Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán 8 - Năm học 2014-2015 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Kèm hướng dẫn chấm)

UBND HUYỆN BÌNH GIANG
PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO 
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Năm học 2014 - 2015
Môn: Toán 8
( Thời gian làm bài: 120 phút )
Bài I. (1.5điểm) Cho A = (với )
1) Rút gọn A
2) Với giá trị nguyên nào của x thì A có giá trị nguyên?
Bài II. (2.5điểm)
1) Phân tích đa thức sau đây thành nhân tử:
a. 
b. 
2) Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì 
A = 4a2b2 – (a2 + b2 - c2)2 luôn luôn dương.
Bài III. (2điểm) 
 1) Cho x, y thoả mãn . Chứng minh rằng:
2) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn: sao cho tích x.y đạt giá trị lớn nhất.
Bài IV. (3điểm) Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy điểm M, Qua điểm M kẻ các đường thẳng song song với AC và AB thứ tự cắt AB và AC tại E và F. 
1)Chứng minh có giá trị không đổi.
2) Cho biết diện tích của các tam giác MBE và MCF thứ tự là a2 và b2 .Tính diện tích của tam giác ABC theo a và b.
3)Xác định vị trí của M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất.
Bài V. (1điểm) Tìm các cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn: 
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 8
Bài
Đáp án
Điểm
I.
1.5
1). Với ta có 
2) Ta có 
Suy ra với x nguyên thì A có giá trị nguyên khi x + 1 là ước của 2013.
Ước của 2013 gồm -2013;-671; -183; -61; -33; -11; -3; -1; 1; 3; 11; 33; 61; 183; 671; 2013
Từ đó tìm và đối chiếu điều kiện ta có với x nhận các giá trị là -2014; -672; -184; -62; -34; -12; -4; -2; 2; 10; 32; 60; 182; 670; 2012 thì A nhận giá trị nguyên
0.5
0.25
0.5
0.25
II.
2.5
1) a. 
b. 
2) Ta có A = [2ab + (a2 + b2 - c2)][2ab – (a2 + b2 - c2)] = [(a + b)2 – c2][c2 – (a – b)2]
 = (a + b + c)(a + b – c)(c + b – a)(c + a – b).
Do a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên a, b, c > 0 và theo bất đẳng thức trong tam 
giác ta có a + b – c > 0; c + b – a > 0; c + a – b > 0 từ đó suy ra điều phải chứng minh
0.5
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.25
III.
2.0
1) (1)
Vì => => 
BĐT (2) luôn đúng => BĐT (1) luôn đúng (dấu ‘’=’’ xảy ra khi x = y)
2)
Dấu bằng xảy ra khi (x;y) 
Kết luận....
0.5
0.25
0.25
0.5
0.25
0.25
IV.
3.0
Vẽ đúng hình và ghi được ghi GT, KL 
0.25
0,75
1.0
0,25
0,5
0,25
1) Vì ME// AC ; MF // AB theo hệ quả định lý Ta-Let ta có 
2) Chứng minh tam giác MBE đồng dạng với tam giác CBA suy ra ; Tương tự ( S2 là diện tích tam giác ABC) suy ra hay . Vậy dt(ABC) = (a+b)2
3) Từ phần 2 suy ra dt(AEMF) = 2ab 
Lại có 2ab dấu bằng xảy ra khi a = b khi M là trung điểm của BC
Kết luận ...
V.
1.0
Ta có: (*) 
VT của (*) là số chính phương; VP của (*) là tích của 2 số nguyên liên tiếp nên phải có 1 số bằng 0
0,5
0,25
Vậy có 2 cặp số nguyên hoặc 
0,25
Chú ý :
 Học sinh giải cách khác mà vẫn đúng thì cho điểm tối đa theo từng phần tương ứng.