD là đường trug bình ⇒KD//AC 
K I
E
O
DB C
A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
5 
Tứ giác AKDO có KD//AO; AK//DO⇒ AKDO là hình bình hành, mà AD OK⊥ ( vì 
/ / ;OK BC AD BC⊥ )⇒AKDO là hình thoi KDO KAO= 
AEDB là hình bình hành ⇒ AED ABD= 
/ /AE DK ⇒Tứ giác AEDK là hình thang 
Hình thang AEDK là hình thang cân khi 
 AED ADK= 
Mà 
 AED ABD= ; KDO KAO= nên ABD KAO= ABC⇒ cân tại C mà ABC cân tại A 
ABC⇒ đều 
Bài 5 (0,5 điểm) Tính giá trị biểu thức sau, biết abc= 2016 
2bc 2016 2b 4032 3acP
3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 4032 2016a
− −
= − +
− + − + − + 
Hướng dẫn 
2bc 2016 2b 4032 3acP
3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 4032 2016a
− −
= − +
− + − + − +
2bc 2016 2b 2.2016 3acP
3c 2bc 2016 3 2b ab 3ac 2.2016 2016a
− −
= − +
− + − + − +
2bc abc 2b 2.abc 3acP
3c 2bc abc 3 2b ab 3ac 2.abc abc.a
− −
= − +
− + − + − + 
(Thay abc = 2016) 
( )
( )
( )
( )
c 2b ab ac 2b 32bP
c 3 2b ab 3 2b ab ac 3 2b ab
− −
= − +
− + − + − +
2b ab 2b 2b 3P
3 2b ab 3 2b ab 2b 3
− −
= − +
− + − + −
3 2b abP 1
3 2b ab
− + −
= = −
− +
Vậy P 1= − 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
6 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
ĐAN PHƯỢNG 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÝ I 
Năm học 2017- 2018 
Môn Toán lớp 8 
Thời gian làm bài: 90 phút 
Bài 1 (2 điểm) 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( )2x x y x y− + − . 
b) Tính nhanh giá trị của biểu thức: 2 26 9x xy y− + tại 16x = và 2y = . 
c) Tìm x , biết ( ) ( )2 5 2 3 26x x x x− − + = . 
Bài 2 (2 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức: 
2
2 2
x xy
x y
+
−
. 
b) Thực hiện phép tính: 2
4 3 5 2
2 2 4
x
x x x
− −
+ +
+ − −
. 
Bài 3 (1,5 điểm) Cho hai đa thức 22 3 3A x x= + + và 2 1B x= − 
a) Thực hiện phép chia A cho B . 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa thức A chia hết cho giá trị của 
đa thức B . 
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của BC và 
AC . 
a) Chứng minh tứ giác ABHK là hình thang 
b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho H là trung điểm của cạnh AE . 
Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi. 
c) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AH cắt tia HK tại D . Chứng minh 
AD BH= . 
d) Vẽ HN AB⊥ N AB∈ , gọi I là trung điểm của AN . Trên tia đối của tia BH 
lấy điểm M sao cho B là trung điểm của HM . Chứng minh MN HI⊥ . 
Bài 5 (0,5 điểm) 
Cho x , y , z là ba số thỏa mãn điều kiện:
2 2 24 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + = . Tính 
( ) ( ) ( )2017 2017 20174 4 4S x y z= − + − + − . 
.......................HẾT.................. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
7 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 (2 điểm) Thực hiện phép tính: 
a) Phân tích đa thức thành nhân tử: ( ) ( )2x x y x y− + − . 
b) Tính nhanh giá trị của biểu thức: 2 26 9x xy y− + tại 16x = và 2y = . 
c) Tìm x , biết ( ) ( )2 5 2 3 26x x x x− − + = . 
Hướng dẫn 
a) ( ) ( ) ( )( )2 2x x y x y x y x− + − = − + . 
b) ( )22 26 9 3x xy y x y− + = − . 
Tại 16x = và 2y = ta được ( )2 216 3.2 10 100− = = . 
c) ( ) ( ) 2 22 5 2 3 26 2 10 2 3 26x x x x x x x x− − + = ⇔ − − − = 
 16 26x⇔ − = 26 13
16 8
x⇔ = = −
−
. 
Bài 2. (2 điểm) 
a) Rút gọn biểu thức: 
2
2 2
x xy
x y
+
−
. 
b) Thực hiện phép tính: 2
4 3 5 2
2 2 4
x
x x x
− −
+ +
+ − −
. 
Hướng dẫn 
a) ( )
( )( )
2
2 2
x x yx xy x
x y x y x y x y
++
= =
− − + −
b) ( ) ( )2 2 2 2
4 2 3 24 3 5 2 5 2
2 2 4 4 4 4
x xx x
x x x x x x
− +− − − −
+ + = + +
+ − − − − −
( )
( )( )2 2
2 24 8 3 6 5 2 2 4 2
4 4 2 2 2
xx x x x
x x x x x
−− + + − − −
= = = =
− − − + +
Bài 3. (1,5 điểm) Cho hai đa thức 22 3 3A x x= + + và 2 1B x= − . 
a) Thực hiện phép chia A cho B . 
b) Tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của đa thức A chia hết cho giá trị của 
đa thức B . 
Hướng dẫn 
a) 22 3 3x x+ + 2 1x − 
 22x x− 2x + 
 4 3x + 
 4 2x − 
 5 
 ( ) ( )22 3 3 : 2 1 2x x x x+ + − = + (dư 5) 
b) Để đa thức A chia hết cho đa thức B 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
8 
Ta có: 
52
2 1
A x
B x
= + +
−
. Từ giả thiết suy ra 5
2 1x −
 nguyên 
( ) { }− ∈ = − −2 1 5 1;5; 1; 5x Ö 
 { }2;0;1;3x⇒ ∈ − . 
Bài 4. (4 điểm) Cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của BC và 
AC . 
a) Chứng minh tứ giác ABHK là hình thang. 
b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm E sao cho H là trung điểm của cạnh AE . 
Chứng minh tứ giác ABEC là hình thoi. 
c) Qua A vẽ đường thẳng vuông góc với AH cắt tia HK tại D . Chứng minh 
AD BH= . 
d) Vẽ HN AB⊥ N AB∈ , gọi I là trung điểm của AN . Trên tia đối của tia BH 
lấy điểm M sao cho B là trung điểm của HM . Chứng minh MN HI⊥ . 
Hướng dẫn 
a) ABHK là hình thang vì / /HK AB (giả thiết) 
b) Xét tứ giác ABEC ta có: H là trung điểm BC (gt) 
 H là trung điểm AE (gt) 
Mà AE , BC là đường chéo của tứ giác ABEC . 
Suy ra tứ giác ABEC là hình bình hành. (1) 
Ta lại có: AH BC⊥ (do tam giác ABC cân tại A ) (2) 
⇒ ABEC là hình thoi. 
c) Ta có / /AD BH (vì cùng vuông góc với AH ) 
/ /AB HD (vì / /AB HK ) 
ABHD⇒ là hình bình hành 
AD BH HC⇒ = = 
 Suy ra AD BH= (đpcm) 
 d) Gọi P là trung điểm của HN 
 Nối PI , PB 
 Xét AHN∆ có / /IP AH (do IP là đường trung bình của tam giác AHN∆ ) 
 Mà AH BC IP BC⊥ ⇒ ⊥ 
 Xét BIH∆ có HN BI⊥ (gt) 
 IP BH⊥ (cmt) 
 { }HN IP P∩ = 
 P⇒ là trực tâm của tam giác BIH∆ 
 BP IH⇒ ⊥ . 
 Mà / /BP MN (vì BP là đường trung bình của tam giác MNH∆ ) 
P
I
N
K
H CB
A D
M
E
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
9 
 IH MN⇒ ⊥ (đpcm). 
Bài 5. (0,5 điểm) 
Cho x , y , z là ba số thỏa mãn điều kiện:
2 2 24 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + = . Tính 
( ) ( ) ( )2017 2017 20174 4 4S x y z= − + − + − . 
Hướng dẫn 
2 2 24 2 2 4 4 2 6 10 34 0x y z xy xz yz y z+ + − − + − − + = 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 24 4 4 2 6 9 10 25 0x xy xz y yz z y y z z⇔ − − + + + + − + + − + = 
( ) ( ) ( )2 2 22 3 5 0x y z y z⇔ − − + − + − = 
Vì ( )22 0x y z− − ≥ ; ( )23 0y − ≥ ; ( )25 0z − ≥ . Do đó để 
( ) ( ) ( )2 2 22 3 5 0x y z y z− − + − + − = thì 
2 0 4
3 0 3
5 0 5
x y z x
y y
z z
− − = =  − = ⇒ = 
 − = = 
Khi đó: ( ) ( ) ( )2017 2017 20174 4 4 0S x y z= − + − + − = . 
.......................HẾT.................. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
10 
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO 
QUẬN BA ĐÌNH 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ 1 MÔN TOÁN 8 
Năm học 2017 – 2018 
Ngày thi: 15/12/2017 
Thời gian làm bài: 90 phút 
Bài 1 (2 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 32x 50x− 
b) 2 2x 6x 9 4y− + − 
c) 2x 7x 10− + 
Bài 2 (1,5 điểm): 
a) Làm tính chia: ( )6 4 5 3 2 3 2 312x y 9x y 15x y :3x y+ − 
b) Rút gọn biểu thức: ( )( ) ( )( )2 2x 2 1 x x 3 x 3x 9− − + + − + 
Bài 3 (2,5 điểm): 
 Cho biểu thức 
2
2
5 2 3x 2x 9A
x 3 3 x x 9
− −
= − −
+ − −
 (với x 3≠ − và x 3≠ ) 
a) Rút gọn biểu thức A. 
b) Tính giá trị của A khi x 2 1.− = 
c) Tìm giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên. 
Bài 4 (3,5 điểm): 
 Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi m là trung điểm của AC. Gọi D là điểm đối 
xứng với B qua M. 
a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành 
b) Gọi N là điểm đối xứng với B qua A. Chứng minh tứ giác ACDN là hình chữ nhật. 
c) Kéo dài MN cắt BC tại I. Vẽ đường thẳng qua A song song với MN cắt BC ở K. 
Chứng minh: KC 2BK.= 
d) Qua B kẻ đường thẳng song song với MN cắt AC kéo dài tại E. Tam giác ABC cần 
có thêm điều kiện gì để tứ giác EBMN là hình vuông. 
Bài 5 (0,5 điểm): 
 Cho a thỏa mãn 2a 5a 2 0.− + = Tính giá trị của biểu thức: 
( )5 4 3 2 4 2 2P a a 18a 9a 5a 2017 a 40a 4 : a= − − + − + + − + 
----- Hết ----- 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
11 
Hướng dẫn 
Bài 1: 
a) Ta có 3 22x 50x 2 25) 2x(x 5)(x 5)− = − = − +x(x 
b) Ta có 2 2 2 2x 6x 9 4y (x 3) (2y) (x 2y 3)(x 2y 3)− + − = − − = − − + − 
c) Ta có 2 2x 7x 10 x 2 5 10 x(x 2) 5(x 2) (x 2)(x 5)− + = − − + = − − − = − −x x 
Bài 2 
a) ( )6 4 5 3 2 3 2 3 4 312x y 9x y 15x y :3x y 4 y 3x 5+ − = + −x 
b) ( )( ) ( )( )2 2 3 2 3 2x 2 1 x x 3 x 3x 9 x x 2 2 x 27 x 2 25− − + + − + = − + + − + + = + +x x 
Bài 3. 
a) Ta có 
2 2
2
2 2
5 2 3x 2x 9 5(x 3) 2(x 3) 3 2 9A
x 3 3 x x 9 (x 3)(x 3)
5 15 2 6 3 2 9 3 9 3 (x 3) 3
(x 3)(x 3) (x 3)(x 3) (x 3)(x 3) x 3
− − − + + − + +
= − − =
+ − − − +
− + + − + + − + − − −
= = = =
− + − + − + +
x x
x x x x x x x x
b) Ta có 
x 3
x 2 1
x 1
=
− = ⇔  =
Với x 3= ta có 9 3A
6 2
− −
= = 
Với x 1= ta có 3A
4
−
= 
c) Ta có 
3 9 9 9A 3
x 3 x 3
− − +
= = − +
+ +
x
A nguyên A⇔ nguyên x 3⇔ + ∈Ư(9) { }x 2;0;2;6; 4; 6; 12∈ − − − − 
Bài 4. 
 N D
M
B
A C
I
K
E
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
12 
a) Vì M là trung điểm AC, BD nên I là tâm ABCH là hình bình hành 
b) Ta có AN = CD=AB ( vì cùng bằng AB) suy ra ACDB là hình bình hành. Mà góc A 
vuông nê ACDN là hình chữ nhật 
c) ta có A trung điểm BN và AK//MN nên K trung điểm BI. 
Ta có MI//AK, và M trung điểm AC nên I trung điểm KC. Do đó KC=2KB 
d) Ta có EBMN là hình thoi, do đó để EBMN là hình vuông thì tam giác ABC có thêm điều 
kiện AB=2BC. 
Câu 5. Cho a thỏa mãn 2a 5a 2 0.− + = Tính giá trị của biểu thức: 
( )5 4 3 2 4 2 2P a a 18a 9a 5a 2017 a 40a 4 : a= − − + − + + − + 
Hướng dẫn 
T a có 
( )5 4 3 2 4 2 2
5 4 3 4 3 2 2 2 2
2 2
2 2
2
P a a 18a 9a 5a 2017 a 40a 4 : a
(a 5 2 ) (4 20 8 ) (a 5 2) 2015 a 40 4 : a
(a 5 2)(a 5 2)1975 a 4 : a 1996 1996
a
= − − + − + + − +
= − + + − + + − + + + − +
− + + +
= + + = + =
a a a a a a
a a
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
13 
PHÒNG GD & ĐT QUẬN BẮC TỪ LIÊM 
TRƯỜNG THCS CỐ NHUẾ 2 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I 
NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN: TOÁN 8 
Thời gian 90 phút (không kể thời gian giao đề) 
I. Trắc nghiệm (1 điểm). (Chọn 1 đáp án đúng trong mỗi câu sau đây) 
Câu 1: Điều kiện xác định của phân thức 2
2 1
16
−
−
x
x
 là: 
A. 8≠x B. 4≠x và 4≠ −x C. 4≠x D. 4≠ −x 
Câu 2: Rút gọn phân thức 
2 2
2 2
2− +
−
x xy y
x y
 kết quả đúng là: 
A. −
+
x y
x y
 B. +
−
x y
x y
 C. 2xy D. 2− xy 
Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A có 8=AB cm và 10 .=BC cm Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm của AB và BC. Khi đó độ dài của MN là: 
A. 5cm B. 9cm C. 3cm D. 4cm 
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có 12 ,=AC cm 9 .=AB cm Diện tích của tam giác 
ABC bằng: 
A. 2108cm B. 2120cm C. 221cm D. 254cm 
II. Tự luận (9 điểm) 
Bài 1 (1 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử 
a) 2 2 2− + −x xy x y b) 2 210 25+ − +x x y . 
Bài 2 (1.0 điểm): Tìm ,x biết 
a) 25( 3) 3 0;− − + =x x x b) 2 12 0.− − =x x 
Bài 3 (3.0 điểm): Cho hai biểu thức 2
3
6 9
+
=
− +
xA
x x
 và 
2
2
3 1 12
3 3
+ −
= + +
− −
x xB
x x x x
 (với 
3; 0≠ ± ≠x x ). 
a) Tính giá trị của biểu thức A khi 5.=x 
b) Rút gọn biểu thức B 
c) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên, biết : .=P A B 
Bài 4 (3,5 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A ( )<AB AC , E là trung điểm của BC . Kẻ EF 
vuông góc với AB tại F , ED vuông góc với AC tại D . Gọi O là giao điểm của AE và 
DF . 
a) Chứng minh rằng tứ giác ADEF là hình chữ nhật. 
b) Gọi K là điểm đối xứng của E qua D . Chứng minh tứ giác AECK là hình thoi. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
14 
c) Chứng minh rằng ba điểm B , O , K thẳng hàng/ Kẻ EM vuông góc với AK tại M . 
Chứng minh rằng 90= °DMF . 
d) Kéo dài BD cắt KC tại I , cho 3cm=AB , 4cm=AC . Tính độ dài đoạn KI . 
Bài 5 (0.5 điểm): Cho , , 0≠a b c và 0+ + ≠a b c thỏa mãn 1 1 1 1 .+ + =
+ +a b c a b c
Chứng minh rằng: 2017 2017 2017 2017 2017 2017
1 1 1 1 .+ + =
+ +a b c a b c
Hết. 
HƯỚNG DẪN 
I. Trắc nghiệm: ( 1 điểm) 
Câu 1: Điều kiện xác định của phân thức 2
2 1
16
−
−
x
x
 là: 
A. 8≠x B. 4≠x và 4≠ −x C. 4≠x D. 4≠ −x 
Hướng dẫn 
Chọn B. 
Điều kiện xác định là ( )( )2
4 0 4
16 0 4 4 0
4 0 4.
+ ≠ ≠ − 
− ≠ ⇒ + − ≠ ⇒ ⇒ − ≠ ≠ 
x x
x x x
x x
Câu 2: Rút gọn phân thức 
2 2
2 2
2− +
−
x xy y
x y
 kết quả đúng là: 
A. −
+
x y
x y
 B. +
−
x y
x y
 C. 2xy D. 2− xy 
Hướng dẫn 
Chọn A. 
Ta có 
( )
( )( )
22 2
2 2
2 −− + −
= =
− + − +
x yx xy y x y
x y x y x y x y
. 
Câu 3: Tam giác ABC vuông tại A có 8=AB cm và 10 .=BC cm Gọi M, N lần lượt là trung 
điểm của AB và BC. Khi đó độ dài của MN là: 
A. 5cm B. 9cm C. 3cm D. 4cm 
Chọn C. 
Hướng dẫn 
Áp dụng định lí Py-ta-go vào tam giác ABC vuông tại A ta có 
2 210 8 6= − =AC . 
Mặt khác MN là đường trung bình của tam giác ABC nên 
3
2
= =
ACMN (cm). 
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có 12 ,=AC cm 9 .=AB cm Diện tích 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
15 
của tam giác ABC bằng: 
A. 2108cm B. 2120cm C. 221cm D. 254cm 
Hướng dẫn 
Diện tích tam giác vuông ABC là 1 1. .12.9 54
2 2
= =AB AC (cm2). 
II. Tự luận: (9 điểm) 
Bài 1 (1 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử 
 a) 2 2 2− + −x xy x y b) 2 210 25+ − +x x y 
Hướng dẫn 
a) ( ) ( ) ( )( )2 2 2 2 2− + − = − + − = + −x xy x y x x y x y x x y . 
b) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 2 210 25 10 25 5 5 5+ − + = + + − = + − = + + + −x x y x x y x y x y x y . 
Bài 2 (1.0 điểm): Tìm ,x biết 
a) 25( 3) 3 0;− − + =x x x b) 2 12 0.− − =x x 
Hướng dẫn 
a) 2 2 2 25( 3) 3 0 5 15 3 0 8 15 0 3 5 15 0− − + = ⇔ − − + = ⇔ − + = ⇔ − − + =x x x x x x x x x x x 
3 0 3
( 3) 5( 3) 0 ( 3)( 5) 0
5 0 5.
− = = 
⇔ − − − = ⇔ − − = ⇔ ⇔ − = = 
x x
x x x x x
x x
b) 2 212 0 3 4 12 0 ( 3) 4( 3) 0 ( 3)( 4) 0− − = ⇔ + − − = ⇔ + − + = ⇔ + − =x x x x x x x x x x 
3 0 3
4 0 4.
+ = = − 
⇔ ⇔ − = = 
x x
x x
Bài 3 (3.0 điểm): Cho hai biểu thức 2
3
6 9
+
=
− +
xA
x x
 và 
2
2
3 1 12
3 3
+ −
= + +
− −
x xB
x x x x
 (với 
3; 0≠ ± ≠x x ). 
d) Tính giá trị của biểu thức A khi 5.=x 
e) Rút gọn biểu thức B 
f) Tìm giá trị nguyên của x để biểu thức P nhận giá trị nguyên, biết : .=P A B 
Hướng dẫn 
a) Thay 5=x vào biểu thức A, ta được 
2
5 3 8 8 2.
5 6.5 9 25 30 9 4
+
= = = =
− + − +
A 
b) Với 3; 0≠ ± ≠x x , ta có 
2 2 2 2
2
3 1 12 ( 3)( 3) 1. 12 9 12 3 .
3 3 ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3)
+ − + − − − + + − +
= + + = + + = =
− − − − − − −
x x x x x x x x x xB
x x x x x x x x x x x x x x
c) Điều kiện 3; 0≠ ± ≠x x 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
16 
Ta có 2 2
3 3
6 9 ( 3)
+ +
= =
− + −
x xA
x x x
; 
2
2
3 1 12 3 .
3 3 ( 3)
+ − +
= + + =
− − −
x x xB
x x x x x x
2 2
3 3 ( 3) ( 3) 3 3 3 3 3: : . 1 .
( 3) ( 3) ( 3) 3 3 3 3 3 3
+ + + − − + −
= = = = = = + = +
− − − + − − − − −
x x x x x x x xP A B
x x x x x x x x x x
Để P nhận giá trị nguyên thì 3 3 ( 3) ( 3)
3
x x
x
∈ ⇒ − ⇒ − ∈
−
  Ư
{ } { }(3) 1;1; 3;3 2;4;0;6 .= − − ⇒ ∈x 
Kết hợp với điều kiện, vậy { }2;4;6∈x thì P nhận giá trị nguyên . 
Bài 4 (3,5 điểm): Cho ∆ABC vuông tại A ( )<AB AC , E là trung điểm của BC . Kẻ EF 
vuông góc với AB tại F , ED vuông góc với AC tại D . Gọi O là giao điểm của AE và 
DF . 
a) Chứng minh rằng tứ giác ADEF là hình chữ nhật. 
b) Gọi K là điểm đối xứng của E qua D . Chứng minh tứ giác AECK là hình thoi. 
c) Chứng minh rằng ba điểm B , O , K thẳng hàng/ Kẻ EM vuông góc với AK tại M . 
Chứng minh rằng 90= °DMF . 
d) Kéo dài BD cắt KC tại I , cho 3cm=AB , 4cm=AC . Tính độ dài đoạn KI . 
Hướng dẫn 
a) Chứng minh tứ giác ADEF là hình chữ nhật. 
Xét tứ giác ADEF có 
 90= °DAF (∆ABC vuông tại A ) 
 90= °AFE ( ⊥EF AB tại F ) 
 90= °ADE ( ⊥ED AC tại D ) 
Vậy tứ giác ADEF là hình chữ nhật. 
b) Chứng minh AECK là hình thoi. 
Ta có ADEF là hình chữ nhật nên //AF DE . 
Hay //DE AB . 
Xét ∆ABC có E là trung điểm của BC và //DE AB nên D 
là trung điểm của AC . 
Xét tứ giác AECK có 
D là trung điểm của AC (chứng minh trên) 
D là trung điểm của EK ( K đối xứng với E qua D ) 
Do đó, tứ giác AECK là hình bình hành. 
Mà ⊥EK AC nên tứ giác AECK là hình thoi. 
c) + Chứng minh ba điểm B , O , K thẳng hàng. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
17 
Ta có ADEF là hình chữ nhật (theo câu a) và AE cắt DF tại O (gt). 
Suy ra O là trung điểm của AE . 
Mặt khác vì AECK là hình thoi (theo câu b) nên //EC AK và =EC AK . 
Do đó //BE AK và =BE AK (vì =EB EC ) 
Suy ra ABEK là hình bình hành. 
Mà O là trung điểm của AE (chứng minh trên) nên O cũng là trung điểm của BK . 
Hay ba điểm B , O , K thẳng hàng. 
+ Chứng minh 90= °DMF . 
Ta có ADEF là hình chữ nhật (theo câu a) và AE cắt DF tại O (gt). 
Suy ra O là trung điểm của AE và DF . Hay = = =OA OE OD OF (1) 
Lại có ∆AME vuông tại M ( ⊥EM AK tại M ) 
Suy ra 
1
2
=OM AE (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền) 
Hay = =OM OA OE (2) 
Từ (1) và (2) suy ra = =OM OF OD hay 1
2
=OM DF . 
Do đó ∆DMF vuông tại M hay 90= °DMF . 
d) Tính KI . 
Gọi G là giao điểm của AE và BD . 
Xét ∆ABC có AE và BD là các đường trung tuyến. Do đó G là trọng tâm của ∆ABC . 
Suy ra 
1
3
=GE AE . 
Mặt khác, vì ∆ABC vuông tại A nên 2 2 2= +BC AB AC (định lý Py-ta-go) 
( )2 2 23 4 25 5 cm⇒ = + = ⇒ =BC BC . 
Suy ra ( )1 1 5.5 cm
2 2 2
= = =AE BC (đường trung tuyến ứng với cạnh huyền). 
( )1 1 5 5. cm
3 3 2 6
⇒ = = =GE AE . 
Xét ∆DEG và ∆DKI có 
 =EDG KDI (hai góc đối đỉnh) 
=DE DK ( E đối xứng với K qua D ) 
 =DEG DKI (cặp góc so le trong, AECK là hình thoi nên //AE CK ) 
Vậy ∆ = ∆DEG DKI (g.c.g) 
Suy ra =EG KI (cặp cạnh tương ứng) 
Do đó ( )5 cm
6
=KI . 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
18 
Bài 5 (0.5 điểm): Cho , , 0≠a b c và 0+ + ≠a b c thỏa mãn 1 1 1 1 .+ + =
+ +a b c a b c
Chứng minh rằng: 2017 2017 2017 2017 2017 2017
1 1 1 1 .+ + =
+ +a b c a b c
Hướng dẫn 
Điều kiện: , , 0≠a b c và 0+ + ≠a b c 
Ta có 
1 1 1 1 1 1 1 1 ( )
( )
+ − +
+ + = ⇔ + = − ⇔ =
+ + + + + +
a b a b
a b c a b c a b a b c c ab c a b c
 2
( ) ( ) ( )
( )( ) 0 ( )( )( a) 0.
⇔ + + + = − +
⇔ + + + + = ⇔ + + + =
a b c a b c a b ab
a b ca cb c ab a b b c c
Do đó 0+ =a b hoặc 0+ =b c hoặc 0.+ =c a 
Vai trò của , ,a b c như nhau nên giả sử 0 .+ = ⇔ = −a b a b 
Khi đó 
2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017
1 1 1 1 1 1 1 ;
( )
+ + = + + =
−a b c a a c c
2017 2017 2017 2017 2017 2017 2017
1 1 1 .
( )
= =
+ + + − +a b c a a c c
Vậy 2017 2017 2017 2017 2017 2017
1 1 1 1
+ + =
+ +a b c a b c
 (điều phải chứng minh). 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
19 
PHÒNG GD&ĐT QUẬN HOÀNG MAI 
TRƯỜNG THCS LĨNH NAM 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ I 
Môn: Toán 8 
Năm học: 2017 – 2018 
Thời gian làm bài: 90 phút 
I. Trắc nghiệm: ( 2 điểm) 
Câu 1. Kết quả của phép nhân ( )2 5−x x bằng 
A. 22 5−x B. 22 10−x x C. 210 2−x x D. 22 10−x 
Câu 2. Kết quả của phép nhân ( )22−x bằng 
A. 2 2 4+ +x x B. 2 2 4− −x x C. 2 4 4− −x x D. 2 4 4− +x x 
Câu 3. Kết quả của phép nhân ( ) ( )3 28 : 2 4− + +x x x bằng 
A. 2−x B. 2+x C. 2− x D. 2+ x 
Câu 4. Phân thhức 
( )( )
2 8 7
7 2
− +
− +
x x
x x 
bằng 
A. 1
2
−
+
x
x
 B. 1
2
+
+
x
x
 C. 1
2
−
−
x
x
 D. 1
2
−
+
x
x
Câu 5. Tứ giác nào sau đây có hai đường chéo bằng nhau. 
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình thoi 
Câu 6. Cho Hình thoi ABCD. Khi đó: 
A. AB CD⊥ C. AB BD⊥ 
B.AC là tia phân giác góc A. D. AC BD= 
Câu 7. Tam giác ABC vuông tại A có AB 6cm,BC 10cm= = , thì diện tích tam giác ABC là: 
A. 260cm B. 230cm C. 248cm D. 224cm 
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có  0A 80 .= Số đo góc C là: 
A. 080 B. 0100 C. 040 D. 0160 
II. Tự luận: (8 điểm) 
Bài 1 (1.0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử: 
a) 2 26 9 64x xy y− + − b) 23 3 2 2x xy x y+ − − 
Bài 2 (1.0 điểm): Tìm x 
a) ( ) 22 3 2 30x x x+ − = b) ( )( ) ( )21 3 3 4x x x x x− + − + = − 
Bài 3 (2.0 điểm): Cho biểu thức 
4
5
xA
x
−
=
+
 và 2
2 20
4 16
xB
x x
+
= +
+ −
 với 4; 5x x≠ ± ≠ − 
a) Tính giá trị của A khi 3x = − 
b) Rút gọn biểu thức B 
c) Tìm giá trị nguyên cả x để M nguyên, biết M A.B= 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
20 
Bài 4 (3.5 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các 
cạnh AB, CD. 
a) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao? 
b) Chứng minh: Tứ giác AEFD là hình chữ nhật. 
c) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D và điểm N đối xứng với A qua D. Chứng minh: 
Tứ giác AMNF là hình thoi. 
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với AF, EF. Chứng minh: 
1IK DK.
3
= 
Bài 5 (0.5 điểm): Cho 
2 2 2
2017.x y z
x y y z z x
+ + =
+ + +
Tính giá trị của biểu thức 
2 2 2
3y z xP
x y y z z x
= + + −
+ + +
Hướng dẫn 
Câu 1. Kết quả của phép nhân ( )2 5−x x bằng 
A. 22 5−x B. 22 10−x x C. 210 2−x x D. 22 10−x 
Hướng dẫn 
Chọn B. 
( ) 22 5 2 10x x x x− = − 
Câu 2. Kết quả của phép nhân ( )22−x bằng 
A. 2 2 4+ +x x B. 2 2 4− −x x C. 2 4 4− −x x D. 2 4 4− +x x 
Hướng dẫn 
Chọn D. 
( )2 22 4 4x x x− = − + 
Câu 3. Kết quả của phép nhân ( ) ( )3 28 : 2 4− + +x x x bằng 
A. 2−x B. 2+x C. 2− x D. 2+ x 
Hướng dẫn 
Chọn A. 
( ) ( ) ( )( ) ( )3 2 2 28 : 2 4 2 2 4 : 2 4 2x x x x x x x x x − + + = − + + + + = −  
Câu 4. Phân thhức 
( )( )
2 8 7
7 2
− +
− +
x x
x x 
bằng 
A. 1
2
−
+
x
x
 B. 1
2
+
+
x
x
 C. 1
2
−
−
x
x
 D. 1
2
−
+
x
x
Hướng dẫn 
Chọn D. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
21 
( )( )
( )( )
( )( )
2 1 78 7 1
7 2 7 2 2
x xx x x
x x x x x
− −− + −
= =
− + − − + +
Câu 5. Tứ giác nào sau đây có hai đường chéo bằng nhau. 
A. Hình bình hành B. Hình chữ nhật C. Hình thang D. Hình thoi 
Hướng dẫn 
Chọn B. Hình chữ nhật 
Câu 6. Cho hình thoi ABCD. Khi đó: 
A. AB CD⊥ C. AB BD⊥ 
B.AC là tia phân giác góc A. D. AC BD= 
Hướng dẫn 
Chọn B. Theo tính chất hình thoi thì AC là tia phân giác góc A. 
Câu 7. Tam giác ABC vuông tại A có AB 6cm,BC 10cm= = , thì diện tích tam giác ABC là: 
A. 260cm B. 230cm C. 248cm D. 224cm 
Hướng dẫn 
Chọn D. Áp dụng định lý Pitago vào trong tam giác ABC vuông tại A 
Suy ra 2 2AC BC AC 8cm= − = . Khi đó 2ABC
1 1S AB.AC .6.8 24cm
2 2
= = = 
Câu 8. Cho hình bình hành ABCD có  0A 80 .= Số đo góc C là: 
A. 080 B. 0100 C. 040 D. 0160 
Hướng dẫn 
Chọn B.    0 0 0A C 180 C 180 A 100+ = ⇒ = − = 
II. Tự luận: (8 điểm) 
Bài 1 (1.0 điểm): Phân tích đa thức thành nhân tử: 
b) 2 26 9 64x xy y− + − b) 23 3 2 2x xy x y+ − − 
Hướng dẫn 
a) ( ) ( ) ( )( )22 2 2 2 2 26 9 64 6 9 8 3 8 3 8 3 8x xy y x xy y x y x y x y− + − = − + − = − − = − − − + 
b) ( ) ( ) ( )( )23 3 2 2 3 2 3 2x xy x y x x y x y x x y+ − − = + − + = − + 
Bài 2 (1.0 điểm): Tìm x 
a) ( ) 22 3 2 30x x x+ − = b) ( )( ) ( )21 3 3 4x x x x x− + − + = − 
Hướng dẫn 
a) ( ) 2 2 22 3 2 30 2 6 2 30 6 30 5x x x x x x x x+ − = ⇒ + − = ⇒ = ⇒ = 
b) ( )( ) ( ) ( )( )2 21 3 3 4 3 1 4 3 4 0x x x x x x x x x x x− + − + = − ⇒ + − − = − ⇒ + − = 
( )( )
1
1 4 0
4
x
x x
x
=
⇒ − + = ⇒  = − 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 
22 
Bài 3 (2.0 điểm): Cho biểu thức 
4
5
xA
x
−
=
+
 và 2
2 20
4 16
xB
x x
+
= +
+ −
 với 4; 5x x≠ ± ≠ − 
a) Tính giá trị của A khi 3x = − 
b) Rút gọn biểu thức B 
c) Tìm giá trị nguyên cả x để M nguyên, biết M A.B= 
Hướng dẫn 
a) 
3 4 7
3 5 2
A − −= = −
− + 
b) 
( )
( )( ) ( )( )
( )
( )( )2
2 4 20 3 42 20 3 12 3
4 16 4 4 4 4 4 4 4
x x xx xB
x x x x x x x x x
− + + ++ +
= + = = = =
+ − + − + − + − − 
c) 
4 3 3
5 4 5
xM A.B .
x x x
−
= = =
+ − + 
Để M nguyên thì ( ) { }5 3 3 1 1 3x U ; ; ;+ ∈ = − − . Khi đó { }8 6 4 2x ; ; ;∈ − − − − 
Bài 4 (3.5 điểm): Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của các 
cạnh AB, CD. 
a) Tứ giác AECF là hình gì? Vì sao? 
b) Chứng minh: Tứ giác AEFD là hình chữ nhật. 
c) Vẽ điểm M đối xứng với F qua D và điểm N đối xứng với A qua D. Chứng minh: 
Tứ giác AMNF là hình thoi. 
d) Gọi I, K lần lượt là giao điểm của BD với AF, EF. Chứng minh: 
1IK DK.
3
= 
Hướng dẫn 
a) Ta có: AB CD= ( do ABCD là hình chữ nhật ) 
1 1
2 2
AE=BE= AB;CF DF DC AE=AF= = ⇒
 Hơn nữa AE//AF . Vậy AECF là hình bình hành. 
b) Ta có: AB CD= ( do ABCD là hình chữ nhật ) 
1 1
2 2
AE=BE= AB;CF DF DC AE=DF= = ⇒
 Hơn nữa