Bồi dưỡng và phát triển tư duy trong giải Toán học Lớp 8 Hình học (Tập 2)

 Website:tailieumontoan.com 1 
BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ DUY 
ĐỘT PHÁ TRONG GIẢI 
TOÁN HỌC 8 
TẬP 2 
HÌNH HỌC 
THEO CHUẨN KIẾN THỨC KĨ NĂNG 
 Tóm tắt lí thuyết căn bản 
 Giải chi tiết, phân tích, bình luận, hướng dẫn làm bài dành cho học sinh lớp 8 
và chuyên Toán. 
 Tham khảo cho phụ huynh và giáo viên. 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 2 
LỜI NÓI ĐẦU 
Sách giáo khoa Toán 8 hiện hành được biên soạn theo tinh thần đổi mới của chương 
trình và phương pháp dạy – học, nhằm nâng cao tính chủ động, tích cực của học sinh 
trong quá trình học tập. 
Tác giả xin trân trọng giới thiệu cuốn sách “BỒI DƯỠNG VÀ PHÁT TRIỂN TƯ 
DUY ĐỘT PHÁ TRONG GIẢI TOÁN HỌC 8”, được viết với mong muốn gửi tới các 
thầy cô, phụ huynh và các em học sinh một tài liệu tham khảo hữu ích trong dạy và học 
môn Toán ở cấp THCS theo định hướng đổi mới của Bộ Giáo dục và Đào tạo. 
Cuốn sách được cấu trúc gồm các phần: 
- Kiến thức căn bản cần nắm: Nhắc lại những kiến thức cơ bản cần nắm, những 
công thức quan trọng trong bài học, có ví dụ cụ thể 
- Bài tập sách giáo khoa, bài tập tham khảo: Lời giải chi tiết cho các bài tập, bài tập 
được tuyển chọn từ nhiều nguồn của môn Toán được chia bài tập thành các dạng có 
phương pháp làm bài, các ví dụ minh họa có lời giải chi tiết...Có nhiều cách giải khác nhau 
cho một bài toán... 
Cuốn sách này còn là tài liệu tham khảo bổ ích cho quí thầy cô giáo và các bậc phụ 
huynh học sinh để hướng dẫn, giúp đỡ các em học tập tốt bộ môn Toán. 
 Các tác giả 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 3 
MỤC LỤC 
LỜI NÓI ĐẦU......................................................................................................... Trang 
CHƯƠNG 1. .......................................................................................................... Trang 
Bài 1. Tứ giác ........................................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 2. Hình thang .................................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 3. Hình thang cân ............................................................................................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 4. Đường trung bình ........................................................................................ Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 6. Trục đối xứng .............................................................................................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 7. Hình bình hành ........................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 8. Đối xứng tâm ............................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 9, 10. Hình chữ nhật – Đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 4 
Bài 11. Hình thoi .................................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
Bài 12. Hình vuông ............................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
CHƯƠNG 2. Đa giác, diện tích đa giác .............................................................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập ......................................................................... Trang 
CHƯƠNG 3. ĐỊNH LÍ TALET TRONG TAM GIÁC. TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG 
 ................................................................................................................................... Trang 
Bài 1,2. Định lí Talet trong tam giác. Định lí Talet đảo, Hệ quả định lí Talet Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập .......................................................................... Trang 
Bài 3. Tính chất của đường phân giác trong tam giác ...................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức .......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập .......................................................................... Trang 
Bài 4,5,6. Tam giác đồng dạng. Các trường hợp đồng dạng 
 của hai tam giác.....................................................................Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................................... Trang 
Bài 7. Các trường hợp đồng dạng của hai tam giác vuông .............................. Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập .......................................................................... Trang 
CHƯƠNG 4. HÌNH LĂNG TRỤ ĐỨNG. HÌNH CHÓP ĐỀU ..................... Trang 
Bài 1. Hình hộp chữ nhật ...................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức .......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập .......................................................................... Trang 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 5 
Bài 2. Hình lăng trụ đứng ..................................................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức .......................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập .......................................................................... Trang 
Bài 3. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều ....................................................... Trang 
 A. Chuẩn kiến thức ........................................................................................... Trang 
 B. Luyện kĩ năng giải bài tập .......................................................................... Trang 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 6 
CHƯƠNG I. TỨ GIÁC 
BÀI 1. TỨ GIÁC 
A.LÝ THUYẾT: 
1) Định nghĩa: 
Tứ giác ABCD là hình gồm 4 đoạn thẳng AB, BC, CD, DA, trong đó bất kỳ hai đoạn 
thẳng nào cũng không cùng nằm trên một đường thẳng. 
Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa 
bất kỳ cạnh nào của tứ giác. 
 Hai đỉnh kề nhau: A và B; B và C; C và D; D và A 
 Hai đỉnh đối nhau: A và C; B và D 
 Đường chéo AC; BD 
 Hai cạnh kề nhau: AB và BC; BC và CD; CD và DA 
 Hai cạnh đối nhau: AB và CD; AD và BC 
 Hai góc kề nhau: và ; và ; và ; và 
 Hai góc đối nhau: và ; và 
 Điểm nằm trong tứ giác: M 
 Điểm nằm trên tứ giác: N 
 Điểm nằm ngoài tứ giác: P 
2) Định lý: Tổng các góc của một tứ giác bằng 1800 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP 
Bài 1. Cho tứ giác ABCD biết + = 2000, + = 1800; + = 1200. 
a) Tính số đo các góc của tứ giác. 
b) Gọi I là giao điểm của các tia phân giác của và của tứ giác. Chứng minh: 
Bài giải: 
a) Từ giả thiết ta có: 
Vì . 
. 
. 
. 
b) Trong tam giác ABI: 
. 
Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD có + = 1800, CB = CD. Chứng 
minh AC là tia phân giác của . 
A B B C C D D A
A C B D
B C B D C D
A B
 C DAIB
2
+
=
  
0 0 02B 2C 2D 200 180 120+ + = + + ⇒    0B C D 250 .+ + =
    
0 0A B C D 360 A 110+ + + = ⇒ =
  ( )0 0 0 0B 250 C D 250 120 130= − + = − =
 
0 0 0 0C 200 B 200 130 70= − = − =
 
0 0 0 0D 120 C 120 70 50= − = − =
 
 ( )  00 360 A BA B C DAIB 180
2 2 2
− ++ +
= − = =
B D
 BAD
I
A
B
CD
I
B
A
D
C
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 7 
Bài giải: 
Trên tia đối tia BA lấy điểm I sao cho BI = AD. 
Ta có (cùng bù với góc ). 
AD = IB, DC = BC. Từ đó ta có . 
Suy ra: và AC = IC. 
Tam giác ACI cân tại C nên . 
Vậy AC là phân giác trong góc . 
Bài 3. Cho tứ giác lồi ABCD, hai cạnh AD và BC cắt nhau tại E, hai cạnh DC và AB cắt 
nhau tại F. Kẻ tia phân giác của hai góc CED và BFC cắt nhau tại I. Tính góc EIF theo các 
góc trong tứ giác ABCD. 
Bài giải: 
FI cắt BC tại K, suy ra K thuộc đoạn BC 
 ( là góc ngoài của IKE) 
 = ( là góc ngoài của FBK) 
. 
. 
Vậy 
Bài 4. Cho tứ giác ABCD. Chứng minh: (p: chu vi của tứ giác) 
Bài giải: 
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Theo bất đẳng thức tam 
giác, ta có: 
IA + IB > AB, IA + ID >AD, IB + IC >BC, IC +ID >CD 
Cộng theo vế, ta được: 2(IA + IB + IC + ID) > p, từ đó: 
AC + BD > p. 
Lại có: AC < AB+BC, AC < AD + DC, BD < BA +AD, BD < 
BC + CD. 
Suy ra 2(AC + BD) < 2(AB + BC + CD + DA) = 2p AC + 
BD < p. 
Bài 5. Cho tứ giác ABCD, M là một điểm trong tứ giác đó. Xác định vị trí của M để MA + 
MB + MC + MD nhỏ nhất. 
 Bài giải: 
Gọi I là giao điểm của AC và BD. Ta có các bất đẳng thức: 
 ADC IBC= ABC
ADC IBC∆ = ∆
 DAC BIC=
 BAC BIC DAC= =
 BAD
⇒ EIF EKI IEK= + EIF ∆
 B BFK IEK+ + CKF ∆
  ( )0BFC 180 B C= − + 
 
0 B CBFK 90
2
+
⇒ = −
  ( ) 
 
0 0 A BAEB 180 A B IEK 90
2
+
= − + ⇒ = −
 
   
0 0B C A BEIF B + 90 90
2 2
+ +
= − + −
   
0 A C B D180
2 2
+ +
= − =
1 p < AC + BD < p
2
1
2
⇒
K
I
F
E
A
D
C
B
I
B
A
D C
I
B
A
D C
M
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 8 
MA + MC AC, MB + MD BD. 
Từ đó suy ra MA + MB + MC + MD AC + BD 
MA + MB + MC + MD = AC + BD khi M trùng với I. 
Vậy khi M là giao điểm hai đường chéo thì MA + MB + MC + MD nhỏ nhất. 
Bài 6. Một đường thẳng đi qua trung điểm của hai cạnh đối diện của một tứ giác lồi tạo 
với các đường chéo của hai góc bằng nhau .Chứng minh rằng tứ giác ấy có hai đường chéo 
bằng nhau. 
Giải. 
Gọi Q,P lần lượt là trung điểm của 
AB ,CD tương ứng 
Khi đó ta có : 
QN//MP ; NP//QM.⇒Tứ giác QNPM là hình bình hành. 
Vì MN tạo với AC và BD hai góc bằng nhau nên suy ra MN cũng tạo với QN và QM hai 
góc bằng nhau 
Tức là : QNM QMN= 
Suy ra Tam giác QMN cân tại Q 
Suy ra QN=QM 
Ta có QN=
1
2
AC và QM= 1
2
BD (Đường trung bình của tam giác) 
Mà QN=QM (Chứng minh trên ) 
Suy ra AC=BD 
Vậy Tứ giác trên có hai đường chéo bằng nhau 
BÀI 2. HÌNH THANG 
A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình thang 
≥ ≥
≥
AB // CD
BC // AD

⇔ 
 cạnh bên
cạnh đáy lớn
cạnh bên
cạnh đáy nhỏA B
D C
Q
2
1
K
O
Q
P
N
M
D
C
B
A
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 9 
L
PN
M
I
D
C
B
A
2.Tính chất: 
* Nếu một hình thang có hai cạnh bên song song thì nó là hình chữ nhật. 
* Nếu một hình thang có hai cạnh đáy bằng nhau thì nó là hình bình hành. 
3. Hình thang vuông: 
Hình thang vuông là hình thang có hai góc vuông. 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP 
Bài 7. Cho tứ giác ABCD có AD = DC, đường chéo AC là phân 
giác góc Â. Chứng minh rằng ABCD là hình thang. 
Bài giải: 
Ta có AD = DC nên tam giác ADC cân tại D. 
Suy ra 
Suy ra AB//CD (hai góc so le trong bằng nhau) 
Vậy ABCD là hình thang. 
Bài 8. Cho hình thang ABCD, đáy AB = 40cm, CD = 80cm, BC = 50cm, AD = 30cm. Chứng 
minh rằng ABCD là hình thang vuông. 
Bài giải: 
Gọi H là trung điểm của CD. Ta có DH = CH = 40cm 
Xét hai tam giác ABH và CHB có: 
AB = CH = 40cm, (so le trong), BH = HB 
Suy ra (c-g-c) AH = CB = 50cm. 
Tam giác ADH có: AD2 + DH2 =402 + 302 = 502 = AH 2 
Suy ra tam giác ADH vuông tại D. Vậy hình thang ABCD là hình thang vuông. 
Bài 9. Cho hình thang ABCD (AD//BC; AD > BC) có đường chéo AC và BD vuông góc với 
nhau tại I. Trên đáy AD lấy M sao cho AM bằng độ dài đường trung bình của hình thang. 
Chứng minh: tam giác ACM cân tại M 
 DCA = DAC = BAC
 ABH CHB=
ABH = CHB∆ ∆ ⇒
cạnh bên
cạnh đáy lớn
cạnh bên
cạnh đáy nhỏA B
D C
CD
BA
H
A B
D C
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 10 
Giải: 
Gọi L là điểm đối xứng với đối xứng với A qua M Gọi NM là đường trung bình của hình 
thang ABCD như hình vẽ 
Gọi I là giáo điểm của AC và NP 
Vì NP//BC NI//BC mà N là trung điểm AB 
 I cũng là trung điểm AC 1) 
Suy ra IM//CL (2) 
Xét hình thang ABCD ta có:' 
P=
2
BC AD 
=AM 2BC AD AM 
BC AD AM AM BC MD AM ML
BC ML MD DL
Suy ra BC=DL mà BC//DL 
Suy ra tứ giác BCLD là hình bình hành 
Suy ra BD//CL 
Mà BDAC (gt) CL AC  (3) 
Từ (1) ,(2) và (3) IMAC và MI là đường trung trục của đoạn thẳng AC 
Suy ra MA=MC 
Vậy tam giác MAC cân tại M. 
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 11 
BÀI 3. HÌNH THANG CÂN 
A. LÝ THUYẾT 
1. Định nghĩa: Tứ giác ABCD là hình thang cân 
2. Tính chất: Trong hình thang cân: 
* Hai cạnh bên bằng nhau 
* Hai đường chéo bằng nhau 
3. Dấu hiệu nhân biết: 
* Hình thang có hai đường chéo bằng nhau là hình thang cân. 
* Hình thang có hai góc chung một cạnh đáy bằng nhau là hình thang cân. 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP 
Bài 10. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD). AD cắt BC tại I, AC cắt BD tại J. Chứng minh 
rằng IJ là trung trực của AB và là trung trực của CD. 
Bài giải: 
ABCD là hình thang cân nên 
Suy ra tam giác ICD cân tại I 
 I nằm trên đường trung trực của CD. (1) 
Ta lại có nên tam giác IAB cân tại I. 
I nằm trên đường trung trực của AB. (2) 
Xét tam giác ACD và tam giác BDC có: 
AD = BC (vì ABCD là hình thang cân) 
CD: cạnh chung 
AC = BD (2 đường chéo của hình thang cân) 
Do đó , suy ra 
tam giác JCD cân tại J J nằm trên đường trung trực của CD (3) 
Tương tự ta có tam giác JAB cân tại J J nằm trên đường trung trực của AB (4) 
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra IJ là đường trung trực của AB và CD. 
 
 
AB // CD
C = D
A = B

⇔ 


 C = D
⇒
   IAB = D = C = IBA
⇒
ΔACD = ΔBDC ACD = BDC
⇒ ⇒
⇒
cạnh bên
cạnh đáy lớn
cạnh bên
cạnh đáy nhỏA B
D C
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 12 
Bài 11. Cho hình thang ABCD (AB // CD). AC cắt BD tại O. Biết OA = OB. Chứng minh 
rằng: ABCD là hình thang cân. 
Bài giải: 
Vì OA = OB nên tam giác OAB cân tại O 
Ta có 
 tam giác OCD cân tại O OC = OD 
Suy ra AC = OA + OC = OB + OD = BD. 
Hình thang ABCD có hai đường chéo AC và BD 
bằng nhau nên ABCD là hình thang cân. 
Bài 12. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD, AB < CD). AD cắt BC tại O. 
a) Chứng minh rằng OAB cân 
b) Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng ba điểm I, J, O thẳng 
hàng 
c) Qua điểm M thuộc cạnh AC, vẽ đường thẳng song song với CD, cắt BD tại N. Chứng 
minh rằng MNAB, MNDC là các hình thang cân. 
Bài giải: 
a) Vì ABCD là hình thang cân nên suy ra OCD là tam giác cân. 
Ta có (hai góc đồng vị) 
 Tam giác OAB cân tại O. 
b) OI là trung tuyến của tam giác cân OAB 
nên OI cũng là đường cao tam giác OAB 
OI AB 
Mà AB // CD nên OI CD 
Tam giác OCD cân tại O có OI CD nên OI cắt CD tại 
trung điểm J của CD. 
Vậy ba điểm O, I, J thẳng hàng. 
c) Xét ACD và BDC có: 
AC = BD (2 đường chéo của hình thang cân) 
AD = BC (2 cạnh bên của hình thang cân) 
CD = DC 
Do đó ACD = BDC (c-c-c) 
Suy ra hay 
Hình thang MNDC có nên MNDC là hình thang cân. 
MC = ND AC – MC = BD – ND AM = BN 
Hình thang MNAB có hai đường chéo AM và BN bằng nhau nên MNAB là hình thang 
cân. 
⇒ OAB = OBA
 OCD = OAB = OBA = ODC
⇒ ⇒
∆
 C = D
   OAB = D = C = OBA
⇒
⇒ ⊥
⊥
⊥
∆ ∆
∆ ∆
 ACD = BDC MCD = NDC
 MCD = NDC
⇒ ⇒ ⇒
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 13 
NM
A
B C
BÀI 4. ĐƯỜNG TRUNG BÌNH 
A. LÝ THUYẾT 
1. Đường trung bình của tam giác: 
a) Định lý mở đầu: 
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì 
đi qua trung điểm cạnh thứ ba. 
b) Định nghĩa: 
Đường trung bình của tam giác là đoạn thẳng nối hai trung điểm hai cạnh của tam giác 
đó. 
c) Định lý đường trung bình của tam giác: 
Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và có độ dài bằng một nửa 
cạnh ấy. 
 2. Đường trung bình của hình thang: 
a) Định lý mở đầu: 
Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì 
đi qua trung điểm cạnh bên còn lại. 
b) Định nghĩa: 
Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình 
thang ấy. 
c) Định lý đường trung bình của hình thang: 
Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng độ 
dài hai đáy. 
B. LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI BÀI TẬP 
Bài 13. Cho hình thang ABCD có và AB = 2AD = 2CD. Kẻ CH vuông góc với 
AB tại H. 
a) Tính số đo các góc của hình thang ABCD. 
b) CMR tam giác ABC vuông cân. 
c) Tính chu vi hình thang nếu AB = 6cm. 
 A D 90o= =
A B
D C
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 14 
d) Gọi O là giao điểm AC và DH, O’ là giao điểm của DB và CH. Chứng minh rằng AB = 
4OO’ 
Bài giải: 
a) Ta có tứ giác ADCH và AH // CD, AD // CH 
AHCD là hình thang cân hai đáy AH, CD 
 AD = CH. 
AHCD cũng là hình thang cân với hai đáy AD, HC 
AH = CD . 
BH = AB – AH = 2CD – CD = CD và CH = AD = BH 
Do đó BCH vuông cân tại H, suy ra = 45o , = 45o 
= 45o + 90o = 135o 
Vậy , = 45o, = 135o 
b) ABC có H là trung điểm AB và CH AB nên ABC là tam giác cân tại C 
Ta lại có = 45o , suy ra ABC vuông cân tại C. 
c) Ta có AB = 6cm 
AD = CD = AB = 3cm. 
ABC vuông cân tại C nên BC = AB = = cm 
Chu vi hình thang ABCD là: AB + BC + CD + DA = 6 + + 3 + 3 = 12 + 
d) Dễ thấy DH // BC DH AC. 
Vì ACD vuông cân tại D nên O là trung điểm của AC. 
Ta có (g-c-g) O’C = O’H, hay O’ là trung điểm của CH. 
Xét AHC có OO’ là đường trung bình nên AH = 2OO’ 
Mà AB = 2AH nên AB = 4OO’. 
Bài 14. Cho hình thang ABCD (AB//CD) có E là trung điểm của BC, = 90o. Gọi K là 
giao điểm của AE và DC. Chứng minh rằng: 
a) ABE = KCE 
b) DE là tia phân giác của góc D. 
Bài giải: 
a) Xét ABE và KCE có: 
(2 góc sole trong) 
(2 góc đối đỉnh) 
BE = CE (E là trung điểm BC) 
Do đó ABE = KCE (g – c – g) 
b) Vì ABE = KCE nên AE = KE E là trung điểm AK 
DE là trung tuyến của tam giác ADK 
Ta lại có DE AK suy ra DE là đường cao của ADK. 
Do đó tam giác ADK cân tại D và DE là phân giác góc D. 
   A D H C 90o= = = =
⇒
⇒
∆ B BCH
 C BCH DCH= +
 
oA D 90= = B C
∆ ⊥
B ∆
1
2
∆ 1
2
6
2
3 2
3 2 ( )3 2 cm
0 0ACD 45 HDC 45= ⇒ = ⇒ ⇒ ⊥
∆
DO’C BO’H∆ = ∆ ⇒
∆
 EDA
∆ ∆
∆ ∆
 ABE = KCE
 AEB = KEC
∆ ∆
∆ ∆ ⇒ ⇒
⊥ ∆
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 15 
Bài 15. Cho tứ giác ABCD trong đó CD > AB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BD và 
AC. Chứng minh rằng nếu ABCD là hình thang thì . 
Bài giải: 
Gọi I là trung điểm AD. 
Ta có EI // AB và EI = AB 
FI // CD và FI = CD. 
Qua điểm I ta có EI // AB và FI // CD // AB nên I, E, 
F thẳng hàng. 
Suy ra EF = FI – EI = AB – CD hay 
Bài 16. Cho hình thang ABCD (AB//CD), tia phân giác của góc C đi qua trung điểm M của 
cạnh bên AD. Chứng minh rằng: 
a) b) BC = AB + CD 
 Bài giải: 
a) Gọi N là trung điểm BC. 
Ta có MN // CD 
Mà (vì CM là phân giác ) 
Suy ra 
Tam giác MCN cân tại N MN = NC = NB, do đó MNB cân 
tại N . Mặt khác , suy ra 
. 
b) Vì MN là đường trung bình của hình thang ABCD nên MN = (AB + CD) 
Ta lại có MN = BC. Do đó BC = AB + CD 
Bài 17. Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE. Trên cạnh BC lấy các điểm M, N 
sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD, K là giao điểm của AN và CE. 
Chứng minh rằng: 
a) BCDE là hình thang 
b) K là trung điểm của EC 
c) BC = 4IK 
Bài giải: 
CD ABEF = 
2
−
1
2
1
2
1
2
1
2
CD ABEF=
2
−
oBMC = 90
⇒ MCD = CMN
 MCD = MCN D
1CMN = MCN = DCB
2
⇒ ∆
⇒ NMB = NBM NMB = MBA 1NMB = ABC
2
 ( ) o1BMC = CMN + NMB = BCD + ABC = 902
1
2
1
2
I FE
D C
A B
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 16 
a) Ta có DE là đường trung bình của tam giác 
ABC 
DE // BC BCDE là hình thang. 
b) Gọi G là giao điểm AN và DE. 
Ta có E là trung điểm AB và ED // BN 
G là trung điểm AN 
 EG là đường trung bình của ABN 
EG = BN = BC 
Ta lại có ED = BC EG = ED G là trọng tâm ACE 
AK là trung tuyến của ACE K là trung điểm EC 
c) Chứng minh tương tự ta có I là trung điểm EF. 
Gọi F là trung điểm BC, ta có DF // AB và DK // AB D, K, F thẳng hàng. 
, suy ra K là trung điểm của DF. 
Suy ra IK là đường trung bình của DEF IK = DE. 
Mà DE = BC IK = BC hay BC = 4IK. 
Bài 18. Cho hình thang cân ABCD có , DB là 
phân giác của . Biết chu vi hình thang bằng 20cm. Tính 
độ dài các cạnh hình thang. 
Bài giải: 
Vì ABCD là hình thang cân nên = 600 và 
Ta có (vì DB là phân giác ) 
Mà (so le trong) 
Tam giác ABD cân tại A AB = AD = BC 
Gọi I là giao điểm của AD và BC, dễ dàng chứng minh ICD đều (có hai góc bằng 600) 
và B là trung điểm IC (vì DB là đường phân giác góc D, cũng là đường trung tuyến trong 
IDC). Do đó CD = IC = 2BC. 
Đặt AB = a BC = AD = AB = a và CD = 2a. 
Chu vi hình thang ABCD: AB + BC + CD + AD = 5a = 20cm 
a = 4cm 
 AB = BC = AD = 4cm và CD = 8cm. 
Bài 19. Cho ABC, đường thẳng d đi qua A không cắt các cạnh của tam giác ABC. Gọi D 
và E lần lượt là hình chiếu của B, C lên đường thẳng d. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. 
Chứng minh rằng MD = ME. 
Bài giải: 
⇒ ⇒
⇒
⇒ ∆
⇒
1
2
1
3
1
2
⇒
2
3
⇒ ∆
⇒ ∆ ⇒
⇒
1 1 1DK AE AB DF
2 4 2
= = =
∆ ⇒ 1
2
1
2
⇒
1
4
D 60o=
D
 C D=
 
0 0 0A = B = 180 60 = 120−
 ADB = CDB D
 CDB = ABD ⇒ oABD = ADB = CDB = 30
⇒ ⇒
∆
∆
⇒
⇒
⇒
∆
I
A
D C
B
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 17 
Ta có BD // CE (cùng vuông góc DE) 
BCED là hình thang vuông. 
Gọi N là trung điểm DE 
MN là đường trung bình của hình thang vuông BCED 
MN DE. 
Tam giác MDE có MN là trung tuyến và MN DE 
MDE là tam giác cân tại M MD = ME 
Bài 20. Cho tam giác ABC, AM là trung tuyến. Vẽ đường thẳng d qua trung điểm I của 
AM cắt các cạnh AB, AC. Gọi A’, B’, C’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C lên đường thẳng d. 
Chứng minh rằng BB’ + CC’ = 2AA’. 
Bài giải: 
Gọi N là hình chiếu của M trên d. 
Xét tứ giác BB’C’C có BB’ // CC’ (cùng vuông 
góc d) 
BB’C’C là hình thang. 
M là trung điểm BC và MN // BB’ // CC’ (cùng 
vuông góc d) 
MN là đường trung bình của hình thang 
BB’C’C 
BB’ + CC’ = 2MN (1) 
Hai tam giác AA’I và MNI vuông tại A’ và N có AI = MI và (hai góc đối đỉnh). 
Suy ra (g-c-g) AA’ = MN (2). 
(1), (2) suy ra BB’ + CC’ =2AA’. 
Bài 21.* Cho hình thang ABCD (AB//CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của BD, AC, 
DC. Gọi H là giao điểm của đường thẳng qua E vuông góc với AD và đường thẳng qua F 
vuông góc với BC. Chứng minh rằng: 
a) H là trực tâm của tam giác EFK 
b) Tam giác HCD cân. 
Bài giải: 
 a) Ta có E, K lần lượt là trung điểm BD, 
CD EK // BC. 
Mà FH BC FH EK. 
Tương tự ta có EH FK 
Suy ra H là trực tâm tam giác EFK. 
b) Ta có H là trực tâm tam giác EFK nên 
KH EF 
Gọi I là trung điểm của AD, dễ dàng 
chứng minh được IE // AB // CD và IF // 
CD. Từ đó suy ra EF // AB // CD. 
Do đó, KH CD. 
Tam giác HCD có K là trung điểm CD và KH CD nên HCD là tam giác cân tại H. 
⇒
⇒
⇒ ⊥
⊥
⇒ ⇒
⇒
⇒
⇒
 AIA’ MIN=
AA’I MNI∆ = ∆ ⇒
⇒
⊥ ⇒ ⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
NA'
C'
B'
I
M
A
B C
H
K
FE
A B
D C
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 18 
Bài 22. Cho tam giác đều ABC. Trên tia đối tia AB ta lấy điểm D và trên tia đối tia AC ta 
lấy điểm E sao cho AD = AE. Gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng 
BE, AD, AC, AB. 
a) Chứng minh rằng tứ giác BCDE là hình thang cân. 
b) Chứng minh rằng tứ giác CNEQ là hình thang. 
c) Trên tia đối của tia MN lấy N’ sao cho N’M = MN. Chứng minh rằng BN’ vuông góc với 
BD; EB = 2MN. 
d) MNP là tam giác đều. 
Bài giải: 
a) Ta có tam giác ADE cân và có nên 
ADE là tam giác đều. 
 DE // BC (hai góc so le trong 
bằng nhau) 
Ta lại có: DB = AD + AB = AE + AC = EC 
Do đó BCDE là hình thang cân. 
b) Tam giác đều ADE có EN là trung tuyến 
EN AD hay EN BD. 
CQ là trung tuyến tam giác đều ABC CQ AB 
hay EQ BD. 
Suy ra EN // CQ (cùng vuông góc BD) 
CNEQ là hình thang. 
c) Hai tam giác MEN và MBN’ có: 
MN = MN’, (đối đỉnh), NE = MB, suy ra . 
N’B // EN (hai góc so le trong bằng nhau). 
Mà EN BD nên BN’ BD. 
Dễ dàng chứng minh được (c-g-c) BE = NN’ = 2MN. 
d) Xét tam giác ACD có NP là đường trung bình NP = DC 
Mà DC = EB (vì BCDE là hình thang cân) nên NP = EB = MN (1). 
Theo trên, MN = MB = MN’ = ME nên các tam giác MBN và MEN’ cân tại M. 
Ta được EN’ // AB. 
Ta có: và 
Do đó: . 
Vì EN’ // AB nên (đồng vị). 
Từ đó ta có (2). 
Từ (1), (2) suy ra MNP là tam giác đều. 
Bài 23. Cho tam giac ABC cân tại A, đường cao AH. 
Gọi K là hình chiếu vuông góc của H lên AC. Gọi I là 
trung điểm HK. Chứng minh rằng: BK ⊥AI. 
Lời giải: 
Gọi J là trung điểm của KC, ta có IJ là đường trung 
bình trong tam giác KHC. 
∆

0A 60= ∆
0ADE ABC 60= = ⇒
⇒ ⊥ ⊥
⇒ ⊥
⊥
⇒
 NME N’MB= MEN = MBN’∆ ∆
⇒ ENM MN’B= ⇒
⊥ ⊥
 ENB N’BN= ⇒
⇒
1
2
1
2
 BNN’ BEN’ NBE= = ⇒
 ANP ADC AEB= = ANM BEN’=
 PNM ANP ANM AEB BEN’ AEN’= + = + =
0AEN’ CAB 60= =
0PNM 60=
JI
K
H CB
A
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 19 
Do đó IJ // HC ⇒ IJ ⊥ AH. 
Trong tam giác AHJ có IJ ⊥ AH, HI ⊥AJ. Từ đó, I là trực tâm tam giác AHJ. 
⇒AI⊥HJ (1). 
Trong tam giác BKC, HJ là đường trung bình, suy ra HJ // BK (2). 
(1) và (2) suy ra AI⊥BK. 
Bài 24. Cho hình thang cân ABCD (AB//CD; AD = BC), có đáy nhỏ AB. Độ dài đường cao 
BH bằng độ dài đường trung bình MN (M thuộc AD, N thuộc BC) của hình thang ABCD. 
Vẽ BE// AC (E thuộc DC). Gọi O là giao điểm của AC và BD. Chứng minh rằng 
a) b)Tam giác OAB cân c) Tam giác DBE vuông cân 
Bài giải: 
a) (so le trong), BC = CB, (so le trong) 
Suy ra (g-c-g) AB = EC. 
MN là đường trung bình của hình thang cân ABCD 
b) Xét ABC và BAD có: 
AB = BA 
AC = BD (2 đường chéo hình thang cân) 
BC = AD (2 cạnh bên hình thang cân) 
Do đó ABC = BAD (c – c – c) 
Suy ra hay 
Tam giác OAB cân tại O. 
c) Tam giác DBE có BE = AC = BD Tam giác DBE cân tại B. 
BH là đường cao tam giác cân DBE nên BH cũng là trung tuyến của tam giác này. 
Mà BH = MN = Tam giác BDE vuông tại B 
Vậy DBE là tam giác vuông cân. 
Bài 25. Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Trên các cạnh góc vuông AB, AC lấy điểm D 
và E sao cho AD = AE. Qua D vẽ đường thẳng vuông góc với BE, cắt BC ở K. Qua A vẽ 
đường thẳng vuông góc với BE, cắt BC ở H. Gọi M là giao điểm DK với AC. Chứng minh 
rằng: 
a) 
b) MDC là tam giác cân 
c) KH = HC 
Bài giải: 
a) Xét BAE và CAD có: 
(góc chung) 
AE = AD (giả thiết) 
BA = CA (vì ABC vuông cân tại A) 
Do đó: BAE = CAD ( c – g – c) 
b) Vì BAE = CAD nên 
DEMN = 
2
 ABC ECB= BCA CBE=
ABC ECB∆ = ∆ ⇒
⇒
DC+AB DC+CE DEMN = = =
2 2 2
∆ ∆
∆ ∆
 BAC = ABD BAO = ABO
⇒
⇒
DE
2
⇒
ΔBAE=ΔCAD
∆ ∆
 BAE = CAD
∆
∆ ∆
∆ ∆ AEB = ADC
LIÊN HỆ TÀI LIỆU WORD TOÁN ZALO: 039.373.2038 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 
 Website:tailieumontoan.com 20 
Ta có DK BE 
hay 
Ta lại có + = 900. 
Suy ra = 
Mặt khác = (2 góc đối đỉnh). Do đó = DA là phân giác 
Tam giác MDC có DA vừa là phân giác vừa là đường cao Tam giác MDC cân tại D. 
c) Tam giác MDC cân tại D có DA là phân giác nên DA cũng là trung tuyến tam g