Đề thi chọn học sinh giỏi cấp huyện môn Toán Lớp 9 - Năm học 2017-2018 - Phòng GD&ĐT Bình Giang (Có đáp án)

ĐỀ CHÍNH THỨC
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
NĂM HỌC: 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 9
Thời gian làm bài: 150 phút
(Đề bài gồm 1 trang)
Câu 1 (2,0 điểm). 
	1) Rút gọn biểu thức: 
 với a, b, c > 0 và . 
	2) Cho là hàm số thỏa mãn: . Tính: 
Câu 2 (2,0 điểm). Giải phương trình, bất phương trình:
	1) 2) 
Câu 3 (2,0 điểm).
	1) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 15 và chỉ có 15 ước. 
	2) Tìm số tự nhiên x để là số chính phương.
Câu 4 (3,0 điểm).
1) Cho tam giác ABC, , , biết AC = 6cm. Tính AB, BC (Không được làm tròn số kết quả).
2) Cho hình vuông ABCD, trên hai cạnh BC và CD lần lượt lấy hai điểm E và F sao cho . Gọi M là giao điểm của AF và BD. Chứng minh rằng:
a) . 
b) BE + DF = EF. 
Câu 5 (1,0 điểm). 	Cho các số thực a, b, c thỏa mãn a > b > c. Chứng minh rằng: 
-----------------------------------
(Ghi chú: Học sinh không được dùng máy tính cầm tay khi làm bài thi)
Họ tên học sinh:Số báo danh:....
Chữ kí giám thị 1: . Chữ kí giám thị 2:..
PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG
HƯỚNG DẪN CHẤM THI HSG GIỎI LỚP 9
NĂM HỌC 2017 - 2018
MÔN: TOÁN - LỚP 9
(Hướng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu
Đáp án
Điểm
Câu 1
(2,0 đ)
1) Với a, b, c > 0 và :
0,25
0,25
0,25
=1
0,25
2) . Đặt: 
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu 2
(2,0 đ)
1) ĐK: : 
0,25
0,25
0,25
(Thỏa mãn). Vậy PT có tập nghiệm là 
0,25
2) (1). ĐK: 
0,25
(1) 
0,25
 hoặc hoặc 
0,25
 hoặc . Vậy nghiệm của bpt là hoặc 
0,25
Câu 3
(2,0 đ)
1) Số tự nhiên chia hết cho 15 khi phân tích ra thừa số nguyên tố sẽ có dạng với x, y 
0,25
Số có số ước là 15 nên , do x, y 
0,25
 hoặc hoặc 
0,25
Ta có nên số tự nhiên nhỏ nhất chia hết cho 15 và có 15 ước là 
0,25
2) Do là số chính phương nên đặt 
với : 
0,25
Do nên hoặc 
0,25
hoặc hoặc (loại)
0,25
Vậy x = 1 thì là số chính phương.
0,25
Câu 4
(3,0 đ)
1) Kẻ đường cao CH, do nên 
(có thể sử dụng tính chất cạnh góc vuông đối diện góc bằng nửa cạnh huyền) 
0,25
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông ACH,ta có: 
cm
(Học sinh có thể áp dụng tỉ số lượng giác để tính toán)
0,25
Ta có vuông cân tại H
(cm) (cm)
0,25
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông BCH, ta có: (cm)
0,25
2) a) Gọi O lag giao điểm của AC và BD, do ABCD là hình vuông nên tại O và OA = OB = OD.
0,25
Ta có: 
0,25
 (1)
0,25
Áp dụng định lý Py-ta-go trong tam giác vuông AMO, 
ta có: (2). 
Từ (1) và (2) 
0,25
b) Trên tia đối của tia DC lấy điểm G sao cho . 
Xét và có: ; ;
AD = AB=(g.c.g) AG = AE; DG = EB (3)
0,25
Có: 
0,25
Xét và có: AG = AE (cmt); (cmt); cạnh AF chung= (c.g.c) GF = EF (4)
0,25
Từ (3) và (4) BE + DF = DG + DF = GF = EF (đpcm)
0,25
Câu 5
(1,0 đ)
Với x > 0, y > 0, ta có: 
0,25
0,25
 (1). 
Đẳng thức xảy ra Û x = y
0,25
Do a > b > c a – b > 0, b – c > 0, đặt x = a – b, y = b – c 
Áp dụng BĐT (1), ta có:
Đẳng thức xảy ra Û a – b = b – c 
0,25
Ghi chú: - Trong quá trình chấm giám khảo có thể chia nhỏ biểu điểm
 - Học sinh làm theo cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.