Đề thi học sinh giỏi môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Trường THCS Hồng Khê (Có đáp án và biểu điểm)

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
TRƯỜNG THCS HỒNG KHÊ
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
 NĂM HỌC 2014-2015 - Môn thi: TOÁN 7
ĐỀ CHÍNH THỨC
Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)
(Đề gồm 01 trang)
Câu 1. 
Chứng minh: 52014 - 52013 + 52012 chia hết cho 105.
Tìm số nguyên tố p sao cho p + 2 và p + 4 đều là số nguyên tố.
Câu 2. Tìm x biết :
(). x = 
Câu 3. 
Tìm x; y; z biết 5x = 7z và x – 2y + z = 32.
Cho . Chứng minh: .
Tìm giá trị nhỏ nhất của A = .
Câu 4. Cho tam giác ABC cân (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D trên tia đối tia CB lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đường thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB và AC lần lượt ở M và N. Gọi I là giao điểm của MN và BE.
a. Biết AB 600.
 b. Chứng minh IM = IN
c. Chứng minh đường thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua 1 điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh BC.
Hết./
Họ và tên: ........................................................................Số báo danh....................................................
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
Câu 1
a
52014 - 52013 + 52012 = 52011(53 – 52 +5) 
= 52011(125 – 25 + 5) = 52011.105 chia hết cho 105
0.5
 0.5
b
*) Nếu p = 3k + 1 ta có: 2p + 1 = 2(3k + 1) + 1 = 6k + 3 = 3(2k +1) là hợp số ( trái gt)
*) Nếu p = 3k + 2 ta có 2p + 4 = 2(3k + 2) + 2 = 6(k + 1) là hợp số ( trái gt)
Vậy p = 3k, mặt khác p là số nguyên tố nên p =3
0.25
0,25
0.5
Câu 2
a
Nếu thì 2x – 3 = x +1 x = 4 
Nếu thì 3 – 2x = x +1 3x = 2x = 
Vậy x = 4 hoặc x = 
0.5
0,5
b
().x = 
().x = 
().x = 
().x = x = 2014
0,5
0,25
0.25
Câu 3
a
Ta có (1); 5x = 7z (2)
Từ (1) và (2) ta có: = 
Tìm được: x = 84; y = 56; z = 60
0.25
0.5
0.25
b
Đặt: = k 7x + 5y = k(3x – 7y) (3k – 7) x= (7k + 5)y (1)
Tương tự: 7z + 5t = k( 3z – 7t) (3k – 7)z = (7k + 5)t (2)
Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh
0,5
0,5
c
A = = 
Ta có: . Dấu “=” xảy ra khi: (1)
Lại có: . Dấu “=” xảy ra khi x = 2014 (2). Từ (1) và (2) Ta có minA = 2. Dấu “=” xảy ra khi x = 2014
0.25
0.25
0.25
Câu 4
0.25
a
Do AB < BC nên mà vì tam giác ABC cân Mà nên ta có 
(HS có thể c/m bằng phản chứng)
1.0
b
HS chứng minh được BDM = CEN suy ra EN = DM
HS chứng minh được IDM = IEN suy ra IN = IM
0.5
0.5
c
Kẻ AH vuông góc với BC. Gọi O là giao điểm của AH và đường thẳng vông góc với MN ở I . 
HS chứng minh được O là điểm cố định.
0.5
0,5
Lưu ý:
- Học sinh giải cách khác mà đúng vẫn cho điểm tối đa.
- Học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm bài hình.