Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 9 THCS môn Toán - Năm học 2013-2014 - Sở GD&ĐT Hải Dương (Kèm hướng dẫn chấm)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014
(đề thi gồm 01 trang)
Câu 1 (2 điểm).
a) Rút gọn biểu thức với .
b) Cho a và b là các số thỏa mãn a > b > 0 và .
Tính giá trị của biểu thức .
Câu 2 (2 điểm).
a) Giải phương trình 
b) Giải hệ phương trình .
Câu 3 (2 điểm).
a) Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình .
b) Cho hai số tự nhiên a, b thỏa mãn . 
Chứng minh rằng là số chính phương. 
Câu 4 (3 điểm).
 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O, R). H là một điểm di động trên đoạn OA (H khác A). Đường thẳng đi qua H và vuông góc với OA cắt cung nhỏ AB tại M. Gọi K là hình chiếu của M trên OB. 
a) Chứng minh 
b) Các tiếp tuyến của (O, R) tại A và B cắt tiếp tuyến tại M của (O, R) lần lượt tại D và E. OD, OE cắt AB lần lượt tại F và G. Chứng minh OD.GF = OG.DE.
c) Tìm giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB theo R.
Câu 5 (1 điểm).
Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
----------------------Hết------------------------
Họ và tên thi sinh..số báo danh...
Chữ ký của giám thị 1..chữ ký của giám thị 2
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HẢI DƯƠNG
---------------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 9 NĂM HỌC 2013-2014
MÔN THI: TOÁN
Ngày thi 20 tháng 03 năm 2014
(Hướng dẫn chấm gồm có 03 trang)
Lưu ý: Nếu học sinh làm theo cách khác mà kết quả đúng thì giám khảo vẫn cho điểm tối đa.
Câu
Nội dung
Điểm
Câu 1a:
(1,0 đ)
0.25
0.25
0.25
 = 
0.25
Câu 1b:
(1,0 đ)
0.25
Vì a > b > 0 nên từ (*) ta có a = 2 b 
0.25
Vậy biểu thức 
0.25
0.25
Câu 2a:
(1,0 đ)
Đặt 
0.25
ta được phương trình 
0.25
Với t = -4 ta có 
0.25
Với t =2 ta có 
. Kết luận nghiệm của phương trình.
0.25
Câu 2b:
(1,0 đ)
Từ hệ ta có 
0.25
0.25
* Với x = y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ();()
0.25
* Với x = - y ta tìm được (x ; y) = (0; 0); ();()
Vậy hệ phương trình có nghiệm
(x ; y) = (0; 0); );();();()
0.25
Câu 3a:
(1,0 đ)
Do y nguyên dương 
0.25
Vì 
0.25
mà và (Do )
0.25
*Nếu 
*Nếu 
Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình là:
 và 
0.25
Câu 3b:
(1,0 đ)
 (*)
0.25
Gọi d là ước chung của (a - b, 2a + 2b + 1) (). Thì
0.25
Mà mà 
0.25
Do đó (a - b, 2a + 2b + 1) = 1. Từ (*) ta được và là số chính phương => là số chính phương.
0.25
Câu 4a:
(1,0 đ)
Qua A kẻ tia tiếp tuyến Ax của (O). Ta có sđ (1)
0.25
Có Ax // MH (cùng vuông góc với OA) (2)
0.25
Tứ giác MHOK nội tiếp (cùng chắn ) (3)
0.25
Từ (1), (2), (3) ta có hay 
0.25
Câu 4b:
(1,0 đ)
Có tứ giác AOMD nội tiếp (4)
0.25
sđ;sđ 
 tứ giác AMGO nội tiếp (5)
0.25
Từ (4), (5) ta có 5 điểm A, D, M, G, O cùng nằm trên một đường tròn
0.25
 và đồng dạng
 hay OD.GF = OG.DE.
0.25
Câu 4c:
(1,0 đ)
Trên đoạn MC lấy điểm A’ sao cho 
MA’ = MA đều
0.25
Chu vi tam giác MAB là 
0.25
Đẳng thức xảy ra khi MC là đường kính của (O) => M là điểm chính giữa cung AM => H là trung điểm đoạn AO
Vậy giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB
0.25
Gọi I là giao điểm của AO và BC 
Giá trị lớn nhất của chu vi tam giác MAB là 2R + AB = 
0.25
Câu 5:
(1,0 đ)
Từ gt : và a,b,c > 0 
Chia cả hai vế cho abc > 0 
đặt 
Khi đó 
0.25
0.25
0.25
Khi thì C = 17
Vậy GTNN của C là 17 khi a =2; b =1; c = 1
0.25