Giáo trình Bộ đề thi học kì I môn Toán Lớp 8 THCS Amsterdam

Tailieumontoan.com 
 
 Tài liệu sưu tầm 
BỘ ĐỀ THI HỌC KÌ I 
 MÔN TOÁN LỚP 8 -AMSTERDAM 
Tài liệu sưu tầm 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 (2018-2019) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. (2.5 điểm) 
 Cho biểu thức: 2 2
3 1 8 1 2:
1 1 1 1
xA
x x x x
− = + − + − − − 
 a) Rút gọn biểu thức A . 
 b) Tính giá trị biểu thức A biết 3 5 2x + = . 
 c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương. 
Bài 2. (2.5 điểm) 
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
 a) 2 24 12 5x xy y− + . 
 b) 2 2 2( 2 ) ( ) 9x y z x y z z+ + + + − − . 
 c) 4 22019 2018 2019x x x+ + + . 
Bài 3. (1 điểm) 
 Tìm các hệ số , ,a b c sao cho đa thức 4 23x ax bx c+ + + chia hết cho đa thức ( 2)x − và chia 
cho đa thức 2( 1)x − được thương và còn dư ( 7 1)x− − . 
Bài 4. (3,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC> ) có góc B bằng 045 và vẽ đường cao AH . Gọi M 
là trung điểm AB . P là điểm đối xứng với H qua M . 
 a) Chứng minh AHBP là hình vuông. 
 b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC . Chứng minh 2HP MK= . 
 c) Gọi D là giao điểm AH và BK . Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song 
với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q . Chứng minh , ,P K Q thẳng hàng. 
 d) Chứng minh các đường thẳng ,CD AB và PQ đồng quy. 
Bài 5. (0,5 điểm) 
 a) ( Chỉ dành cho các lớp 8B,8C,8D,8E ) 
 Cho các số , ,a b c khác nhau đôi một và thỏa mãn: 2 22 2a b c a− = − . Tính giá trị của 
biểu thức ( 2)( 2)( 2)A a b b c c a= + + + + + + . 
 b) ( Dành cho lớp 8A ) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 22P x y x y= + + biết rằng x và y là các số thực 
thỏa mãn điều kiện 1x y+ = . 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 1 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 (2003-2004) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho biểu thức: 2 2
3 1 8 1 2:
1 1 1 1
xA
x x x x
− = + − + − − − 
 a) Rút gọn biểu thức A . 
 b) Tính giá trị biểu thức A biết 3 5 2x + = . 
 c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương. 
Lời giải 
 a) Điều kiện xác định 
1
1
2
x
x
≠ ±


≠
 3(1 ) 1 8 ( 1)(1 ).
(1 )( 1) (1 )(1 ) (1 )(1 ) 1 2
x x x xA
x x x x x x x
 − + − +
= + − − + − + − + − 
 3 3 1 8 ( 1)(1 ).
(1 )(1 ) 1 2
x x x xA
x x x
 − + + − − +
=  − + − 
 4 2 ( 1)( 1).
(1 )(1 ) (1 2 )
x x xA
x x x
− − +
=
− + −
 2 4 ( 1)( 1) 2 4.
( 1)(1 ) (1 2 ) 1 2
x x x xA
x x x x
+ − + +
= =
− + + −
. 
 b) Tính giá trị biểu thức A biết 3 5 2x + = . 
 Ta có: 73 5 2 3 5 2 1;
3
x x x  + = ⇔ + = ± ⇔ ∈ − − 
 
 Đối chiếu điều kiện loại 1x = − 
 Thay 7
3
x = − ta tính được 2
17
A = − . 
 c) Tìm số nguyên x để biểu thức A có giá trị nguyên dương. 
 * Tìm x để A nguyên: 
 Ta có: 2 4 5 (1 2 )x x+ = − − nên 5 1
1 2
A
x
= −
−
 Để A nguyên khi và chỉ khi 5 chia hết cho 1 2x− { }1 2 1; 1;5; 5x⇒ − ∈ − − { }0;1; 2;3x⇒ ∈ − 
 * Đối chiếu điều kiện loại 1x = 
 * Thử trực tiếp chọn được 0x = 
Bài 2. (2.5 điểm) 
 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử: 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 2 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
 a) 2 24 12 5x xy y− + 
 b) 2 2 2( 2 ) ( ) 9x y z x y z z+ + + + − − 
 c) 4 22019 2018 2019x x x+ + + 
Lời giải 
 a) 2 24 12 5x xy y− + 
 Ta có: 2 24 12 5 (2 )(2 5 )x xy y x y x y− + = − − 
 b) 2 2 2( 2 ) ( ) 9x y z x y z z+ + + + − − 
 Ta có: 
2 2 2
2
( 2 ) ( ) 9
( 2 ) ( 2 )( 4 )
( 2 )(2 2 2 )
2( 2 )( ).
x y z x y z z
x y z x y z x y z
x y z x y z
x y z x y z
+ + + + − −
= + + + + + + −
= + + + −
= + + + −
 c) 4 22019 2018 2019x x x+ + + 
 Ta có: 
4 2
4 2
2 2
2 2
2019 2018 2019
( ) 2019( 1)
( 1)( 1) 2019( 1)
( 1)( 2019).
x x x
x x x x
x x x x x x
x x x x
+ + +
= − + + +
= − + + + + +
= + + − +
Bài 3. (1 điểm) 
 Tìm các hệ số , ,a b c sao cho đa thức 4 23x ax bx c+ + + chia hết cho đa thức ( 2)x − và chia 
cho đa thức 2( 1)x − được thương và còn dư ( 7 1)x− − . 
Lời giải 
Biểu diễn các phép chia đẳng thức 
4 2
13 ( 2) ( ), (1)x ax bx c x q x x+ + + = − ∀ 
4 2 2
23 ( 1) ( ) 7 1, (2)x ax bx c x q x x x+ + + = − − − ∀ 
Thay 2x = vào (1) thu được 4 2 48a b c+ + = − 
Thay 1x = vào (2) thu được 11a b c+ + = − 
Thay 1x = − vào (2) thu được 3a b c− + = 
Giải ra ta được: 10, 7, 6a b c= = − = . 
Bài 4. (3,5 điểm) 
 Cho tam giác ABC nhọn ( AB AC> ) có góc B bằng 045 và vẽ đường cao AH . Gọi M là 
trung điểm AB . P là điểm đối xứng với H qua M . 
 a) Chứng minh AHBP là hình vuông. 
 b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC . Chứng minh 2HP MK= . 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 3 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
 c) Gọi D là giao điểm AH và BK . Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song 
với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q . Chứng minh , ,P K Q thẳng hàng. 
 d) Chứng minh các đường thẳng ,CD AB và PQ đồng quy. 
Lời giải 
 a) Chứng minh AHBP là hình vuông 
 Vì M là trung điểm của AB và PH nên tứ giác AHBP là hình bình hành. 
 Do AH BH⊥ nên AHBP là hình chữ nhật 
 Vì góc 045ABH = nên AHB vuông cân tại H 
 Vậy AHBP là hình vuông . 
 b) Vẽ đường cao BK của tam giác ABC . Chứng minh 2HP MK= . 
 Sử dụng tính chất đường trung tuyến tam giác vuông ABK suy ra 2AB MK= 
 Dùng kết quả câu a suy ra HP AB= do đó 2HP MK= 
 c) Gọi D là giao điểm AH và BK . Qua D và C vẽ các đường thẳng lần lượt song song 
với BC và AH sao cho chúng cắt nhau tại Q . Chứng minh , ,P K Q thẳng hàng. 
 Từ 02 90HP MK PKH= ⇒ = 
 Chứng minh tương tự: 090QKH = 
 Kết hợp để suy ra 0180PKQ = hay Chứng minh , ,P K Q thẳng hàng. 
 d) Chứng minh các đường thẳng ,CD AB và PQ đồng quy. 
 Gọi E là giao điểm của PQ và AB ; F trung điểm BC 
 Ta có: / /ME HQ ( cùng vuông góc với PH ) mà M trung điểm PH nên ME là đường trung 
bình của tam giác PHQ suy ra E trung điểm của PQ EF⇒ là đường trung bình của hình 
thang PBCQ 
 1 ( )
2
EF PB CQ⇒ = + 1 1( )
2 2
BH HC BC= + = EBC⇒ vuông tại E suy ra 090BEC = 
 Mặt khác ta có: CD AB⊥ do D là trực tâm tam giác ABC 
F
QM D
E
K
H
A
B C
P
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 4 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
 Như vậy, , ,
CD AB
E D C
CE AB
⊥
⇒ ⊥
 thẳng hàng 
 Kết luận: ,CD AB và PQ đồng quy. 
Bài 5. (0,5 điểm) 
 a) ( Chỉ dành cho các lớp 8B,8C,8D,8E ) 
 Cho các số , ,a b c khác nhau đôi một và thỏa mãn: 2 22 2a b c a− = − . Tính giá trị của biểu 
thức ( 2)( 2)( 2)A a b b c c a= + + + + + + . 
 b) ( Dành cho lớp 8A ) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 22P x y x y= + + biết rằng x và y là các số thực 
thỏa mãn điều kiện 1x y+ = . 
Lời giải 
 a) ( Chỉ dành cho các lớp 8B,8C,8D,8E ) 
 Cho các số , ,a b c khác nhau đôi một và thỏa mãn: 2 22 2a b c a− = − . Tính giá trị của biểu 
thức ( 2)( 2)( 2)A a b b c c a= + + + + + + 
 Biến đổi: 
2 22 2a b c a− = − 
 ( )( ) 2 2a b a b b c− + = − 
 ( )( ) 2 2 2 2 2 2a b a b a b b c a b− + + − = − + − 
 ( )( 2) 2( )a b a b a c− + + = − 
 Tương tự: 
 ( )( 2) 2( )b c b c b a− + + = − 
 ( )( 2) 2( )c a c a c b− + + = − 
 Nhân vế theo vế tương ứng 3 đẳng thức và lập luận ta thu được 8A = 
 b) ( Dành cho lớp 8A ) 
 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 3 2 22P x y x y= + + biết rằng x và y là các số thực 
thỏa mãn điều kiện 1x y+ = 
 Biến đổi: 
 3 3 2 2 3 2 22 ( ) 3 ( ) 2P x y x y x y xy x y x y= + + = + − + + 
 2 2 23 12 3 1 2( )
4 8
P x y xy xy= − + = − − . 
 Do 1x y+ = ta chứng minh được 1
4
xy ≤ 
 Suy ra 3 1 1 1 3
4 2 2 8 8
xy P P− ≥ ⇒ ≥ − ⇒ ≥ . 
 Dấu đẳng thức xẩy ra khi 1
2
x y= = 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 5 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2000-2001 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho 2 3 2
1 21 : .
1 1 1
a aM
a a a a a
   = + −   + − − + −   
a) Rút gọn M và tìm M biết 2 1 1.a − = 
b) Tìm a∈ để .M ∈ 
c) Tìm a để 7;M = Tìm a để 0.M > 
Bài 2. Tìm x biết: 
a) 4 24 12 9 0.x x x− + − = 
b) 3 2 4 0.x x− − = 
c) ( )( ) ( )22 1 1 2 3 18.x x x+ + + = 
Bài 3. Xác định các hằng số ,a b sao cho: ( )4 3 27 4x x x ax b− + + + chia hết cho đa thức 
( )2 4 3 .x x− + 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh .A Đường cao ,AH dựng về phía ngoài tam 
giác các hình vuông , .ABMN ACIK Chứng minh rằng: 
 a) Ba điểm , , M A I thẳng hàng; 
 b) Tứ giác CKNB là hình thang cân; 
 c) AH đi qua trung điểm D của NK và các đường thẳng , ,AH IK MN cắt nhau tại 
điểm ;E 
d) Các đường thẳng , , AH CM BI đồng quy và 2 2 2.AN NK AK= − 
Bài 5. a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 2
6 2 .
3 1
xA
x
−
=
+
b) Cho tứ giác lồi ,ABCD E và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh , .AB AD Gọi 
; .G AE BF H CF BD= ∩ = ∩ Chứng minh rằng .EFGH AGB DHCS S S= + 
Nếu ,M N nằm trên hai cạnh còn lại của tứ giác sao cho MENF là hình chữ nhật thì 
.MENF ABCDS S= 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 6 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 NĂM HỌC 2000-2001 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho 2 3 2
1 21 :
1 1 1
a aM
a a a a a
   = + −   + − − + −   
 a) Rút gọn M và tìm M biết 2a 1 1− = 
 b) Tìm a∈ để M ∈ 
 c) Tìm a để 7;M = Tìm a để 0M > 
Lời giải 
 a) 2 3 2
1 21 :
1 1 1
a aM
a a a a a
   = + −   + − − + −   
( ) ( )
( )( ) ( )( )
2
2 2 2
2 2
2 2 2
1 1 2:
1 1 1 1 1
1 1 2:
1 1 1 1 1
a a a
a a a a a a
a a a a
a a a a a
  +
= + −    + + − − + −   
  + + + = −   + + − + −   
( )( )
( )( )
( )
2 2
2 2
22
22
1 2a 1:
1 1 1
1 11.
1 1
a a a
a a a
a aa a
a a
+ + − +
=
+ + −
+ −+ +
=
+ −
( )( )
( )
22
22
2
1 11.
1 1
1
1
a aa a
a a
a a
a
+ −+ +
=
+ −
+ +
=
−
 ĐKXĐ: 1a ≠ 
( )
( )
a 12a 1 1 2a 2
2a 1 1
2a 1 1 2a 0 a 0
L
TM
=− = = 
− = ⇔ ⇔ ⇔  − = − = =  
 Thay 0a = vào biểu thức M , ta có 
20 0 1 1
0 1
M + += = −
−
 Vậy với 2a 1 1− = thì 1M = − 
 b) 
2 1 32
1 1
a aM a
a a
+ +
= = + +
− −
 Để M ∈ thì ( )∈ ⇔ − ∈
−
3
1 ¦ 3
1
a
a
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 7 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
( )
( )
( )
( )
41 3
21 3
1 1 2
1 1 0
a TMa
a TMa
a a TM
a a TM
=− =  = −− = − ⇒ ⇒  − = = − = −  =
 Vậy để M ∈ thì { }∈ −4;2; 2;0a 
 c) 
 ( )
( )( )
2
2
2
17 7 1 7 1
1
6 8 0 2 4 0
a aM a a a
a
a a a a
+ +
= ⇔ = ⇔ + + = −
−
⇔ − + = ⇔ − − =
( )
( )
2
4
a TM
a TM
=
⇔ 
=
 Vậy với { }∈ 2;4a thì = 7M 
2 10 0
1
a aM
a
+ +
> ⇔ >
−
 Mà 
2
2 1 3 31 0
2 4 4
a a a + + = + + ≥ > 
 
 1 0 1a a⇒ − > ⇔ > 
 Kết hợp với ĐKXĐ: 1a ≠ 
 Vậy với 1a > thì 0M > 
 Bài 2. Tìm x biết: 
a) 4 24 12 9 0.x x x− + − = 
b) 3 2 4 0.x x− − = 
c) ( )( ) ( )22 1 1 2 3 18.x x x+ + + = 
Lời giải 
a) 4 24 12 9 0.x x x− + − = 
( ) ( )
( )
4 2
4 3 3 2 2
3 2
3 2
9 4 12 0
3 3 9 9 0
( 1) ( 1) 3 ( 1) 9( 1) 0
( 1) 3 9 0
− − − =
− + − − + + − =
− + − − − + − =
− + − + =
x x x
x x x x x x x
x x x x x x x
x x x x
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 8 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
( )
( )
( )
( )
3 2 2
2
2
22
2
2
( 1) 3 2 6 3 9 0
( 1) ( 3) 2 ( 3) 3( 3) 0
( 1)( 3) 2 3 0
( 1)( 3) 2 3 0
1 0
3 0
2 3 0
1
3
0 (VL)1 2
− + − − + + =
 − + − + + + = 
− + − + =
− + − + =
− =
⇒ + =
 − + =
 =
⇒ = −

 − + =
x x x x x x
x x x x x x
x x x x
x x x x
x
x
x
x
x
x x
Vậy 1; 3x x= = − 
b) 3 2 4 0.x x− − = 
( )
3 2 2
2
2
2
2
2 4 0
( 2) ( 2)( 2) 0
( 2) 2 0
2 0
2 0
2
1 7 0 (VL)
2 4
− + − =
− + − + =
− + + =
− =
⇒  + + =
=
⇒   + + =  
x x x
x x x x
x x x
x
x x
x
x
Vậy 2x = 
c) 2(2 1)( 1) (2 3) 18x x x+ + + = 
[ ]
( )
( )
2
2 2
2 2
2 2
( 1) (2 1)(2 3) 18
( 1) 4 2 1 1 18
( 1) 4( 1) 1 18
( 1) 4 8 3 18
+ + + =
 + + + − = 
+ + − =
+ +
 
+ =

x x x
x x x
x x
x x x
Đặt ( )21x a+ = , ta có phương trình: 2(4 1) 18 4 18 0− = ⇒ − − =a a a a 
24 8 9 18 0 4 ( 2) 9( 2) 0 ( 2)(4 9) 0⇒ + − − = ⇒ + − + = ⇒ + − =a a a a a a a a 
22 0
94 9 0
4
= −+ =

⇒  − = =

⇒

aa
a a
Với 2a = − ta có: ( )21 2x + = − (vô lý) 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 9 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Với 9
4
a = ta có: 2
3 119 2 2( 1)
3 54 1
2 2
 + = = 
+ = ⇒ ⇒ 
 + = − = −
  
x x
x
x x
Vậy 1 5;
2 2
x x= = − 
Bài 3. Xác định các hằng số ,a b sao cho: ( )4 3 27 4x x x ax b− + + + chia hết cho đa thức 
( )2 4 3 .x x− + 
Lời giải 
Cách 1 
Ta có: 2 4 3 ( 1)( 3)x x x x− + = − − 
Để ( )4 3 27 4x x x ax b− + + + chia hết cho đa thức ( )2 4 3 .x x− + Thì ( )4 3 27 4x x x ax b− + + + 
có nghiệm 1x = và 3x = , khi đó: 
4 2 2
4 3 2
2 0 2 357. 4. 6
3 72 0 3 72 333 7.3 4.3 3 0
a b a b at t t a t b
a b a b ba b
 + − =  + = =− + + ⋅ + −
⇔ + − = + = = −− +
 
⇔ ⇔ 
+ = + ⋅ 
Thử lại ta thấy thỏa mãn. 
Cách 2 
Thực hiện phép chia đa thức ( )4 3 27 4x x x ax b− + + + cho đa thức ( )2 4 3− +x x ta được 
thương ( )2 3 11x x− − và dư ( )35 33a x b− + + . 
Để ( ) ( ) ( )4 3 2 2 35 0 357 4 4 3 35 33 0 33 0 33
− = = 
− + + + − + ⇒ − + + = ⇒ ⇒ + = = − 

a a
x x x ax b x x a x b
b b
Vậy 35; 33a b= = − là hai giá trị cần tìm 
Bài 4. Cho tam giác ABC vuông góc tại đỉnh .A Đường cao ,AH dựng về phía ngoài tam 
giác các hình vuông , .ABMN ACIK Chứng minh rằng: 
 a) Ba điểm , , M A I thẳng hàng; 
 b) Tứ giác CKNB là hình thang cân; 
 c) AH đi qua trung điểm D của NK và các đường thẳng , ,AH IK MN cắt nhau tại 
điểm ;E 
d) Các đường thẳng , , AH CM BI đồng quy và 2 2 2.AN NK AK= − 
Lời giải 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 10 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
 a) Ba điểm , , M A I thẳng hàng; 
Theo giả thiết: 90BAC = ° mà 90BAN CAK= = ° 
Nên ;BAN CAK là hai góc đối đỉnh 
Do , AM AI là đường chéo hình vuông , ABMN ACIK 
Suy ra , AM AI là tia phân giác của ;BAN CAK 
Ta có: 0 0 0 045 90 45 180MAI MAN NAK KAI= + + = + + = 
Vậy ba điểm , ,M A I thẳng hàng. 
 b) Tứ giác CKNB là hình thang cân; 
Xét hình vuông ABMN có ,AM BN là hai đường chéo nên ( )1AM BN⊥ 
Tương tự: ( )2AI CK⊥ 
Mà , ,M A I thẳng hàng (3) 
Từ (1); (2); (3) suy ra //BN CK BCKN⇒ là hình thang (*) 
Mặt khác: BK BA AK AN AC CN= + = + = (cạnh hình vuông , )ABMN ACIK (**) 
Từ (*); (**) suy ra tứ giác BCKN là hình thang cân. 
c) 
Cách 1: Gọi ’H là giao điểm của DA và .BC 
( )   ( )4ABC ANK c g c C K∆ = ∆ − − ⇒ = 
Lại có ADK∆ cân tại D:  ( )5=K DAK 
Mặt khác ( )' 6=DAK BAH 
Từ (4); (5); (6) suy ra  'C BAH= 
Lại có  C BAH= 
F
D
P
E
H
K
IN
M
CB
A
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 11 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Do đó ' 'BAH BAH AH AH= ⇒ ≡ hay AH đi qua trung điểm D của .NK 
Cách 2: 
( . . )ABC ANK c g c∆ = ∆ 
 ANK ABC⇒ = mà ABC HAC= (cùng phụ góc C) 
và HAC DAN= (đối đỉnh) 
 DNA DAN⇒ = 
NDA⇒∆ cân tại D . 
DN DA⇒ = (+) 
Chứng minh tương tự: DA DK= (++) 
Từ (+) và (++), ta có DN DK= 
Vậy D là trung điểm của NK 
+ Gọi E là giao điểm của MN và .IK 
Xét tứ giác ANEK có:    90A N K ANEK= = = °⇒ là hình chữ nhật 
Mặt khác D là trung điểm của NK nên D là trung điểm của .AK 
Theo chứng minh trên: AH đi qua D 
Do đó AH đi qua E . Hay 3 đường thẳng , , AH MN IK đồng quy tại .E 
d) Các đường thẳng , , AH CM BI đồng quy và 2 2 2.AN NK AK= − 
ABC KEA BC AE∆ = ∆ ⇒ = 
Lại có  90 ; 90MBC B EAB B= °+ = °+ (góc ngoài tại dỉnh A của tam giác )ABH 
 .MBC EAB⇒ = 
Xét MBC∆ và BAE∆ có: 
BM BA= (cạnh hình vuông) 
 MBC EAB= (cmt) 
( )BC AE cmt= 
Suy ra 
( ) MBC BAE c g c BMC ABE∆ = ∆ − − ⇒ = 
Mà 90 90ABE EBM BMC EBM MC EB+ = °⇒ + = °⇒ ⊥ 
Chứng minh tương tự: BI EC⊥ 
Xét EBC∆ có ; ; EH BI CM là các đường cao nên cắt nhau tại một điểm. 
Các đường thẳng , , AH CM BI đồng quy. 
+ Xét ANK∆ vuông tại A, theo định lý Pytago ta có: 
2 2 2 2 2 2.NK AN AK AN NK AK⇒ −= + + 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 12 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Bài 5. a) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của 2
6 2 .
3 1
xA
x
−
=
+
b) Cho tứ giác lồi ,ABCD E và F theo thứ tự là trung điểm của cạnh , .AB AD Gọi 
; .G AE BF H CF BD= ∩ = ∩ Chứng minh rằng .EFGH AGB DHCS S S= + 
Nếu ,M N nằm trên hai cạnh còn lại của tứ giác sao cho MENF là hình chữ nhật thì 
.MENF ABCDS S= 
Lời giải 
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 2
6 2
3 1
xA
x
−
=
+
( )
2
2
2
2
2
6 2* 1 1
3 1
6 2 3 1 1
3 1
1
1 3 1,
3 1
xA
x
x xA
x
x
A x
x
−
= − +
+
− − −
= +
+
−
= − ≤ ∀
+
Dấu “=” xảy ra khi x = 1 
Vậy giá trị lớn nhất của A là 1 khi x = 1 
( )
2
2
2
2
2
6 2* 3 3
3 1
6 2 9 3 3
3 1
3 1
3 3,
3 1
xA
x
x xA
x
x
A x
x
−
= + −
+
− + +
= −
+
+
= − ≥ − ∀
+
Dấu “=” xảy ra khi 1
3
x = − 
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là -3 khi 1
3
x = − 
b) 
G
H
E
F
A
D
B
C
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 13 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
a) Chứng minh rằng EGFH AGB DHCS S S= + 
Nối AC; FE 
Có ACF DCFS S= ; ACE ABES S= 
1 1
2 2ACF ACE DCF ABE ABCD AECF DCF ABE ABCD
S S S S S S S S S⇒ + = + = ⇒ = + = 
Có ;CEF BEF AEF DEF CEF AEF BEF DEFS S S S S S S S= = ⇒ − = − 
CHE HDF GBE AGF CHE AGF GBE HDFS S S S S S S S⇒ − = − ⇒ + = + (1) 
Mà 1
2AECF DCF ABE ABCD GEHF CHE AGF DCH HDF AGB GBE
S S S S S S S S S S S= + = ⇒ + + = + + + (2) 
Từ (1) và (2) EGFH AGB DHCS S⇒ = + 
b) Chứng minh rằng: 1
2MENF ABCD
S S= 
Kẻ MP BC⊥ tại P ; OI BC⊥ tại I ; NQ BC⊥ tại Q ; 
Suy ra OI là đường trung bình của hình thang MPQN 
2
MP NQOI +⇒ = 
Ta có: 1 1 . .
2 4MBE MCE
S S MP BC= = 
1 1 .NQ.
2 4NCE NBC
S S BC= = 
( )1 1 1 1 1 1.NQ. . . .BC. . .
2 2 4 4 4 2NCE MBE NBC MCE
S S S S BC MP BC MP NQ BC OI⇒ + = + = + = + = 
NCE MBE BOCS S S⇒ + = 
Mà 1
2BCO BFC
S S= 1
2NCE MBE BFC
S S S⇒ + = 
I
Q
P
N
M
O
G
H
E
F
C
B
D
A
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 14 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Chứng minh tương tự, ta có: ED
1
2AMF DNF A
S S S+ = 
Do ED D DA BFC ABC AGB DHC FGEH ABCS S S S S S S+ = − − + = (do theo câu a, AGB DHC FGEHS S S+ = ) 
Ta được: ED D
1 1 1
2 2 2NCE MBE AMF DNF A BFC ABC
S S S S S S S+ + + = + = 
1
2MENF ABCD
S S⇒ = (ĐPCM) 
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 (2001-2002) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho biểu thức 
2 2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 : 1
2 4 2 4
y x x yA
x y y x x y x y
   − − +
= + − +   − − + −   
 a) Rút gọn A . 
b) Tính giá trị của A biết 1 2; 2001x y− = = . 
c) Chứng minh 0A > . 
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
a) 4 3 22 1.x x x x+ + + + 
b) 2 22 1 2 2 3 .a ab b a b− + + − − 
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 5 4 .P x x= − − 
Bài 4. Cho hình vuông ABCD , M là trung điểm AB .Gọi N là giao điểm của DM và CB . 
 a) CMR: Tứ giác ANBD là hình bình hành. 
 b) Kẻ tia Cx song song với ,DN Cx cắt AB tại P . CMR: Tứ giác MNPC là hình thoi 
I
Q
P
N
M
O
G
H
E
F
C
B
D
A
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 15 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
 c) Tứ giác DNPC có phải là hình thang không? Có phải là hình thang câ không? Vì 
sao? 
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác NDC .CMR: GDC GNC GDNS S S= = 
Bài 5. 
a) Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2
a b c
 và a b c abc thì 2 2 2
1 1 1 2
a b c
( với 0a b c và 0a b c ) 
b) Cho tứ giác ABCD ;các đường thẳng ;AB CD cắt nhau tại E .Gọi ;F G theo thứ tự là 
trung 
điểm của các đường chéo ;AC BD . Chứng minh rằng 1
4EFG ABCD
S S 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 (2001-2002) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho biểu thức 
2 2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 : 1
2 4 2 4
y x x yA
x y y x x y x y
   − − +
= + − +   − − + −   
 a) Rút gọn A . 
b) Tính giá trị của A biết 1 2; 2001x y− = = . 
c) Chứng minh 0A > . 
Lời giải 
a) Đk: 2 ; 0x y x≠ ± ≠ 
2 2 2
2 2 2 2
1 3 2 2 : 1
2 4 2 4
y x x yA
x y y x x y x y
   − − +
= + − +   − − + −   
( )( ) ( )( )
( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
2 2 2 2 22 22 3 2 4:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
x yx y y x x y x yA
x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y
   −+ − − + −
= − − +   
− + − + − + − + − +   
( )( ) ( )( )
2 2 2 2 22 3 2 4 2 4:
2 2 2 2
x y y x x y x y x yA
x y x y x y x y
+ − + + − + + + −
=
− + − +
( )( ) ( )( )
2 22 2 5:
2 2 2 2
x x xA
x y x y x y x y
− +
=
− + − +
( )( )
( )( )2
2
2 22 2 .
2 2 5
x y x yx xA
x y x y x
− +− +
=
− +
2
2
2 2
5
x xA
x
− +
= 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 16 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Vậy với 2 ; 0x y x≠ ± ≠ thì 
2
2
2 2
5
x xA
x
− +
= . 
b) Ta có 
1 2 3
1 2
1 2 1
x x
x
x x
− = = 
− = ⇔ ⇔ − = − = − 
+) Thay 3; 2001x y= = (thỏa mãn đk) vào biểu thức A , ta được: 
2
2 2
3 2.3 2 5 1
5.3 5.3 9
A − += = = 
+) Thay 1; 2001x y= − = (thỏa mãn đk) vào biểu thức A , ta được: 
 ( ) ( )
( )
2
2
1 2. 1 2 5 1
55. 1
A
− − − +
= = =
−
Vậy: Với 3; 2001x y= = thì 1
9
A = 
Với 1; 2001x y= − = thì 1A = . 
c) Với 2 ; 0x y x≠ ± ≠ thì ( )
22
2 2
1 12 2
5 5
xx xA
x x
− +− +
= = 
Với 2 ; 0x y x≠ ± ≠ ta có: ( )
2
2
1 1 0
5 0
x
x
 − + >

>
 ( )
2
2
1 1
0
5
x
A
x
− +
⇒ = > (đpcm). 
Bài 2. Phân tích đa thức thành nhân tử : 
a) 4 3 22 1.x x x x+ + + + 
b) 2 22 1 2 2 3 .a ab b a b− + + − − 
Lời giải 
 Ta có : 
a) ( ) ( )( )4 3 2 2 2 2 2 22 1 1 1 1 1x x x x x x x x x x x x+ + + + = + + + + + = + + + 
b) ( ) ( ) ( )2 22 2 2 22 1 2 2 3 2 1 1 1 3 2 1a ab b a b a a b b b b b− + + − − = − + + + − + − + + 
( ) ( ) ( )( )
( )( )
2 22 2 21 2 1 3 2 1 1 4 1 2 1 2
3 1 1
a b b b b b a b b a b b a b b
a b a b
= − − − − − − + + = − − − = − − − − − +
= − − + −
Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 22 5 4 .P x x= − − 
Lời giải 
Trường hợp 4
5
x ≥ 
Ta có 
2
2 2 5 7 72 5 4 2 5 4 2
4 8 8
P x x x x x = − − = − + = − + ≥ 
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 5
4
x = ( thỏa điều kiện) 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 17 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Trường hợp 4
5
x < 
Ta có: 
2
2 2 5 57 572 5 4 2 5 4 2
4 8 8
P x x x x x − − = − − = + − = + + ≥ 
 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 5
4
x −= ( thỏa điều kiện) 
Từ đó kết hợp hai trường hợp ta có 57
8
P −≥ 
Bài 4. Cho hình vuông ABCD , M là trung điểm AB .Gọi N là giao điểm của DM và CB . 
 a) CMR: Tứ giác ANBD là hình bình hành. 
 b) Kẻ tia Cx song song với ,DN Cx cắt AB tại P . CMR: Tứ giác MNPC là hình thoi 
 c) Tứ giác DNPC có phải là hình thang không? Có phải là hình thang cân không? Vì 
sao? 
d) Gọi G là trọng tâm của tam giác NDC .CMR: GDC GNC GDNS S S= = 
Lời giải 
a) CMR: Tứ giác ANBD là hình bình hành. 
+ Xét AMD∆ và BMN∆ có: 090DAM NBM= = ; ( )AM MB gt= ; AMD BMN= (đối đỉnh) 
Nên ( . . )AMD BMN g c g∆ = ∆ 
Nên AD NB= 
Xét tứ giác ANBD có: / / ;AD NB AD NB= 
Do đó tứ giác ANBD là hình bình hành. 
b) CMR: Tứ giác MNPC là hình thoi. 
Xét NMB∆ và CBP∆ có: 090MBN PBC= = ; ( )BN BC gt= ; MNB BCP= (so le trong) 
K
G
P
N
M
D C
BA
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 18 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
Nên ( . . )NMB CBP g c g∆ = ∆ 
Nên MN CP= 
Xét tứ giác MNPC có: / / CP; MN CPMN = 
Do đó tứ giác MNPC là hình bình hành 
Mà CN MP⊥ tại B 
Do đó: Tứ giác MNPC là hình thoi. 
c) Tứ giác DNPC có phải là hình thang không? Có phải là hình thang câ không? Vì 
sao? 
Xét tứ giác DNPC có: / /CP DN 
Nên tứ giác DNPC có là hình thang. 
+Tứ giác DNPC có phải là hình thang cân không? Vì sao? 
Đặt ( )0AB a a= > Mà tứ giác ABCD là hình vuông nên AB BC a= = 
Vậy 2NC a= 
Ta có: 3;
2 2
a aAD a AP a= = + = 
Xét APD∆ vuông tại A có: 
2 2
2 3 13 13
2 4 2
a a aPD a  = + = = 
 
Ta thấy NC PD≠ 
Nên tứ giác DNPC không phải là hình thang cân. 
d) CMR: GDC GNC GDNS S S= = 
Do G là trọng tâm của tam giác NDC 
Nên NG là đường trung tuyến 
Gọi NG cắt CD tại K 
Ta có: DGK GKCS S= (Cùng chiều cao hạ từ G xuống BC mà DK KC= ) (1) 
DNK NKCS S= (Cùng chiều cao hạ từ N xuống BC mà DK KC= ) (2) 
Mặt khác DNK NDG DGKS S S= + (3) 
NKC NGC GKCS S S= + (4) 
Từ (1);(2);(3) và (4) nên NDG NGCS S= 
+ Chứng minh tương tự lại có: NGC DGCS S= 
Vậy GDC GNC GDNS S S= = 
Bài 5. 
a) Chứng minh rằng nếu 1 1 1 2
a b c
 và a b c abc thì 2 2 2
1 1 1 2
a b c
( với 0a b c và 0a b c ) 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 19 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
b) Cho tứ giác ABCD ;các đường thẳng ;AB CD cắt nhau tại E .Gọi ;F G theo thứ tự là 
trung 
điểm của các đường chéo ;AC BD .Chứng minh rằng 1
4EFG ABCD
S S 
Lời giải 
 a) Ta có: 1a b ca b c abc
abc
 hay là 1 1 1 1
ab bc ca
 Mặt khác ta có : 
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 12
a b c ab bc aca b c
 2 2 2 2
1 1 12 2.1
a b c
 nên ta được 2 2 2
1 1 1 4 2 2
a b c
 ( đpcm ) 
b) 
Ta có ( )EFG EFGC GCE EFC GFC GDE GDCS S S S S S S 
EFC GFC GDC DGES S S S (1) 
 Mặt khác ta có ;G F lần lượt là trung điểm ;BD AC nên 1
2AGD BAD
S S ; 1
2GDC BCD
S S 
 1
2EFC EAC
S S ; 1 1 1 1 1( )
2 2 2 4 4GFC GAC DAC AGD GDC DAC ABD BCD
S S S S S S S S 
 1
2GDC BCD
S S ; 1
2DGE EBD
S S 
 Thay vào (1) ta được : 1 1( ) ( )
2 4EGF EAC DAC BCD EBD ABD BCD
S S S S S S S 
 Mà ABD BCD ABCDS S S và EAC DAC EADS S S và EBD BCDS S = EBCS 
 Do đó EAC DAC BCD EBD EAD EBC ABCDS S S S S S S 
 Vậy 1 1 1
2 4 4EGF ABCD ABCD ABCD
S S S S ( đpcm ) 
G
F
E
A
D
C
B
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 20 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 (2002-2003) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho biểu thức 
2
2 3 2 3
4 1 : 3
2 4 2 8
a a aA
a a a a a a a
 +
= − − − − − + + 
 a) Rút gọn A 
 b) Tìm a Z∈ để 4A = 
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
Bài 2. a) Cho 4 3 2( ) 3 7P x x x x ax b= − − + + ; 2( ) 2 3Q x x x= + − .Xác định a và b sao cho 
( ) ( )P x Q x 
 b) Tìm 4 3 2: 3 2 34 2 3 0x Q x x x x∈ + − + + = 
Bài 3. Cho hình vuông ABCD có cạnh a . M là một điểm trên đường thẳng BC ( M khác B và 
C ). 
 Vẽ hình vuông AMEN . Tia AM cắt DC tại Q , tia NAcắt CB tại P . Gọi I là trung điểm 
của PQ 
 a) Chứng minh ba điểm , ,N D C thẳng hàng và APQ∆ vuông cân. 
 b) Gọi O là giao điểm của AE và MN . Xác định dạng của tứ giác AOKI ( K là giao điểm 
của NM với PQ ). 
 c) Chứng minh rằng: khi M di động trên đường thẳng BC thì O và I luôn di động trên 
một đường thẳng cố định. 
 d) Xác định vị trí của M trên đường thẳng BC sao cho diện tích hình vuông 
24AMEN a= . 
Bài 4. Biết rằng x y z t
y z t z t x x y t x y z
= = =
+ + + + + + + +
 Tính giá trị biểu thức sau : x y y z z t t xP
z t t x x y y z
+ + + +
= + + +
+ + + +
Bài 5. 
 a) Cho ABC∆ và một điểm D trên cạnh AB sao cho .AD DB> Xác định điểm E trên 
cạnh AC sao cho đoạn DE chia ABC∆ thành hai phần có diện tích bằng nhau. 
 b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 5 5 7 10xyz x y z= + + + 
 c) Cho hình chữ nhật ABCD . Điểm M trên cạnh AB sao cho 2
3
AM AB=
. 
Điểm N trên 
cạnh CD sao cho 1
3
DN DC= . Điểm P trên cạnh BC sao cho 2
5
BP BC=
. 
 Điểm Q 
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 21 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
trên cạnh AD sao cho 3
4
DQ DA= . Gọi ,E F lần lượt là giao điểm của AP cắt ,DM BN 
và ,G H lần lượt là giao điểm của CQ cắt , .BN DM Tính diện tích tứ giác EFGH , biết 
diện tích ABCD bằng S . 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC KÌ I TRƯỜNG HÀ NỘI – AMSTERDAM 
MÔN TOÁN LỚP 8 (2003-2004) 
Thời gian: 120 phút 
Bài 1. Cho biểu thức 
2
2 3 2 3
4 1 : 3
2 4 2 8
a a aA
a a a a a a a
 +
= − − − − − + + 
 a) Rút gọn A 
 b) Tìm a Z∈ để 4A = 
 c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A 
Lời giải 
a)Để A xác định thì 
0 0
2 0 2
2 0 2
a a
a a
a a
 ≠  ≠
 − ≠ ⇒ ≠ 
 + ≠ ≠ − 
2
2 3 2 3
2 2
2 2 2
2
4 1 : 3
2 4 2 8
4 1 ( 2)( 2 4). 3
( 2) ( 2)( 2) ( 2)
2 4 2 ( 2)( 2 4). 3
( 2)( 2) ( 2)( 2) ( 2)( 2)
2 ( 2)( 2 4). 3
( 2)( 2)
a a aA
a a a a a a a
a a a a a
a a a a a a a a
a a a a a a a
a a a a a a a a a a
a a a a
a a a a
 +
= − − − − − + + 
 + + − +
= − − − − − + + 
 + + − + − +
= − − − − + − + − + 
− + − +
= −
− +
2 2 2 2
2 2 2
2 4 2 4 3 2 2 43a a a a a a a
a a a
− + − + − − − +
= − = =
b) Để 4A = thì 
2
2
2 2 4 4− − + =a a
a
Liên hệ file word tài liệu toán zalo: 039.373.2038 Trang 22 
 Đề thi HK1- Toán 8 -THCS Amsterdam Năm 2018-2019 Website: tailieumontoan.com 
2
2
2
2
2
2
2 2 4 4 0
6 2 4 0
6 2 4 0
2(3 2) 0
2( 1)(3 2) 0
1 (nhan)1 0
23 2 0 (nhan)
3
− − +
⇒ − =
− − +
⇒ =
⇒ − − + =
⇒ − + − =
⇒ − + − =
= −+ = ⇒ ⇒ − = = 
a a
a
a a
a
a a
a a
a a
aa
a a
Vậy với 1a = − hoặc 2
3
a = thì 4A = . 
c)Ta có 
22
2 2
2 2 4 2 4 2 1 92
2 4
− − +  = = − − + = − − 
 
a aA
a a a a
Vì 
22 1 0
2a
 − ≥ 
 
, 0; 2; 2∀ ≠ ≠ ≠ −a a a 
22 1 9 9