Giáo trình Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán hình học Lớp 8 (tập 2)

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HÌNH HỌC 
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN 8 TẬP 2 
Sưu Tầm 
Website: tailieumontoan.com 
HÌNH HỌC – TẬP 2 
CHUYÊN ĐỀ 3. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ................................................................................................ 4 
CHỦ ĐỀ 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT ................................................................................................................. 4 
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng .......... 4 
Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng.................................. 5 
Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước ........................................................ 6 
CHỦ ĐỀ 2. ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET ..................................................... 9 
Dạng 1. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song ................................. 9 
Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, các 
đoạn thẳng bằng nhau ............................................................................................................................. 10 
Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song ............................... 10 
CHỦ ĐỀ 3. TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC CỦA MỘT TAM GIÁC ............................................ 15 
Dạng 1. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính độ dài đoạn thẳng ............................ 15 
Dạng 2. Sử dụng tính chất đường phân giác của tam giác để tính tỉ số, chứng minh các hệ thức, các 
đoạn thẳng bằng nhau, các đường thẳng song song ............................................................................... 15 
CHỦ ĐỀ 4. KHÁI NIỆM HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG ..................................................................... 21 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ........................................................................................ 21 
Dạng 2. Tính độ dài cạnh, tỉ số đồng dạng thông qua các tam giác đồng dạng ..................................... 21 
Dạng 3. Chứng minh đẳng thức cạnh thông qua các tam giác đồng dạng ............................................. 21 
CHỦ ĐỀ 5. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ NHẤT ........................................................................ 26 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ........................................................................................ 26 
Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng thứ nhất để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc 
bằng nhau ................................................................................................................................................ 26 
CHỦ ĐỀ 6. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ HAI ............................................................................ 29 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ........................................................................................ 29 
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ hai để tính độ dài các cạnh hoặc chứng minh các góc 
bằng nhau ................................................................................................................................................ 29 
CHỦ ĐỀ 7. TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG THỨ BA .............................................................................. 33 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác đồng dạng ........................................................................................ 33 
Dạng 2. Sử dụng các trường hợp đồng dạng thứ ba để tính độ dài các cạnh, chứng minh hệ thức cạnh 
hoặc chứng minh các góc bằng nhau ...................................................................................................... 33 
CHỦ ĐỀ 8. CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VUÔNG ...................................... 37 
Dạng 1. Chứng minh hai tam giác vuông đồng dạng ............................................................................. 37 
Dạng 2. Sử dụng trường hợp đồng dạng của tam giác vuông để giải toán ............................................. 37 
ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ3............................................................................................................................. 43 
ĐỀ KIỂM TRA CHUYÊN ĐỀ 3 ................................................................................................................ 45 
1 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
ĐỀ SỐ 1 .................................................................................................................................................. 45 
ĐỀ SỐ 2 .................................................................................................................................................. 48 
CHUYÊN ĐỀ 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG, HỈNH CHÓP ĐỀU ............................................................ 51 
CHỦ ĐỀ 1. HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ........................................................................................................ 51 
Dạng 1. Nhận biết vị trí tương đối của hai đường thẳng, của đường thẳng với mặt phẳng và của, hai 
mặt phẳng của hình hộp chữ nhật ........................................................................................................... 51 
Dạng 2. Nhận biết các đỉnh, các cạnh và các mặt của hình hộp chữ nhật .............................................. 52 
Dạng 3. Tính độ dài các đoạn thẳng ....................................................................................................... 53 
Dạng 4. Tính toán các số liệu liên quan đến cạnh, mặt của hình hộp chữ nhật ...................................... 53 
CHỦ ĐỀ 2. THÊ TÍCH CỦA HÌNH HỘP CHỮ NHẬT ........................................................................... 56 
Dạng 1. Nhận biết quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trong hình hộp chữ nhật ........ 56 
Dạng 2. Tính toán thể tích và các số liệu liên quan đến cạnh và mặt của hình hộp chữ nhật ................ 57 
CHỦ ĐỀ 3. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG .................................................................................................... 60 
Dạng 1. Nhận biết hình lăng trụ đứng .................................................................................................... 60 
Dạng 2. Xác định các đỉnh, các cạnh, các mặt và mối quan hệ giữa các cạnh với nhau giữa các mặt với 
nhau của hình lăng trụ đứng ................................................................................................................... 60 
Dạng 3. Tính độ dài các cạnh và các đoạn thẳng khác trong hình lăng trụ đứng ................................... 61 
CHỦ ĐỀ 4. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THỂ TÍCH HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG ......................... 63 
Dạng 1. Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích lăng trụ đứng ................................ 63 
Dạng 2. Lắp ghép một số lăng trụ đơn giản và tính toán các dữ liệu của lăng trụ đứng. ....................... 63 
Dạng 3. Một số bài toán thực tế trong cuộc sống liên quan đến lăng trụ đứng ...................................... 64 
CHỦ ĐỀ 5. HÌNH CHÓP ĐỂU VÀ HÌNH CHÓP CỤT ĐỂU .................................................................. 68 
Dạng 1. Nhận biết các kiến thức cơ bản hình chóp đều ......................................................................... 68 
Dạng 2. Tính độ dài các cạnh, góc của hình chóp đều ........................................................................... 69 
CHỦ ĐỀ 6. DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ THÊ TÍCH CỦA HÌNH CHÓP ĐỂU .............................. 72 
Dạng 1. Các bài toán vê diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể hình chóp đều. ................... 72 
Dạng 2. Các bài toán cơ bản về mối quan hệ giữa hình lập phương, hình hộp chữ nhật với hình chóp 
đều và các bài toán thực tế. ..................................................................................................................... 72 
ÔN TẬP CHUYÊN ĐỀ 4............................................................................................................................ 76 
Dạng 1. Các bài toán về diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của .............................. 76 
Dạng 2. Các bài toán thực tế liên quan đến các khối hình ..................................................................... 76 
ĐỂ KIÊM TRA CHUYÊN ĐỀ 4 ................................................................................................................ 80 
ĐỀ SỐ 1 .................................................................................................................................................. 80 
ĐỀ SỐ 2 .................................................................................................................................................. 82 
ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II ......................................................................................................................... 84 
ĐỀ SỐ 1 .................................................................................................................................................. 84 
2 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
ĐỀ SỐ 2 .................................................................................................................................................. 87 
3 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
PHẦN B. HÌNH HỌC 
CHUYÊN ĐỀ 3. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
CHỦ ĐỀ 1. ĐỊNH LÝ TA – LÉT 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
1. Đoạn thẳng tỉ lệ 
Hai đoạn thẳng AB và CD gọi là tỉ lệ với hai đoạn thẳng A'B' và C 'D' nếu 
AB A'B '
CD C 'D'
= (hoặc 
AB CD
A'B ' C 'D '
= ). 
2. Định lý Ta – lét 
Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì đường thẳng định ra 
trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. 
GT 
ABC∆ : DE BC 
( )D AB,E AC∈ ∈ 
KL 
AD AE
AB AC
AD AE
DB EC
DB EC
AB AC
=
=
=
ED
CB
A
Chú ý: Định lý Ta – lét vẫn đúng trong trường hợp đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt 
phần kéo dài của hai cạnh còn lại. 
a E
D
CB
A
aE D
CB
A
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Chứng minh đoạn thẳng tỉ lệ, tính độ dài đoạn thẳng hoặc tính tỉ số của hai đoạn thẳng 
Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa đoạn thẳng tỉ lệ và các tính chất của tỉ lệ thức. 
1A. Trên tia Ax lấy các điểm B, C, D theo thứ tự đó sao cho: AB 2cm,BC 4cm= = và CD 8cm= . 
a) Tính các tỉ số 
AB
BC
 và 
BC
CD
 . 
b) Chứng minh 2BC AB.CD.= 
4 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
1B. Trên đường thẳng d lấy 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó sao cho AB 3
BC 5
= và 
BC 5
CD 6
= . 
a) Tính tỉ số 
AB
CD
. 
b) Cho biết AD 28cm= . Tính độ dài các đoạn thẳng AB, BC và CD. 
2A. Cho tam giác ABC và các điểm D, E lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho AD AE
AB AC
= . 
a) Chứng minh 
AD AE
BD EC
= . 
b) Cho biết AD 2cm,BD 1cm= = và AE 4cm= . Tính AC. 
2B. Cho hình vẽ bên: 
Biết 
BD CE
AB AC
= 
a) Chứng minh 
AD AE
AB AC
= 
b) Cho biết AD=2cm, BD=1cm và 
AC 4cm= . Tính EC.
ED
CB
A
Dạng 2. Sử dụng định lý Ta – lét để tính tỉ số đoạn thẳng, tính độ dài đoạn thẳng 
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước: 
Bước 1. Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét . 
Bước 2. Sử dụng độ dài đoạn thẳng đã có và vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức để tìm độ dài đoạn thẳng 
cần tính. 
3A. Cho tam giác ACE có AC 11cm.= Lấy điểm B trên cạnh AC sao cho BC 6cm= . Lấy điểm D trên 
cạnh AE sao cho DB EC . Giả sử AE ED 25,5cm+ = . Hãy tính: 
a) Tỉ số 
DE
;
AE
b) Độ dài các đoạn thẳng AE,DE và AD. 
3B. Cho tam giác ABC có AB 11cm.= Lấy điểm D trên cạnh AB sao cho AD 4cm.= Lấy điểm E trên 
cạnh AC sao cho DE BC . Giả sử EC AE 1,5cm− = . Hãy tính: 
a) Tỉ số 
AE
;
EC
b) Độ dài các đoạn thẳng AE,EC và AC. 
4A. Cho tam giác ABC và điểm D trên cạnh BC sao cho BD 3
BC 4
= , điểm E trên đoạn AD sao cho 
AE 1
AD 3
= . 
Gọi K là giao điểm của BE và AC. Tính tỉ số 
AK
KC
. 
4B. Cho hình bình hành ABCD có điểm G thuộc cạnh CD sao cho 1DG DC.
4
= Gọi E là giao điểm của AG 
và BD. Tính tỉ số 
DE
DB
. 
5 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét để chứng minh hệ thức cho trước 
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước: 
Bước 1: Xác định các cặp đoạn thẳng tỉ lệ có được nhờ định lý Ta – lét. 
Bước 2: Vận dụng các tính chất của tỉ lệ thức và các kiến thức cần thiết khác để chứng minh được hệ thức đề 
bài yêu cầu. 
5A. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD. Một đường thẳng song song với AB cắt các cạnh bên 
AD, BC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh 
ED BF
1.
AD BC
+ = 
5B. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, các đường chéo cắt nhau tại O. Chứng minh 
OA.OD OB.OC.= 
6A. Cho tam giác ABC có AM là trung tuyến và điểm E thuộc đoạn thẳng MC. Qua E kẻ đường thẳng song 
song với AC, cắt AB ở D và cắt AM ở K. Qua E kẻ đường thẳng song song với AB, cắt AC ở F. Chứng 
minh CF DK.= 
6B. Cho tam giác ABC nhọn, M là trung điểm của BC và H là trực tâm. Đường thẳng qua H và vuông góc 
với MH cắt AB và AC theo thứ tự ở I và K. Qua C kẻ đường thẳng song song với IK, cắt AH và AB theo 
thứ tự ở N và D. Chứng minh: 
a) NC ND= . b) HI HK.= 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
7. Cho đoạn thẳng AB 42cm= và điểm C thuộc đoạn thẳng đó sao cho 
CA 2
.
CB 5
= Tính độ dài các đoạn 
CA, CB và khoảng cách từ C đến trung điểm O của AB. 
8. Cho tam giác ABC, điểm M bất kỳ trên cạnh AB. Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt AC ở N. 
Biết AM 11cm,MB 8cm,AC 38cm.= = = Tính độ dài các đoạn AN, NC. 
9. Cho xAy , trên tia Ax lấy hai điểm D và E, trên tia Ay lấy hai điểm F và G sao cho FD EG. Đường 
thẳng kẻ qua G song song với FE cắt tia Ax ở H. Chứng minh 2AE AD.AH.= 
10. Cho hình bình hành ABCD. Gọi E là một điểm bất kỳ trên cạnh AB. Qua E kẻ đường thẳng song song 
với AC cắt BC ở F và kẻ đường thẳng song song với BD cắt AD ở H. Đường thẳng kẻ qua F song song với 
BD cắt CD ở G. Chứng minh AH.CD AD.CG.= 
HƯỚNG DẪN 
1A. a) Ta có 1
2
AB
BC
= và 1
2
BC
CD
= 
b) Ta có 2 2. 16BC AB CD cm= = 
1B. a) Ta có 1
2
AB
CD
= 
b) Ta tính được 6 , 10AB cm BC cm= = và 12CD cm= 
2A. a) Theo tính chất của tỉ lệ thức, ta có: AD AE
AB AC
= 
AD AE
AB AD AC AE
⇒ =
− −
AD AF
BD EC
⇒ = (ĐPCM) 
6 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
b) Ta có AD AE
BD EC
= . Thay số ta tính được 2EC cm= 
Từ đó tìm được 6AC cm= 
2B. Tương tự 2A 
a) HS tự làm b) Tìm được 4
3
EC cm= 
3A. a) Theo định lý Ta-lét trong ACE∆ , ta có: 
6
11
DE BC DE
AE AC AE
= ⇒ = . 
b) Cách 1. Theo tính chất của tỉ lệ thức ta có: 
17
11
DE AE
AE
+
= 
Từ đó tính được 16,5 ; 9AE cm DE cm= = và 7,5AD cm= . 
Cách 2. Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau 
Cách 3. Thay 25,5DE AE= − vào 6
11
DE
AE
= 
3B. Tương tự 3A. HS tự làm 
Đáp số: 2 ; 3,5AE cm EC cm= = và 5,5AC cm= 
4A. Kẻ ( )/ /DM BK M AC∈ 
Áp dụng định lý Ta-lét trong CBK∆ , ta có: 
3
4
KM BD KM
KC BC KC
= ⇒ = (1) 
Tương tự với ADM∆ , ta có: 1
2
AK
KM
= (2) 
Từ (1) và (2), tìm được: 
3
8
AK
KC
= 
4B. Chú ý DC AB= nên 1 1
4 5
DG ED DE
AB EB DB
= = ⇒ = 
5A. Ta có: ED FC
AD BC
= nên 1ED BF FC BF
AD BC BC BC
+ = + = 
5B. Vì AB//CD, áp dụng định lý Ta-lét, ta có: OA OB
OC OD
= 
Từ đó suy ra ĐPCM 
6A. Chứng minh được ADEF là hình bình hành, từ đó: 
EF=AD (1) 
Kẻ MG//AC (G ∈ AB), ta được G là trung điểm của AB. 
7 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
Áp dụng định lý Ta-lét trong ABC∆ , ta có: CF AC
EF AB
= (2) 
Tương tự với AGM∆ và ABC∆ , ta có: 
DK MG MG AC
AD AG BG AB
= = = (3) 
Từ (1), (2), (3) ta suy ra CF = DK 
6B. a) Chứng minh được M là trực tâm HNC∆ nên: 
MN HC⊥ , từ đó suy ra / /MN AB hay / /MN DB . Theo 
tính chất đường trung bình ta có N là trung điểm của CD. 
b) Ta có / /IH DN và / /HK NC nên chứng minh được 
HI HK
DN NC
= . Từ đó suy ra HI = HK. 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
7. Tính được 12 , 30 , 9CA cm CB cm CO cm= = = . 
8. Tương tự 2A. Tính được AN = 22cm, NC = 16cm. 
9. Chứng minh được 
AE AD FA
AH AE AG
 = = 
 
Từ đó suy ra ĐPCM 
10. Áp dụng định lý Ta-lét trong các 
,ADB ABC∆ ∆ và BCD∆ ta có: 
AH AE CF CG
AD AB CB CD
= = = 
Từ đó . .AH CD AD CG⇒ = 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
8 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
CHỦ ĐỀ 2. ĐỊNH LÝ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ TA – LET 
I. TÓM TẮT LÝ THUYẾT 
• Định lý Ta – lét đảo: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và định ra trên hai cạnh 
này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác. 
GT 
ABC : D AB,E AC∆ ∈ ∈ 
và 
AD AE
BD EC
= 
KL 
DE BC 
ED
CB
A
• Hệ quả của định lý Ta – lét: Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của một tam giác và song song với 
cạnh còn lại thì tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho. 
GT ( )
ABC : DE BC
D AB,E AC
∆
∈ ∈

KL 
AD AE DE
AB AC BC
= = 
ED
CB
A
• Chú ý: Hệ quả trên vẫn đúng cho trường hợp đường thẳng d song song với một cạnh của tam giác và 
cắt phần kéo dài của hai cạnh còn lại: 
AD AE DE
AB AC BC
= = . 
II. BÀI TẬP VÀ CÁC DẠNG TOÁN 
Dạng 1. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song 
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước 
Bước 1: Xác định cặp đoạn thẳng tỉ lệ trong tam giác 
Bước 2: Sử dụng định lý đảo của định lý Ta – let để chứng minh các đoạn thẳng song song. 
1A. Cho hình thang ABCD ( )AB CD . Gọi trung điểm của các đường chéo AC và BD là M và N. Chứng 
minh: MN, AB và CD song song với nhau. 
9 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
1B. Cho tam giác ABC có điểm M trên cạnh BC sao cho BC 4CM.= Trên cạnh AC lấy điểm N sao cho 
CN 1
.
AN 3
= Chứng minh MN song song với AB. 
Dạng 2. Sử dụng hệ quả của định lý Ta – lét để tính độ dài đoạn thẳng, chứng minh các hệ thức, các 
đoạn thẳng bằng nhau 
Phương pháp giải: Thực hiện theo các bước sau: 
Bước 1: Xét đường thẳng song song với một cạnh của tam giác, sử dụng hệ quả để lập các đoạn thẳng tỉ lệ. 
Bước 2: Sử dụng các tỉ số đã có, cùng với các tính chất của tỉ lệ thức, các tỉ số trung gian (nếu cần) để tính 
độ dài các đoạn thẳng hoặc chứng minh các hệ thức có được từ hệ quả, từ đó suy ra các đoạn thẳng bằng 
nhau. 
2A. Cho tam giác ABC có cạnh BC = m. Trên cạnh AB lấy các điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Từ D, E 
kẻ các đường thẳng song song với BC, cắt cạnh AC theo thứ tự ở M và N. Tính độ dài các đoạn thẳng DM 
và EN theo m. 
2B. Cho hình thang ABCD ( )AB CD,AB CD< . Gọi trung điểm của đường chéo BD là M. Qua M kẻ 
đường thẳng song song với DC cắt AC tại N. Chứng minh: 
a) N là trung điểm của AC; b) 
CD AB
MN
2
−
= . 
3A. Cho tam giác ABC, điểm I nằm trong tam giác, các tia AI, BI, CI cắt các cạnh BC, AC, AB theo thứ tự 
ở D, E, F. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt tia CI tại H và cắt tia BI tại K. Chứng minh: 
a) 
AK HA
;
BD DC
= b) 
AF AE AI
.
BF CE ID
+ = 
3B. Cho tứ giác ABCD có   0B D 90 .= = Gọi M là điểm bất kì trên đường chéo AC. Gọi N và P lần lượt là 
hình chiếu của M trên BC và AD. Chứng minh 
MN MP
1.
AB CD
+ = 
Dạng 3. Sử dụng định lý Ta – lét đảo để chứng minh các đường thẳng song song 
Phương pháp giải: Xét các cặp đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ trong tam giác để chứng minh các đường thẳng 
song song (có thể sử dụng định lý Ta – lét thuận và hệ quả của định lý Ta – lét để có được các cặp đoạn 
thẳng tỉ lệ). 
4A. Cho tam giác ABC, điểm I thuộc cạnh AB, điểm K thuộc cạnh AC. Kẻ IM song song với BK (M thuộc 
AC), kẻ KN song song với CI (N thuộc AB).Chứng minh MN song song với BC. 
4B. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM, điểm I thuộc đoạn AM. Gọi E là giao điểm của BI và AC, F 
là giao điểm của CI và AB. Chứng minh EF song song với BC. 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
5. Cho tam giác AOB có AB 18cm,OA 12cm,OB 9cm.= = = Trên tia đối của tia OB lấy điểm D sao cho 
OD 3cm= . Qua D kẻ đường thẳng song song với AB cắt tia AO ở C. Gọi F là giao điểm của AD và BC. 
Tính: 
a) Độ dài OC, CD; b) Tỉ số 
FD
FA
. 
6. Cho hình thang ABCD có hai đáy là AB và CD, M là trung điểm của AB, O là giao điểm của AD và BC. 
OM cắt CD tại N. Chứng minh N là trung điểm của CD. 
7. Cho tam giác nhọn ABC, hai đường cao BD và CE. Qua D kẻ DF vuông góc với AB (F thuộc AB); qua E 
kẻ EG vuông góc với AC. Chứng minh: 
a) AD.AE AB.AG AC.AF;= = 
b) FG song song với BC. 
10 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
8. Cho hình thang ABCD có hai đáy AB và CD. Gọi M là trung điểm của CD, E là giao điểm của MA và 
BD, F là giao điểm của MB và AC. 
a) Chứng minh EF song song với AB. 
b) Đường thẳng EF cắt AD, BC lần lượt tại H và N. Chứng minh: HE = EF = FN. 
9. (ĐỊnh lý Céva) Trên ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC lấy tương ứng ba điểm P, Q, R. Chứng minh 
nếu AP, BQ, CR đồng quy thì 
PB QC RA
. . 1.
PC QA RB
= 
HƯỚNG DẪN 
1A. Gọi P là trung điểm của AD. Ta chứng minh được NP và 
MP lần lượt là đường trung bình của ABD∆ và ADC∆ nên 
suy ra NP//AB và MP//DC. Mặt khác AB//CD nên ta có P, 
N, M thẳng hàng / / / /MN AB DC⇒ . 
1B. Ta có 14 3
3
CMBC CM BM CM
BM
= ⇒ = ⇒ = 
Kết hợp với giả thiết ta có / /CM CN MN AB
BM AN
= ⇒ 
2A.Áp dụng hệ quả định lý Ta-lét ta có: 
3
DM AD mDM
BC AB
= ⇒ = 
2
3
EN AE EN m
BC AB
= ⇒ = 
2B. a) Gợi ý: Gọi Q là giao điểm của MN với ( )BC Q BC∈ . 
Chứng minh được Q là trung điểm của BC và NQ//AB suy 
ra ĐPCM. 
b) Ta có 1 1,
2 2
MQ DC NQ AB= = 
Vậy 
2
DC ABMN MQ NQ −= − = 
3A. a) / / ;AI AKAK BD
ID BD
⇒ = Từ / / AI AHAH DC
ID DC
⇒ = 
Do đó 
AK AH
BD DC
= 
b) Ta có: (1)AK AH AK AH HK AI
BD DC BD DC BC ID
+
= = = =
+
Ta chứng minh 
11 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
(2); (3)AF AH AE AK
BF BC CE BC
= = 
Từ (1), (2), (3) ta có 
AE AF AI
CE BF ID
+ = (ĐPCM) 
3B.Ta chứng minh được MN//AB, áp dụng hệ quả định lý 
Ta-lét (1)MN MC
AB AC
⇒ = 
Tương tự: / / (2)PM AMPM DC
DC AC
⇒ = 
Lấy (1) + (2) ta được ĐPCM 
4A. Từ IM//BK và KN//IC ta suy ra AI AM
AB AK
= và 
AN AK
AI AC
= . 
Do đó 
AN AM
AB AC
= ⇒ ĐPCM. 
4B. Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt tia CF tại 
H và cắt tia BE tại K. Áp dụng kết quả 
ý a) 3A. và MB = MC ta chứng minh được AH = AK. 
Lại có ;AH AF AK AE
BC FB BC EC
= = 
nên AF AE
FB EC
= ⇒ ĐPCM. 
Cách khác: Áp dụng định lý Xê va (sẽ được chứng minh ở 
bài 9 phần BTVN). Do AM, BE, CF đồng quy tại I. 
. . 1MB EC FA
MC EA FB
⇒ = 
Mà 1MB
MC
= 
/ /FB EC FE BC
FA EA
⇒ = ⇒ 
III. BÀI TẬP VỀ NHÀ 
5. Từ DC//AB, áp dụng hệ quả định lý Ta-let chứng minh 
được: OC = 4cm và DC =6cm. 
b) Áp dụng hệ quả Định lý Ta-lét cho AFB∆ tính được 
12 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
1
3
FD DC
FA AB
= = 
6. Gợi ý: Chứng minh AM MB OM
DN NC ON
 = = 
 
 mà AM = MB 
⇒ DN = NC ⇒ N là trung điểm CD. 
7. Tương tự 4A. 
8. a) Từ AB//DM và AB//MC chứng minh được AE BF
EM FM
= 
⇒ EF//AB. 
b) / / (1)HE EFHF DC HE EF
DM MC
⇒ = ⇒ = 
Tương tự EF = FN (2). Từ (1) và (2) ⇒ HE = EF = FN 
(ĐPCM). 
c) Chứng minh được 
5 5 5
4 5 4 9
AE AE AE
EM AE EM AM
= ⇒ = ⇒ =
+ +
Mà HE AE
DM AM
= ; Từ đó tính được 
10
3
HE cm= suy ra HN = 
10cm. 
9. Qua A kẻ đường thẳng song song với BC cắt BQ và CR 
lần lượt tại N và M. 
Ta chứng minh được: (1);QC BC
AQ AN
= 
(2);RA AM
BR BC
= 
(3)BP AN
CP AM
= 
Từ (1), (2), (3) suy ra . . 1PB QC RA
PC QA RB
= (ĐPCM) 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
13 
Liên hệ tài liệu word toán zalo: 039.373.2038 
Website: tailieumontoan.com 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.............................................................................................................................................................. 
.........................................................................................................................................