Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2018-2019 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2018 - 2019
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề bài gồm 1 trang)
Câu 1 (2,0 điểm). 
	1) Rút gọn biểu thức: 
	2) Chứng minh rằng: với . 
Câu 2 (2,0 điểm).	
1) Giải phương trình: 
2) Cho và . Tính giá trị đa thức: . 
Câu 3 (2,0 điểm).
	1) Biết (18 chữ số 9) là một số thập phân vô hạn không tuần hoàn. Hãy tìm 18 chữ số đầu tiên của phần thập phân của số đó.
	2) Chứng minh rằng: Tích của một số chính phương với số liền trước của nó là một số chia hết cho 12 (Số chính phương là bình phương của một số tự nhiên).
Câu 4 (3,0 điểm). 
	Cho tam giác ABC vuông cân tại A, trung tuyến BD . Kẻ CH vuông góc với tia BD tại H.
1) Tính (Kết quả để nguyên dấu căn bậc hai).
2) Chứng minh rằng: . 
3) Chứng minh rằng: Diện tích tam giác ABH bằng 6 lần diện tích tam giác ADH.
Câu 5 (1,0 điểm). 
Cho hai số x, y thỏa mãn: . Tìm giá trị nhỏ nhất của xy. 	 -----------------------------------
(Ghi chú: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi)
Họ tên học sinh:..Số báo danh:....
Chữ kí giám thị 1: .. Chữ kí giám thị 2:..
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2018 - 2019
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 03 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2,0 đ)
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Với : 
0,25
0,25
0,25
= 0
0,25
Câu 2
(2,0 đ)
1) ĐK: : 
0,25
 (Do ) 
0,25
0,25
 hoặc (Loại)
 (Thỏa mãn) 
0,25
2) Cho và 
0,25
0,25
Ta có: 
0,25
Hay: 
0,25
Câu 3
(2,0 đ)
1) Đặt 0,9999 = a. Để chứng minh 18 chữ số thập phân đầu tiên của là các chữ số 9, muốn vậy cần chứng minh a < < 1. 
0,25
Thật vậy ta có: 0 < a < 1 Þ a(a – 1) < 0 Þ a2 – a < 0 Þ a2 < a. 
0,25
Từ 0 < a2 < a < 1 suy ra a < < 1.
0,25
Vậy = 0,99999(18 chữ số 9 đầu tiên sau phẩy)
0,25
2) Số chính phương có dạng , tích của một số chính phương với số liền trước của nó là: 
0,25
Ta có: với mọi 
0,25
 với mọi 
0,25
Do 3, 4 là hai số nguyên tố cùng nhau nên: 
0,25
Câu 4
(3,0 đ)
1) Ta có .
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ABD có:
0,25
0,25
0,25
0,25
2) Chứng minh được: đồng dạng (g.g) 
0,25
0,25
 đồng dạng (c.g.c)
0,25
(Do vuông cân) 
0,25
3) Ta có đồng dạng (g.g) 
 mà 
0,25
 (Vì AD = CD)
0,25
 hay BD = 5HD BH = 6DH
0,25
 Kẻ AK vuông góc với BH, và có chung đường cao AK và BH = 6DH 
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
0,25
0,25
0,25
Dấu bằng xảy ra khi: và 
. 
Vậy xy đạt giá trị nhỏ nhất là khi .
0,25
Ghi chú: - Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm
 - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.