Chuyên đề Toán 10 - Chương IV: Bất đẳng thức và bất phương trình

CHƯƠNG IV. BẤT ĐẲNG THỨC VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
§1. BẤT ĐẲNG THỨC
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
1. Định nghĩa : 
Cho là hai số thực. Các mệnh đề được gọi là những bất đẳng thức.
Chứng minh bất đảng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng(mệnh đề đúng)
Với là mệnh đề chứ biến thì là mệnh đề chứa biến. Chứng minh bất đẳng thức (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến đúng với tất cả các giá trị của biến(thỏa mãn điều kiện đó). Khi nói ta có bất đẳng thức mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực.
2. Tính chất :
* và 
* 
* và 
* Nếu thì 
Nếu thì 
* 
* 
*
3. Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối.
* với mọi số thực .
* ( Với )
* ( Với )
4. Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy)
a) Đối với hai số không âm	
Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi 
Hệ quả :
* Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau
* Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau
b) Đối với ba số không âm
Cho , ta có . Dấu '=' xảy ra khi và chỉ khi 
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.
DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN.
1. Phương pháp giải.
Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) ta có thể sử dụng các cách sau:
Ta đi chứng minh . Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm. 
Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh.
2. Các ví dụ minh họa.
Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng.
Ví dụ 1 : Cho hai số thực . Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau:
a) 	 b) 
c) 	 d) 
Lời giải 
a) Ta có . Đẳng thức.
b) Bất đẳng thức tương đương với 
 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
c) BĐT tương đương 
 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
d) BĐT tương đương 
 (đúng) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác.
Ví dụ 2 : Cho năm số thực . Chứng minh rằng
 .
Lời giải
Ta có : 
 đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 3 : Cho . Chứng minh rằng : .
Lời giải
Ta có 
 (Do .
Nhận xét : Nếu thì BĐT có chiều ngược lại : .
Ví dụ 4: Cho số thực . Chứng minh rằng
a) 	b) 	c) 
Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương với 
 (đúng với mọi số thực )
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Bất đẳng thức tương đương với 
Ta có 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (không xảy ra)
Suy ra ĐPCM.
c) Bất đẳng thức tương đương với 
+ Với : Ta có 
Vì nên do đó .
+ Với : Ta có 
Vì nên do đó .
Vậy ta có .
Ví dụ 5: Cho là các số thực. Chứng minh rằng
a) 
b) 
c) 
Lời giải
a) BĐT tương đương với 
 (đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) BĐT tương đương với 
(đúng)
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
c) BĐT tương đương với 
(đúng)
Đẳng thức không xảy ra.
Ví dụ 6: Cho hai số thực thỏa mãn . Chứng minh rằng;
a) 
b) 
Lời giải
a) Bất đẳng thức tương đương 
 (đúng với ) ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Bất đẳng thức tương đương 
Theo câu a) ta có , do đó ta chỉ cần chứng minh 
 (*), Thật vậy,
BĐT (*) 
 (đúng với )
Đẳng thức xảy không xảy ra.
Loại 2: Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh
Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt
* Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng
Ví dụ 7 : Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác. Chứng minh rằng :
.
Lời giải
Vì a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác nên ta có :
. Tương tự 
 cộng ba BĐT này lại với nhau ta có đpcm
Nhận xét : * Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác. Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c. 
Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả. 
Ví dụ 8 : Cho . Chứng minh : 
Lời giải
Cách 1: Vì 
 (*)
Ta có : nên từ (*) ta suy ra
 đpcm.
Cách 2: BĐT cần chứng minh tương đương với 
Mà do đó
Ta chỉ cần chứng minh 
Thật vậy: vì nên theo nhận xét ta có
vậy BĐT ban đầu được chứng minh
Ví dụ 9 : Cho các số thực a,b,c thỏa mãn : . Chứng minh :
.
Lời giải
Vì nên ta có :
 (*)
Mặt khác : (**)
Cộng (*) và (**) ta có đpcm.
Ví dụ 10: Chứng minh rằng nếu và thì 
Lời giải
Từ giả thiết ta suy ra do đó áp dụng ta có
 nhân ra và cộng các BĐT cùng chiều lại ta được:
suy ra
 vì 
vậy dấu “=” xảy ra khi 
Ví dụ 11: Cho ba số thuộc và không đồng thời bằng không. Chứng minh rằng
Lời giải
Vì ba số thuộc nên 
Suy ra (*)
Mặt khác đúng với mọi thuộc 
Suy ra (**)
Từ (*) và (**) ta có hay 
Tương tự ta có và 
Cộng vế với ta được 
Hay ĐPCM.
3. Bài tập luyện tập
Bài 4.0. Cho các số thực là số thực. Chứng minh rằng: 
a) 	b) 
c) 	d) 
Bài 4.1: Cho là số dương.Chứng minh rằng :
a) với . 	b) 	
c) 
d) 
Bài 4.2: Chứng minh các bất đẳng thức sau
a) ( với) .
b) . với .
c) với và 
d) với là ba cạnh của tam giác
Bài 4.3: Cho . Chứng minh rằng: 
a) 
b) .
Bài 4.4: Cho bốn số dương . Chứng minh rằng:
 .
Bài 4.5: Cho và thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng 
DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(Côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT.
1. Phương pháp giải.
Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:
* Khi áp dụng bđt côsi thì các số phải là những số không âm
* BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích
* Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau
* Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng 
Đối với hai số:.
Đối với ba số: 
2. Các ví dụ minh họa. 
Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi
Ví dụ 1: Cho là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
a) 	b) 
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
Suy ra (1)
Mặt khác ta có (1)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có
 và 
Suy ra 
Do đó ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 2: Cho là số dương. Chứng minh rằng
a) 
b) 
c) 
d) 
 Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
Suy ra ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
, tương tự ta có 
Suy ra 
Mặt khác, áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
Suy ra . ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
c) Ta có 
Áp dụng BĐT côsi cho ba số dương ta có
 và 
Suy ra ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
d) Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có
Suy ra (1)
Mặt khác theo BĐT côsi cho ba số dương ta có
Suy ra (2)
Từ (1) và (2) suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 3: Cho là số dương. Chứng minh rằng 
a) 
b) 
c) 
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có
 và 
Suy ra ĐPCM.
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
b) Áp dụng câu a) ta có
Suy ra ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
 c) Áp dụng câu a) ta có
Như vậy ta chỉ cần chứng minh 
 (*)
Áp dụng BĐT côsi cho ba số ta có
Suy ra BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Nhận xét: BĐT câu a) là bất đẳng côsi cho bốn số không âm. Ta có BĐT côsi cho số không âm như sau: Cho số không âm . 
Khi đó ta có .
Ví dụ 4: Cho là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
a) 
b) 
Lời giải
a) Ta có (1)
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Cộng vế với vế lại ta được (2)
Từ (1) và (2) ta có (3)
Áp dụng BĐT côsi ta có
, tương tự ta có 
Cộng vế với vế ta được (4)
Từ giả thiết và (3), (4) suy ra ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
b) Áp dụng BĐT côsi ta có
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế ta được ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp.
Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi.
Khi gặp BĐT có dạng (hoặc ), ta thường đi chứng minh (hoặc), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh. 
Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra(thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên).
Ví dụ 5: Cho là số dương. Chứng minh rằng:
a) 	b) 
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có 
Tương tự ta có .
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
 ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi .
b) Áp dụng BĐT côsi ta có 
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
 ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi .
Ví dụ 6: Cho dương sao cho . Chứng minh rằng
a) 
b) .
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có 
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế ta có 
. ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi .
b) BĐT tương đương với 
Áp dụng BĐT côsi ta có
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế và rút gọn ta được ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi .
Ví dụ 7: Cho là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
a) 
b) 
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có 
Tương tự ta có 
Nhân vế với vế lại ta được 
Suy ra ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi .
b) * TH1: Với : BĐT hiển nhiên đúng.
* TH2: Với :
+ Nếu cả ba số đều dương. Áp dụng BĐT côsi ta có
, tương tự ta có
Nhân vế với vế ta được 
Hay .
+ Nếu hai trong ba số âm và một số dương. Không mất tính tổng quát giả sử suy racó (không xảy ra)
Vậy BĐT được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 8: Cho là số dương. Chứng minh rằng .
Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực dương ta có :
. 
Tương tự ta có . 
Cộng ba BĐT này lại với nhau ta đươc :
Đẳng thức xảy ra .
Lưu ý :Việc ta ghép  và đánh giá như trên là vì những lí do sau:
Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại lượng khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa .
Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau. Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi khi đó và do đó ta ghép như trên.
Ví dụ 9: Cho là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Lời giải
a) Đặt 
Áp dụng BĐT côsi ta có
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế ba BĐT trên ta được
 (vì )
Mặt khác ta có (theo ví dụ 1)
Do đó 
Suy ra ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra .
b) Đặt 
Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Suy ra , tương tự ta có
Cộng vế với vế lại ta được 
Áp dụng BĐT côsi ta có
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế lại ta được 
Vì nên suy ra ĐPCM
Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 10: Cho là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Lời giải
Ta có 
Do đó không mất tính tổng quát giả sử 
Do đó ta chỉ cần chứng minh 
Áp dụng BĐT côsi ta có (do )
Cộng vế với vế ta được ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 11: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) với 	b) với 
c) với 	d) với 
Lời giải
a) Ta có
Do nên . Áp dụng BĐT côsi ta có
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra (loại) hoặc (thỏa mãn)
Vậy khi và chỉ khi .
b) Do nên . Áp dụng BĐT côsi ta có
Đẳng thức xảy ra (thỏa mãn)
Vậy khi và chỉ khi .
c) Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Mặt khác suy ra 
Đẳng thức xảy ra 
Vậy khi và chỉ khi .
d) Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Mặt khác suy ra 
Đẳng thức xảy ra 
Vậy khi và chỉ khi . 
Loại 3: Kĩ thuật tham số hóa
Nhiều khi không dự đoán được dấu bằng xảy ra(để tách ghép cho hợp lí) chúng ta cần đưa tham số vào rồi chọn sau sao cho dấu bằng xảy ra.
Ví dụ 12: Cho là số dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất của 
Phân tích
Rõ ràng ta sẽ đánh giá biểu thức để làm xuất hiện . 
Trước tiên ta sẽ đánh giá qua bởi (với )
Do bình đẳng nên dự đoán dấu bằng đạt giá trị nhỏ nhất khi nên ta đánh giá . Suy ra . Tiếp tục ta sẽ sử dụng BĐT côsi dưới dạng để là xuất hiện nên ta sẽ tách như sau
Suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi và . 
Từ đây ta có . Do đó ta có lời giải như sau:
Lời giải
Áp dụng BĐT côsi ta có và 
Suy ra 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Suy ra , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy khi và chỉ khi và .
Ví dụ 13: Cho là số dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Phân tích
Ta cần đánh giá biểu thức qua biểu thức . Do đó ta sẽ cho thêm vào các tham số vào và đánh giá như sau ( dương)
 và 
Suy ra (*)
Để có thể bội số của thì
Mặt khác dấu bằng ở BĐT (*) xảy ra khi 
Hay 
(nhận) hoặc (loại)
Suy ra do đó ta có lời giải như sau
Lời giải
Áp dụng bĐT côsi ta có
 và 
Cộng vế với vế ta được
, kết hợp với 
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy .
Ví dụ 14: Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau
a) với 
b) với .
Lời giải
a) Ta có 
Áp dụng BĐT côsi cho hai số dương ta có 
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy khi 
b) Ta có 
Với thì là các số không âm nên theo BĐT côsi ta có :
 (1)
 (2)
Từ (1) và (2) suy ra , từ đó ta có .
Dấu bằng xảy ra (1) và (2) đồng thời xảy ra dấu bằng . 
Vậy.
Loại 4: Kĩ thuật Côsi ngược dấu. 
Ví dụ 15: Cho là các số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của 
 .
Lời giải
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy 
Ví dụ 16: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng
a) .
b) 
Lời giải
a) Áp dụng BĐT côsi ta có: 
Tương tự ta có và 
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
Mặt khác ta có .
Do đó ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 
b) Theo bất đẳng thức Côsi ta có :
.
Tương tự ta có 
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
Mặt khác do đó ta chỉ cần chứng minh: .
Thật vậy, theo bất đẳng thức Côsi ta có :
Tương tự ta có 
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta có:
Từ đó suy ra: ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 17: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . 
Chứng minh rằng 
Lời giải
Đặt 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Tương tự ta ta có 
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
Mặt khác (*)
Hay 
Suy ra (1)
Từ giả thiết ta có (2)
Và từ (*) suy ra (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra . ĐPCM
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi trong ba số a, b, c có một số bằng 1 và hai số còn lại bằng 0.
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.6: Cho dương. Chứng minh rằng .
Bài 4.7: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn . Chứng minh rằng:
Bài 4.8: Với các số dương a, b, c, d sao cho: 
Chứng minh rằng: 
Bài 4.9: Với các số dương a, b, c sao cho: 
Chứng minh rằng: 
Bài 4.10: Cho ba số dương thoả mãn hệ thức .
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
Bài 4.11: Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Bài 4.12: Cho ba số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
.
Bài 4.13: Cho ba số thực dương . Chứng minh rằng .
Bài 4.14: Cho ba số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng : 
Bài 4.15: Cho ba số thực dương thỏa mãn . 
Chứng minh rằng: .
Bài 4.16: Cho ba số thực dương . Chứng minh rằng .
Bài 4.17: Cho là độ dài ba cạnh tam giác. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
Bài 4.18: Với các số dương a, b, c, chứng minh rằng: 
a) 	b) 
c) 
Bài 4.19: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . 
Chứng minh rằng 
Bài 4.20: Với các số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện . 
Chứng minh rằng: 
Bài 4.21: Với các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Bài 4.22: Cho dương thỏa mãn và . Chứng minh rằng :
.
Bài 4.23: Cho dương và .Chứng minh rằng:
 .
Bài 4.24: Cho dương thỏa mãn . Chứng minh rằng :
.
Bài 4.25: Cho dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
a) 	b) 	c) 
Bài 4.26: Cho hai số thực dương . Chứng minh rằng 
 .
Bài 4.27: Cho các số thực dương thỏa mãn.Chứng minh rằng:
Bài 4.28: Cho dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 4.29: Cho dương . Chứng minh rằng 
Bài 4.30: Cho ba số thực dương . Chứng minh rằng:
Bài 4.31: Cho là số dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 3.32: Cho là số dương. Chứng minh rằng 
a) 
b) 
Bài 3.33: Cho là các số thực không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng .
Bài 3.34: Cho thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất 
Bài 3.35: Cho dương thỏa mãn. Tìm GTNN của 
Bài 3.36: Cho không âm thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 3.37: Cho dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
Bài 3.38: Cho dương. Chứng minh rằng 
Bài 3.39: Cho dương thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức . 
Bài 3.40: Cho dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Bài 3.41: Cho dương thỏa mãn .Tìm giá trị nhỏ nhất của .
DẠNG 4: ĐẶT ẨN PHỤ TRONG BẤT ĐẲNG THỨC.
1. Phương pháp giải.
Điều quan trọng trong kĩ thuật này là phát hiện ra ẩn phụ (ẩn phụ có thể là hoặc là chỉ một ẩn phụ ). Ẩn phụ có thể có ngay trong biểu thức của bất đẳng hoặc qua một số phép biến đổi, đánh giá.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho các số dương 
a) Chứng minh rằng 
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
a) Đặt 
Suy ra 
Bất đẳng thức trở thành 
 (*)
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Suy ra BĐT (*) đúng. ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra suy ra không tồn tại 
Dấu đẳng thức không xảy ra.
b) Đặt 
Suy ra 
Khi đó ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Suy ra , đẳng thức xảy ra 
Vậy khi và chỉ khi .
Ví dụ 2: Cho là ba cạnh của tam giác có chu vi là . Chứng minh rằng 
Lời giải
Đặt suy ra . 
Do là ba cạnh của tam giác nên dương
Bất đẳng thức cần chứng minh được đưa về dạng: 
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: 
Tương tự ta có 
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh
.
Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Suy ra . ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay tam giác đều.
Nhận xét : Đối với BĐT có giả thiết là ba cạnh của tam giác thì ta thực hiện phép đặt ẩn phụ thì khi đó và dương. Ta chuyển về bài toán với giả thiết dương không còn ràng buộc là ba cạnh của tam giác.
Ví dụ 3: Cho là số dương. Chứng minh rằng 
Lời giải
Ta có BĐT 
Đặt dương và 
BĐT trở thành 
Áp dụng BĐT côsi ta có
, , 
Cộng vế với vế các BĐT trên ta được
Suy ra .
Nhận xét: Phương pháp đặt ẩn phụ trên được áp dụng khi BĐT là đồng bậc(Người ta gọi là phương pháp chuẩn hóa)
Ví dụ 4: Cho là số dương thỏa mãn 
Chứng minh rằng .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức côsi ta có:
 và nên 
Suy ra 
Đặt 
Khi đó ta chỉ cần chứng minh
Áp dụng BĐT côsi ta có 
 ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ví dụ 5: Cho ba số thực dương thỏa mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .
Lời giải
Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Suy ra , với .
Cũng theo BĐT côsi ta có 
Suy ra 
Áp dụng BĐT côsi ta có , mặt khác 
Do đó , đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay 
Vậy 
Ví dụ 6: Cho dương thỏa mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
Ta có 
Áp dụng BĐT côsi ta có: 
Từ (1) và (2) ta có với .
Xét 
Suy ra do đó 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay 
Vậy khi và chỉ khi 
3. Bài tập luyên tập.
Bài 4.42: Cho dương , CMR 
Bài 4.43: Cho các số dương Chứng minh rằng 
Bài 4.44: Cho là các số dương thoả mãn . Chứng minh rằng .
Bài 4.45: Cho là các số thực dương. 
Chứng minh rằng 
Bài 4.46: Cho là số không âm thoatr mãn . Chứng minh rằng .
Bài 4.47: Cho là số thực thỏa mãn . Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. 
Bài 4.48: Cho và . Chứng minh rằng 
Bài 4.49: Cho các số thực thỏa . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : .
DẠNG 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ.
1. Phương pháp giải. 
 Điều quan trọng dạng toán này là cần phát hiện ra được bất đẳng thức phụ. Bất đẳng thức phụ có thể là những BĐT cơ bản đã có hoặc là chúng ta từ đặc điểm của BĐT cần chứng minh chúng ta dự đoán và đưa ra BĐT phụ từ đó vận dụng vào bài toán.
2. Các ví dụ minh họa.
Ví dụ 1: Cho là số dương. Chứng minh rằng:
a) 
b) 
Lời giải
Trước tiên ta chứng minh.
BĐT tương đương với
 (đúng với mọi )
. Đẳng thức xảy ra khi .
a) Ta có 
Hoàn toàn tương tự ta có 
Cộng vế với vế rút gọn ta được 
Hay , đẳng thức xảy ra khi .
b) Theo bài toán trên ta có : 
Tương tự : 
Cộng ba BĐT trên lại với nhau ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra khi .
Ví dụ 2: Cho là các số thực. Chứng minh rằng:
a) .
b) 
Lời giải
a) Áp dụng bất đẳng thức nên ta chứng minh (*)
Thật vậy : 
(đúng) ĐPCM
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
b) Dễ thấy bất đẳng thức đúng khi .
Xét . Áp dụng BĐT ta có
Suy ra 
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi.
Ví dụ 3: Cho là số dương và là số thực thỏa mãn . 
Tìm giá trị nhỏ nhất của .
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức (*), dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Ta có 
Suy ra 
Do đó (1)
Áp dụng BĐT côsi ta có 
Do đó (2)
Từ (1) và (2) suy sa . Đẳng thức xảy ra khi .
Vậy .
Nhận xét: Bất đẳng thức (*) là bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số. Ta có thể tổng quát bất đẳng thức Cho số . Khi đó ta có bất đẳng thức
.
Ví dụ 4: Cho a, b, c dương thỏa mãn . Chứng minh rằng
a) 
b) 
Lời giải
a) Áp dụng BĐT này hai lần ta có :
(vì )
Suy ra hay ĐPCM.
Đẳng thức xảy ra
b) Áp dụng ta có 
Do đó ta cần chứng minh (*)
Lại áp dụng (ví dụ 1) ta có
 (**)
Áp dụng bất đẳng thức và (**) ta có
Vậy BĐT (*) đúng nên BĐT ban đầu đúng. ĐPCM..
Đẳng thức xảy ra.
Ví dụ 5: Cho là số dương. Chứng minh rằng
a) 
b) 
lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho hai số thực không âm ta có:
Suy ra (*). Đẳng thức xảy ra .
a) Áp dụng BĐT (*) ta có:
Tương tự ta có 
Cộng ba BĐT trên ta có được đpcm. Đẳng thức xảy ra .
b) Áp dụng BĐT (*) ta có:
. 
Tương tự
Cộng ba BĐT trên ta có đpcm. Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 6: Cho dương thỏa mãn . Chứng minh rằng 
a) .
b) 
Lời giải
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số thực dương ta có :
Suy ra (*) . Đẳng thức xảy ra .
a) Ta có BĐT 
.
Áp dụng BĐT (*) ta có đpcm.
Đẳng thức xảy ra .
b) Áp dụng BĐT (*) ta có : 
Mặt khác : 
Suy ra : đpcm.
 Đẳng thức xảy ra .
Ví dụ 7: Cho là các số thuộc thỏa mãn . 
Tìm giá trị lớn nhất của 
Lời giải
Ta chứng minh bất đẳng thức sau
Với thuộc , ta luôn có (*)
Thật vậy, BĐT (*)
 (đúng với )
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi .
Áp dụng BĐT (*) ta có: 
Suy ra (1)
Và 
Suy ra (2)
Ta lại có (3)
Từ (1), (2) và (3) ta có 
Kết hợp giả thiết suy ra 
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
Vậy khi và chỉ khi .
3. Bài tập luyện tập.
Bài 4.50: Cho a, b, x, y Î R. Chứng minh bất đẳng thức sau: 
	(1)
Áp dụng chứng minh các bất đẳng thức sau:
a) Cho a, b ³ 0 thoả . Chứng minh rằng .
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = .
c) Cho x, y, z > 0 thoả mãn . Chứng minh:
	.
d) Cho x, y, z > 0 thoả mãn . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
	P = . 
Bài 4.51: Cho dương. Chứng minh (1). 
Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) ; với a, b, c > 0.
b) ; với a, b, c > 0.
c) Cho a, b, c > 0 thoả . Chứng minh: 
d) ; với a, b, c > 0.
e) Cho dương thoả mãn . Chứng minh: .
f) Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác, p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
	.
Bài 4.52: Cho là số dương. Chứng minh (1). 
Áp dụng chứng minh các BĐT sau:
a) với dương
b) . Với dương thoả . 
c) . Với dương thỏa mãn 
d) . Với dương thỏa mãn 
Bài 4.53: Cho và . Chứng minh rằng : .
Bài 4.54: Cho ba số thực không âm và không có hai số đồng thời bằng không. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức