Đề cương tuyển sinh Lớp 10 môn Toán - Năm học 2019-2020

ĐỀ CƯƠNG TUYỂN SINH LỚP 10 
I.LÍ THUYẾT:
1. Bài toán về biểu thức đại số:
 - Các phép toán về căn thức.
 - Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa.
 - Rút gọn biểu thức.
 - Chứng minh đẳng thức.
 - Tìm giá trị của biểu thức hoặc của biến,
2. Hàm số, đồ thị, hệ phương trình:
 - Đường thẳng y = ax + b hoặc parabol y = ax2.
 - Giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn không có tham số bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.
 - Giải bài toán bằng cách lập phương trình, hệ phương trình.
3. Phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai, định lí Vi-ét:
 -.Giải phương trình bậc hai.
 - Phương trình bậc hai có chứa tham số và các bài toán lien quan đến định lí Vi-ét.
 - Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước; chứng minh phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước.
 - Tìm hai số khi biết tổng và tích.
 - Phương trình quy về phương trình bậc hai.
4. Hình học:
 - Các bài toán về chứng minh: Chứng minh tứ giác nội tiếp; chứng minh đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn; 
 - Các bài toán về tính toán: Tính số đo góc, độ dài đoạn thẳng, tính chu vi, diện tích tam giác, tứ giác,
II. BÀI TẬP:
1. Bài toán về biểu thức đại số:
Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
 a) 
 b) 
Hướng dẫn giải:
 a) 
 b) 
* Bài tập vận dụng:
 Câu 1: Thực hiện phép tính:
 a) 
 b) ( a > 1)
 Câu 2: Thực hiện phép tính:
 a) 
 b) 
 Câu 3: a) Tính giá trị của biểu thức: 
 b) Rút gọn biểu thức: 
 Câu 4: a) Rút gọn: 
 b) Rút gọn biểu thức: 
 Câu 5: Rút gọn các biểu thức:
 a) 
 b) 
 Câu 6: Rút gọn biểu thức:
 a) 
 b) ( với a > 0 )
 Câu 7: a) Tính giá trị của biểu thức: 
 b) Rút gọn biểu thức: (x > 0)
 Câu 8: Rút gọn biểu thức:
 a) 
 b) 
 Câu 9: Rút gọn biểu thức:
 a) 
 b) 
 Câu 10: Rút gọn biểu thức
2. Hàm số, đồ thị, hệ phương trình:
Ví dụ 1: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho hàm số có đồ thị (P) và đường thẳng (d) : y = x + 4. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
Hướng dẫn giải:
 b) Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):
 từ (P) 
 Vậy : Tọa độ giao điểm của (P) và (d) là 
Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: 
 a) Giải hệ phương trình (I) với k = 2.
 b) Với giá trị nào của k thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất, vô nghiệm?
Hướng dẫn giải:
 a) Thay k = 2 vào hệ (I) ta được: 
 Vậy nghiệm của hệ phương trình là: ( x; y)=( 2; -1)
 b) * Hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất khi: 
 * Hệ phương trình (I) vô nghiệm khi: 
*Bài tập vận dụng:
 Câu 1: Cho hệ phương trình: 
 a) Giải hệ phương trình (I) với m = 5.
 b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất, vô nghiệm?
 Câu 2: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Tìm m thì hệ phương trình vô nghiệm.
 Câu 3: 1) Giải hệ phương trình: 
 2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d): y = x + a + 2 và parabol (P): 
 a) Vẽ parabol (P).
 b) Tìm giá trị của a để đường thẳng (d) đi qua A(-1;3).
 Câu 4: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho đường thẳng (d): y = x + b. Tìm b biết đường thẳng (d) đi qua điểm A(1;2)
 Câu 5: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho parabol (P): và đường thẳng (d): y = 3x – 3. Vẽ (P) và (d) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.
 Câu 6: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho hàm số y = ax2. Tìm a biết đồ thị hàm số đi qua điểm A(-2;8). Vẽ đồ thị hàm số với a vừa tìm được.
 Câu 7: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho hàm số có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = x + 2m. Vẽ đồ thị (P). Tìm tất cả giá trị của m sao cho (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng -1.
 Câu 8: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho hàm số y = 3x2 có đồ thị (P) và đường thẳng (d): y = 2x + 1. Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
 Câu 9: a) Giải hệ phương trình: 
 b) Cho (P): y = x2 và (d): y = -x + 6. Vẽ (P) và tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.
 Câu 10: Cho parabol (P) : và đường thẳng (d) : 
 a) Vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ. 
 b) Xác định tọa độ các giao điểm của (P) và (d) bằng phép tinh. 
3. Phương trình bậc hai, phương trình quy về bậc hai, định lí Vi-ét:
Ví dụ 1: Cho phương trình: (x là ẩn số)
 a) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 
 b) Tìm tổng và tích hai nghiệm của phương trình trên theo m. 
 c) Gọi là hai nghiệm của phương trình. Tìm m để: 
Hướng dẫn giải:
a) ( ;  ;)
	Ta có : 
Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 	
b) Ta có : 
c) Ta có : 
Thay và vào được:
Giải ra ta được: ; 
Vậy với m = 0 ; m = -3 thì 
Ví dụ 2: Cho phương trình : x2 + mx – 35 = 0 có nghiệm x1 = 7 
 a) Dùng hệ thức Vi-ét để tìm nghiệm x2 rồi tìm giá trị m của phương trình
 b) Lập phương trình có hai nghiệm là hai số - x1  và – x2
Hướng dẫn giải:
 a) x2 + mx – 35 = 0 có nghiệm x1 = 7 
 Theo hệ thức Vi-ét có : x1 + x2 = -m ; x1.x2 = - 35 
 Nên x2 = - 35: x1 = - 35 : 7 = -5 ; - m = 7 + (-5) = 2
 Vậy x2 = -5 ; m = - 2 
 b) – x1 + (- x2) = - 7 + 5 = -2 ; - x1.(-x2) = -7.5 = - 35
 Vậy hai số - x1  và – x2 là nghiệm của phương trình x2 + 2x - 35 = 0
Ví dụ 3: Cho phương trình x2 - 6x + m = 0
 a) Giải phương trình với m = -7;
 b) Tính giá trị của m biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 = 4
Hướng dẫn giải:
 a) Với m = -7 ta có x2 - 6x -7 = 0
 Có a-b+c=1+ 6 - 7=0
 Þx1= - 1; x2= 7 Þkết luận S={-1; 7}
 b) ĐK để pt có 2 nghiệm phân biệt D’= 9 – m > 0Û m < 9
 Áp dụng hệ thức Viet có: x1 + x2 = 6; x1.x2 = m
 Xét giải được x1=5, x2=1 Þ m = 5(TMĐK m < 9)
 Vậy m =5 thì pt có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - x2 =4
*Bài tập vận dụng:
 Câu 1: Cho phương trình : x2 + 4x -2m – 3 = 0 ( m là tham số)
 a) Tìm giá trị của m để phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
 b) Giải phương trình với m = 1.
 c) Tìm giá trị của m sao cho phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn hệ thức :
 Câu 2: Cho phương trình : x2 + (4m+1)x +2(m – 4) = 0 ( m là tham số)
 a) Giải phương trình với m = 1.
 b) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 
 c) Tìm m để phương trình có các nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
 Câu 3: Cho phương trình : 2x2 - 6x +m = 0 (1) ( m là tham số)
 a) Giải phương trình (1) với m = 4.
 b) Với giá trị nào của m thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
 c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện :
 Câu 4: 1. Giải phương trình : 2x2 -3x -2 = 0.
 2. Cho phương trình x2 – 2x + m – 1 = 0 (1), m là tham số.
 a) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm x = -2. Khi đó hãy tìm nghiệm còn lại của phương trình.
 b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện : 
 Câu 5: Cho phương trình x2 -3x + m + 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
 a) Giải phương trình (1) khi m = 1.
 b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.
 c) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
 Câu 6: Cho phương trình : x2 -2(m - 1)x + 2m – 5 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
 Câu 7: Cho phương trình x2 - 2x + 2m - 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
 a) Giải phương trình (1) khi m = - 1.
 b) Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. Tìm nghiệm kép đó.
 c) Xác định giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
 Câu 8: Cho phương trình x2 + 2( m – 1)x + 1 - 2m = 0 (1) ( với m là tham số)
 a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
 b) Chứng minh phương trình trên luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 
 c) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 
 Câu 9: Cho phương trình x2 + 4x + m + 1 = 0 (1) ( với m là tham số)
 a) Giải phương trình (1) khi m = 2.
 b) Tìm điều kiện của m để phương trình (1) có nghiệm.
 c) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: 
 Câu 10: Cho phương trình x2 – 2mx - 4m - 5 = 0 (1) ( với m là tham số)
 a) Giải phương trình (1) khi m = - 2.
 b) Chứng minh phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. 
 c) Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình (1). Tìm m để: 
4. Hình học:
Ví dụ 1: Trên nửa đường tròn đường kính AB, lấy hai điểm I, Q sao cho I thuộc cung AQ. Gọi C là giao điểm hai tia AI và BQ; H là giao điểm hai dây AQ và BI.
a) Chứng minh tứ giác CIHQ nội tiếp.
b) Chứng minh: CI. AI = HI. BI.
c) Biết AB = 2R . Tính giá trị biểu thức: M = AI. AC+ BQ. BC theo R.
Hướng dẫn giải:
Vẽ hình: 
a) Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa ñường tròn) 
 ⇒ 
Xét tứ giác CIHQ có 
⇒ tứ giác CIHQ nội tiếp
b) Xét ∆AHI và ∆BCI có:
 ( cùng chắn cung IQ)
 (g – g)
c) Ta có: M = AI. AC+BQ. BC = AC(AC – IC)+ BQ(BQ +QC)
 =AC2- AC. IC +BQ2+ BQ. QC
 = AQ2+ QC2- AC. IC+ BQ2+ BQ. QC
 =( AQ2+ BQ2)+ QC ( QC + BQ) – AC.IC
 = AB2+ QC .BC- AC. IC
Tứ giác AIBQ nội tiếp (O) ⇒ (cùng phụ với )
Xét ∆CIQ và ∆CBA có:
 : góc chung.
 Suy ra ∆CIQ ∽∆CBA (g – g)
 Suy ra: M = AB2=(2 R)2=4 R2
Ví dụ 2: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R. Từ A vẽ tiếp tuyến Ax với (O) ( A là tiếp điểm). Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC = 2R. Qua C vẽ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm D và E ( D nằm giữa C và E; đường thẳng này cũng cắt đoạn thẳng OB). Gọi H là trung điểm đoạn thẳng DE.
 a) Chứng minh: . 
 b) Chứng minh: tứ giác AOHC nội tiếp. 
 c) Đoạn thẳng CB cắt đường tròn (O) tại K. Tính số đo góc AOK và diện tích hình quạt AOK theo R.
 d) Đường thẳng CO cắt tia BD, tia BE lần lượt tại M và N. Chứng minh: O là trung điểm đoạn thẳng MN. 
Hướng dẫn giải:
a) Chứng minh DCDA ~ DCAE (g-g)
 Þ 
b) Chứng minh
 Xét tứ giác AOHC có :
 ( cmt)
 ( T/c tiếp tuyến)
 Þ 
 Þ Tứ giác AOHC nội tiếp ( tổng hai góc đối diện bằng 1800) 
 c) Sđ 
 SquạtAOK = ( đvdt) 
 d) Từ E vẽ đường thẳng song song với MN cắt cạnh AB tại I và cắt cạnh BD tại F. 
 Vì tứ giác AOHC nội tiếp (cmt)
 Þ 
 Mà (So le trong, EF//MN) 
 Þ 
 Hay 
 Þ tứ giác AHIE nội tiếp ( 2 đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh HI dưới góc bằng nhau)
 Þ 
 Mà (2 góc nội tiếp cùng chắn cung BE)
 Þ 
 Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị 
 Þ HI // BD
 Chứng minh I là trung điểm EF
 Xét DBMO có IF // OM (EF//MM)
 Þ (1) (Hệ quả Talet)
 Xét DBNO có IE // ON (EF//MM)
 Þ (2) (Hệ quả Talet)
 Từ (1) và (2) suy ra: 
 Mà IE = IF (I là trung điểm EF)
 Þ OM = ON 
 Mà 
 Þ O là trung điểm đoạn thẳng MN 
*Bài tập vận dụng:
 Câu 1: Cho một điểm M bất kì nằm trên nửa đường tròn tâm O đường kính AB ( M khác A và B ). Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến Ax cắt tia BM tại I. Phân giác góc IAM cắt nửa đường tròn tại E và cắt tia AM tại F, tia BE cắt Ax tại H và cắt AM tại K.
 a) Chứng minh EFMK là tứ giác nội tiếp.
 b) Chứng minh AI2 = IM.IB.
 c) Chứng minh tam giác BAF cân.
 Câu 2: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Gọi M là điểm chính giữa cung AB và N là một điểm bất kì thuộc đoạn OA. Đường thẳng vuông góc với MN tại M lần lượt cắt Ax ở D và By ở C.
 a) Chứng minh: .
 b) Chứng minh: .
 c) DN cắt AM ở E và CN cắt MB ở F. Chứng minh: .
 Câu 3: Cho tam giác ABC (AB < AC) có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;6cm ). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC. Gọi E là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống đường kính A A’.
 a) Tính diện tích hình tròn (O;6cm ).
 b) Chứng minh tứ giác ABDE là tứ giác nội tiếp.
 c) Kéo dài DE cắt AC tại F. Tính DF biết DC = 6cm; DA = 8cm.
 Câu 4: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB. Vẽ bán kính CO vuông góc với AB, M là một điểm bất kì trên cung AC ( M khác A, C và điểm chính giữa AC ); BM cắt AC tại H. Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ H đến AB.
 a) Chứng minh tứ giác BCHK là tứ giác nội tiếp.
 b) Chứng minh CA là phân giác của góc MCK.
 c) Kẻ CP vuông góc với BM ( P BM) và trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh ME = 2CP.
 Câu 5: Cho đường tròn tâm O có đường kính AB và C là một điểm thuộc đường tròn tâm O ( C khác A, B ). Lấy điểm D thuộc dây cung BC ( D khác B, C ). Tia AD cắt cung nhỏ BC tại E, tia AC cắt tia BE tia điểm F. Chứng minh: 
 a) Tứ giác FCDE nội tiếp.
 b) Chứng minh DA.DA = DB. DC
 c) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác FCDE. Chứng minh IC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O.