Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án và thang điểm)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 8
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1(2 điểm). 
a) Phân tích đa thức đây thành nhân tử: 	
b) Rút gọn biểu thức 
Câu 2 (2 điểm). 
a) Giải phương trình: 
b) Tìm x,y,z, biết .
Câu 3 (2 điểm)
	a) Tìm x sao cho 
	b) Cho a, b là các số thực dương. Chứng minh rằng 
Câu 4 (4 điểm)
Cho tam giác ABC nhọn (AB<AC). Các đường cao AE, BF cắt nhau tại H. Gọi M trung điểm của BC, qua H vẽ đường thẳng a vuông góc với HM, a cắt AB, AC lần lượt tại I và K.
a) Chứng minh ABC đồng dạng EFC.
b) Qua C kẻ đường thẳng b song song với đường thẳng IK, b cắt AH, AB theo thứ tự tại N và D. Chứng minh NC = ND và HI = HK.
c) Gọi G là giao điểm của CH và AB. Chứng minh:
------------ Hết ------------
Họ tên thí sinh:Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1:  Chữ kí giám thị 2:
ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM:
Bài 1
Câu
Nội dung
Điểm
1
2,0
a
0.5
0,5
b
0,5
=
0,25
0,25
a
 (1)
+ Nếu : (1) (thỏa mãn điều kiện ).
+ Nếu : (1) 
 (cả hai đều không bé hơn 1, nên bị loại)
Vậy: Phương trình (1) có một nghiệm duy nhất là .
0,5
0,5
b
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
(9x2 – 18x + 9) + (y2 – 6y + 9) + 2(z2 + 2z + 1) = 0 
9(x - 1)2 + (y - 3)2 + 2 (z + 1)2 = 0 (*)
Do : 
Nên đẳng thức (*) xảy ra dấu “=” khi x = 1; y = 3; z = -1
Vậy x = 1; y = 3; z = -1
0,25
0,25
0,25
0,25
3
a
 hoặc 
 hoặc 
 hoặc 
Vậy hoặc là các giá trị cần tìm.
0,25
0,25
0,25
0,25
b
Ta có với mọi a, b. Dấu “=” xảy ra khi 
Vì a, b là các số dương nên a.b là số dương
Do đó luôn đúng với a, b là các số dương.
 Dấu “=” xảy ra khi 
Vậy với a, b là số dương.
0,25
0,25
0,25
0,25
4
0,25
a
Ta có AEC BFC (g-g) nên suy ra 
Xét ABC và EFC có và góc C chung nên suy ra ABC EFC ( c-g-c)
0,75
0,75
b
Vì CN //IK nên HM CN M là trực tâm HNC 
MN CH mà CH AD (H là trực tâm tam giác ABC) 
nên MN // AD. Do M là trung điểm BC nên NC = ND
IH = IK ( theo đl Ta-let)
0,5
0,25
0,25
0,25
c
Ta có:
Tương tự ta có và 
= +, Dấu ‘=’ khi tam giác ABC đều, mà theo gt thì AB < AC nên không xảy ra dấu bằng,
0,5
0,25
0,25