Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2014 - 2015
MÔN: TOÁN - LỚP 7
(Thời gian làm bài: 120 phút)
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm x biết
 a) b) 
Câu 2 (2,0 điểm). 
Tìm x, y, z biết và x – 2y – z = 2
Cho 
 Chứng minh 
Câu 3 (2,0 điểm).
Cho hai đa thức M = 2x2y – x3 – 2y + x và N = x2 + xy + 2x + 4y - 8 
Tìm đa thức P biết P + N = M
Tính giá trị của đa thức N khi x + y – 2 = 0
Câu 4 (3,0 điểm).
 Cho tam giác ABC cân tại A. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = AN. Kẻ MH vuông góc với BC, NK vuông góc với BC (). Chứng minh rằng :
MN // BC
BH = CK
2BN > BC + MN
Câu 5 (1,0 điểm).
 Cho P(x) = ax2 + bx + c (a, b, c là các hằng số) biết 3a + b = 0. Chứng minh rằng : P(n).P(m) 0 với m + n = 3
–––––––– Hết ––––––––
Họ tên thí sinh:Số báo danh:
Chữ kí giám thị 1:  Chữ kí giám thị 2:
PHÒNG GD&ĐTBÌNH GIANG
---------------------
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
NĂM HỌC 2014-2015
MÔN: TOÁN - LỚP 7
 (Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Ý
Nội dung
Điểm
1
a
0,25đ
0,25đ
0,25đ
x = 1
0,25đ
b
 hoặc 
0,25đ
 hoặc 
0,25đ
 hoặc 
0,25đ
 hoặc 
(Nếu học sinh chỉ tìm được một trường hợp thì cho 0,5 đ)
0,25đ
2
a
Theo đề bài và áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có
0,25đ
Do đó 
0,25đ
0,25đ
0,25đ
b
Vì suy ra 
0,25đ
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau có 
 (1)
0,25đ
Mặt khác (2)
0,25đ
Từ (1) và (2) ta có (đpcm)
0,25đ
3
a
Vì P + N = M nên P = M - N
0,25đ
P = M – N = (2x2y – x3 – 2y + x) – (x2 + xy + 2x + 4y – 8)
0,25đ
P = 2x2y – x3 – 2y + x – x2 - xy - 2x - 4y + 8
0,25đ
P = 2x2y – x3 - 6y – x – x2 – xy + 8
0,25đ
b
N = x2 + xy + 2x + 4y - 8 
0,25đ
 N = x(x + y + 2) + 4y - 8 
0,25đ
 N = 4x + 4y - 8 Vì x + y = 2 nên x + y + 2 = 4
0,25đ
N = 4(x + y – 2) = 0 Vì x + y = 2 nên x + y - 2 = 0
0,25đ
4
0,25đ
a
 Vì AM = AN nên AMN là tam giác cân 
Suy ra 
0,25đ
ABC là tam giác cân nên 
0,25đ
Do đó ( cặp góc so le trong)
0,25đ
Vậy MN // BC
0,25đ
b
Xét BHM và CKN có:
 BM = CN
Do đó BHM =CKN (Cạnh huyền - góc nhọn)
0,5đ
Suy ra BH = CK (cặp cạnh tương ứng)
 HM = KN (cặp cạnh tương ứng)
0,25đ
c
Xét BNK và CMH có 
 HM = KN (CMT)
 BK = CH ( Vì BK = BH + HK; CH = CK +KH; BH = CK)
Do đó BNK = CMH ( c – g - c)
Suy ra BN = CM (cặp cạnh tương ứng)
0,5đ
Vì BN > BK; CM > CH (quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên)
Suy ra BN + CM > BK + CH
0,25đ
Hay BN + BN > BH + HK + CH ( vì MN = HK)
2BN > BH + CH + MN
Do đó 2BN > BC + MN
0,25đ
5
Vì 3a + b = 0 nên b = - 3a
0,25đ
P(n) = an2 – 3an +c 
0,25đ
P(m) = am2 – 3am +c = a(3 – n)2 – 3a(3 – n) + c = an2 – 3an +c 
0,25đ
Do đó P(n). P(m) = (an2 -3an +c)2 0 
0,25đ
Ghi chú: Nếu học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa