Đề thi chọn học sinh giỏi vòng II môn Toán Lớp 9 - Năm học 2012-2013 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án và biểu điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG II
NĂM HỌC 2012-2013
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Thời gian làm bài: 150 phút)
Câu 1 (2,0 điểm): 
	1) Rút gọn 
	2) Xác định các hệ số a, b để đa thức chia hết cho đa thức Câu 2 (2,0 điểm): 
	1) Giải hệ phương trình: 	
	2) Tìm m để đường thẳng tạo với trục hoành một góc bằng .
Câu 3 (2,0 điểm): 
1) Tìm số thực x không âm để có giá trị nguyên.
	2) Tìm x, y, z thoả mãn: 
Câu 4 (3,0 điểm): 
1) Cho đường tròn (O) nội tiếp tam giác nhọn ABC (AB > AC > BC). Đoạn thẳng AO, BO, CO cắt đường tròn (O) thứ tự tại H, I, K. So sánh các cung HI, IK, KH của đường tròn (O). 
	2) Cho đường tròn (O; R) nội tiếp tam giác ABC. Đường tròn (O) tiếp xúc với BC tại D, kẻ đường kính DE của đường tròn. Tiếp tuyến tại E của đường tròn cắt AB, AC thứ tự ở M, N; AE cắt BC tại K. Chứng minh rằng:
a) BD. ME = R2
BD = CK
Câu 5 (1,0 điểm): Tìm giá trị nguyên của m để hệ phương trình: có nghiệm (x; y) là cặp số nguyên.
Hết
ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI HSG MÔN TOÁN LỚP 9 VÒNG II
Câu 1: (2,0 điểm)
Điểm
1) 
0,5
0,5
2) Ta có 
0,5
0,5
Câu 2: (2,0 điểm) 
1) ĐK: . Vì với (Vô lí)
0,25
0,25
Từ (1) 
0,25
 thay vào PT (2) ta có 
 (TM) . Vậy hệ có nghiệm (x; y) = (9; 9)
0,25
2) Nếu m = 0 thì đường thẳng có dạng > 0 là đường thẳng song song trục hoành nên không tạo với trục hoành góc suy ra m = 0 loại. 
0,25 
Nếu thì đường thẳng cắt trục tung tại , cắt trục hoành tại . Do góc tạo bởi của đường thẳng với trục hoành là nên vuông cân tại O suy ra OA = OB. 
0,25
Do nên từ đó: 
 mà OA = OB
0,5
Câu 3: (2,0 điểm)
1) Đặt 
0,25
 mà nên a = 1; 2; 3; 4
0,5
Với a = 1 thì x = 49; Với a = 2 thì x = 25/16 ; 
Với a = 3 thì x = 9/49; Với a = 4 thì x = 1/100
0,25
2) ĐK: .
 Ta có: 
Suy ra 
1,0
Câu 4: (3,0 điểm)
1) Ta có , , (T/c tiếp tuyến)
nên: 
Mà AB > AC > BC (Quan hệ góc và cạnh đối diện trong tam giác). Do đó:
Trong đường tròn (O): cung HI > cung HK > cung IK 
0,5
0,5
2) 
a) Chứng minh: 
0.5
Chứng minh: BDOOEM ( g.g.)
0.25
0.25
b) Chứng minh CD. NE = R2.
0.25
BD.ME = CD.NE
0.25
Chứng minh 
0.25
0.25
Câu 5: (1,0 điểm)
Giải hệ pt: tìm được: (*)
0,25
Do nghiệm (x; y) là cặp số nguyên nên , có: 
0,25
 Ư(-5) mà m2 + 1 1 
 thay m = 0; 2; -2 vào (x; y) ở (*) ta chọn được thỏa mãn nghiệm (x; y) là cặp số nguyên. 
0,5
Chú ý: 
- Giáo viên có thể chia nhỏ biểu điểm hơn để chấm.
- Học sinh có lời giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa.