Giáo trình Các Chuyên đề chọn lọc Toán Lớp 6 (Tập 2)

Tailieumontoan.com 
 
Sưu tầm 
CÁC CHUYÊN ĐỀ 
 CHỌN LỌC LỚP 6 TẬP 2 
Tài liệu sưu tầm, ngày 24 tháng 8 năm 2020 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
PHẦN SỐ HỌC 
Chương III. PHÂN SỐ 
Chuyên đề 1. MỞ RỘNG KHÁI NIỆM PHÂN SỐ. 
PHÂN SỐ BẰNG NHAU 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Số có dạng a
b
 với a và b là những số nguyên, 0b ≠ gọi là phân số. 
2. Số nguyên a có thể viết là 
1
a . 
3. Hai phân số a
b
 và c
d
 gọi là bằng nhau nếu . .a d b c= 
4. Nếu đổi dấu cả tử và mẫu của một phân số thì ta được một phân số mới bằng phân số đã 
cho. 
a a
b b
−
=
−
; a a
b b
−
=
−
. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cho bốn số -7; 0; 5; 9. Hãy dùng hai trong bốn số này để viết thành phân số. 
Giải. 
Với mỗi cặp hai số khác 0: -7 và 5; -7 và 9; 5 và 9 ta viết được hai phân số: 
7 5 7 9 5 9; ; ; ; ; .
5 7 9 7 9 5
− −
− −
Với mỗi cặp gồm số 0 và một số khác 0, ta viết được một phân số: 
0 0 0; ; .
7 5 9−
Vậy tất cả viết được 9 phân số. 
Nhận xét: 
- Với mỗi cặp hai số nguyên khác 0 ta luôn viết được hai phân số, do đó trước tiên cần 
xác định tất cả các cặp số nguyên khác 0; 
- Vì mẫu phải khác 0 nên khi ghép số 0 với một số nguyên khác 0 ta chỉ viết được một 
phân số với tử là 0. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [1] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Ví dụ 2. Cho phân số 5
3
A
n
=
+
 với n∈ . 
Phân số A bằng bao nhiêu nếu 4n = ; 2n = ; 3n = − ? 
Giải. 
Với 4n = thì 5 5
4 3 7
A = =
+
. 
Với 2n = thì 5 5 1
2 3 5
A = = =
+
. 
Với 3n = − thì 3 3 3 0n + = − + = nên không tồn tại A. 
Nhận xét: 
Chú ý rằng phân số a
b
 tồn tại khi ,a b∈ và 0b ≠ . 
Ví dụ 3. Cho phân số ( )1
2
nB n
n
+
= ∈
−
 . 
a) Tìm điều kiện của số nguyên n để B là phân số. 
b) Tìm các số nguyên n để phân số B có giá trị là số nguyên. 
Giải. 
a) Để B là phân số thì 2 0 2.n hay n− ≠ ≠ 
b) Ta có: ( )2 31 31 .
2 2 2
nnB
n n n
− ++
= = = +
− − −
B là số nguyên nếu ( )3 2n − tức là 
2n − ∈Ư ( ) { }3 3; 1;1;3 .= − − 
Vậy { }1;1;3;5 .n∈ − 
Nhận xét: 
Câu b) có thể giải thích như sau: 
B là số nguyên khi ( ) ( )1 2n n+ − . Suy ra : 
( ) ( ) ( )1 2 2n n n+ − − − do đó ( )3 2n − . Sau đó giải tiếp như trên. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [2] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Ví dụ 4. Tìm các số nguyên x, y, z biết rằng: 14 2 .
6 60 3
x z
y
−
= = =
−
Giải. 
Theo đề bài ta có: 2 2 .
6 3 6 3
x xhay− = =
−
Suy ra .3 6.2x = − . Do đó 6.2 4.
3
x −= = − 
14 2 14 2
3 3
hay
y y
−
= =
−
. Suy ra .2 14.3y = − . 
Do đó 
14.3 21.
2
y −= = − 
Ta lại có 2
60 3
z
= nên .3 60.2z = . Do đó 60.2 40.
3
z = = 
Vậy 4; 21; 40.x y z= − = − = 
Nhận xét: 
Để tìm x và y ta đổi dấu cả tử và mẫu của phân số: 
14 14; .
6 6
x x
y y
− −
= =
− −
Sau đó, theo định nghĩa hai phân số bằng nhau từ a c
b d
= ta có . . .a d b c= 
Suy ra: 
. . . .; ; c ; .b c a d a d b ca b d
d c b a
= = = = 
C. BÀI TẬP 
3.1. Dùng hai trong ba số -4; 0; 7 để viết thành phân số. 
3.2. Viết tập hợp A các số nguyên x, biết rằng: 
144 40
12 5
x− −≤ ≤ 
3.3. Một lớp học có 45 học sinh, trong đó có 22 học sinh nữ. Hỏi số học sinh nữ bằng mấy 
phần số học sinh nam? 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [3] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
3.4. Tìm các số nguyên x, y, z, t biết rằng: 
a) 2 ;
7 56
x
= b) 36 ;
5 45
y
=
−
 c) 42 7 ;
48 z
−
= d) 30 6 .
13t
−
=
−
3.5. Trong các phân số sau, phân số nào có giá trị bằng một số nguyên? 
304 416 3267 1353; ; ; .
4 6 9 11
− − − −
−
3.6. Tìm số nguyên x lớn nhất sao cho: 
a) 800
50
x <
−
; b) 533
41
x −< ; c) 513.
19
x −<
−
3.7. Tìm một phân số có tử nhỏ hơn mẫu nhưng khi “quay 0180 ” theo chiều kim đồng hồ hoặc 
ngược chiều kim đồng hồ, ta được một phân số mới vẫn bằng phân số cũ. 
3.8. Cho năm số -3; 7; 0; 11; -13. Hãy dùng hai trong năm phân số này để viết thành phân số. 
3.9. Cho { }3;7;0M = − . Hãy viết tất cả các phân số a
b
 với ;a b M∈ . 
3.10. Tìm ,x y∈ biết 7
6
x
y
= và 0.x y< < 
3.11. Tìm số nguyên x lớn nhất sao cho: 
a) 0 ;
18
x < b) 14 .
5
x −< 
3.12. Tìm số nguyên x nhỏ nhất sao cho: 
a) 13 ;
14
x −> b) 42 .
14
x −> 
3.13. Tìm số nguyên x, biết rằng 16
4
x
x
= và 0.x < 
3.14. Cho phân số ( )2
3 .
5
nM n
n
−
= ∈
+
a) Chứng tỏ rằng phân số M luôn tồn tại. 
b) Tìm phân số M, biết 0n = ; 2n = ; 5n = − . 
3.15. Tìm tập hợp các số nguyên x để phân số 3
1
x
x
−
−
 có giá trị là số nguyên. 
3.16. Lập các cặp phân số bằng nhau từ bốn số sau: 4; 8; 16; 32.− − − − 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [4] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
3.17. Cho ( )*8 .2 5
na n
n
+
= ∈
−
 Tìm các giá trị của n để a là số nguyên tố. 
3.18. Có tồn tại số tự nhiên n nào để hai phân số: 7 1
4
n − và 5 3
12
n + đồng thời là các số tự 
nhiên? 
3.19. Tìm các số tự nhiên x và y, biết rằng: 
3 3
5 5
x
y
+
=
+
 và 16.x y+ = 
3.20. Tìm ,x y∈ , biết rằng: 
7 7
6 6
x
y
−
=
−
 và 4.x y− = − 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [5] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Chương 2. TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA PHÂN SỐ. 
RÚT GỌN PHÂN SỐ 
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 
1. Tính chất cơ bản của phân số 
* Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì ta được một 
phân số bằng phân số đã cho. 
.
.
a a m
b b m
= với m∈ và 0.m ≠ 
* Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số cho cùng một ước chung của chúng thì ta được 
một phân số bằng phân số đã cho. 
:
:
a a n
b b n
= với n∈ ƯC ( ), .a b 
Chú ý: 
- Ta có thể viết một phân số bất kì có mẫu âm thành phân số bằng nó và có mẫu dương bằng 
cách nhân tử và mẫu của phân số đó với -1. 
- Mỗi phân số có vô số phân số bằng nó. Các phân số bằng nhau là các cách viết khác nhau 
của cùng một số gọi là số hữu tỉ. 
2. Rút gọn phân số 
Muốn rút gọn một phân số, ta chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung (khác 1 và 
-1) của chúng. 
3. Phân số tối giản 
Phân số tối giản là phân số mà tử và mẫu chỉ có ước chung là 1 và -1. 
Chú ý: 
- Nếu chia cả tử và mẫu của phân số cho ƯCLN của chúng, ta sẽ được một phân số tối giản. 
a
b
 là phân số tối giản nếu ƯCLN ( ), 1.a b = 
- Khi rút gọn phân số, ta thường rút gọn phân số đến tối giản. 
- Nếu a
b
 là phân số tối giản thì mọi phân số bằng nó đều có dạng .
.m
a m
b
 với m∈ và 0.m ≠ 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [6] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cho ba phân số 3 1 4; ; .
5 6 7
−
− − −
a) Viết ba phân số bằng các phân số trên và có mẫu là những số dương. 
b) Viết ba phân số bằng các phân số trên và có mẫu là 210. 
Giải. 
a) Theo tính chất cơ bản của phân số ta có: 
( )
( ) ( )
3. 13 3;
5 5 . 1 5
− −
= =
− − −
( )
( ) ( )
1. 11 1;
6 6 . 1 6
− −
= =
− − −
( ) ( )
( ) ( )
4 . 14 4 .
7 7 . 1 7
− −−
= =
− − −
b) 3 3 3.42 126 ;
5 5 5.42 210
− − −
= = =
−
1 1 1.35 35 ;
6 6 6.35 210
− − −
= = =
−
4 4 4.30 120 .
7 7 7.30 210
−
= = =
−
Nhận xét: 
a) Có thể vận dụng định nghĩa phân số bằng nhau để giải. 
Chẳng hạn 3 3
5 5
−
=
−
 vì ( ) ( )3.5 5 . 3 .= − − 
b) Mẫu 210 của ba phân số đã cho chính là BCNN của 5 , 6 , 7− − − . Bài tập này chuẩn 
bị cho chủ đề tiếp theo về quy đồng mẫu nhiều phân số. 
Ví dụ 2. Sử dụng tính chất cơ bản của phân số hãy giải thích vì sao các phân số sau đây 
bằng nhau: 
a) 18 39 ;
30 65
− −
= b) 23 2323.
99 9999
= 
Giải. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [7] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
a) 18 18 : 6 3 39 39 :13 3; .
30 30 : 6 5 65 65 :13 5
− − − − − −
= = = = 
Vậy 18 39 .
30 65
− −
= 
b) 23 23.101 2323.
99 99.101 9999
= = 
Nhận xét: 
Có thể giải thích sự bằng nhau của các cặp phân số đã cho bằng cách sử dụng định 
nghĩa phân số bằng nhau. 
a) ( ) ( ) ( )18 .65 30. 39 1170− = − = − nên 18 39
30 65
− −
= 
b) ( )23.9999 23.99.101 1= 
( )99.2323 99.23.101 2= 
So sánh ( )1 và ( )2 ta có 23.9999 99.2323= suy ra 23 2323.
99 9999
= 
Ví dụ 3. Rút gọn: 
132639
173451
A = ; 16515
20919
B = ; 11.12 22.24 44.48
33.36 66.72 132.144
C + +=
+ +
Giải. 
132639 132639 :10203 13 .
173451 173451:10203 17
A = = = 
16515 16515 :1101 15 .
20919 20919 :1101 19
B = = = 
( )
( )
11.12. 1.1 2.2 4.411.12 22.24 44.48 1.1 1 .
33.36 66.72 132.144 33.36. 1.1 2.2 4.4 3.3 9
C
+ ++ +
= = = =
+ + + +
Nhận xét: 
a) Ta có nhận xét về đặc điểm của các số 132639 và 173451 như sau: 
( )132639 130000 2600 39 13 10000 200 3 13.10203.= + + = + + = 
( )173451 170000 3400 51 17. 10000 200 3 17.10203.= + + = + + = 
Vì thế, để rút gọn A ta chia cả tử và mẫu của nó cho 10203. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [8] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
b) Ta có ( )16515 15000 1500 15 15. 1000 100 1 15.1101.= + + = + + = 
( )20919 19000 1900 19 19. 1000 100 1 19.1101.= + + = + + = 
Vì thế, để rút gọn B ta chia cả tử và mẫu của nó cho 1101. 
c) Ta còn có thể rút gọn C như sau: 
( )
11.12 22.24 44.48 11.12 22.24 44.48 1 .
33.36 66.72 132.144 9 11.12 22.24 44.48 9
C + + + += = =
+ + + +
Ví dụ 4. Chứng tỏ rằng với mọi số nguyên n, phân số dạng 2
2 3
n
n
+
+
 là phân số tối giản. 
Giải. 
Gọi d là ước chung của 2n + và 2 3.n + 
Ta có ( )2n d+  nên ( )2 2n d+  hay ( )2 4 .n d+  
Mặt khác ( )2 3n d+  nên ( ) ( )2 4 2 3 .n n d+ − +  
Tức là 1 d . Vậy 1.d = ± 
Nhận xét: 
Để chứng tỏ một phân số là tối giản ta cần chỉ ra rằng ước chung của tử và mẫu của nó 
là 1 hoặc -1. 
C. BÀI TẬP 
3.21. Chứng tỏ rằng: 
13 1313 131313 13131313.
41 4141 414141 41414141
− − − −
= = = 
3.22. Viết dạng chung của tất cả các phân số bằng 68 .
76
− 
3.23. Viết các phân số bằng các phân số 36 63 143, ,
48 81 156
− − −
−
 và có mẫu là 36. 
3.24. Tìm tất cả các phân số bằng 57
133
− và có mẫu là số tự nhiên nhỏ hơn 30. 
3.25. Rút gọn: 
 4157 19 ;
12471 57
A −=
−
 2 2
7 .
10 6.10
B =
+
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [9] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
3.26. Rút gọn: 
 31995 81 ;
42660 108
A −=
−
 3.5.7.11.13.37 10101.
1212120 40404
B −=
+
3.27. Rút gọn: 
201220122012 ;
201320132013
M = 
1326395265 .
1836547290
N = 
3.28. Rút gọn: 
 9 20 8
24 6
3 .3 .2 ;
3 .243.2
P = 
15 3 6 4
18
2 .5 .2 .3 .
8.2 .81.5
Q = 
3.29. Rút gọn: 
24.315 3.561.8 4.124.6 .
1 3 5 7 ... 97 99 500
T + +=
+ + + + + + −
3.30. Tìm phân số ( ), , 0a a b b
b
∈ ≠ có giá trị bằng 25
35
 biết rằng tích của BCNN ( ),a b với 
ƯCLN ( ),a b bằng 4235. 
3.31. Phân số ( )5 6
8 7
n n
n
+
∈
+
 có thể rút gọn cho những số nào? 
3.32. Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 18 3
21 7
n
n
+
+
 có thể rút gọn được. 
3.33. Cho phân số x
y
 có 316293x y+ = và 51015.y x− = 
a) Hãy xác định phân số đó rồi rút gọn. 
b) Nếu thêm 52 vào tử của phân số trên sau khi đã tối giản thì phải thêm vào mẫu bao 
nhiêu để giá trị của phân số không đổi? 
3.34. a) Cho phân số tối giản ( ), , , 0a a b a b b
b
∈ < ≠ . Chứng tỏ rằng phân số b a
b
− cũng tối 
giản. 
b) Nếu phân số tối giản a
b
 tối giản ( ), ,b 0a b∈ ≠ thì phân số a
a b+
 có tối giản 
không? 
3.35. Cho phân số ( ).
35
a a∈ 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [10] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
a) Tìm số nguyên tố a để phân số trên có thể rút gọn được. 
b) Tìm tập hợp M các số tự nhiên a biết phân số đó là phân số tối giản nhỏ hơn 1. 
3.36. Tìm dạng tối giản của một phân số có tử là 45 và mẫu là BCNN ( )12;18; 75 . 
3.37. Chứng tỏ rằng các phân số sau đây là tối giản: 
a) 12 1 ;
30 2
n
n
+
+
 b) ( )21 4 .
14 3
n n
n
+
∈
+
3.38. Cho phân số ( )9 , 6 .
6
n n n
n
+
∈ >
−
a) Tìm các giá trị của n để phân số có giá trị là số tự nhiên. 
b) Tìm các giá trị của n để phân số là tối giản. 
3.39. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để các phân số sau đây là tối giản: 
7 8 9 31; ; ;...; .
9 10 11 33n n n n+ + + +
3.40. Tìm các phân số theo thứ tự bằng các phân số 6 44 30; ;
10 77 55
 sao cho mẫu của phân số thứ 
nhất bằng tử của phân số thứ hai, mẫu của phân số thứ hai bằng tử của phân số thứ ba. 
Chuyên đề 3. QUY ĐỒNG MẪU NHIỀU PHÂN SỐ. SO SÁNH PHÂN SỐ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Muốn quy đồng mẫu nhiều phân số với mẫu dương ta làm như sau: 
Bước 1: Tìm một bội chung của các mẫu ( thường là BCNN) để làm mẫu chung. 
Bước 2: Tìm thừa số phụ của mỗi mẫu ( bằng cách chia mẫu chung cho từng mẫu). 
Bước 3: Nhân tử và mẫu của mỗi phân số với thừa số phụ tương ứng. 
2. Trong hai phân số có cùng mẫu dương, phân số nào có tử lớn hơn thì phấn số đó lớn hơn. 
3. Muốn so sánh hai phân số không cùng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có cùng 
một mẫu dương rồi so sánh các tử với nhau. Phân số nào có tử lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. 
4. Phân số lớn hơn 0 là phân số dương. Phân số nhỏ hơn 0 là phân số âm. 
5. Hai phân số có mẫu dương, cùng tử dương, phân số nào có mẫu nhỏ hơn thì phân số đó lớn 
hơn. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [11] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Ví dụ 1. Quy đồng mẫu các phân số: 
7 3 13; ; .
14 40 455
− −
− −
Giải. 
Ta có: 7 7 13 13; .
14 14 455 455
− −
= =
− −
Phân tích các mẫu dương ra thừa số nguyên tố ta được: 
14 2.7= 
340 2 .5= 
455 5.7.13= 
BCNN ( ) 314; 40; 455 2 .5.7.13 3640.= = 
Thừa số phụ: 260; 91; 8. 
Vậy: 7 7 7.260 1820
14 14 14.260 3640
− − −
= = =
−
3 3.91 273
40 40.91 3640
− − −
= = 
13 13 13.8 104 .
455 455 455.8 3640
−
= = =
−
Nhận xét: 
Cách giải trên đã thực hiện đúng quy tắc quy đồng mẫu của nhiều phân số. 
Tuy nhiên, cách giải này chưa gọn vì mẫu chung chưa phải là nhỏ nhất mặc dù ta đã lấy 
BCNN của các mẫu làm mẫu chung. 
Ta nhận thấy hai phân số 7
14−
 và 13
455
−
−
 chưa tối giản nên trước hết hãy rút gọn các 
phân số đó: 
7 7 1 13 13 1; .
14 14 2 455 455 35
− − −
= = = =
− −
Xét các phân số 1 3;
2 40
− − và 1
35
 có mẫu chung là 280. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [12] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
1 1.140 140 .
2 2.140 280
− − −
= = 
3 3.7 21.
40 40.7 280
− − −
= = 
1 1.8 8 .
35 35.8 280
= = 
Vậy: 7 140 3 21 13 8; ; .
14 280 40 280 455 280
− − − −
= = =
− −
Ví dụ 2. Tìm số nguyên x, biết rằng 3 3.
25 5
x −
= 
Giải. 
Quy đồng mẫu hai phân số đã cho ta được: 3 15 .
25 25
x −
= 
Suy ra 3 15x − = . Vậy 15 3 18.x = + = 
Nhận xét: 
Có thể giải theo cách khác: 
Từ 3 3
25 5
x −
= ta có ( )3 .5 25.3.x − = 
Suy ra 25.33 15.
5
x − = = 
Vậy 15 3 18.x = + = 
Ví dụ 3. Tìm hai phân số có mẫu số khác nhau, các phân số này lớn hơn 1
3
 nhưng nhỏ hơn 1 .
2
Giải. 
Chọn mẫu chung là 18, ta có: 1 6 1 9; .
3 18 2 18
= = 
Ta có 6 7 8 9
18 18 18 18
< < < 
Rút gọn các phân số này ta được: 1 7 4 1 .
3 18 9 2
< < < 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [13] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Ta tìm được hai phân số 7
18
 và 4
9
 có mẫu khác nhau, lớn hơn 1
3
 nhưng nhỏ hơn 1 .
2
Nhận xét: 
Có nhiều cặp phân số thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Chẳng hạn, chọn mẫu chung là 120, 
ta có: 1 40 1 60; .
3 120 2 120
= = 
Trong các phân số từ 41
120
 đến 59
120
 ta có thể chọn các cặp như: 41
120
 và 42 21
120 60
= hoặc 
44 11
120 30
= và 45 15
120 40
=  đều thỏa mãn bài toán. 
Ví dụ 4. So sánh các phân số sau: 
a) 3
121
 và 6 ;
241
 b) 16 60;
52 115
và 63 ;
175
 c) 31
67
 và 29 .
73
Giải. 
a) Quy đồng tử số ta được: 3 6 .
121 242
= 
Rõ ràng 6 6
242 241
< tức là 3 6 .
121 241
< 
b) Rút gọn các phân số đã cho: 
16 4 60 12 63 9; ; .
52 13 115 23 175 25
= = = 
Quy đồng tử số ba phân số 4 12 9; ; .
13 23 25
4 36 12 36 9 36; ; .
13 117 23 69 25 100
= = = 
Ta có: 36 36 36
117 100 69
< < nên 16 63 60 .
52 175 115
< < 
c) Chọn phân số trung gian là 31
73
 ta có: 
31 31 29
67 73 73
> > do đó 31 29 .
67 73
> 
Nhận xét: 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [14] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
a) Ta so sánh hai phân số này bằng cách quy đồng tử số tức là đưa chúng về những 
phân số có cùng tử. Khi đó phân số nào có mẫu lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. Ttrong trường 
hợp này nếu quy đồng mẫu thì phức tạp hơn nhiều. 
b) Trước hết ta cần rút gọn các phân số. Sau đó do đặc điểm dễ thấy của các tử ta đã 
quy đồng tử để so sánh (các tử là 4; 12; 9 dễ nhận ra BCNN của chúng là 36 để làm tử chung). 
c) Trong câu này, ta đã chọn một phân số trung gian có tử của phân số thứ nhất và mẫu 
của phân số thứ hai để so sánh. Sau đó sử dụng tính chất “bắc cầu” để rút ra kết luận 
,a b b c> > thì .a c> 
C. BÀI TẬP 
3.41. Quy đồng mẫu các phân số: 
a) 7
12
− và 2 ;
9
 b) 8
15
− và 7 ;
12
c) 3 1;
5 3
− và 9 ;
10
 d) 6 2;
75 5
− −
−
 và 3 .
25
3.42. Quy đồng mẫu các phân số: 
a) 27
120
− và 13 ;
40
− b) 14
125
 và 6 ;
25
− 
c) 11 27;
30 60
− và 35 ;
200
 d) 13 7;
60 18
− và 32 .
90
− 
3.43. Quy đồng mẫu các phân số: 
a) 25 17 121; ; ;
75 34 132
−
−
 b) 1078 9764 56272; ; .
2541 36615 263775
−
−
3.44. So sánh các phân số sau: 
a) 45
105
 và 84 ;
147
 b) 39
52
 và 98 ;
112
 c) 137
210
 và 101.
98
3.45. So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 
a) 13
19
 và 47 ;
53
 b) 31
40
 và 186 ;
241
c) 33
131
 và 53 ;
217
 d) 41
91
 và 411.
911
3.46. So sánh các phân số sau: 
a) 9764
36615
− và 56272 ;
263775
− b) 36.85.20
25.84.34
 và 30.63.65.8 ;
117.200.49
c) 46872
165564
 và 688882 .
2422198
3.47. Rút gọn rồi so sánh các phân số sau: 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [15] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
 2489 36 ;
7467 108
A −=
− 
2929 303 .
8787 1717
B −=
+
3.48. Rút gọn rồi so sánh các phân số sau: 
8056
2012.16 1982
A =
−
 ; 1.2.6 2.4.12 4.8.24 7.14.42
1.6.9 2.12.18 4.24.36 7.42.63
B + + +=
+ + +
 . 
3.49. So sánh hai phân số sau: 
a) 371
459
− và 371
459
−
−
 b) 29
73
− và 80
49
− . 
3.50. Viết các phân số bằng 26
65
− sao cho mẫu lớn hơn 2 và nhỏ hơn 21. 
3.51. Tìm số nguyên dương x, biết: 
a) 3 1
x
≥ ; b) 41 2
x
< ≤ ; c) 6 13
3
x
x x
< < . 
3.52. Cho 7;11;13}; b 15;0;41;32}.a∈ ∈{ { 
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của phân số a
b
 . 
3.53. Tìm các giá trị của a∈ để: 
a) phân số dương 2 3
4
a − có giá trị nhỏ nhất. Tìm giá trị nhỏ nhất đố. 
b) phân số dương 5
3 7a −
 có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất đó. 
3.54. a) Tìm các phân số có tử là 3, lớn hơn 1
8
 nhưng nhỏ hơn 1
7
 . 
b) Tìm các phân số có tử là 1000, lớn hơn 1
9
 nhưng nhỏ hơn 1
8
 . Có tất cả bao nhiêu phân số 
như vậy? 
3.55. Cho phân số 2012
99
A
x
=
−
 . Tìm x∈ để: 
a) A có giá trị lớn nhất. 
b) A có giá trị nhỏ nhất. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [16] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
3.56. Tìm phân số a
b
 biết rằng nếu thêm 6 vào tử số và thêm 21 vào mẫu của nó thì giá trị của 
phân số a
b
 không đổi. Có bao nhiêu phân số như vậy? 
3.57. Tìm tất cả các phân số có mẫu là số có một chữ số và mỗi phân số này đều lớn hơn 7
9
 và 
nhỏ hơn 8
9
 . 
3.58. Tìm ,a b∈ sao cho 9 13
56 8 7 28
a b
< < < . 
3.59. So sánh các phân số sau: 
a) 37
47
− và 56
66
− ; b) 29
38
− và 13
22
− . 
3.60. a) Có thể bớt đi ở tử và mẫu của phân số a
b
 những số khác 0 nào mà không làm thay đổi 
phân số? 
b) Cho phân số 1 2 3 ... 9
11 12 13 ... 19
A + + + +=
+ + + +
 . 
Hãy xóa một số hạng ở tử và một số hạng ở mẫu để được một phân số mới có giá trị bằng 
phân số cũ. 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [17] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Chuyên đề 4. PHÉP CỘNG VÀ PHÉP TRỪ PHÂN SỐ 
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
1. Muốn cộng hai phân số cùng mẫu, ta cộng các tử và giữ nguyên mẫu. 
2. Muốn cộng hai phân số không cũng mẫu, ta viết chúng dưới dạng hai phân số có 
cùng một mẫu rồi cộng các tử và giữ nguyên mẫu chung. 
3. Phép cộng phân số có các tính chất cơ bản: giáo hoán, kết hợp, cộng với số 0. 
Lưu ý: Do các tính chất giao hoán và kết hợp của phép cộng, khi cộng nhiều phân số, 
ta có thể đổi chỗ hoặc nhóm các phân số lại theo bất cứ cách nào sao cho thuận tiện 
trong tính toán. 
4. Hai phân số gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 
5. Muốn trừ một phân số cho một phân số, ta cộng số bị trừ với số đối của số trừ. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
Ví dụ 1. Cộng các phân số: 
a) 17 95 ;
238 266
− −
+ b) 13 4 .
156 15
+ 
Giải. 
a) 17 95 1 5 6 3.
238 266 14 14 14 7
− − − − − −
+ = + = = 
b) 13 4 1 4 5 16 21 7 .
156 15 12 15 60 60 60 20
+ = + = + = = 
Nhận xét: 
Nên rút gọn phân số trước và sau khi cộng. 
Ví dụ 2. Chứng tỏ rằng tổng của ba phân số sau đây nhỏ hơn 2: 
15 10 8 .
26 17 21
+ + 
Giải. 
Ta có BCNN ( )26;17; 21 9282= 
Các thừa số phụ là 357; 546; 442. 
Do đó: 
15 10 8 15.357 10.546 8.442 5355 5460 3536 14351 18564 2
26 17 21 9282 9282 9282 9282
+ + + +
+ + = = = < = . 
Nhận xét: 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [18] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Đây là cách giải theo suy nghĩ thông thường: tính tổng của ba phân số rồi so sánh kết quả 
với 2. Tuy nhiên, làm theo cách này phải tính toán phức tạp. Liệu có thể không cần tính cụ thể 
tổng của ba phân số đó mà vẫn so sánh với 2 được không? 
Với suy nghĩ đó, ta chỉ cần ước lượng giá trị từng phân số theo các quy tắc so sánh phân 
số đã biết. 
Ta có: 15 15 10 11 8 8; ; .
26 17 17 17 21 17
< < < 
Do đó: 
15 10 8 15 11 8 34 2.
26 17 21 17 17 17 17
+ + < + + = = 
Ví dụ 3. Tính: 
5 7 35 5 16 7 ;
46 25 19 46 19 25
A − − −= + + + + + 
2 1 52 3 5 7 .
11 6 264 22 24 8
B − − −= + + + + + 
Giải. 
Ta có: 5 5 7 7 35 16
46 46 25 25 19 19
A − − −     = + + + + +     
     
190 0 1.
19
= + + = 
2 3 1 5 7 52
11 22 6 24 8 264
B − − −   = + + + + +   
   
4 3 4 5 21 13 1 5 13
22 24 66 22 6 66
− + − + − − −
= + + = + + 
3 55 13 45 15 .
66 66 22
− − + − −
= = = 
Nhận xét: 
Phát hiện đặc điểm của các phân số, khéo sử dụng tính chất giao hoán và kết hợp của 
phép cộng phân số, ta sẽ có được lời giải một cách nhanh chóng. 
Ví dụ 4. 
a) Chứng tỏ rằng với mọi *n∈ ta luôn có: 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [19] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
( )
1 1 1 .
1 1n n n n
= −
+ +
b) Áp dụng: Tính nhanh tổng sau: 
1 1 1 1 1 1 1 1 .
2 6 12 20 30 42 56 72
A = + + + + + + + 
Giải. 
a) Ta có 
( )
( )
( ) ( ) ( )
11 1 1 1 .
1 1 1 1 1
n n n n
n n n n n n n n n n
+ − +
= = − = −
+ + + + +
b) Nhận xét : 
1 1 1 1 1 1 1 1
1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 6.7 7.8 8.9
1 1 1 1 1 1 1 1 11 .....
2 2 3 3 4 4 5 8 9
1 81 .
9 9
A = + + + + + + +
         = − + − + − + − + + −         
         
= − =
Nhận xét : 
Công thức 
( ) ( )
*1 1 1
1 1
n N
n n n n
= − ∈
+ +
giúp ta tính nhanh được tổng các phân số viết theo quy 
luật vì đã làm xuất hiện các số đối nhau. 
C. BÀI TẬP 
3.61. Tính : 
a) 2 1 1 5 8 ;
7 9 7 9 14
+ + + + b) 2 4 5 260 .
3 37 111 1443
+ + + 
3.62. Ba người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải làm mất 4 giờ, 
người thứ hai 3 giờ,người thứ ba 6 giờ. Nếu làm chung thì mỗi giờ cả ba người làm được mấy 
phần công việc ? 
3.63. Tính tổng các phân số lớn hơn 1
8
, nhỏ hơn 1
7
 và có tử là 3. 
3.64. Viết mỗi phân số sau đây thành tổng của hai phân số tối giản có mẫu khác nhau: 
a) 7 ;
15
 b) 13 .
27
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [20] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
3.65. Dùng 10 chữ số 0,1,2,3,....,9 ( mỗi chữ số chỉ dùng một lần) để lập hai phân số bằng 
nhau có tổng bằng 1. 
3.66. Tính một cách hợp lý: 
25 14 31 15 27 36 .
100 21 62 40 45 135
S − − −= + − − + − 
3.67. Thực hiện các phép tính sau một cách hợp lý: 
a) 
9764 36.85.20 2 19 .
36615 25.84.34 5 133
A − −= + + + 
b) 40404 244.395 151 1.3.5 2.6.10 4.12.20 7.21.35 .
70707 244 395.243 1.5.7 2.10.14 4.20.28 7.35.49
B − + + += + +
+ + + +
3.68. Cho 1 1 1 1.... .
3 5 7 101
S = + + + + 
Chứng tỏ rằng S không phải là số tự nhiên. 
3.69. Tổng 1 1 1 1.....
3 4 5 10
+ + + + bằng phân số a
b
. Chứng tỏ rằng a chia hết cho 13. 
3.70. Cho hai phân số tối giản a
b
và ( )
'
' ' *
' , , ,
a a b a b N
b
∈ có tổng là một số tự nhiên n. Chứng tỏ 
rằng '.b b= 
3.71. a) Viết phân số 1
8
thành tổng của hai phân số có tử bằng 1 và mẫu khác nhau. 
b) Nêu tất cả các cách viết như thế. 
3.72. Nêu tất cả các cách viết phân số 1
10
thành tổng của hai phân số có tử bằng 1 và mẫu khác 
nhau. 
3.73. Tìm *,x y N∈ , biết rằng 2 2 .
15
x
y y
− = 
3.74. Tính : 
a) 28 27 ;
29 28
− b) 23 7 ;
8 2
− c) 11 3.
15 5
− 
3.75. Tìm x Z∈ ,biết : 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [21] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
a) 3 1 ;
4 7
x − = b) 2 1 ;
2 5 10
x
− = c) 15 1 28 .
3 51x
− = 
3.76. Tính nhanh : 
1 1 1 1....
5.6 6.7 7.8 24.25
2 3 11 13 25 30 .
3.5 5.8 8.19 19.32 32.57 57.85
A
B
= + + + +
= + + + + +
3.77. Cho 10 8 11
17 15 16
A = + + . Chứng tỏ rằng 2A < . 
3.78. Cho 1 1 1 1 1 1 1 1
3 16 19 21 61 72 83 94
B = + + + + + + + . 
 So sánh B với 3
5
 . 
3.79. Cho 1 1 1 1...
20 21 22 200
C = + + + + . Chứng tỏ rằng 9
10
C > . 
3.80. Chứng tỏ rằng với mọi *,a b N∈ thì: 
 a) 2a b
b a
+ ≥ ; b) ( ) 1 1. 4a b
a b
 + + ≥ 
 
 . 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [22] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
Chuyên đề 5. PHÉP NHÂN VÀ PHÉP CHIA PHÂN SỐ 
A.KIẾN THỨC CẦN NHỚ 
 1. Muốn nhân hai phân số, ta nhân các tử với nhau và nhân các mẫu với nhau. 
 2. Phép nhân phân số có các tính chất cơ bản: giao hoán; kết hợp; nhân với số 1; tính 
chất phân phối của phép nhân đối với phép công. 
 Lưu ý: Do các tính chất giao hoán và kết hợp của phép nhân, khi nhân nhiều phân số, 
ta có thể đổi chỗ hoặc nhóm các phân số lại theo bất cứ cách nào sao cho việc tính toán được 
thuận tiện. 
 3. Hai số gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1 
 4. Muốn chia một phân số cho một phân số, ta nhân số bị chia với số nghịch đảo của số 
chia. 
B. MỘT SỐ VÍ DỤ 
 Ví dụ 1: Thực hiện phép tính: 
a) 2 3 10.
5 5 21
−
+ ; b) 4 2 4:
5 7 7
−
+ . 
Giải: 
a) ( )3. 102 3 10 2 2 2 14 10 4.
5 5 21 5 5.21 5 7 35 35
−− − −
+ = + = + = = 
b) 4 2 4 4 7 4 14 4 98 20 78: .
5 7 7 5 2 7 5 7 35 35
− − − − + −
+ = + = + = = . 
Nhận xét: 
Cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính: Làm phép nhân hoặc phép chia trước rồi 
mới làm phép công. 
 Ví dụ 2: Tính giá trị của biểu thức sau theo nhiều cách khác nhau: 
 8 2 5 6 9 5. .
5 5 7 5 5 7
M    = + + +   
   
 . 
 Giải: 
 Cách 1: 10 5 15 5 10 15 25. .
5 7 5 7 7 7 7
M = + = + = . 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [23] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
 Cách 2: 8 5 2 5 6 5 9 5. . . .
5 7 5 7 5 7 5 7
M = + + + . 
 8 2 6 9 25
7 7 7 7 7
= + + + = . 
 Cách 3: 8 2 6 9 5 25 5 25. .
5 5 5 5 7 5 7 7
M  = + + + = = 
 
 . 
 Nhận xét: 
 Ớ cách 1, ta thực hiện phép cộng trong ngoặc trước rồi mới làm phép nhân. 
 Ớ cách 2, ta áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với từng dấu ngoặc. 
 Ớ cách 3, ta đặt 5
7
 làm thừa số chung cho cả hai biểu thức trong ngoặc rồi mới làm 
phép cộng và phép nhân. 
`Ví dụ 3: Tìm x, biết 
a) 2 4 3.
5 5 5
x− + = ; b) 3 4 : 2
7 7
x− − = − 
Giải. 
2 4 3)
5 5 5
4 3 2
5 5 5
4 1
5
4
5
5
4
a x
x
x
−
+ =
−
= −
=
 x = 1:
 x=
3 4) : 2
7 7
4 3: 2
7 7
4 11:
7 7
4 11:
7 7
4
11
b x
x
x
−
− = −
−
= +
=
 x=
 x=
Nhận xét: 
a) Ta có thể viết : 
1 1.( 2 4 ) .3
5 5
x− + = 
2 4 3 
4 3 2
5
4
Suy ra x
x
− + =
= +
 x = 
b) Ta có thể viết: 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [24] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
3 4 2
7 7.
1 4 1. 3 .( 14)
7 7
4 11
4
11
x
x
x
−
− = −
 − − = − 
 
= 
 x=
Ví dụ 4. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau : 
6 6 6 6 5 71
7 9 11 13 12 11;8 8 8 8 2 1 5
7 9 11 13 3 4 11
M
− + − + −
=
− + − − +
 N= 
Giải. 
2 2 2 23.( ) 37 9 11 13
2 2 2 2 44.( )
7 9 11 13
M
− + −
= =
− + −
(vì rõ ràng 2 2 2 2 0
7 9 11 13
− + − ≠ ). 
5 7( 1 ).132 55 132 84 10312 11
2 1 5 88 33 160 115( ).132
3 4 11
+ − + −
= =
− +− +
N= 
Nhận xét: 
Với biểu thức M nếu ta viết 
1 1 1 16.( )
7 9 11 13
1 1 1 18.( )
7 9 11 13
M
− + −
=
− + −
 thì ta sẽ phải rút gọn hai lần : 
6 3 .
8 4
M = = 
Với biểu thức N, căn cứ vào đặc điểm của đề bài, ta đã nhận số bị chia và số chia với 
cùng một số là BCNN của các mẫu. Khi đó giá trị của biểu thức không đổi nhưng các phép 
tính đều được thực hiện dễ dàng với các số nguyên. 
C. BÀI TẬP 
3.81. Tính nhanh : 
 Liên hệ tài liệu word môn toán SĐT hoặc zalo: 039.373.2038 [25] 
CÁC CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC TOÁN 6 Website: tailieumontoan.com 
1 3. .( 12)
6 2
A −= − 5 5.( 56). .( 4).
8 7
B = − − 
3.82. Áp dụng các tính chất của phép nhân phân số để tính nhanh : 
4 3 7 11. . .( 20). ;
7 5 4 12
C −= − 7 5 7 8 7. . 3. .
13 19 19 13 19
D = + − 
3.83. Tính nhanh: 
1 141 39 1. . ;
3 17 3 17
M − −= − 
29 13 3 19. . .
16 3 4 3
N −  = − −