Đề thi chọn học sinh giỏi vòng II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG II
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề bài gồm 01 trang)
Câu 1 (2.0 điểm). Rút gọn biểu thức:
	1) với 
	2) với 
Câu 2 (2.0 điểm). 
	1) Giải phương trình: 
2) Tìm điều kiện của m để hàm số bậc nhất nghịch biến trên R.
Câu 3 (2.0 điểm).
	1) Cho hàm số , tìm x sao cho 
2) Tính: 
Câu 4 (3.0 điểm). 
	Cho đường tròn (O), đường kính BC = 2R. Lấy điểm A thuộc đường tròn (O) sao cho A khác B và AB < AC, kẻ AH vuông góc với BC tại H.
	1) Tính R biết AH = 6cm, AC = 10cm.
	2) Kẻ dây AD của đường tròn (O) cắt bán kính OC tại I. Kẻ BM và CN vuông góc với AD thứ tự tại M, N. Gọi K là trung điểm của MN. Chứng minh:
Câu 5 (1.0 điểm).
	Cho các số hữu tỉ a, b, c thỏa mãn và là số hữu tỉ. 
	Biết là số vô tỉ, chứng minh rằng: .
–––––––– Hết ––––––––
(Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi)
Họ tên học sinh:Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1:  Chữ kí giám thị 2:
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI VÒNG II
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1
(2,0 đ)
1) , ta có: 
0,5
0,5
2) Với , ta có:
0,5
0,5
Câu 2
(2,0 đ)
1) ĐK: : 
0,25
0,25
0,25
 suy ra (TM)
0,25
 2) Hàm số bậc nhất nghịch biến trên R khi 
0,25
 hoặc 
0,25
 hoặc 
0,25
 hoặc m < 0
0,25
Câu 3
(2,0 đ)
1) ĐK: , ta có:
0,25
0,25
0,25
 (TMĐK)
0,25
2) 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 4
(3,0 đ)
a) Ta có 
(bán kính)
Tam giác ABC có AO là đường trung tuyến hơn nữa . Do đó ABC vuông tại A.
0,5
Xét AHC vuông tại H, theo định lí Pytago ta có: 
0,25
ABC vuông tại A có AH là đường cao, ta có: 
0,5
 (cm)
0,25
b) Gọi E là trung điểm của BN.
BMN có E, K lần lượt là trung điểm của BN và MK nên KE là đường trung bình.
Suy ra: , (1)
0,5
BCN có E, O lần lượt là trung điểm của BN và BC nên OE là đường trung bình.
Suy ra: , (2)
0,25
Ta có (cùng vuông góc với AD) (3)
Từ (1), (3) suy ra EK // CN (4)
0,25
Từ (2), (4) suy ra OE // EK suy ra E, O, K thẳng hàng.
0,25
Suy ra 
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Ta chứng minh tính chất sau:
“Cho x, y là các số hữu tỉ. Chứng minh rằng là số hữu tỉ khi y = 0”
Chứng minh:
Đặt . Vì k, x là các số hữu tỉ, suy ra là số hữu tỉ nên là số hữu tỉ mà là số vô tỉ vậy y = 0. 
Đặt 
Vì a, b, c, là các số hữu tỉ. Áp dụng tính chất trên ta có:
 (đpcm)
0,25
0,25