Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh môn Toán Lớp 9 THCS - Năm học 2014-2015 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Kèm hướng dẫn chấm)

SỞ GIÁO DỤC HÀI DƯƠNG
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút 
Câu 1 (2,0 điểm):
1) Cho x = .
 Tính giá trị của biểu thức B = 3x3 -3x2 +2013
2) Cho x, y là các số thực thỏa mãn và . Tính giá trị của biểu thức: 
Câu 2 (2,0 điểm):
1) Giải phương trình : 	
2) Giải hệ phương trình 
Câu 3 (2,0 điểm):
1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2(x+y) + xy = x2 + y2.
2) Tìm các số tự nhiên m; n sao cho là số nguyên tố.
Câu 4 (3,0 điểm): 
Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của cạnh BC. Trên hai cạnh AB, AC lần lượt lấy hai điểm chuyển động E và F sao cho .
a) Chứng minh BE.CF = .
b) Vẽ đường tròn (O) tiếp xúc AB. Chứng minh EF là tiếp tuyến của đường tròn (O).
c) Xác định vị trí của E, F để EF có độ dài nhỏ nhất.
Câu 5 (1,0 điểm):
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn: xy + yz + xz = 1. Chứng minh rằng: 
-------------------------Hết----------------------------------
SỞ GIÁO DỤC HÀI DƯƠNG
HƯỚNG DẪN CHẤM 
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2014 – 2015
MÔN THI: TOÁN
Câu
Ý
Điểm
I
1
0,25
0,25
0,25
0,25
2
 (1) và (2)
Cộng vế với vế (1) và (2), ta có:
Mà với mọi x, y 
Khi , ta có P = 1
0,25
0,25
0,25
0,25
II
1
Đặt a=, b= ta thu được hệ phương trình 
 từ đó suy ra 
+ Nếu a=2b thì =2 Bình phương hai vế ta được 9x=3 
+ Nếu a=1-2b thì =1- 2 (3)
Lại có 1- 2 =1- 2
Mà vế trái của (3) số không âm , do đó trường hợp này không xảy ra .
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
Cộng vế với vế (1) và (2) ta được: 
 hoặc 
TH1: thay vào (1) ta có: => PT vô nghiệm
TH2: thay vào (1) ta có: 
- Khi , khi 
Vậy HPT có nghiệm (x; y) là: 
0,25
0,25
0,25
0,25
III
1
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 2(x+y) + xy = x2 + y2 (1) 
Biến đổi phương trình (1) x2 - ( y+2) x + y2 – 2y = 0 (2)
 Coi (2) là PT bậc 2 ẩn x , có = 16 – 3(y-2)2
Để PT (1) có nghiệm nguyên thì PT (2) phải có nghiệm nguyên
 và phải là số chính phương. 
 và là số chính phương.
Từ điều kiện trên ta tìm được 
 Với mỗi giá trị của y ta tìm được giá trị tương ứng của x 
 Suy ra các nghiệm nguyên của phương trình ban đầu là 
 ( x; y ) 
0,25
0,25
0,25
0,25
2
1) là số nguyên tố do đó.
Mà: 
Mà 
do đó A là số nguyên tố thì A= 13 
Thử lại (m;n) = ( 1; 6)
0.25 
0.25 
0.25 
0.25 
IV
1
(1) (2)
Từ (1), (2) 
Xét và có:
 ( g.g)
0,25
0,25
0,25
0,25
2
, OB = OC (GT) 
Xét và có: 
(c.g.c) 
Gọi H là tiếp điểm của (O) với AB . Kẻ 
Xét và có: 
 OK là bán kính của (O), EF là tiếp tuyến của (O).
0,25
0,25
0,25
0,25
3
Đặt AH = a. Ta có AE + AF + EF = 2a
. AE + AF = 2a - EF
Chứng minh được 
Ta có 
 Min(EF) = AE = AF AEF cân tại A EF // BC.
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Ta có: 
Nên (1)
Tương tự: (2)
(3)
Cộng (1);(2) và (3) Ta có: (*)
Ta có: 
Nên x + y + z (**)
Từ (*) (**) Ta có: 
Dấu = xảy ra khi x = y = z = 
0,25
0,25
0,25
0,25
-------------------------Hết----------------------------------