Giáo trình Tuyển tập đề thi học kì I môn Toán Lớp 7

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
TUYỂN TẬP ĐỀ THI 
HỌC KÌ I MÔN TOÁN LỚP 7 
Tài liệu sưu tầm, ngày 15 tháng 11 năm 2020 
 Website:tailieumontoan.com 1 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN 
HÀ NỘI – AMSTERDAM 
TỔ: TOÁN – TIN HỌC 
ĐỀ CHÍNH THỨC 
KIỂM TRA GIỮA HỌC KÌ I 
Năm học: 2019 – 2020 
Môn: Toán lớp 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1. (2 điểm) Tính 
a) 
( )
( )22
4
649 12 1 5 1. . .
6 2 3 2 77
A
−− − −   = − −   
   −
b) ( )31 3 1 7 2: 2 3 . 7 8
6 4 3 9 3
B      = − − + − −     
     
Bài 2. (2 điểm) 
a) Tìm , ,x y z biết rằng 1 2 1
5 3 4
x y z− − −
= = và 2 3 2 27x y z− − = − 
b) Tìm x thỏa mãn: ( )1 43 1 4 1
2 5
x x− = − 
Bài 3. (2 điểm) 
Có ba kho , ,A B C chứa gạo. Số gạo kho A và kho B lần lượt tỉ lệ với 2 và 3. Số gạo kho B 
và kho C lần lượt tỉ lệ với 4 và 5. Biết 2 lần số gạo kho C hơn kho A là 220 tấn. Hỏi cả 3 
kho có bao nhiêu tấn gạo. 
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC có  060A = ,  040C = . Lấy điểm D trên cạnh AC của tam 
giác sao cho 0120BDC = . Qua D kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB tại E 
a) Tính BED và BDE . 
b) Phân giác của góc BDC cắt BC ở F . Chứng minh rằng / /DF AB . 
c) Chứng minh rằng DF BE= 
d) Chứng minh rằng hai đoạn thẳng BD và EF cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi 
đoạn thẳng đó. 
Bài 5: (1 điểm) Thực hiện phép tính: 
1 1 11 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2018
     
− − −     + + + + + + +     
HƯỚNG DẪN 
Bài 1. (2 điểm) Tính 
a) 
( )
( )22
4
649 12 1 5 1. . .
6 2 3 2 77
A
−− − −   = − −   
   −
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
b) ( )31 3 1 7 2: 2 3 . 7 8
6 4 3 9 3
B      = − − + − −     
     
Hướng dẫn 
a) Ta có: 
( )
( )
( )
22
4
2
649 12 1 5 1. . .
6 2 3 2 77
67 12 5 1. .
6 6 2 77
7 12 5 1 6. .
6 49 6 2 7
2 5 3 5 5 35 30 5
7 6 7 6 7 42 42
A
A
A
A
−− − −   = − −   
   −
−− −
= − − −
−
−
= + −
−
= − + − = − = =
b) Ta có: 
( )31 3 1 7 2: 2 3 . 7 8
6 4 3 9 3
2 9 7 70 26: 27.
12 12 3 9 3
7 3 70 78. 27
12 7 9 9
1 8 1 9727. 24
4 9 4 4
B
B
B
B
     = − − + − −     
     
     = − − − −     
     
−  = − − −  
 = − − = + = 
 
Bài 2:(2 điểm) 
a) Tìm , ,x y z biết rằng 1 2 1
5 3 4
x y z− − −
= = và 2 3 2 27x y z− − = − 
b) Tìm x thỏa mãn: ( )1 43 1 4 1
2 5
x x− = − 
Hướng dẫn 
a) Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
( ) ( ) ( )2 1 3 2 2 11 2 1 2 3 2 6 27 6 3
5 3 4 2.5 3.3 2.4 7 7
1 3
5 1 15 16
2 3 2 9 11
3
1 12 131 3
4
x y zx y z x y z
x
x x
y y y
z zz
− − − − −− − − − − + − +
= = = = = =
− − − −
− =
− = = 
−  ⇒ = ⇔ − = ⇔ =  
  − = = −
=
 Vậy ( ) ( ); ; 16;11;13x y z = 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
b) Điều kiện: 14 1 0
4
x x− ≥ ⇔ ≥ 
( )
( )
( )
1 43 1 4 1 (*)
2 51 43 1 4 1
2 5 1 43 1 4 1 (**)
2 5
x x
x x
x x
  − = −   − = − ⇔
  − = − −  
 
3 16 4 4 16 3(*) 3 3
2 5 5 5 5 2
19 16 3 47 19 19 47 38: ( )
5 5 2 10 5 5 10 47
x x x x
x x x tm
⇔ − = − ⇔ + = +
 ⇔ = + ⇔ = ⇔ = = 
 
3 16 4 16 3 4(**) 3 3
2 5 5 5 2 5
16 3 11 17 11 11 17 22: ( )
5 2 5 10 5 5 10 17
x x x x
x x x L
⇔ − = − + ⇔ − = −
 ⇔ − = − ⇔ = − ⇔ = − = − 
 
Vậy nghiệm của phương trình: 38
47
x = 
Bài 3: (2 điểm) 
Có ba kho , ,A B C chứa gạo. Số gạo kho A và kho B lần lượt tỉ lệ với 2 và 3. Số gạo kho B 
và kho C lần lượt tỉ lệ với 4 và 5. Biết 2 lần số gạo kho C hơn kho A là 220 tấn. Hỏi cả 3 
kho có bao nhiêu tấn gạo. 
Hướng dẫn 
Gọi số gạo trong 3 kho , ,A B C lần lượt là , ,x y z tấn , ( ), , 0x y z > 
Vì số gạo kho A và kho B tỉ lệ với 2 và 3 nên 
2 3
x y
= (1) 
Số gạo kho B và kho C tỉ lệ với 4 và 5 nên 
4 5
y z
= (2) 
Từ (1)(2) suy ra 
8 12 15
x y z
= = 
Vì 2 lần số gạo kho C hơn kho A là 220 tấn nên 2 220z x− = 
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
80
2 220 10 120
8 12 15 2.15 8 22
150
x
x y z z x y
z
=
− = = = = = ⇒ =
−  =
Vậy số gạo cả 3 kho là: 80 120 150 350+ + = tấn. 
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC có  060A = ,  040C = . Lấy điểm D trên cạnh AC của tam 
giác sao cho 0120BDC = . Qua D kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB tại E 
a) Tính BED và BDE . 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
b) Phân giác của góc BDC cắt BC ở F . Chứng minh rằng / /DF AB . 
c) Chứng minh rằng DF BE= 
d) Chứng minh rằng hai đoạn thẳng BD và EF cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi 
đoạn thẳng đó. 
Hướng dẫn 
a) Vì  0/ / 40ED BC ADE C⇒ = = (hai góc so le trong) 
Xét AED∆ có  BED A ADE= + (Định lí góc ngoài tam giác) 
0 0 060 40 100BED⇒ = + = 
Xét BDC∆ có  0180DBC BDC C+ + = 
(Định lí tổng ba góc trong tam giác) 
 ( ) ( )0 0 0 0 0180 180 120 40 20DBC BDC C⇒ = − + = − + = 
 020BDE DBC⇒ = = (hai góc so le trong và / /ED BC ) 
b) Vì DF là phân giác BDC 
0 01 1 .120 60
2 2
FDC BDC⇒ = = = 
060FDC BAC⇒ = = 
Mà hai góc ở vị trí đồng vị tạo bởi đường thẳng AC cắt hai đường thẳng AB và DF 
/ /DF AB⇒ 
c) Xét DEF∆ và BFE∆ có: 
 DEF EFB= (hai góc so le trong và / /ED BC ) 
FE là cạnh chung 
 EFD FEB= (hai góc so le trong và / /DF AB ) 
DEF BFE⇒∆ = ∆ (g.c.g) 
DF BE⇒ = (hai cạnh tương ứng) 
d) Theo câu c ta có: DEF BFE DE BF∆ = ∆ ⇒ = 
Xét EOD∆ và FOB∆ có: 
 OED OFB= (hai góc so le trong và / /ED BC ) 
ED BF= (chứng minh trên) 
 ODE OBF= (hai góc so le trong và / / BCDE ) 
EOD FOB⇒∆ = ∆ (g.c.g) 
O ;OE F OD OB⇒ = = (các cặp cạnh tương ứng) 
hay hai đoạn thẳng BD và EF cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đoạn thẳng đó. 
Bài 5: (1 điểm) Thực hiện phép tính 
O
D
CB
A
F
E
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
1 1 11 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2018
     
− − −     + + + + + + +     
Hướng dẫn 
Ta có: .( 1)1 2 ... ( 1)
2
n nA n n += + + + − + = 
Thật vậy ta có: 
1 2 ... ( 1)
( 1) ... 2 1
2 ( 1) ( 1) ... ( 1) ( 1)
A n n
A n n
A n n n n n
= + + + − +
+
= + − + + +
⇒ = + + + + + + = +
.( 1)
2
n nA +⇒ = 
1 1 2 ( 1).( 2)1 1 1
1 2 3 ... .( 1) .( 1) .( 1)
2
n n
n n n n n n n
− +
⇒ − = − = − =
+ + + + + + +
 (1). 
Áp dụng đẳng thức (1) vào biểu thức ta có: 
1 1 11 . 1 ... 1
1 2 1 2 3 1 2 3 ... 2018
     
− − −     + + + + + + +     
1.4 2.5 3.6 2017.2020 (1.2.3...2017).(4.5.6...2020) 1 2020 1010. . ... .
2.3 3.4 4.5 2018.2019 (2.3.4...2018).(3.4.5...2019) 2018 3 3027
= = = = . 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM 
TỔ TOÁN – TIN 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÝ I 
Năm học 2017- 2018 
Môn Toán lớp 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1 (2 điểm) Thực hiện phép tính: 
 a) 4925 0,25
4
− + b) 
( )310 9,5 0,25.18 : 0,5
10
1 11 1
5 2
− −
−
 b) 25 31 7 3
27 42 27 42
− −   − − −   
   
 d) 
23 19 3 5 1 1 1 193. . .
49 2 49 2 20 4 2 14
−   − − − −   
   
Bài 2 (2 điểm) Tìm x biết: 
a) 1 1 1
2 6 3
− =x 
b) ( )224 3 8− =x 
c) Vẽ đồ thị hàm số 1
2
= −y x . Từ đó chứng minh ba điểm ( ) ( )2; 1 , 12; 6− − −A B và 
( )2;1−C không thẳng hàng. 
Bài 3 (1,5 điểm) Có ba máy bơm cùng bơm nước vào ba bể có thể tích bằng nhau (lúc đầu 
các bể đều không có nước). Mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ ba bơm 
được lần lượt là 6 3m , 10 3m , 39 m . Thời gian bơm đầy bể của máy thứ hai ít hơn 
máy thứ nhất là 2 giờ. Tính thời gian của từng máy để bơm đầy bể? 
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có <AB AC , tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại 
I . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho =AD AB . 
a) Chứng minh rằng: =BI ID 
b) Tia DI cắt tia AB tại E . Chứng minh rằng: ∆ = ∆IBE IDC 
c) Chứng minh: //BD EC 
d) Cho 2=ABC ACB . Chứng minh + =AB BI AC . 
Bài 5 (1 điểm) 
a) Cho các số , , , , ,a b c x y z thỏa mãn 2 2 2 1+ + = + + =a b c a b c và = =x y z
a b c
 (các tỉ 
số đều có nghĩa). Chứng minh ( )22 2 2+ + = + +x y z x y z 
b) (dành riêng cho lớp 7A) 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
Cho tam giác ABC có 2=AB cm; 4=BC cm và 60= °ABC . Trên tia đối của 
tia BC lấy điểm D sao cho =BD BC , trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao 
cho =BE BA . Tính diện tích tứ giác ACED . 
.......................HẾT.................. 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 (2 điểm) Thực hiện phép tính: 
a) 4925 0,25
4
− + b) 
( )310 9,5 0,25.18 : 0,5
10
1 11 1
5 2
− −
−
 b) 25 31 7 3
27 42 27 42
− −   − − −   
   
 d) 
23 19 3 5 1 1 1 193. . .
49 2 49 2 20 4 2 14
−   − − − −   
   
Hướng dẫn 
a) 49 725 0,25 5 0,5 2
4 2
− + = − + =
b) 
( )310 9,5 0,25.18 : 0,5 10,3 5 : 0,5 0,310 11 1 6 3 0,31 1
5 2 5 2
− − −
== = = −
−− −
c) 25 31 7 3 25 31 7 3
27 42 27 42 27 42 27 42
− − −   − − − = − + +   
    
25 7 3 31 2 2 0
27 27 42 42 3 3
− −   = + + − = + =   
    
d) 
23 19 3 5 1 1 1 193. . .
49 2 49 2 20 4 2 14
−   − − − −   
   
23 19 5 1 100. .
49 2 2 5 7
−     = − − −     
      
3 1 100 3 4.7 . 1
49 25 7 7 7
− = − = + = 
  
Bài 2. (2 điểm) 
a) 1 1 1
2 6 3
− =x 
b) ( )224 3 8− =x 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
c) Vẽ đồ thị hàm số 1
2
= −y x . Từ đó chứng minh ba điểm ( ) ( )2; 1 , 12; 6− − −A B và 
( )2;1−C không thẳng hàng. 
Hướng dẫn 
a) 
1 1 1 1
1 1 1 2 6 3
11 1 12 6 3
32 6 3
xx
x
xx
 =− =  − = ⇔ ⇔ − = − = − 
Vậy 11;
3
x
 − 
∈ 

b) ( )
2 2
22
2 2
4 3 8 4 8 3
4 3 8
4 3 8 4 8 3
 − = = +
− = ⇔ ⇔ 
− = − = − +  
x x
x
x x
2
2
8 38 3
44
8 3 8 3
4 4
xx
x x
 ++  = ±=
 ⇔  − + − += = ± 
c) Đồ thị hàm số 1
2
y x= − là đường thẳng đi qua hai điểm ( )0;0O và ( )2; 1A − 
ta có 
Từ đồ thị ta thấy điểm ;A C thuộc đồ thị hàm số 1
2
y x= − và điểm B không thuộc đồ thị 
hàm số trên nên ; ;A B C không thẳng hàng 
Bài 3. (1,5 điểm) Có ba máy bơm cùng bơm nước vào ba bể có thể tích bằng nhau (lúc đầu 
các bể đều không có nước). Mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ ba bơm được lần 
lượt là 6 3m , 10 3m , 39 m . Thời gian bơm đầy bể của máy thứ hai ít hơn máy thứ nhất là 2 
giờ. Tính thời gian của từng máy để bơm đầy bể? 
x
y
y=
1
2
 x
A
1
-2
-1
2O 1
C
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
Hướng dẫn 
Gọi thời gian của máy bơm thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ ba chảy đầy bể lần lượt là 
( ); ; , , 0>x y z x y z 
Mỗi giờ máy thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ ba bơm được lần lượt là 6 3m , 10 3m , 39 m 
nên thể tích của bể là 6 10 9= =x y z và 2− =x y 
Ta có: 
6 10 96 10 9
90 90 90 15 9 10
= = ⇒ = = ⇒ = =
x y z x y zx y z 
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: 
2 1
15 9 10 15 9 6 3
−
= = = = =
−
x y z x y
1 5
15 3
⇒ = ⇒ =
x x 
1 3
9 3
⇒ = ⇒ =
y y 
1 10
10 3 3
⇒ = ⇒ =
z z 
 Vậy thời gian của máy bơm thứ nhất, máy thứ hai, máy thứ ba chảy đầy bể lần lượt 
là 5 giờ, 3 giờ và 10
3
 giờ. 
Bài 4. (3,5 điểm) Cho tam giác ABC có AB AC< , tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại 
I . Trên cạnh AC lấy điểm D sao cho AD AB= . 
a) Chứng minh rằng: BI ID= 
b) Tia DI cắt tia AB tại E . Chứng minh rằng: IBE IDC∆ = ∆ 
c) Chứng minh: //BD EC 
d) Cho 2ABC ACB= . Chứng minh AB BI AC+ = . 
Hướng dẫn 
a) Xét ABI∆ và ADI∆ có 
 AB AD= (gt) 
 BAI DAI= (gt) 
 AI cạnh chung 
Suy ra ABI ADI∆ = ∆ (c-g-c) 
Suy ra BI ID= (Hai cạnh tương ứng) 
b) ABI ADI∆ = ∆ (cmt) suy ra ABI ADI= (hai góc tương ứng) 
Mà 180ABI IBE+ = ° (hai góc kề bù) 
 180ADI IDC+ = ° (hai góc kề bù) 
Suy ra EBI CDI= . 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
Xét EBI∆ và CDI∆ có 
 EBI CDI= (cmt) 
 BI ID= (cmt) 
 BIE DIC= (hai góc đối đỉnh) 
Suy ra EBI CDI∆ = ∆ (g-c-g) 
c) EBI CDI∆ = ∆ . Suy ra BI ID= và IE IC= (hai cạnh tương ứng). 
Suy ra BID∆ cân ở I 
 180
2
BIDDBI ° −⇒ = . 
IEC∆ cân ở 
 180
2
EICI IEC ° −⇒ = 
Mà BID EIC= (hai góc đối đỉnh) 
Suy ra DBI IEC= . 
Ma hai góc này nằm ở vị trí so le trong nên //BD EC . 
d) EBI CDI∆ = ∆ (cmt) ICD IEB⇒ = (hai góc tương ứng). Suy ra 2ABC BEI= . 
Mà ABC là góc ngoài tại đỉnh B của tam giác IBE nên ABC BEI BIE= + 
Suy ra BEI BIE= . Do đó EBI∆ cân ở B . Suy ra BI BE= . Mà BE DC= . Suy ra 
.DC BI= 
Ta có AC AD DC AB BI= + = + (đpcm) 
Bài 5. (1 điểm) 
a) Cho các số , , , , ,a b c x y z thỏa mãn 2 2 2 1a b c a b c+ + = + + = và x y z
a b c
= = (các tỉ 
số đều có nghĩa). Chứng minh ( )22 2 2x y z x y z+ + = + + 
b) (dành riêng cho lớp 7A) 
Cho tam giác ABC có 2AB = cm; 4BC = cm và 60ABC = ° . Trên tia đối của 
tia BC lấy điểm D sao cho BD BC= , trên tia đối của tia BA lấy điểm E sao 
cho BE BA= . Tính diện tích tứ giác ACED . 
Hướng dẫn 
a) Đặt ; ; .x y zk x ka y kb z kc
a b c
= = = ⇒ = = = 
Khi đó ta có: 
+ ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2.1x y z ak bk ck k a b c k k+ + = + + = + + = = . Vì ( 1a b c+ + = nên 
( )2 21 1a b c+ + = = . ( )1 
+ ( ) ( ) ( ) ( )2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2. .x y z ak bk ck a k b k c k k a b c k+ + = + + = + + = + + = . Vì 
2 2 2 1a b c+ + = . ( )2 
Từ ( ) ( )1 , 2 suy ra: ( )22 2 2x y z x y z+ + = + + . 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
b) 
Gọi I là trung điểm của BC . Suy ra 1 1 .4 2
2 2
BI BC= = = . Do đó BI AB= . 
Tam giác ABI có AB BI= nên cân tại B . Mà 60ABI = ° (gt) suy ra tam giác 
ABI là tam giác đều. 
Kẻ AH BI⊥ . 
Xét tam giác ABH vuông tại H , theo định lý Pytago ta có 
2 2 2 2 22 1 3AH AB BH= − = − = . Suy ra 3AH = cm. 
Diện tích tam giác ABI là 1 1. 2. 3 3
2 2ABI
S BI AH= = = ( 2cm ) 
2 2 3ABC ABIS S= = (
2cm ). 
2 4 3ACE ABCS S= = (
2cm ). 
2 8 3ACED ACES S= = (
2cm ). 
.......................HẾT.................. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM 
TỔ TOÁN – TIN 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÝ I 
Năm học 2015- 2016 
Môn Toán lớp 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1 (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 
a) 07 1324 . 81 2014 16
9 3
A = + + − − 
b) 
( ) ( )
( )
6 63 3
10 3 3
3 .15 9 . 15
3 .5 .2
B
− + −
=
−
Bài 2 (2 điểm) Tìm các số thực x sao cho: 
 a) ( ) ( )3 5 171 5 2 8 5
5 4 2
x x x− − − = + 
 b) ( )24 7 5 7 4 0x x− − − = 
 c) ( )16 1 9 9 5x x− − − = 
 d) 2 14 4 1040x x− ++ = 
Bài 3 (1,5 điểm) Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể nước có dung tích 355 3m . 
Biết rằng thời gian để bơm được 1 3m nước của ba máy tương ứng là 3 phút, 5 phút, 7 
phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu 3m nước thì đầy bể? 
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( )AB AC> . Tia phân giác góc ACB cắt 
cạnh AB tại D . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE CA= . 
a) Chứng minh rằng: CDA CDE∆ = ∆ và DE BC⊥ 
b) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AC tại C . Qua A vẽ đường thẳng song song với 
CD cắt d tại M . Chứng minh rằng: AM CD= . 
c) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD tại N cắt AC tại K . Chứng minh rằng: 
KE BC⊥ và ba điểm , ,K D E thẳng hàng 
Bài 5 (1 điểm) 
a) Cho 2 4 6 8 99 100
1 1 1 1 1 1...
7 7 7 7 7 7
A = − + − + + − . Chứng minh rằng: 1
50
A < . 
b) Giả sử có 2015 số nguyên dương 1 2 3 2015, , ...a a a a thỏa mãn 
1 2 3 2015
1 1 1 1... 1008
a a a a
+ + + + = . 
Chứng minh rằng có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau 
----------------Hết--------------- 
Chú ý: Bài 5 câu b dành cho lớp 7A, các lớp khác không phải làm 
Học sinh không được phép dùng máy tính. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 (2 điểm) Tính giá trị của biểu thức: 
a) 07 1324 . 81 2014 16
9 3
A = + + − − 
b) 
( ) ( )
( )
6 63 3
10 3 3
3 .15 9 . 15
3 .5 .2
B
− + −
=
−
Lời giải 
a) 07 1324 . 81 2014 16
9 3
A = + + − − 
7 1.18 .9 1 16 14 3 1 16 2.
9 3
= + + − = + + − = 
b) 
( ) ( )
( )
6 63 3
10 3 3
3 .15 9 . 15
3 .5 .2
B
− + −
=
−
( )9 3 3 36 3 3 6 6 6 9 3 12 6
10 3 3 10 3 3 10 3 3
3 .5 1 3 .53 .3 .5 3 .3 .5 3 .5 3 .5 422
3 .5 .2 3 .5 .2 3 .5 .2 3
++ +
= = = = 
Bài 2 (2 điểm) Tìm các số thực x sao cho: 
a) ( ) ( )3 5 171 5 2 8 5
5 4 2
x x x− − − = + 
b) ( )24 7 5 7 4 0x x− − − = 
c) ( )16 1 9 9 5x x− − − = 
d) 2 14 4 1040x x− ++ = 
Lời giải 
a) ( ) ( )3 5 171 5 2 8 5
5 4 2
x x x− − − = + 
3 5 173 10 5
5 2 2
x x x⇔ − − + = +
21 21 1 .
2 10 5
x x⇔ − = − ⇔ = 
 b) ( )24 7 5 7 4 0x x− − − = 
Đặt: ( )7 4 0a x a= − ≥ 
2 05 0 5
aa a a
=⇒ − = ⇔ =
Với 70 7 4 0
4
a x x+ = ⇒ − = ⇔ = 
Với 
17 4 55 27 4 5 3
x xa x x
− = = + = ⇒ ⇔− = −  =
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
Vậy 7 1; ;3
4 2
x  ∈ 
 
c) ( )16 1 9 9 5x x− − − = . Điều kiện: 1x ≥ 
4 1 3 1 5 1 5 1 25 26x x x x x− − − = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ = ( thỏa mãn) 
Vậy 26x = . 
d) 2 14 4 1040x x− ++ = 
2
4 14 .4 1040 4 4 1040
4 16
x
x x  ⇔ + = ⇔ + = 
 
 654 . 1040 4 256 4
16
x x x= ⇔ = ⇔ = 
Bài 3 (1,5 điểm) Ba máy bơm nước cùng bơm nước vào một bể nước có dung tích 355 3m . 
Biết rằng thời gian để bơm được 1 3m nước của ba máy tương ứng là 3 phút, 5 phút, 7 
phút. Hỏi mỗi máy bơm được bao nhiêu 3m nước thì đầy bể? 
Lời giải 
 Gọi , ,x y z lần lượt là số 3m nước mà mỗi máy bơm cần bơm để đầy bể. 
( )3, , 0,x y z m> . 
 Theo đề bài ta có: 3 5 7x y z= = và 355x y z+ + = . 
 3 5 73 5 7
105 105 105 35 21 15
x y z x y zx y z= = ⇒ = = ⇒ = = 
 Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
 355 5
35 21 15 35 21 15 71
x y z x y z+ +
= = = = =
+ +
5 175
35
5 105
21
5 75
15
x x
y y
z z
= ⇒ =
= ⇒ =
= ⇒ =
 Vậy số 3m của ba máy lần lượt là ( ) ( ) ( )3 3 3175 ; 105 ;75m m m . 
Bài 4 (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A ( )AB AC> . Tia phân giác góc ACB cắt 
cạnh AB tại D . Trên cạnh BC lấy điểm E sao cho CE CA= . 
a) Chứng minh rằng: CDA CDE∆ = ∆ và DE BC⊥ 
b) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AC tại C . Qua A vẽ đường thẳng song song với 
CD cắt d tại M . Chứng minh rằng: AM CD= . 
c) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD tại N cắt AC tại K . Chứng minh rằng: 
KE BC⊥ và ba điểm , ,K D E thẳng hàng 
Lời giải 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
a) Chứng minh rằng: CDA CDE∆ = ∆ và DE BC⊥ 
Xét CDA∆ và CDE∆ có: 
AC CE= (gt) 
 ACD ECD= (vì CD là phân giác ACB ) 
CD: cạnh chung 
CDA CDE⇒∆ = ∆ (c.g.c) 
 90CED CAD⇒ = = ° (hai góc tương ứng). 
DE BC⇒ ⊥ . 
b) Vẽ đường thẳng d vuông góc với AC tại C . 
Qua A vẽ đường thẳng song song với CD cắt 
d tại M . Chứng minh rằng: AM CD= . 
 Xét MCA∆ và DAC∆ có: 
 Cạnh AC chung 
 ( )90MCA DAC gt= = ° 
 MAC DCA= (so le trong) 
 Suy ra ( ). .MCA DAC g c g∆ = ∆ 
 AM CD⇒ = (hai cạnh tương ứng). 
c) Qua B vẽ đường thẳng vuông góc với CD tại 
N cắt AC tại K . Chứng minh rằng: 
KE BC⊥ và ba điểm , ,K D E thẳng hàng. 
Xét CKB∆ có: CN là đường cao, đồng thời là phân giác nên CKB∆ cân tại C. 
Suy ra CK CB= và CKB CBK= . 
Mà ( )CDA CDE cmt CA CE∆ = ∆ ⇒ = (hai cạnh tương ứng) 
CK CA CB CE
AK EB
⇒ − = −
⇒ =
K
N
M
E
D
C
A B
K
N
M
E
D
C
A B
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
Xét ABK∆ và EKB∆ có: 
Cạnh BK chung 
AK EB= (cmt) 
 ( )CKB CBK cmt= 
( ) . . 90ABK EKB c g c KAB BEK⇒∆ = ∆ ⇒ = = ° (hai góc tương ứng). 
Suy ra KE BC⊥ (1) 
( ) 90CDA CDE cmt CAD CED∆ = ∆ ⇒ = = ° (hai góc tương ứng) 
DE BC⇒ ⊥ (2) 
Từ (1) và (2) suy ra , ,K D E thẳng hàng. 
Bài 5 (1 điểm) 
a) Cho 2 4 6 8 98 100
1 1 1 1 1 1...
7 7 7 7 7 7
A = − + − + + − . Chứng minh rằng: 1
50
A < . 
b) Giả sử có 2015 số nguyên dương 1 2 3 2015, , ...a a a a thỏa mãn 
1 2 3 2015
1 1 1 1... 1008
a a a a
+ + + + = . 
Chứng minh rằng có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau. 
Lời giải 
 a) Cho 2 4 6 8 98 100
1 1 1 1 1 1...
7 7 7 7 7 7
A = − + − + + − 
 2 2 4 6 96 98
1 1 1 1 17 1 ...
7 7 7 7 7
A = − + − + + − 
 Cộng vế theo vế đẳng thức trên ta có: 
 100 100
1 1 1 1 150 1 .
7 50 50 7 50
A A= − ⇒ = − < . 
 b) Không mất tính tổng quát. Giả sử 1 2 3 2015...a a a a< < < < . 
 Suy ra: 
1 2 2015
1 2 2015
1; 2;....; 2015
1 1 1 1 1... 1 ...
2 2015
a a a
A
a a a
≥ ≥ ≥
⇒ = + + + ≤ + + +
1 1 1 2016... 1008
2 2 2 2
A⇒ < + + + = = (trái giả thiết) 
 Vậy có ít nhất 2 trong 2015 số nguyên dương đã cho bằng nhau. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM 
TỔ TOÁN – TIN 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÝ I 
Năm học 2011- 2012 
Môn Toán lớp 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1 (2 điểm) Tính 
c) 1 1 1 1 1 1 1 1. . . .
2 3 3 4 4 5 5 6
A = + + +
− − − −
d) 
5 4
6 5
5.7 7
7 .10 2.7
B − +=
−
Bài 2 (2,5 điểm) Tìm x biết: 
 a) 2 3 7
3 4 12
x x x x   + − − =   
   
 b) 2 1 2x x+ = + 
 c) ( ) ( )5 20122 1 2 1x x+ = + 
Bài 3 (1,5 điểm) Hai ô tô cùng phải đi từ A đến B. Biết vận tốc xe thứ nhất bằng 60% vận 
tốc xe thứ hai và thời gian xe thứ nhất đi AB nhiều hơn thời gian xe thứ hai đi là 3 
giờ. Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B. 
Bài 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC ( )AB AC> , Từ trung điểm M của BC , vẽ một đường 
thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A , đường thẳng này cắt tia ,AB AC lần 
lượt tại E và F . Qua C kẻ ( )//CK AB K EF∈ 
d) Chứng minh: CK BE= 
e) Chứng minh: BE CF= và 
2
AB ACAE += 
f) Chứng minh: 
2
ACB BBME −= 
Bài 5 (1 điểm) 
Tìm , ,x y z R∈ thỏa mãn 3 3 9 5 15
19 114 115
x y y z z x+ + +
= = và 2 31x y z+ + = − . 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1: (2 điểm) Tính 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1. . . .
2 3 3 4 4 5 5 6
A = + + +
− − − −
b) 
5 4
6 5
5.7 7
7 .10 2.7
B − +=
−
Hướng dẫn 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. . . . . .
2 3 3 4 4 5 5 6 3 2 4 5 4 6
A −    = + + + = + − +   − − − −    
1 3 1 5 1 1 4 1. .
3 4 5 12 4 12 12 3
− −
= − − = − = − = 
b) ( )
( )
45 4
6 5 5
7 . 5.7 15.7 7 34 1
7 .10 2.7 2.7 . 7.5 1 2.34 2
− +− + − −
= = =
− −
Bài 2: (2,5 điểm) Tìm x biết: 
 a) 2 3 7
3 4 12
x x x x   + − − =   
   
 b) 2 1 2x x+ = + 
 c) ( ) ( )5 20122 1 2 1x x+ = + 
Hướng dẫn 
a) 2 3 7
3 4 12
x x x x   + − − =   
   
2 22 3 7
3 4 12
x xx x⇔ + − + = 
2 3 7 17 7 7. .
3 4 12 12 12 17
x x x ⇔ + = ⇔ = ⇔ = 
 
b) 2 1 2x x+ = + 
2 2
2 0
1 4 4
x
x x x
+ ≥
⇔ 
+ = + +
22 3
34 3 4
4
xx
x
x x
≥ −≥ − −⇔ ⇔ ⇔ = = − = − 
c) ( ) ( )5 20122 1 2 1x x+ = + 
02 1 1
12 1 0
2
xx
x x
=+ = ⇔ + = = − 
Bài 3: (1,5 điểm) Hai ô tô cùng phải đi từ A đến B. Biết vận tốc xe thứ nhất bằng 60% vận 
tốc xe thứ hai và thời gian xe thứ nhất đi AB nhiều hơn thời gian xe thứ hai đi là 3 giờ. 
Tính thời gian mỗi xe đi từ A đến B. 
Hướng dẫn 
Gọi vận tốc xe thứ hai là ( )/ ; 0a km h a > 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 19 
Vận tốc xe thứ nhất là ( )3 . /
5
a km h 
Gọi thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là ( ); 0b h b > 
Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là 3b − . 
Vì quãng đường là như nhau nên thời gian và vận tốc là hai đại lượng tỉ lệ nghịch. 
5
3 3 3.
5
a b
ba
⇒ = =
−
( )33 3
5 3 5 3 2
b bb b − −−
⇒ = = =
−
(tc dãy tỉ số bằng nhau) 
3.5 15
2 2
b⇒ = = 
15 93 3
2 2
b − = − = 
Vậy thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là: 15
2
h 
Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là 9
2
h 
Bài 4: (3 điểm) Cho tam giác ABC ( )AB AC> , Từ trung điểm M của BC , vẽ một đường 
thẳng vuông góc với tia phân giác của góc A , đường thẳng này cắt tia ,AB AC lần lượt tại 
E và F . Qua C kẻ ( )//CK AB K EF∈ 
a) Chứng minh: CK BE= 
b) Chứng minh: BE CF= và 
2
AB ACAE += 
c) Chứng minh: 
 
2
ACB BBME −= 
Hướng dẫn 
K
G
E
F
MC B
A
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 20 
a) Xét CMK∆ và BME∆ có: CMK BME= (đối đỉnh) 
MC MB= ( M là trung điểm BC ) 
 KCM EBM= (so le trong do CK // AB ) 
CMK BME⇒∆ = ∆ (g.c.g) CK BE⇒ = 
b) Xét AEF∆ có: FAM EAM= ( AM là phân giác A ) 
AM EF⊥ tại M 
FAE⇒∆ cân tại A AFE AEF⇒ = (1) 
Ta có: CK // AB GKM AEK⇒ = (slt) (2) 
Mà GKM CKF= (đối đỉnh) (3) 
Từ (1), (2) , (3) AFK CKF⇒ = 
CFK⇒∆ cân tại C CF CK⇒ = 
Mà CK BE= ( câu a) BE CF⇒ = . 
*) Ta có: ( )AE AF AB BE AC CF AB AC BE CF+ = − + + = + = 
2AE AB AC⇒ = +
2
AB ACAE +⇒ = 
c) Ta có: ( ) 2ACB CFM CMF AEM BME BME B BME BME B= + = + = + + = + 
 
2
ACB BBME −⇒ = (đpcm) 
Bài 5: (1 điểm) 
Tìm , ,x y z R∈ thỏa mãn 3 3 9 5 15
19 114 115
x y y z z x+ + +
= = và 2 31x y z+ + = − . 
Hướng dẫn 
Ta có: 3 3 9 5 15
19 114 115
x y y z z x+ + +
= = 
Hay 3 3 3
19 38 23
x y y z z x+ + +
= = 
2 31x y z+ + = − 31x y z z⇒ + + = − − 
ADTCDTSBN ta có: 
3 3 3
19 38 23
x y y z z x+ + +
= =
( )43 3 3
19 38 23 80 20
x y zx y y z z x x y z+ ++ + + + + + +
= = =
+ +
31
20
z− −
= 
Có: 3 31 1178 9820 60 31.38 38
38 20 20
y z z zy z z y+ − − − −= ⇒ + = − − ⇒ = 
3 31 713 4320 60 31.23 23
23 20 60
z x z zz x z x+ − − − −= ⇒ + = − − ⇒ = 
Thay 713 43 1178 98;
60 20
z zx y− − − −= = vào 2 31x y z+ + = − 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 21 
Ta có: 713 43 1178 98 2 31
60 20
z z z− − − −+ + = − 
713 43 3534 294 120 1860z z z− − − − + = − 
217 2387z− = 
11z = − 
Có: ( )31 113 1 5
38 20
y z y
− − −+
= = − ⇒ = − 
( )31 113 1 4
23 20
z x x
− − −+
= = − ⇒ = − 
Vậy 4; 5; 11x y z= − = − = − 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 22 
TRƯỜNG THPT CHUYÊN HÀ NỘI – AMSTERDAM 
TỔ TOÁN – TIN 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÝ I 
Năm học 2010- 2011 
Môn Toán lớp 7 
Thời gian làm bài: 120 phút 
Bài 1 (2 điểm) Tính 
e) 2 3 13 14
1 1 1 1 1...
2 2 2 2 2
A = + + + + + 
f) 
1 217 12 0,25. 324 : 0,49
3 3
1 11 1
2 5
B
 − − 
 =
−
Bài 2 (2 điểm) Tìm x biết: 
 a) 
43 16
4 81
x + = 
 
 b) ( ) ( )2012 20107 3 3 7x x− = − 
 c) 3 2 1x x− − = d) 
2 1 2 2 1 2 24 4 4 3 3 3
21 31
x x x x x x+ + + ++ + + +
= 
Bài 3 (1,5 điểm) Người ta xây ba bể nước hình lập phương, có các cạnh tỉ lệ nghịch với 5; 
6; 10. Biết tổng thể tích ba bể là 46000 lít nước. Tìm số đo một cạnh của mỗi bể nước. 
Bài 4 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( )AB AC< , điểm M là trung điểm của BC . Kẻ tia 
//Ax BM , trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD BM= ( M và D khác phía đối với AB ). 
Gọi I là trung điểm của AB . 
g) Chứng minh: AID BIM∆ = ∆ 
h) Chứng minh: ; //AIM BID AM BD∆ = ∆ 
i) Đường trug trực của BC cắt AC tại E , tia BE cắt đường thẳng Ax tại F . Chứng 
minh rằng BF AC= . 
j) Hai đường thẳng AB và FC cắt nhau ở O . Chứng minh ba điểm , ,O E M thẳng 
hàng. 
Bài 5 (0,5 điểm) 
Cho các số , ,a b c đôi một khác nhau và khác 0, thỏa mãn: a b b c c a
c a b
+ + +
= = . 
Hãy tính giá trị biểu thức 1 1 1a b cP
b c a
   = + + +   
   
Yêu cầu: Học sinh không được sử dụng máy tính. 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 23 
HƯỚNG DẪN 
Bài 1 (2 điểm) Tính 
a) 2 3 13 14
1 1 1 1 1...
2 2 2 2 2
A = + + + + + 
b) 
1 217 12 0,25. 324 : 0,49
3 3
1 11 1
2 5
B
 − − 
 =
−
Hướng dẫn
 a) 2 3 13 14
1 1 1 1 1...
2 2 2 2 2
A = + + + + + 
2 12 13
1 1 1 12 1 ...
2 2 2 2
A⇒ = + + + + +
14
14 14
1 2 1 163832 1
2 2 16384
A A A −⇒ − = − ⇒ = = 
b) 
1 2 52 38 1 717 12 0,25. 324 : 0,49 .18 :
3 3 3 3 4 10
1 1 31 1
2 5 10
B
   − − − −   
   = =
−
52 38 9 7 52 76 27 7 52 49 10: : .3 3 2 10 3 6 10 3 6 7
3 3 3
10 10 10
−   − − − −   
   = = = 
52 35 17
1703 3 3
3 3 9
10 10
−
= = = 
Bài 2 (2 điểm) Tìm x biết: 
 a) 
43 16
4 81
x + = 
 
 b) ( ) ( )2012 20107 3 3 7x x− = − 
 c) 3 2 1x x− − = d) 
2 1 2 2 1 2 24 4 4 3 3 3
21 31
x x x x x x+ + + ++ + + +
= 
Hướng dẫn
a) 
4 4 4
3 2 1
3 16 3 2 4 3 12
3 2 174 81 4 3
4 3 12
x x
x x
x x
 + = = −      + = ⇔ + = ⇔ ⇔             + = − = − 

b) Ta có: 
 ( ) ( ) ( ) ( )2012 2010 2012 20107 3 3 7 7 3 7 3x x x x− = − ⇔ − = −
77 3 1 7 4
4
x x x⇔ − = ⇔ = ⇔ = 
Liên hệ tài liệu word toán SĐT và zalo: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 24 
c) Ta có: 
3 2 1 3 2 1x x x x− − = ⇔ − = +
Khi 3 3 2 1 4( )x x x x l≥ ⇒ − = + ⇔ = − 
2Khi 3 3 2 1 3 2 ( )
3
x x x x x n< ⇒ − = − − ⇔ = ⇔ = 
Vậy 2
3
x = 
d) Ta có: 
2 1 2 2 1 2 34 4 4 3 3 3
21 31
x x x x x x+ + + ++ + + +
=
 ( ) ( )24 16 4 1 3 1 3 27
21 31
x x+ + + +
⇔ = 
24 3 4 9 0x x x x x= ⇔ = ⇔ = 
Bài 1 (1,5 điểm) Người ta xây ba bể nước hình lập phương, có các cạnh tỉ lệ nghịch với 5; 
6; 10. Biết tổng thể tích ba bể là 46000 lít nước. Tìm số đo một cạnh của mỗi bể nước. 
Hướng dẫn
 Gọi ba cạnh của mỗi bể nước lần lượt là: , ,a b c 
Do , ,a b c tỉ lệ nghịch với 5; 6; 10.nên 5 6 10
6 5 3
a b ca b c k= = ⇔ = = = 
3 3 3 3 3 3
3 46000 125 5
216 125 27 368 368
a b c a b ck k+ += = = = = = ⇒ =
 6.5 30; 5.5 25; 3.5 15a b c⇒ = = = = = = 
Vậy số đo mỗi cạnh của mỗi bể nước là: 30;25;15 
Bài 2 (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( )AB AC< , điểm M là trung điểm của 
BC . Kẻ tia //Ax BM , trên tia Ax lấy điểm D sao cho AD BM= ( M và D khác phía 
đối với AB ). Gọi I là trung điểm của AB . 
Hướng dẫn
a) Chứng minh: AID BIM∆ = ∆ 
Xét AID∆ và ,BIM∆ ta có: 
AD BM= (gt) ; 
  1 1A B=