Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên Nguyễn Trãi môn Toán (Chuyên) - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Có đáp án)

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
ĐỀ CHÍNH THỨC
HẢI DƯƠNG
KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
CHUYÊN NGUYỄN TRÃI NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN THI: TOÁN (Chuyên)
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm: 01 trang)
------------------------------------------------------------
Câu I (2,0 điểm):
Cho số thực x thỏa mãn 
Tính giá trị của biểu thức: 
2) Tính giá trị biểu thức: với 
Câu II (2,0 điểm):
Giải phương trình: 
Giải hệ phương trình: 
Câu III (2,0 điểm):
Tìm các số nguyên tố n thỏa mãn: 
 và với a; b là các số tự nhiên.
2) Tìm tất cả các số hữu tỉ a; b; c thỏa mãn: 
Câu IV (3,0 điểm):
	Cho đường tròn (O), đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại A. Gọi M, N là hai điểm thay đổi trên đường thẳng d sao cho A nằm giữa M và N; AM.AN không đổi. BM và BN cắt đường tròn (O) lần lượt tại D và E. 
Chứng minh: Tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh: DE luôn đi qua điểm cố định khi M, N thay đổi.
Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM. Chứng minh rằng K luôn thuộc
một đường thẳng cố định. 
Câu V (1,0 điểm):
Gọi x; y là các số thực thay đổi, thỏa mãn điều kiện: và 
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
-----------------------------Hết------------------------------
Họ và tên thí sinh :Số báo danh :.
Chữ ký của giám thị 1 :...Chữ ký của giám thị 2 :...
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
 HẢI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM
 ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 
THPT CHUYÊN NGUYỄN TRÃI 
NĂM HỌC 2014 – 2015
Môn thi: Toán (chuyên )
I) HƯỚNG DẪN CHUNG
	- Thí sinh làm bài theo cách khác nhưng đúng vẫn cho điểm tối đa.
	- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.
II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM 
Câu
ý
Nội Dung
Điểm
I
1
1,00
Đặt M = (ĐK:)
Ta có: 
0,25
0,25
0,25
Có 
0,25
I
2
1,00
Ta có: 
0,25
0,25
0,25
0,25
II
1
1,00
Xét phương trình: (ĐK: )
0,25
0,25
0,25
0,25
II
2
1,00
Xét hệ phương trình:
0,25
Đặt: 
0,25
0,25
* 
0,25
* 
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là: 
0,25
III
1
1,00
Ta có: , dễ thấy a>1
Do n là số nguyên tố, a và b là các số tự nhiên, a>1, suy ra 
0,25
0,25
Lại có: 
0,25
Kiểm tra lần lượt các giá trị b ta được: 
0,25
III
2
1,00
+) Chứng minh được là số vô tỉ
0,25
+) Đặt - Tập số hữu tỉ). Ta chứng minh được: 
Nếu có (*)( Vì trái lại thì x vô tỉ bằng hữu tỉ- Vô lý)
0,25
+) Nếu có thì ta có:
 và 
 _ Nếu a =0 thì từ (1) và (*) ta có b = c =0
 _ Nếu a0 thì từ (2) và (3) ta có 
Từ (1) và (4) ta có 
0,25
Sử dụng kết quả (*), từ (5)ta có 
 Nếu b=0 từ (**) ta có ( Vô lý vì )
 Nếu b0 từ (**) ta có ( Vô lý vì a0 )
Vậy ( 1) xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0
0,25
IV
1
1,00
Ta có: (góc nt chắn )
0,25
 (cùng phụ với )
0,25
0,25
Do Tứ giác DENM nội tiếp.
0,25
IV
2
1,00
Chứng minh và đồng dạng 
và đồng dạng 
0,25
Gọi I là giao điểm của DE và AB (AB là đường kính, từ gt của M,N suy ra D và E nằm về hai phía của AB nên I nằm giữa A và B)
Chứng minh và đồng dạng 
và đồng dạng 
0,25
và đồng dạng 
0,25
Từ (1) và (2) suy ra (3)
Do AM.AN không đổi, IA + IB = AB không đổi, từ (3) ta có I cố định.
0,25
IV
3
1,00
Ta có: ID.IE = IA.IB = OA2 - OI2
Tương tự ID.IE = KD2 - KI2 (*)
và AM.AN = KM2 - KA2 (**)
0,25
Từ (*),(**) ta có KI2 - KA2 = AM.AN - IA.IB là số dương không đổi.
0,25
Kẻ KH vuông góc với AB tại H
suy ra HI2 - HA2 = KI2-KA2 = m 
0,25
hay (HI - HA)(HI + HA) = IA.(2HA + IA) = m
Do I, A cố định, m không đổi suy ra H cố định.
Vậy K luôn thuộc vào đường thẳng vuông góc với AB tại H xác định như trên.
0,25
V
1,00
Đặt 
 (vì xy = 4)
0,25
0,25
Do . Dấu “=” xẩy ra khi a = 3
. Dấu “=” xẩy ra khi a = 3
0,25
Khi đó Vậy MinA = 4 khi 
0,25