Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Lớp 5

 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
CHUYÊN ĐỀ 1: 
SO SÁNH PHÂN SỐ 
A.Những kiến thức cần nhớ: 
1. Khi so sánh hai phân số: 
- Có cùng mẫu số: ta so sánh hai tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. 
- Không cùng mẫu số: thì ta quy đồng mẫu số rồi so sánh hai tử số của các phân số đã quy đồng 
được. 
2. Các phương pháp khác: 
- Nếu hai phân số có cùng tử số thì phân số nào có mẫu số lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn. 
- So sánh với 1. 
- So sánh “phần bù” với 1 của mỗi phân số: 
+ Phần bù với đơn vị của phân số là hiệu giữa 1 và phân số đó. 
+Trong hai phân số, phân số nào có phần bù lớn hơn thì phân số đó nhỏ hơn và ngược lại. 
 1- d
c
b
a
 1
 thì d
c
b
a

Ví dụ: So sánh các phân số sau bằng cách thuận tiện nhất. 
2001
2000
 và 2002
2001
Bớc 1: (Tìm phần bù) 
Ta có : 2001
1
2001
2000
1 
 1- 2002
1
2002
2001
Bớc 2: (So sánh phần bù với nhau, kết luận hai phân số cần so sánh) 
Vì 2002
1
2001
1
nên 2002
2001
2001
2000
 * Chú ý: Đặt A = Mẫu 1 - tử 1 
 B = mẫu 2 - tử 2 
Cách so sánh phần bù được dùng khi A = B. Nếu trong trờng hợp A B ta có thể sử dụng 
tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về 2 phân số mới có hiệu giữa mẫu số và tử số của hai 
phân số bằng nhau: 
Ví dụ: 2001
2000
và 2003
2001
. 
+) Ta có: 4002
4000
22001
22000
2001
2000
 1 - 4002
2
4002
4000
 1- 2003
2
2003
2001
+)Vì 2003
2
4002
2
 nên 2003
2001
4002
4000
 hay 2003
2001
2001
2000
- So sánh “phần hơn” với 1 của mỗi phân số: 
+ Phần hơn với đơn vị của phân số là hiệu của phân số và 1. 
+ Trong hai phân số, phân số nào có phần hơn lớn hơn thì phân số đó lớn hơn. 
 d
c
b
a
thi
d
c
b
a
 11
Ví dụ: So sánh: 2000
2001
 và 2001
2002
Bớc 1: Tìm phần hơn 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
Ta có: 2000
1
1
2000
2001
 2001
1
1
2001
2002
Bơc 2: So sánh phần hơn của đơn vị, kết luận hai phân số cần so sánh. 
Vì 2001
1
2000
1
 nên 2001
2002
2000
2001
* Chú ý: Đặt C = tử 1 - mẫu 1 
 D = tử 2 - mẫu 2 
Cách so sánh phần hơn được dùng khi C = D. Nếu trong trường hợp C D ta có thể sử dụng 
tính chất cơ bản của phân số để biến đổi đưa về hai phân số mới có hiệu giữa tử số và mẫu số 
của hai phân số bằng nhau. 
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 2000
2001
 và 2001
2003
Bớc1: Ta có: 4000
4002
22000
22001
2000
2001
 2001
2
1
2001
2003
4000
2
1
4000
4002
Bớc 2: Vì 2001
2
4000
2
 nên 2001
2003
4000
4002
 hay 2001
2003
2000
2001
-So sánh qua một phân số trung gian: 
Ví dụ 1: So sánh 5
3
 và 9
4
Bớc 1: Ta có: 
 2
1
8
4
9
4
2
1
6
3
5
3
Bớc 2: Vì 9
4
2
1
5
3
 nên 9
4
5
3
Ví dụ 2: So sánh 60
19
 và 90
31
Bớc 1: Ta có: 
 3
1
90
30
90
31
3
1
60
20
60
19
Bớc 2: Vì 90
31
3
1
60
19
 nên 90
31
60
19
Ví dụ 3: So sánh 100
101
 và 101
100
 Vì 101
100
1
100
101
 nên 101
100
100
101
Ví dụ 4: So sánh hai phân số bằng cách nhanh nhất. 
 57
40
 và 55
41
Bài giải 
+) Ta chọn phân số trung gian là: 55
40
+) Ta có: 55
41
55
40
57
40
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
+) Vậy 55
41
57
40
* Cách chọn phân số trung gian: 
- Trong một số trờng hợp đơn giản, có thể chọn phân số trung gian là những phân số dễ tìm 
được như: 1, 
,...
3
1
,
2
1
(ví dụ 1, 2, 3) bằng cách tìm thương của mẫu số và tử số của từng phân 
số rồi chọn số tự nhiên nằm giữa hai thương vừa tìm được. Số tự nhiên đó chính là mẫu số 
của phân số trung gian còn tử số của phân số trung gian chính bằng 1. 
- Trong trường hợp tổng quát: So sánh hai phân số b
a
 và d
c
 (a, b, c, d khác 0) 
- Nếu a > c còn b d) thì ta có thể chọn phân số trung gian là d
a
 (hoặc 
b
c
) 
- Trong trường hợp hiệu của tử số của phân số thứ nhất với tử số của phân số thứ hai và hiệu 
của mẫu số phân số thứ nhất với mẫu số của phân số thứ hai có mối quan hệ với nhau về tỉ số 
(ví dụ: gấp 2 hoặc 3lần,hay bằng 
,...
5
4
,
3
2
,
2
1
) thì ta nhân cả tử số và mẫu số của cả hai 
phân số lên một số lần sao cho hiệu giữa hai tử số và hiệu giữa hai mẫu số của hai phân số là 
nhỏ nhất. Sau đó ta tiến hành chọn phân số trung gian như trên. 
Ví dụ: So sánh hai phân số 23
15
 và 117
70
Bớc 1: Ta có: 115
75
523
515
23
15
 Ta so sánh 117
70
 với 115
75
Bớc 2: Chọn phân số trung gian là: 115
70
Bớc 3: Vì 115
75
115
70
117
70
 nên 115
75
117
70
 hay 23
15
117
70
- Đa hai phân số về dạng hỗn số để so sánh 
- Khi thực hiện phép chia tử số cho mẫu số của hai phân số ta đợc cùng thương thì ta đưa hai 
phân số cần so sánh về dạng hỗn số, rồi so sánh hai phần phân số của hai hỗn số đó. 
Ví dụ: So sánh hai phân số sau: 15
47
 và 21
65
. 
Ta có: 21
2
3
21
65
15
2
3
15
47
Vì 21
2
15
2
 nên 21
2
3
15
2
3 
 hay 21
65
15
47
- Khi thực hiên phép chia tử số cho mẫu số, ta được hai thương khác nhau, ta cũng đa hai 
phân số về hỗn số để so sánh. 
Ví dụ: So sánh 11
41
 và 10
23
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
Ta có: 
 10
3
2
10
23
11
8
3
11
41
Vì 3 > 2 nên 10
3
2
11
8
3 
 hay 11
41
> 10
23
* Chú ý: Khi mẫu số của hai phân số cùng chia hết cho một số tự nhiên ta có thể nhân cả hai 
phân số đó với số tự nhiên đó rồi đa kết quả vừa tìm được về hỗn số rồi so sánh hai hỗn số đó 
với nhau 
Ví dụ: So sánh 15
47
 và 21
65
. 
+) Ta có: 15
47
 x 3 = 7
2
9
7
65
3
21
65
5
2
9
5
47
+) Vì 7
2
5
2
 nên 7
2
9
5
2
9 
 hay 15
47
 > 21
65
- Thực hiện phép chia hai phân số để so sánh 
- Khi chia phân số thứ nhất cho phân số thứ hai, nếu thương tìm đợc bằng 1 thì hai phân số 
đó bằng nhau; nếu thương tìm đợc lớn hơn 1 thì phân số thứ nhất lớn hơn phân số thứ hai; 
nếu thương tìm được nhỏ hơn 1 thì phân số thứ nhất nhỏ hơn phân số thứ hai. 
Ví dụ: So sánh 9
5
 và 10
7
Ta có: 9
5
 : 10
7
= 
1
63
50
 Vậy 9
5
 < 10
7
. 
 d
c
b
a
 và f
e
b
a
thi
f
e
d
c
- Rút gọn phân số. 
B.BÀI TẬP 
1 , Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : 
a, 14
12
, 1414
1212
và 141414
121212
 b, 35
24
, 3535
2424
và 353535
242424
c, cd
ab
, cdcd
abab
và cdcdcd
ababab
 d, 145
123
, 145145
123123
và 145145145
123123123
e, 13
12
132639
122436
va
 f, 255075
224466
25
22
va
2 .Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần bù) 
a ) 2000
1999
và 2004
2003
 b) 2000
1997
 và 1998
1995
 c) 1 a
a
 và 2
1
a
a
3. Không quy đồng tử số và mẫu số hãy so sánh các p/s sau : (so sánh phần hơn) 
a ) 1994
1995
 và 2002
2003
 b) 2000
2003
 và 1996
1999
 c ) 295
299
 và 275
279
4. Sắp xếp các phân số sau theo thứ tự tăng dần 
.
10
9
,
9
8
,
8
7
,
7
6
,
6
5
,
5
4
,
4
3
,
3
2
,
2
1
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
5. Viết 5 phân số khác nhau nằm giữa 2 phâ số 5
2
 và 5
3
Bài 6: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 
a) 11
7
 và 23
17
 d) 43
34
 và 42
35
b) 48
12
 và 47
13
 e) 48
23
và 92
47
c) 30
25
 và 49
25
 g) 395
415
 và 581
572
Bài 7: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 
a) 17
12
 và 15
7
 d) 1999
1998
 và 2000
1999
b) 2001
1999
 và 11
12
 e) 1
1
 a và 1
1
 a 
c) 27
13
và 41
27
 g) 47
23
 và 45
24
Bài 8: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 
a) 25
15
 và 7
5
 e) 8
3
 và 49
17
b) 60
13
 và 100
27
 g) 47
43
 và 35
29
c) 1995
1993
 và 998
997
 h) 49
43
 và 35
31
d) 15
47
 và 35
29
 i) 27
16
 và 29
15
Bài 9: So sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 
a) 15
13
và 25
23
 d) 15
13
 và 153
133
b) 28
23
 và 27
24
 e) 15
13
 và 1555
1333
c) 25
12
và 49
25
Bài 10: 
a) Sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần: 10
9
;
9
8
;
8
7
;
7
6
;
6
5
;
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
b) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần: 
.
253
152
;
11
26
;
10
10
;
253
215
;
15
26
c) Sắp xếp các phân số theo thứ tự tăng dần: 
.
5
4
;
3
2
;
4
3
;
2
1
;
6
5
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
d) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đén bé: 29
19
;
81
60
;
25
21
e) Sắp xếp các phân số theo thứ tự từ lớn đến bé: 1999
2004
;
15
12
;
5
3
;1;
14
6
;
6
15
Bài 11: Tìm phân số nhỏ nhất trong các phân số sau: 
a) 1982
1984
;
30
31
;
1981
1983
;
60
19
;
1980
1985
 b) 175
175
;
60
21
;
37
39
;
45
14
;
189
196
Bài 12: Viết các phân số sau dới dạng phân số thập phân rồi xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn: 
50
19
;
1000
600
;
25
7
;
10
9
;
20
11
Bài 13: Tìm phân số nhỏ nhất và phân số lớn nhất trong các phân số sau: 
123
231
;
47
13
;
100
135
;
18
77
;
49
12
Bài 14: 
a) Tìm 6 phân số tối giản nằm giữa 5
1
 và 8
3
b) Hãy viết 5 phân số khác nhau nằm giữa hai phân số: 
5
2
 và 5
3
 1997
1995
 và 1996
1995
Bài 15: Hãy tìm 5 phân số có tử số chia hết cho 5 và nằm giữa hai phân số: 
a. 1001
999
 và 1003
1001
 b. 10
9
 và 13
11
Bài 16: So sánh phân số sau với 1 
a) 3533
3434
 b) 19951995
19991999
c) 861986198619861986198619
871987198719851985198519
Bài 17: So sánh 
493572820414102751
35217201241062531
 với 708
308
Bài 18: So sánh A và B, biết: 
A = 153135117857565514539171513
13511799756555453933151311
B = 1717
1111
Bài 19: So sánh các phân số sau (n là số tự nhiên) 
4
1
;
3
)
4
3
;
2
1
).
n
n
n
n
b
n
n
n
n
a
Bài 20: So sánh phân số sau: (a là số tự nhiên, a khác 0) 
7
1
;
6
)
2
3
;
1
)
a
a
a
a
b
a
a
a
a
a
Bài 21: Tổng S = 8
1
7
1
6
1
5
1
4
1
3
1
2
1
 có phải là số tự nhiên không? Vì sao? 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
Bài 22: So sánh 90
1
89
1
...
33
1
32
1
31
1
 với 6
5
Bài 23: Hãy chứng tỏ rằng: 
1
80
1
79
1
...
43
1
42
1
41
1
12
7
Bài 24: So sánh A và B biết: 
246813579
2006
987654321
2007
.
246813579
2007
987654321
2006
. BA
Bài 25: So sánh M và N, biết: 
20052004
20042003
2005
2004
2004
2003
 NM
Bài 26: So sánh A và B, biết: 
001998199820199719971997
1231123112311231
.
999999999999
214321432143
.
BA
Bài 27: Cho phân số: 
M = 19...131211
9...4321
 Hãy bớt một số hạng ở tử số và một số hạng ở mẫu số sao cho giá trị phân số không thay đổi. 
CHUYÊN ĐỀ 2 
BỐN PHÉP TÍNH VỚI PHÂN SỐ 
I. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 
1. Phép cộng phân số 
1.1. Cách cộng 
* Hai phân số cùng mẫu: 
)0( 
 b
b
ca
b
c
b
a
* Hai phân số khác mẫu số: 
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đa về trờng hợp cộng 2 phân số có cùng mẫu số. 
* Cộng một số tự nhiên với một phân số. 
- Viết số tự nhiên thành phân số có mẫu số bằng mẫu số của phân số đã cho. 
- Cộng hai tử số và giữ nguyên mẫu số. 
Ví dụ: 
 2 + 4
11
4
3
4
8
4
3
1.2. Tính chất cơ bản của phép cộng 
- Tính chất giao hoán: 
b
a
d
c
d
c
b
a
. 
- Tính chất kết hợp: 
n
m
d
c
b
a
n
m
d
c
b
a
- Tổng của một phân số và số 0: 
b
a
b
a
b
a
 00
2. Phép trừ phân số 
2.1. Cách trừ 
* Hai phân số cùng mẫu: 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
b
ca
b
c
b
a 
* Hai phân số khác mẫu số: 
- Quy đồng mẫu số 2 phân số rồi đưa về trường hợp trừ 2 phân số cùng mẫu số 
b) Quy tắc cơ bản: 
- Một tổng 2 phân số trừ đi một phân số: 
n
m
d
c
b
a
n
m
d
c
b
a
 (Với n
m
d
c
) 
 = 
n
m
b
a
d
c
 (Với n
m
b
a
) 
- Một phân số trừ đi một tổng 2 phân số: 
n
m
d
c
b
a
n
m
d
c
b
a
 = d
c
n
m
b
a
- Một phân số trừ đi số 0: 
b
a
b
a
 0
3. Phép nhân phân số 
3.1. Cách nhân: bxd
axc
d
c
x
b
a
3.2. Tính chất cơ bạn của phép nhân: 
- Tính chất giao hoán: 
b
a
x
d
c
d
c
x
b
a
- Tính chất kết hợp: 
n
m
d
c
b
a
=
n
m
d
c
b
a
- Một tổng 2 phân số nhân với một phân số: 
n
m
d
c
n
m
b
a
n
m
d
c
b
a
- Một hiệu 2 phân số nhân với một phân số: 
n
m
d
c
n
m
b
a
n
m
d
c
b
a
- Một phân số nhân với số 0: 
000 
b
a
xx
b
a
3.3. Chú ý: 
- Thực hiện phép trừ 2 phân số: 
21
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1
x
 Do đó: 21
1
2
1
1
1
x
32
1
6
1
6
2
6
3
3
1
2
1
x
 Do đó: 32
1
3
1
2
1
x
43
1
12
1
12
3
12
4
4
1
3
1
x
 Do đó: 43
1
4
1
3
1
x
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
)1(
1
)1()1(
1
1
11
nnnn
n
nn
n
nn Do đó: )1(
1
1
11
nnnn 
- Muốn tìm giá trị phân số của một số ta lấy phân số nhân với số đó. 
Ví dụ: Tìm 2
1
 của 6 ta lấy: 
36
2
1
Tìm 2
1
của 3
1
 ta lấy: 6
1
3
1
2
1
4. Phép chia phân số 
4.1. Cách làm: bxc
axd
d
c
b
a
 :
4.2. Quy tắc cơ bản: 
- Tích của 2 phân số chia cho một phân số. 
n
m
d
c
x
b
a
n
m
d
c
x
b
a
::
- Một phân số chia cho một tích 2 phân số: 
.:::
n
m
d
c
b
a
n
m
x
d
c
b
a
- Tổng 2 phân số chia cho một phân số: 
n
m
b
a
n
m
b
a
n
m
d
c
b
a
::: 
- Hiệu 2 phân số chia cho một phân số: 
n
m
d
c
n
m
b
a
n
m
d
c
b
a
::: 
- Số 0 chia cho một phân số: 
.0:0 
b
a
- Muốn tìm 1 số khi biết giá trị 1 phân số của nó ta lấy giá trị đó chia cho phân số tương ứng. 
Ví dụ: Tìm số học sinh lớp 5A biết 5
2
số học sinh của lớp 5A là 10 em. 
Bài giải 
Số học sinh của lớp 5A là: 
10 : 
25
5
2
 (em) 
* Khi biết phân số b
a
của x bằng d
c
của y (a, b, c, d )0 
- Muốn tìm tỉ số giữa x và y ta lấy b
a
d
c
:
- Muốn tìm tỉ số giữa y và x ta lấy d
c
b
a
:
Ví dụ: Biết 5
2
số nam bằng 4
3
số nữ. Tìm tỉ số giữa nam và nữ. 
Bài giải 
Tỉ số giữa nam và nữ là: 5
2
:
4
3
= 8
15
. 
B. MỘT SỐ DẠNG BÀI TOÁN 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
Dạng 1: Tổnh nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số của 
phân số liền trước 2 lần. 
Ví dụ: 64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
. 
Cách giải: 
Cách 1: 
Bớc 1: Đặt A = 64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
Bớc 2: Ta thấy: 2
1
1
2
1
 4
1
2
1
4
1
 8
1
4
1
8
1
Bớc 3: Vậy A = 
64
1
32
1
...
8
1
4
1
4
1
2
1
2
1
1
 A = 64
1
32
1
...
8
1
4
1
4
1
2
1
2
1
1 
 A = 1 - 64
1
 A = 64
63
64
1
64
64
 Đáp số: 64
63
. 
Cách 2: 
Bớc 1: Đặt A = 64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
Bớc 2: Ta thấy: 
2
1
1
2
1
4
1
1
4
3
4
1
2
1
8
1
1
8
7
8
1
4
1
2
1
. 
Bớc 3: Vậy A = 64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
 = 1 - 64
1
 = 64
63
64
1
64
64
Dạng 2: Tính tổng của nhiều phân số có tử số bằng nhau và mẫu số của phân số liền sau gấp mẫu số 
của phân số liền trước n lần. (n > 1) 
 Ví dụ: A = 64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
Cách giải: 
Bớc 1: Tính A x n (n = 2) 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
 Ta có: A x 2 = 2 x 
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
 = 64
2
32
2
16
2
8
2
4
2
2
2
 = 32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 
Bớc 2: Tính A x n - A = A x (n - 1) 
 A x 2 - A = 
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
A x (2 - 1) = 32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
1 
 - 64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
 A = 1 - 64
1
 A = 64
63
64
1
64
64
 Ví dụ 2: B = 486
5
162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
Bớc 1: Tính B x n (n x 3) 
 B x 3 = 3 x 
486
5
162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
 = 162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
2
15
Bớc 2: Tính B x n - B 
Bx3 - B = 
162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
2
15
 - 
486
5
162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
B x (3 - 1) = 162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
2
15
 - 486
5
162
5
54
5
18
5
6
5
2
5
B x 2 = 486
5
2
15
B x 2 = 486
53645 
B x 2 486
3640
B = 
2:
486
3640
B 486
1820
B 243
910
BÀI TẬP:Tính nhanh 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
a) 192
2
96
2
48
2
24
2
12
2
6
2
3
2
b) 256
1
128
1
64
1
32
1
16
1
8
1
4
1
2
1
 b1) S = 2
1
 + 4
1
 + 8
1
+ 16
1
+ 32
1
 + 64
1
c) 
.
729
1
243
1
81
1
27
1
9
1
3
1
d) 512
3
128
3
32
3
8
3
2
3
e) 3 + 625
3
125
3
25
3
5
3
g) 1280
1
....
40
1
20
1
10
1
5
1
h) 59049
1
...
81
1
27
1
9
1
3
1
Dạng 3: Tính tổng của nhiều phân số có tử số là n (n > 0); mẫu số là tích của 2 thừa số có hiệu bằng 
n và thừa số thứ 2 của mẫu phân số liền trớc là thừa số thứ nhất của mẫu phân số liền sau: 
Ví dụ: A = 65
1
54
1
43
1
32
1
xxxx
 A = 65
56
54
45
43
34
32
23
xxxx
 = 65
5
65
6
54
4
54
5
43
3
43
4
32
2
32
3
xxxxxxxx
 = 6
1
5
1
5
1
4
1
4
1
3
1
3
1
2
1
 = 3
1
6
2
6
1
6
3
6
1
2
1
Ví dụ: 
B = 1411
3
118
3
85
3
52
3
xxxx
B = 
.
1411
1114
118
811
85
58
52
25
xxxx
B = 1411
11
1411
14
118
8
118
11
85
5
85
8
52
2
52
5
xxxxxxxx
 = 14
1
11
1
11
1
8
1
8
1
5
1
5
1
2
1
 = 7
3
14
6
14
1
14
7
14
1
2
1
BÀI TẬP 
Bài 1: Tính nhanh: 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
a. 2723
4
2319
4
1915
4
1511
4
117
4
73
4
xxxxxx
b. 109
2
98
2
...
43
2
32
2
21
2
1513
2
1311
2
119
2
97
2
75
2
53
2
xxxxxxxxxxx
 c. 10093
77
...
2316
77
169
77
92
77
109
3
...
65
3
54
3
43
3
32
3
21
3
xxxxxxxxxx
d. 1512
4
129
4
96
4
63
4
xxxx
 đ. 2117
7
1713
7
139
7
95
7
51
7
xxxxx
e. 110
1
...
42
1
30
1
20
1
12
1
6
1
2
1
 g. 340
1
138
1
154
1
88
1
40
1
10
1
Bài 2: Cho tổng: 
1995
664
...
1511
4
117
4
73
4
 S
a) Tìm số hạng cuối cùng của dãy S. 
b) Tổng S có bao nhiêu số hạng? 
Bài 3: Tính nhanh: 
a) 90
89
72
71
56
55
42
41
30
29
20
19
12
11
6
5
b) Tính tổng của 10 phân số trong phép cộng sau: 
110
109
90
89
72
71
56
55
42
41
30
29
20
19
12
11
6
5
2
1
Bài 4: Cho dãy số: 
........
42
1
,
30
1
,
20
1
,
12
1
,
6
1
,
2
1
a) Hãy tính tổng của 10 số hạng đầu tiên của dãy số trên. 
b) Số 10200
1
 có phải là một số hạng của dãy số trên không? Vì sao? 
Bài 5: Tính nhanh: 
50...4321
1
...
4321
1
321
1
21
1
Bài 6: So sánh S với 2, biết rằng: 
45
1
...
10
1
6
1
3
1
1 S
Bài 7: Chứng minh rằng: 
1
91
1
73
1
57
1
43
1
31
1
21
1
13
1
7
1
3
1
Bài 8: Điền dấu >,< hoặc = vào ô trống: 
1000
1
...
25
1
16
1
9
1
4
1
 S
 1 
Bài 9: Tính a) 199319931994
199419941993
 b) abcabcmnp
mnpmnpabc
 c) 206206195
195195206
Bài 10:Tính a) S = (1- 2
1
) (1- 3
1
) (1- 4
1
) (1- 5
1
) (1- 6
1
) 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
 b) S= 
12
1
11
1
10
1
9
1
8
1
7
1
30
1
28
1
24
1
22
1
18
1
15
1
14
1
Bài 11: .Tính biểu thức : 
a ) 2005419972005
66200620052004
 ; 20005002000504
55200120001999
b) 200250050220022002
20022001199842003
 ; 31995519954951995
19952001199542000
c ) 220...2012844
6422865742:72
 1024512...6422
16861241832423672
Bài 12:Tính : 
a) 18 ( 212121
191919
+ 999
888
) b , 27 ( 272727
171717
+ 3636
3737
 ) c, 3 ( 9999
7777
+ 272727
141414
) 
Bài 10: Tính giá trị biểu thức: 
a) 
 .5,1225,098,12
25
9
2
11
4
23
:7,87
10
17
b) 17
2
2
9
7
32
5
2
5
24
2
1 
 c) 2 17
2
 1 24
1
 5 5
2
 3 9
7
 x 2 
d) 3 x 14
11
:
14
3
3
1
7
1
. e) 7
3
:
5
4
10
7
1
10
1
1
5
1
2
5
3
1 
Bài 11: Tính giá trị của biểu thức: 
a) 11
2
5
11
10
5
1
4
7
6
6
1
1
5
3
:6
 b) 
6
1
4
1
:
5
1
4
1
3
1
2
1
15
1
10
1
6
1
:
15
1
10
1
6
1
c)
6
1
4
1
:
5
1
4
1
3
1
2
1
15
1
10
1
6
1
:
15
1
10
1
6
1
 d) 5
2
3
1
5
49
17
20
7
4
1
15
3
e) 12
11
7
2
1
3
6
7
8
7
7
1
1
7
5
:5
 g)
10
1
5
1
2
1
:
10
1
5
1
2
1
5
1
4
1
2
1
:
5
1
4
1
2
1
h)
5
2
21
7
:
21
14
41
9
:
41
36
 i)
2
30
3
:2:
15
12
3
31
2
:
21
34
k)
2
1
5
3
24
21
:
4
3
1
8
5
2
9
3
3
7
:
12
8
 l) 6
5
20
7
4
1
10
3
15
7
2
5
1
3
1
3
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
m) 10
1
2
1
4
18
7
2:
180
7
2
1
2
5
2
1
84
13
Bài 12: Tính: 
a) 2
1
1
1
1
1
1
 b) 1 2
1
1
1
1
1
c) 3
1
2
1
1
 d) 41
1
1
1
2
e) 32
2
1
1
1
Bài 13: Thực hiện các phép tính sau: 
 2
1
7:528
2
1
70
10
1
2
1
4
18
7
2:
180
7
2
1
2
5
2
1
84
13
)
a
 4
1
11:9
50
1
100
19
8
100
81
11
9
8
20
13
16
10
9
18
4
1
1
100
29
100
9
1
)
b
Bài 14: Tìm y: 
y 
 
4
3
2
1
1
2
:
5
1
1
5
4
2
7
4
1
1
5
2
2
4
1
:
4
3
3
= 64 
Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho: 
126
25
:
21
100
11
54
27
121
 n
Bài 16: Tìm x là số tự nhiên biết: 
a) 204
60
17
x
 b) 11
7
33
6
 x
 c) 3
2
43
12
x
x
d) 7
3
5
x
 e) 
2
11
1 
x g) 52
46
1626
15
x
CHUYÊN ĐỀ 3 
CÁC BÀI TOÁN VỀ THÊM BỚT Ở TỬ SỐ VÀ MẪU SỐ 
A. KIẾN THỨC CẦN GHI NHỚ 
1. Thêm vào tử số và bớt ở mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì tổng của tử số và mẫu số của 2 
phân số không đổi. 
2. Bớt ở tử số và thêm ở mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì tổng của tử số và mẫu số của 2 phân 
số không đổi. 
3.Cùng thêm hoặc cùng bớt ở cả tử số và mẫu số cùng một số tự nhiên khác 0 thì hiệu của tử số và 
mẫu số (hoặc hiệu của mẫu số và tử số) không đổi. 
B.BÀI TẬP 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
I . Bài tập thêm bớt cả tử và mẫu . 
a ) Cho phân số 9
7
. Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số trừ đi số tự nhên n và đem mẫu số cộng 
với n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằng 3
1
 . 
b) Cho phân số 7
5
. Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số trừ đi số tự nhên n và đem mẫu số cộng 
với n thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằng 3
1
c ) Cho phân số 59
5
. Hãy tìm một số n sao cho nếu đem tử số cộng số tự nhên n và đem mẫu số trừ n 
thì được một ps mới sau khi rút gọn bằng bằn (các phần a,b,c,d được giải = tổng tỉ) 
e) Cho p/s 34
9
hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã cho trừ đi m ta đựơc 
p/s mới. Rút gọn p/s mới ta đợc p/s 6
1
. 
g) Cho p/s 56
43
hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã cho trừ đi m ta đựơc 
p/s mới. Rút gọn p/s mới ta được p/s 4
3
. 
h) Cho p/s 35
5
hãy tìm số tự nhiên m sao cho khi đem cả tử và mẫu cửa p/s đã cho trừ đi m ta đựơc 
p/s mới .Rút gọn p/s mới ta đợc p/s 11
1
. 
II. Bài tập tìm P/s khi thêm bớt vào tử hoặc mẫu: 
a) Cho p/s b
a
 nếu rút gọn b
a
thì được p/s 11
9
.nếu thêm vào tử số 38 đơn vị rồi mới rút gọn thì đợc p/s 
4
5
.Tìm p/s b
a
. 
b) Cho p/s b
a
 nếu rút gọn b
a
thì được p/s 7
3
.nếu thêm vào tử số 15 đơn vị rồi mới rút gọn thì đợc p/s 
49
36
.Tìm p/s b
a
. 
c) Cho p/s b
a
 nếu rút gọn b
a
thì được p/s 13
9
.nếu thêm vào tử số 315 đơn vị rồi mới rút gọn thì đợc 
p/s 32
27
.Tìm p/s b
a
. 
d) Cho p/s b
a
 nếu rút gọn b
a
thì đợc p/s 7
3
.nếu thêm vào tử số 70 đơn vị rồi mới rút gọn thì đợc p/s 
2
3
.Tìm p/s b
a
III . Các bài tìm p/s 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
a) Tìm p/s bằng p/s 10
7
mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 2004 đơn vị . 
b) Tìm p/s bằng p/s 8
5
mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 810 đơn vị . 
c ) Tìm p/s bằng p/s 16
11
mà có tử số nhỏ hơn mẫu số 915 đơn vị . 
h) Cho p/s b
a
 có b- a = 25 .P/s b
a
 sau khi rút gọn bằng 68
63
 . Tìm p/s b
a
 ? 
i) Cho p/s b
a
 có b- a = 18 .P/s b
a
 sau khi rút gọn bằng 7
5
 . Tìm p/s b
a
 ? 
k) Cho p/s b
a
 có b + a = 112 .P/s b
a
 sau khi rút gọn bằng 9
5
 . Tìm p/s b
a
 ? 
n) Cho p/s b
a
 có b + a = 143 .P/s b
a
 sau khi rút gọn bằng 7
4
 . Tìm p/s b
a
 ? 
CHUYÊN ĐỀ 4 
MỘT SỐ BÀI TOÁN TỔNG, HIỆU - TỈ 
1. Ba bạn A, B, C có 84 quyển sách, số sách của A gấp 2 lần của B, số sách của B gấp 3 lần của C 
.Tìm số sách của 3 bạn . 
2. Ba lớp nhặn đợc 49 kg giấy, lớp 5a nhặt gấp 4 lần 5b, lớp 5c bằng một nửa lớp 5a.Tìm số giấy của 
mỗi lớp. 
3 . Tuổi bà gấp 2 lần tuổi mẹ, tuổi Lan bằng 6
1
tuổi mẹ. Tính tuổi mỗi người (biết mẹ và Lan có tổng 
số tuổi là 42) 
4. Số bông hoa của A bằng 2
1
số bông hoa của B và bằng 3
1
số bông hoa của C. Tìm số bông hoa 
của mỗi người.(biết số bông hoa của A và C là 100 bông) 
5. a) Số cây của 4a bằng 3
1
 số cây của 4b số cây của 4a gấp 2 lần số cây của 4c.Tìm số cây của mỗi 
lớp (3 lớp trồng đợc 603 cây) 
 6 Hồng ,Cúc ,.Chúc , Mai góp 28 quyển truyện. Hồng góp 7
1
 số truyện và bằng 3
2
 của Cúc . Nếu 
Trúc góp thêm 1 quyển, Mai bớt đi 1 quyển thì Trúc gấp 2 lần Mai. Tìm số quyển truyện Mỗi bạn . 
7 .a) Số ngời học tiếng Nhật bằng 2
1
số ngời học tiếng Hoa ,số ngời học tiếng Hoa bằng 3
1
 số người 
học tiếng Anh . Tìm số ngời học mỗi loại .(Tổng số người học là108) 
 b) Cuối học kỡ I , ba lớp 5A , 5B và 5C nhận 177 quyển vở để phát thưởng cho học sinh. Biết 3
2
số vở lớp 5A bằng 5
3
 số vở lớp 5B và bằng 7
4
 số vở lớp 5C . Hỏi mỗi lớp được nhận bao nhiêu 
quyển vở ? 
 c) Bác Thuận , Anh Tuấn và Cụ Yến chia nhau một số tiền thưởng là 3.480.000 đồng . Biết rằng 
5
3
 số tiền thưởng của bác Thuận bằng 7
4
 số tiền thưởng của Anh Tuấn; 9
5
 số tiền thưởng của Anh 
Tuấn bằng 51
35
 số tiền thưởng của Cụ Yến. Hỏi mỗi người được thưởng bao nhiêu tiền ? 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
***** 
8. Tổng của 2 số là 105 .Nếu lấy số lớn chia cho số bé được thương là 9 và dư 5 .Tìm 2 số đó. 
9. Trong một phép chia có thương là 5 số dư là 12 .Biét tổng của SBC và SC thương số và số dư là 
113.Tìm SBC và SC 
10. Khi thực hiện một phép chia 2 số tự nhiên thì được thương là 6, dư 51.Tổng của SBC, SC thương 
và số dư là 969. Hãy tìm SBC và SC. 
11. Khi lấy số lớn chia cho số bé ta được thương là 9 dư 5 .Biết tổng của số lớn, số bé, thương và số 
dư là 119.Tìm 2 số đó . 
***** 
12. Hoài và Hiền có tổng số tiền là 57000 đồng để mua sgk.Biết 3
2
số tiền của Hiền bằng 5
3
 của 
Hoài .Hỏi mỗi bạn cố bao nhiêu đồng. 
13. Lơng Bố hơn lơng Mẹ 60 000 đồng.Biết 6
5
lương Mẹ bằng 4
3
lương Bố .Tính lương Bố và Mẹ . 
14 . a) Tổng của 3 số là 935 .biết 7
3
số thứ nhất bằng 5
2
số thứ 2 bằng 9
4
số thứ 3.Tìm 3 số đó. 
 b) Cuối học kì I , ba lớp 5A , 5B và 5C nhận 177 quyển vở để phát thưởng cho học sinh. Biết 3
2
số vở lớp 5A bằng 5
3
 số vở lớp 5B và bằng 7
4
 số vở lớp 5C . Hỏi mỗi lớp được nhận bao nhiêu 
quyển vở ? 
15.Tổng số tuổi của Ông ,Bố ,Mẹ tôi là 152 .Đố bạn tính được tuổi mỗi người . Biết 3
2
tuổi Mẹ bằng 
5
2
 tuổi Bố bằng 7
3
 tuổi Ông. 
16. Hồng và Huệ có tổng số Tiền là 65 000 đồng sau khi Hồng tiêu 7
4
số tiền của mình, Huệ tiêu 
2
1
số tiền của mình thì số tiền còn lại của 2 bạn bằng nhau. Tìm số tiền của mỗi bạn 
17 . Hai tấm vải dài 176 m. Sau khi bán đi 3
2
tám vải thứ nhất và 7
4
tấm vải thứ hai thì 2 tấm vải cồn 
lại bằng nhau.Tìm độ dài 2 tấm vải lúc đầu. 
18. Một ngời có 290 kg gạo Nếp và Tẻ sau khi bán 3
1
số gạo tẻ và 7
2
số gạo nếp thì số gạo còn lại 
bằng nhau. Tìm số gạo mỗi loại. 
19 .Ba tấm vải Xanh,Trắng, Đỏ dài 108 m. Nếu cắt 7
3
tấm vải Xanh, 5
1
tấm vải Trắng, 3
1
 tấm vải Đỏ 
thì phần còn lại dài bằng nhau.Tìm chiều dài mỗi tấm. 
20. Một giá sách có 2 ngăn, ngăn 1 bằng 3
2
 ngăn 3, ngăn 2 bằng 4
3
 ngăn 1. Cả 3 ngăn có 64 
quyển,Tìm số sách mỗi ngăn. 
21, Tổng số tuổi của 3 cha con là 85.Tuỏi con gái bằng 5
2
tuổi cha, tuổi con trai bằng 4
3
tuổi con 
gái.Tìm tuổi mỗi người. 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
22. Ba lớp có 115 học sinh, Học sinh lớp 4b bằng 9
8
học sinh lớp 4a , học sinh lớp 4cbằng 4
3
học sinh 
lớp 4b.Tìm học sinh mỗi lớp. 
23.Trong vờn có 60 cây cam, chanh, bởi Số cây bởi bằng 4
3
số cây chanh, số cây chanh bằng 5
4
số 
cây cam. Tìm số cây mỗi loại. 
24. Ba bạn có tất cả 63 bông hoa số hoa của bạn A bằng 4
3
số hoa của bạn B, số hoa của bạn C bằng 
6
7
 số hoa của bạn A. Tìm số hoa của mỗi bạn. 
25. Ba trường có 74 học sinh giỏi, học sinh giỏi trường A bằng 5
4
học sinh giỏi trường B, học sinh 
giỏi trường C bằng 6
5
trờng A. Tìm học sinh giỏi mỗi trường. 
***** 
 26. Một giá sách có 2 ngăn, số sách hiện có ở ngăn dưới gấp 5 lần ngăn trên nếu chuyển 3 quyển từ 
ngăn dưới lên ngẳn trênthì số sách ở ngăn dưới gấp 4 lần ngăn trên.Tìm số sách mỗi ngăn? 
27. Trong lớp chỉ có 2 loại học sinh giỏi và khá. Cuối học kì 1 số học sinh giỏi bằng 7
2
số học sinh 
khá. Đến cuối năm 1 học sinh khá vươn lên học sinh giỏi vì thế số học sinh giỏi bằng 3
1
số học sinh 
khá. Tìm số học sinh khá,giỏi . 
28. Trong một buổi họp mặt cô giáo nhận thấy rằng số học sinh vắng mặt bằng 5
1
số học sinh có mặt 
,cô cho một học sinh đi gọi lúc này cô nhận thấy số học sinh vắng mặt bằng 4
1
số học sinh có 
mặt.Tìm số học sinh cả lớp. 
29. Tủ sách 5 a có 2 ngăn. Số sách ngăn trên bằng 7
3
số sách ngăn dưới. Nếu chuyển 10 quyển từ 
ngăn trên xuống ngăn dưới thì ngăn trên bằng 2
1
ngăn dưới.Tìm số sách mỗi ngăn. 
30. Lớp Avà B đi lao động số cây lớp A bằng 9
5
số cây lớp B, nếu chuyển 10 cây của lớp A sang B 
thì số cây lớp A bằng 5
2
số cây lớp B.Tìm số cây mỗi lớp . 
***** 
31. Năm nay tuổi Hoa gấp 3 lần tuổi em Huệ . Hai năm trớc ,tuổi hoa gấp 5 lần tuổi em Huệ .Vậy 
Hoa và Huệ năm nay bao nhiêu tuổi 
32. Năm nay tuuôỉ Tuấn gấp 2 lần tuổi Tú . 5 năm nữa tuổi Tú bằng 3
2
tuổi Tuấn .Tìm tuổi mỗi ngư-
ời. 
33. Năm nay , Tôi bằng 4
1
tuổi Ông .11 năm nữa ,tuổi tôi bằng 3
1
tuổi Ông . Vây năm nay Ông bao 
nhiêu tuổi . 
 Chuyên đề bồi dưỡng HS lớp 5. 
***** 
34.Lớp Avà B nhận bàn chải đánh răng .Sau khi nhận thì thấy rằng 4
3
số bàn chải đánh răng của lớp 
B gấp 3 lần 3
1
số bàn chải của lớp A. 4
3
số bàn chải của lớp B nhiều hơn 3
1
số bàn chải của lớp A 18 
bàn chải .Tìm số bàn chải của mỗi lớp . 
35. 5
3
số cây của A hơn 3
1
số cây của B là 20 cây và 5
3
số cây của A gấp 3
2
số cây của B 3 lần.Tìm số 
cây của mỗi lớp . 
36. 5
3
số cây của A hơn 3
1
số cây của B là 2 lần và 5
3
số cây của A hơn 3
2
số cây của Blà 54 cây.Tìm 
số cây của mỗi lớp . 
37. 4
1
số cây của A bằng 3
2
của 5
3
số cây của B và 4
1
số cây của Avà 5
3
 cây của B là 25 cây .Tìm số 
cây mỗi bạn. 
38. 3
2
số cây của A bằng 4
3
của 4
3
số cây của B và 3
2
số cây của Avà 4
3
 cây của B là 42 cây .Tìm số 
cây mỗi 
***** 
39. Cho 4 số có tổng là 396. Nếu đem số thứ nhất cộng với 5, đem số thứ Hai tr