Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán Lớp 7 - Năm học 2011-2012 - Trường THCS Vũ Hữu (Có đáp án)

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
TRƯỜNG THCS VŨ HỮU
ĐỀ CHÍNH THỨC
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN TOÁN - LỚP 7
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề thi gồm 01 trang) 
Câu 1 (2,0 điểm).
 	Cho hai đa thức: P(x) = x2 + 2xy – x + 1; Q(x) = 3xy + x2 – 2,5x + 
	a) Tìm đa thức R(x), biết R(x) + 2Q(x) = 3P(x)
	b) Tìm các nghiệm của đa thức R(x)
Câu 2 (2,0 điểm).
 	a) Tìm x, biết: 4x + 1 – 4x = 48
	b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (Với x Î và x 0)
Câu 3 (2,0 điểm).
 	a) Tìm x, y, z biết 4x = 3y; 3x = 4z và 2x – y + z = -102
	b) Cho M= 32012 – 32011 + 32010 – 32009 + 32008. Chứng minh rằng M chia hết cho 10
Câu 4 (3,0 điểm).
 	Cho DABC có AB > AC. Các tia phân giác của góc B, góc C cắt nhau tại I. Vẽ đường vuông góc IH từ I đến đường thẳng BC. Tia AI cắt BC tại D. Chứng minh rằng:
IB > IC
Biết BC = 6cm và AB – AC = 2cm. Tính các độ dài HB, HC
Câu 5 (1,0 điểm).
	Cho a, b, c, d, e, f Î; và af – be = 1. Chứng minh rằng d > b + f
--------------------HẾT--------------------
Họ tên thí sinh:... Số báo danh:.
Chữ kí giám thị 1: .. Chữ kí giám thị 2:.
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
TRƯỜNG THCS VŨ HỮU
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 
NĂM HỌC 2011 – 2012
MÔN TOÁN - LỚP 8
Câu
Phần
Nội dung
Điểm
Câu 1
a
Từ R(x) + 2Q(x) = 3P(x) suy ra R(x) = 3P(x) – 2Q(x)
0.25
Khi đó R(x) = 3(x2 + 2xy – x+ 1) – 2(3xy + x2 – 2,5x + )
0.25
 = 3x2 + 6xy – 3x+ 3 - 6xy - 2x2 + 5x - 3
0.25
 = x2 + 2x
0.25
b
Ta cần tìm x sao cho R(x) = 0. Ta có:
x2 + 2x = 0 Û x (x + 2) = 0
0.25
Û x = 0 hoặc x + 2 = 0
0.25
Û x = 0 hoặc x = -2
0.25
Vậy x = 0; x = -2 là các nghiệm của đa thức R(x)
0.25
Câu 2
a
4x + 1 – 4x = 48 
Û 4. 4x – 4x = 48
0.25
Û 3. 4x = 48
0.25
Û 4x = 16 Û 4x = 42
0.25
Þ x = 2
Vậy x = 2
0.25
b
Với xÎ, x 0 và x £ 1
Þ x + 1 £ 0, mà çx÷ > 0 Þ A £ 0
0.25
Với xÎ, x 0 và x > -1
 Þ x + 1 > 0 Þ A > 0. Khi đó 
0.25
Biểu thức A đạt giá trị lớn nhất Û đạt giá trị lớn nhất Û x có giá trị nhỏ nhất Þ x = 1. Khi đó ta có A = 2.
0.25
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức A bằng 2 khi = 1
0.25
Câu 3
a
Từ 4x = 3y ÞÞ; (1)
 Và từ 3x = 4z ÞÞ (2)
0.25
Từ (1) và (2) 
0.25
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có: 
0.25
Suy ra x = -72; y = -96; z = -54
0.25
b
Ta có M = 32008(34 – 33 + 32 – 3)
0.25
= 32008. (81 – 27 + 9 – 3)
0.25
= 32008. 60 
0.25
= 32008. 6. 10 10
Vậy M 10
0.25
Câu 4
Vẽ hình
0.25
GT- KL
GT
DABC, AB > AC
Các phân giác: BI, CI
AI cắt BC tại D; IH ^ BC
BC = 6cm; AB – AC = 2 cm
KL
IB > IC
Tính HB, HC
0.25
a
DABC có AB > AC Þ 
0.25
DIBC có Þ IB > IC
0.25
b
Vì điểm I là giao điểm của các phân giác xuất phát từ đỉnh B, đỉnh C của DABC nên AI là tia phân giác của góc BAC.
Ta có: ; ; 
0.25
DBIH, Þ (1)
0.25
DAIC có là góc ngoài tại đỉnh I Þ (2)
0.25
Từ (1) và (2) ta có 
0.25
Câu 5
a
Gọi Mvà N lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC
Chứng minh DAIM = D AIM (cạnh huyền- goc nhọn) Þ AM = AN
Tương tự có: BM = BH; CH = CN
0.25
Khi đó AB – AC = (AM + BM) – (AN + CN) = BM – CN = BH - CH
0.25
Do AB – AC = 2 cm Þ BH – CH = 2 cm (1)
Ta lại có BH + CH = BC Þ BH + CH = 6 cm (2)
0.25
Từ (1) và (2) suy ra BH = 4 cm; CH = 2 cm
0.25
b
 Do a, b, c, d, e, f Î; nên suy ra ad > bc và cf > de (1)
0.25
Lại do af – be = 1 nên: 
d = d.(af – be) = daf – dbe 
0.25
 = (daf – bcf) + (bcf – dbe) = f( ad – bc) + b(cf- de) (2)
0.25
Từ (1) và (2) ta có d > f + b
0.25
Học sinh làm cách khác, kết quả đúng vẫn cho điểm tối đa của phần đó.